MATHEMATICA 实习四

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In[3]：=Simplify[%，R>0] 16 Out[3]= (4 3 ) R 3 9 In[4]：= Out[4]=
2 0

0

2 R Cos [ ]
0
r 2 Sin[ ]drdd
16 3 5 1 1 R Cos[2 ] Cos[4 ] 3 32 32 8
3
1 Out[3]= If Re[a] 0, 2 , e 2 x xdx 0 a
In[4]：=Integrate[x Exp[a x]，{x，0，∞}，GenerateConditions→False] 1 Out[4]= 2 a In[5]：=Integrate[x Exp[a x]，{x，0，∞}，Assumptions→{a < 0}] 1 Out[5]= 2 a 说明：上例中 In[1]的被积函数在积分区间内有一个奇异点 x=2，按一般广义 积分的定义，这个积分发散，这时出现提示，返回的只是原输入式的 输出形式。在 In[2]中添加求主值的可选参数，改求主值后成功。In[3] 中被积函数含有字母参数 a，这时返回的结果是一个条件表达式，当 1 a 的实部为负时值为 2 ，否则发散。In[4]添加可选参数后，输出结 a 果不显示条件。In[5]给出了参数 a 的假设条件，保证求值顺利完成。
a b
积分符号更方便。
Integrate[f，{x，a，b}，{y，y 1 ，y 2 }] 用于求
dx
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x, y )dyBaidu Nhomakorabea，三重积分或多
重积分类似，最好使用基本输入模板连续多次输入积分符号。提示：也可以自制 二、三重积分符号模板。 计算下列定积分： / 2 2 R cos[ ] 1 1 例 4. （1） （2） 4 4 R 2 r 2 rdrd ， dx ， 2 0 0 01 x （3） Out[1]=
Log[ x] dx (1 x ^ 2)^ (3 / 2)
Out[2]= -ArcSinh[x]+
xLog[ x] 1 x2
1
3
( x 1) 2 ( x 1) 4
dx
Out[3]=
3(1 x)(1 x) 2((1 x) 4 (1 x) 2 )1 / 3
In[4]：= e Sin[ x ]
求不定积分由于使用的方法不同，可能得到不同的答案，因此 Mathematica 求出 的答案会出现与教科书上答案不同的情况。大多没有化简或使用了双曲函数，只 要化简或转换一下就能解决。但是 Mathematica 不会自动化简对数式或某些三角 函数式，只能由人再化简，或者自定义化简法则。 例2 求不定积分： （1） 解：In[1]：=
1 x 1 x x 1 x Out[1]= Log Cos Sin Log Cos Sin Sec[ x]Tan[ x] 2 2 2 2 2 2 2
In[2]：= In[3]：=
x Cos[ x]^3 Sin[ x] dx Cos[ x]^ 2
Out[4]=eSin[x]（x - Sec[x]）
2
关于定积分：
1． 不带可选参数的情况 求定积分、多重积分的函数与求不定积分的函数相同，只是多一些参数： Integrate[f，{x，a，b}] ，用于求 f ( x)dx ，但通常使用基本输入模板输入
2
Sin[ x]
x x x 2 Sin Cos Sin 2 2 2 Out[4]= 1 Sin[ x]
In[5]：=FullSimplify[%] Out[5]= 1 x
1 Sec[ x] Tan[ x]
500
500
e x dx 。
2
解：In[1]：=Integrate[Exp[-x^2]，{x，-500，500}] Out[1]= Erf [500] In[2]：=N[%] Out[2]=1.77245 In[3]：=NIntegrate[Exp[-x^2]，{x，-500，500}] NIntegrate： ：slwcon： Numerical integration converging too slowly； Suspect one of the following：singularity， Value of the integration being 0，oscillatory integrand，or insufficient WorkingPrecision. If your integrand is oscillatory try using the option Method ->oscillatory in NIntegrate. NIntegrate : : ncvb NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy After 7 recursive bisection in x near x= -3.90625. Out[3]=0.88631 但是 Mathematica 引入特殊函数 Erf[x] 虽然以上 In[1]中积分不能求出准确值， 能表示它的准确值，再用函数 N 能顺利求出近似值。而用后一种直接求数值积 分的方法，Mathematica 给出警告信息，输出的结果也不正确。要想得到正确结 果，还需设置一些可选参数。引入许多特殊函数是 Mathematica 的特色，扩展了 能求符号解的函数类型。对于表达式不太复杂的函数，还是使用前一种方法试一 试的好。对于不能求符号解的函数，两者是一样的，直接使用后者节约了寻找符 号解的时间。 1． 有奇异点的积分 函数 NIntegrate 的调用格式如下： 是标准形 NIntegrate[f，{x，xmin，xmax}，{y，min，ymax}，…] 式，而且允许积分区间端点是奇异点。 如果积分区间内部有奇异点，积分区间内部的奇异点不能被识别，需要明确 指出： NIntegrate[f，{x，xmin，x 1 ，x 2 ，…，xmax}] 其中x 1 ， x 2 ，…是奇异点。 例4 观察下面有奇异点的积分运算。 In[1]：=NIntegrate[1/ x ，{x，0，1}]
2


