应力与应变间的关系

τ xy
右侧面
σx τ xz
x
γ xy
γ yz
γ zx
O
∠ xOy ∠ yOz
∠zox 。
z
σz
前面
2、各向同性材料的广义胡克定 、 律
(1)线应变的推导 线应变的推导 分别单独存在时, 在σx σy σz 分别单独存在时 x 方 依次为: 向的线应变 εx 依次为
x σ
z
x
x σ
εx ' =
σx
τ = Gγ
或
γ=
τ
G
τ γ γ τ
为剪切弹性模量，单位为N/m G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变的关系 σx σy σz τ x y τ y z τ z x εx ε y ε z γ x y γ y z γ z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定 ） (a)三个正应力分量 拉应力为正 (a)三个正应力分量 三个正应力分量：拉应力为正
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 因此 该圆筒变形后的厚度并无变化 仍然为 t =10mm .
G G G
在线弹性范围内, 小变形条件下, 在线弹性范围内 小变形条件下 各向同性材料。 各向同性材料。
1 εx = σx ν (σ y +σz ) E 1 E
[
]
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小 在线弹性范围内 小 变形条件下, 变形条件下 各向同性材 料。
ε y = [σ y ν (σz +σx )]
ν ν ε z = (σ x + σ y ) = (τmax + τmax ) = 0 E E
同理可得,圆筒中任一点 该点到圆筒横截面中心的距离为 该点到圆筒横截面中心的距离为ρ 同理可得 圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为ρ) 处 的径向应变为
ε zρ =
ν
E
(τ ρ + τ ρ ) = 0
o y
σy τ yx τ yz τ xy
上面
右侧面
τ zy τ xz τ zx
σx
σz
前面
x
压应力为负。 z 压应力为负。
(b)三个剪应力分量: (b)三个剪应力分量 三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴 若正面 外法线与坐标轴 正向一致的平面)上剪应力矢 正向一致的平面 上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 的指向与坐标轴正向一致 或 负面(外法线与坐标轴负向一 负面 外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 致的平面 上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致， 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。 应力为正 反之为负。
k点处的线应变 εx , εy 为 点处的线应变
1 1 εx = (σx νσy ) = (τmax ντmax ) E E (1+ν ) 4 = τmax = 5.2×10 (压应变) E
应 ) ε y = ε x = 5.2×10 (拉 变
4
圆筒表面上k点处沿径向 轴 圆筒表面上 点处沿径向 (z轴) 的应变为
εy εz
1 [σ y ν (σ z + σ x )] = E 1 [σ z ν (σ x + σ y )] = E
(2)剪应变的推导 剪应变的推导 与剪应力τ 剪应变 γxy , γyz ,γzx与剪应力τxy ,τyz ,τzx之间的关系为
γ xy γ yz γ zx
公式的适用范围 :
τ xy = τ yz = τ zx =
1 ε1 = (σ1 ν σ 2) E 1 ε 2 = (σ 2 ν σ1) E
ε3 = (σ1 + σ 2)
E
ν
材料的三个弹性常数E, 材料的三个弹性常数E, G, ν间存在如下关系: 间存在如下关系:
E G= 2(1+ v)
例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为 例题 构件材料为Q235钢，其弹 钢 ε1 = 240×106 , ε3 = 160×106 。构件材料为 性模量E=210GPa，泊松比υ=0。3。求该点处的主应力值， ，泊松比υ 。 。求该点处的主应力值， 性模量 并求该点处另一主应变ε 数值和方向。 并求该点处另一主应变ε2的数值和方向。 主应变
o z
y
σy τ yx τ yz
τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
σx τ xz
x
σz
前面
图中表示的均为正方向
线应变: 以伸长为正, 线应变 以伸长为正
y
σy τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
缩短为负。 缩短为负。 剪应变: 使直角减小者为正, 剪应变 使直角减小者为正 增大者为负。 增大者为负。
z
x
解：铜块上截面上的压应力为
y σy
P 300×103 σy = = A 0.12
= 30M Pa
Z σz
σx x (b)
ε
由
1 = [ x E
σ
x
ν (
σ +σ )] = 0
y z
ε
1 = [ z E
σ
z
ν (
σ +σ )] = 0
x y
解得
ν (1+ν ) σx = σz = σy 2 1ν
y
90
0
x
m t
45
0
k
D
y
90
0
x
m t
y
τ max
σ
x
3
45
0
k
D
k
τ max
σ1
点处取出单元体, 解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体 其各面上的应力分量 如图 所示 可求得: 可求得
σ y = σ1 =τmax = 80M Pa
Pa σx = σ3 = max = 80M τ
σz = σ2 = 0
1 2 ν θ= (σx +σ y +σz ) E
在任意形式的应力状态下, 在任意形式的应力状态下 各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正 应力之和成正比, 而与剪应力无关。 应力之和成正比 而与剪应力无关。
特例 在平面纯剪切应力状态下： 在平面纯剪切应力状态下： 1 = σ3 =τ xy σ 代入得
§7-7 应力与应变间的关系
