《抽象代数》课程的一些体会

《抽象代数》课程的一些体会

邓少强

（数学系）

近几年，我担任了我院非数学专业课程《抽象代数》的主讲任务。由于该课程是我院非数学专业课程总体改革的重要一环，院领导和各相关人员对本课程都非常重视。通过几年的教学实践，我在教学方法、手段等方面都积累了一定的经验。下面谈谈自己的体会，与大家分享。

首先，一门课程是否成功，准确的定位是关键之一。课程开始之前，我们碰到的第一个问题就是，这门课程到底要讲到什么程度。《抽象代数》本来是数学系传统课程之一，并不将数学专业与其他专业分开来上，后来由于其他专业计算机等课程的增加，才将这门重要的课程从非数学专业的教学计划中删去。这样做的好处自然是可以开设更多更“现代”的课程。但是时间一长，问题就接踵而至。由于受到的数学训练不够，本院非数学专业的很多学生基础不够扎实，进一步学习的能力不强。最明显的表现就是，连续几届考研，我院报考本校的很多学生的成绩还比不上一般的师范类大学的学生；而报考经济类专业的一些学生，其《高等数学》的成绩比不上经济类专业的学生。正是由于这一原因，我院才下定决心，重新在非数学各专业中开设传统的数学课，如《实变函数》、《泛函分析》、《微分方程》等。但是，恢复开课并不意味着可以将以前数学专业对应课程的教材、内容或者教学方法照搬。因为这些专业的学生，无论基础、能力或者学习的兴趣等方面，毕竟与数学专业的学生大不相同。因此，本课程必须力求适合这些学生的具体情况，既要达到加强学生的基础和训练学生的抽象思维能力的目的，又不能把目标定的太高，使学生望而生畏。

举一个最简单的例子来说，我国出版的抽象代数的教材就没有一本适合本课程。传统教材大都求多、求全，习题力求设计得有难度和深度，讲法务必严格，有的甚至以其讲法抽象为荣。当然，这样的教材对于数学专业的学生而言是有好处的，因为他们将来的工作要求他们必须具有十分坚实的学科基础和相当强的抽象思维能力。但是，对于非数专的学生而言，使用的教材过于深奥，不但收不到预想的效果，反而会使学生因为惧怕而失去学习的兴趣。老一批的教材中，只有张禾瑞的《近世代数基础》从教学内容上比较接近他们的要求，但是，该教材讲法有些陈旧，习题太少，也不是十分合适。在这种情况下，本院副院长顾沛教授与我为此专门编写了一本教材，全书由顾沛教授统筹设计，两人合作编写。正是考虑到这些具体情况，我们舍弃了很多原先预备的内容，而且将伽罗瓦理论作为附录。此外，为了使教材更有适应性，将习题分开普通题和补充题设计，而且教材名称也改为《简明抽象代数》，由高教出版社出版。几年的教学实践表明，该教材十分适合每周三学时的抽象代数课使用。究其原因，就是因为我们的定位比较准确。

我的第二点体会是，一个课程是否成功，能否抓住重点是关键。抽象代数的主要内容，自然是群、环、域的基本理论。但是，如果将这三个理论看作同等重要的三部分而平均使用时间和力量，就大错特错了。事实上，这三个理论有很多

类似的地方，而且一个共同的特点就是，它们都很抽象。对于初学者而言，理解相关的抽象概念，比具体的去记住什么是群、环等更重要。因此，在讲这门课时，我有意识地花很多时间在群这一章，务求使学生理解透彻其中的抽象概念。例如，我在讲商群这一节时，发现学生普遍感到难以理解。于是多次诱导他们去想群的概念，群首先是一个集合，然后在该集合上有二元运算。然后让他们想，商群作为集合是什么样的？其上的运算是如何定义的？甚至于其幺元和每个元素的逆元是什么？最后，又让学生回忆线性空间的商空间的概念，并思考商空间作为加法群其元素和运算是怎样的？并在低维的情形举例说明。通过反复讲解，学生终于理解了这一概念。群的部分时间虽然花去较多，但是我发现，在讲环的理论时，我加快了速度，学生却并不感到困难，原因就是他们通过群的学习，已经习惯了这门课程抽象思维的特点。所以，抓住重点是十分关键的。

我的另一点体会是，在有些程度不是很高的课程中，可以介绍一些比较深的内容，虽然不一定非常严格和完整。我们的教材中，设计了伽罗瓦理论简介作为附录。大家知道，要严格和详细地讲解伽罗瓦理论的所有内容和证明，要到研究生阶段，而且是基础数学各专业才可以完成。作为周三学时的非数学专业的课程，是不可能详细讲解这部分内容的。但是，我每次授课都用一周时间简单介绍这一理论的主要内容而不给出证明，同时详细介绍其在解代数方程中所起的关键作用，最后稍微介绍一下如何利用其来解决三个古典几何问题。实践表明，学生对这些内容相当感兴趣。

最后，我想谈谈现代教学手段与传统数学课程的关系。很多人总是将现代的教学手段（如多媒体）与传统的数学课对立起来，以为要讲数学课，还是一个个公式、一条条定理写在黑板上效果好。其实，现代的教学手段还是有很多优势的。例如，我前两次讲这门课时，采用在黑板上板书的办法，由于灯光不好，字必须写得很大，结果是频频擦黑板花去大量的时间。但是坐在后排的学生还是反映看不清楚。今年我利用148教室的多媒体设备，利用pdf文件直接在大屏幕上讲解，不但省去了很多时间，学生反映反而比以前更好。这说明，在传统的数学课教学中，适当利用现代教学手段是有益的。当然，如何在传统的数学课中合理利用现代化的教学手段，是需要进一步探讨的问题。

总之，一门课程要取得成功，授课者必须在课程定位、教材选择、课程重点等方面多下工夫。如果在上述几个方面做得到位，再适当利用一些现代化的教学手段和设备，则必能达到预想的效果。