解：In[1]：= Exp[ x 2 ]dx


3
Out[1]= In[2]：=NIntegrate[Exp[-x2]，{x，-∞，+∞}] Out[2]=1.77245 In[3]：=N[ Exp[ x 2 ]dx ]

Out[3]=1.77245 说明：上例中 In[1]说明，Mathematica 能求某些广义积分的准确值。In[3]表 明，使用函数 N 与积分模板嵌套比用函数 NIntegrate 更方便。
例 6. 求积分： （1）
1 （2） xe ax dx 。 dx ， 0 1 2 x 解：In[1]：=Integrate[1/（x-2） ，{x，-1，3}] Integrate： ：idiv： 1 does not converge on {-1，3}. Integral of 2 x 3 1 Out[1]：= dx 1 2 x In[2]：=Integrate[1/（x-2） ，{x，-1，3}，PrincipalValue→True] Out[2]= -Log[3] In[3]：=Integrate[x Exp[a x]，{x，0，∞}]
2.带有可选参数的情况
在求积分时还允许添加下列可选参数：
PrincipalValue 是否按 Cauchy 主值求积分，默认值为 False,可以设为 True。 GenerateConditions 是否生成包含参数条件的答案，默认值为 True，可以设为 False。 Assumptions 值是一些关于参数的条件组成的表，默认值为空表。
sin 2 x dx ， cos 3 x
（2）

ln x (1 x )
3 2 2
dx ，
（3）

1
3
( x 1) 2 ( x 1) 4
dx ， （4） e Sinx
x cos 3 x sin x dx Cos 2 x
解：In[1]：=
Sin[ x] 2 Cos[ x]3 dx
1 1 sin x dx ， （2） （3） dx ， dx 。 2 cos x 1 sin x 1 x
Cos[ x] dx
1
x x x x Out[1]= Log Cos Sin Log Cos Sin 2 2 2 2 In[2]：=
上例中第 1 个积分的结果 Mathematica 不会再化简了，第 2 个积分的结果经 过转换后得到常规形式的答案， 第 3 个积分的结果经过化简后的答案也与教科书 上的答案不同。这些都说明了与人求解的差别，有时需要人再对答案进行化简。 总之，计算机善于代替人做复杂但方法固定的工作，在灵活性方面当然无法与人 相比，在化简表达式方面这一缺陷尤其明显。 例 3. 计算不定积分： （1）
In[5]：=Simplify[%] 2 Out[5]= R 3 (3 Cos[2 ]) Sin[ ] 2 3 说明：上例中最后两个积分的答案都需要化简，其中最后一个积分化简后的 答案仍与通常答案的形式不同。但是代替人做这类高等数学习题，已经问题不大 了。求定积分的数值解用 NIntegrate[ ]； 例 5.计算广义积分： e x dx 。
MATHEMATICA 教学实习
指导教师：王俊杰
Mathematica 实习四
实习目的
1. 掌握用 Mathematica 求不定积分与定积分 2. 掌握用 Mathematica 求数值积分以及含奇点的积分
实习准备 关于不定积分：
求不定积分的函数是：Integrate[f,x] ;用于求 f ( x) 的一个原函数。(提示：使用基 本输入模板输入积分符号更为方便.) 例1 计算不定积分： （1） 2 xdx ， （2） arctgxdx ， （3） 解：In[1]：=Integrate[2x，x] Out[1]=x2 In[2]：=
2 0

0

2 R cos[ ]
0
r 2 sin[ ]drdd ，
解：In[1]：=Integrate[1/（1+x^2） ，{x，0，1}]

4
/ 2 2 R Cos[ ]
0
In[2]：= 4

0
4 R 2 r 2 rdrd 4 R2 3
16 2 R Out[2]= 4 9

1 1 x2
dx
Out[2]=ArcSinh[x]
1
In[3]：=TrigToExp[%] Out[3]= log[ x 1 x 2 ] In[4]：=
1 Sin[ x] dx
x x x Cos 2 Sin 2 1 Sin[ x]
4
关于数值积分：
1. 两种积分方法的比较 求定积分的数值解有两种方法：使用 N[Integrate[f ， {x ， a ， b}] ， n] 或使用 NIntegrate[f，{x，a，b}]，前者首先试图求符号解然后再求近似解，后者使用 数值积分的方法直接求近似解。究竟选用哪一个，这首先需要了解两者各自的 特点。前者首先试图求符号解，当然花费较多的时间，但安全可靠。后者直接 求数值解，节约运行时间，但可靠性就差了。 例3 计算下列积分
1 dx 。 x 1
3

ArcTan[x] dx
1 Out[2]=xArcTan[x]- Log[1+x2] 2 1 In[3]：= 3 dx x 1
1 2 x ArcTan 3 1 Log[1 x] 1 Log[1 x x 2 ] Out[3]= 3 6 3