一、单向应力状态下应力与应变的关系
ε1 =
σ1
E
1 σ
1 σ
为材料的弹性模量，单位为N/m E 为材料的弹性模量，单位为N/m2. 横向线应变 ε2,ε3 与纵向线应变 ε1 成 正比，比值为泊松比γ，而符号相反。
ε1 ε2 = ε3 = ν
二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系
0.34(1+ 0.34) = (30) 2 1- 0.34 = -15.5M Pa
铜块的主应力为
σ1 = σ2 = 15.5M Pa , σ3 = 30M Pa
体积应变和最大剪应力分别为
1 2 ν θ= (σ1 +σ2 +σ3) = 1.95×104 E
τmax
1 = (σ1 σ3) = 7.25MPa 2
E
ν
γ xy =
τ xy
G
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 ） 三向应力状态下： 三向应力状态下：
1 ε1 = [σ1 ν (σ 2 + σ3)] E 1 ε 2 = [σ 2 ν (σ 3 + σ1)] E
1 ε3 = [σ3 ν (σ1 + σ 2)] E
(7-7-6)
平面应力状态下 设 σ 3 = 0, 则
θ = ε1 + ε2 +ε3
ε1 = [σ1 ν (σ 2 + σ3)]
1 E
将广义胡克定律 广义胡克定律
ε 2 = [σ 2 ν (σ 3 + σ1)]
ε3 = [σ 3 ν (σ1 + σ 2)]
1 E
1 E
代入得
1 2 ν θ= (σ1 +σ2 +σ3 ) E
在最一般的空间应力状态下， 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变 有关。 只与三个线应变εx ，εy， εz有关。仿照上述推导有
2 ε
物体表面
1 ε
2 σ =0
3 ε
3 σ
1 σ
解： σ ,σ ,σ 与ε ,ε ,ε 一，一对应。 一对应。 1 2 3 1 2 3 由于构件自由表面，所以主应力σ 。 由于构件自由表面，所以主应力σ2=0。 所以该点为平面应力状态。 所以该点为平面应力状态。
由
1 ε1 = (σ1 ν σ3) E 1 ε3 = (σ3 ν σ1) E
变形可略去不计的钢凹槽中, 所示。 大, 变形可略去不计的钢凹槽中 如图 所示。 已知铜的弹 当受到P=300kN 的均布 性模量 E=100GPa, 泊松比 ν=0.34, 当受到 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。 压力作用时 求该铜块的主应力 体积应变以及最大剪应力。
P a y
1 εz = [σz ν (σx +σ y )] E
γ xy = γ yz =
τ xy
G
τ yz
G G
γ zx = τ zx
3、 特例 、
（1）平面应力状态下(假设 σZ = 0 ) 平面应力状态下(
1 ε x = (σ x ν σ y) E 1 ε y = (σ y ν σ x) E
εz = (σ x + σ y)
σ3
σ1
dy dz
V ' = dx(1+ε1) dy(1+ε2 ) dz(1+ ε3)
体积应变为
V 'V θ= V dx(1+ ε1) dy(1+ ε2 ) dz(1+ ε3) dxdydz = dxdydz dxdydz(1+ ε1 + ε2 + ε3) dxdydz ≈ dxdydz = ε1 + ε2 + ε3
ν
四、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, （1）概念 构件每单位体积的体积变化 称为 ）概念:构件每单位体积的体积变化 体积应变用θ表示。 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变 ）
公式推导 dx
σ2
设单元体的三对平面为主平面, 设单元体的三对平面为主平面 其 三个边长为d 三个边长为 x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ε1) , d y(1+ε2) , ε ε d z(1+ε3) , 因此变形后单元体的体 ε 积为: 积为
E ( +ν ε3) = 44.3MPa σ1 = 2 ε1 1ν
解得
E σ3 = 2 (ε3 +ν ε1) = 20.3MPa 1ν
该点处另一主应变ε 该点处另一主应变ε2的数值为 主应变
ε 2 = (σ1 + σ3) = 34.3×106
E
ε2是缩短的主应变，其方向必与ε1和ε3垂直，即沿构件的 是缩短的主应变，其方向必与ε 垂直， 外法线方向。 外法线方向。
例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒 在表面上 k 点 的薄壁圆筒, 例题 两方向分别贴上应变片,然后在 处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片 然后在 ° ° 的扭转力偶,如图 圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶 如图 所示已知圆筒材料的弹性模 量为 E = 200GPa 和 ν = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内 且 τmax = 若该圆筒的变形在弹性范围内,且 若该圆筒的变形在弹性范围内 80MPa , 试求 点处的线应变 εx ,εy 以及变形后的筒壁厚度。 试求k点处的线应变 以及变形后的筒壁厚度。
E
y
y σ
ε
x
σ "= ν
z σ
E
ε
&# σ
z σ
同时存在时, 方向的线应变 方向的线应变ε 在σx σy σz同时存在时 x方向的线应变εx为
εx
1 σ x ν (σ y + σ z ) = E
[
]
同时存在时, 方向的线应变为 在σx σy σz同时存在时 y,z方向的线应变为
σ2 = 0
1 2 ν θ= (σ1 +σ2 +σ3) E
1 ν 1 2 = (τ xy τ xy + 0) E =0
可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下， 可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪 应力不引起各向同性材料的体积改变。 应力不引起各向同性材料的体积改变。
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较 例题 的铜立方块