几何第三讲 曲面与空间曲线

y
o
a
x
单叶旋转双曲面
上题双曲线 绕 y 轴一周
x2 y2

a
2

b2
1
z 0
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
y2
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 z2 a2 c2 1
椭球面的画法：
z
1．选择坐标系；
2．画坐标面与曲面的交线；
c
3．画出轮廓线。
O a x
b y
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 a2
y2

z2 c2

1
旋转椭球面与椭球面的区别：
S
将 z z1 , y1 x2 y2
代入
f ( y1, z1 ) 0
得S的方程：f ( x2 y2 , z) 0
P
M (x, y, z)
M1 (0, y1 , z1 )
z
z1 C
.
o
y1
y
x
方程 f x2 y2 , z 0
是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
z = ay
z a( x 2 y2 )
x
平方得:
y
z2 = a2 ( x2 + y2 )
该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x2
（1）双曲线 a 2

y2 b2
1 分别绕 x轴和 y 轴；
绕 x 轴旋转 x 2 y 2 z 2 1
第三节 曲面及空间曲线
3.1. 曲面方程的概念 3.2. 旋转曲面 3.3. 柱面 3.4、二次曲面 3.5. 空间曲线的方程及其坐标面
上的投影
3.1 曲面方程的概念
平面、直线在平面解析几何中被看成是动点的轨迹． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
例1 考虑球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面.
(1) S上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0;
(2) 不在S上点的坐标都 不满足方程F (x, y, z) =0;
z F (x, y, z) = 0
S
o
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲 面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
例2 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲 面?
.
o
x
.
y
小结：
方程 f x2 y2 , z 0
是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
旋转曲面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0

x

0
绕 z轴旋转一周得旋转曲面 S，求S的方程。
设M1(0, y1, z1)是C上任意一点,
则有f( y1, z1) = 0。
当C绕 z 轴旋转而M1随之转到任意点M (x, y, z)时, 有
z
.
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
a2
b2
旋 转
双
绕 y 轴旋转 x 2 z 2 y 2 1
曲 面
a2
b2
双叶旋转双曲面
双
曲
线

x a

y b

z
绕 x 轴一周
x
0
y
双叶旋转双曲面
双
曲
线

x a

y b

z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
双叶旋转双曲面
双
曲
线

x a
双曲柱面
x2 y2 1 a2 b2
z
x
0
L
平面 x+y=1 z
y
0
y
x
L
抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
3.4 二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
3.3 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
播放
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例5: 求直线 z = ay，x=0 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.
解: 将 y 用 x2 y2 代入直
z
线方程, 得
(3)双曲面:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
面，其准线为 xoy面上曲线C .（其他类推）
实 例
x2 y2
a2
b2
1
椭圆柱面
// z 轴
x2 z2 1
双曲柱面 // y 轴
a2 c2
y 2 2 px 抛物柱面 //z 轴
椭圆柱面
z
x2 a2

y2 b2
1
o y
x
双曲柱面
z
x2 z2 a2 b2 1
o y
x
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
球 面
椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
z
c
o a
x
by
（3）抛物线 y 2 2 pz绕z 轴旋一周； x 0
z
o
y
z
.
o
y
x
旋转抛物面
y 2 az
抛物线

x0
绕 z 轴一周
z 得旋转抛物面
z x2 y2 a
与平面 z z1 ( | z1 |
. 截面上圆的方程

x
2

c)

y
的交线为圆
2

a2 c2
(c2

z12
).
z z1
(2) a b c,
x2 a2

y2 a2

z2 a2

1
球面
(2) 椭圆抛物面: x 2 y 2 2z （p 与q 同号） z p2 q2
截痕法
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.

x2 a2

y2 b2

1
z 0
(3)双曲面:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
单叶双曲面
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2

a
2

y2 b2
1
z12 c2
z z1
当 z1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
对于球面上任一点 M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2. 即: (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2
称上述方程为球面的标准方程.
特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2
M R
M0
曲面方程的概念
定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C叫柱 面的准线，动直 线L叫柱面的母线.
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
类似地,
椭球面
平面 xk (|k|<a) 与椭球面的交线也是椭圆；
平面 yk (|k|<b) 与椭球面的交线也是椭圆；
椭球面
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
例1、例3。（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
例2
（讨论柱面、二次曲面）
3.2 旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
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Biblioteka Baidu 二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
几种常见二次曲面. (1) 椭球面 x 2 y 2 z 2 1
a2 b2 c2
1 用平面z = 0去截割, 得椭圆
x2 y2

a
2

b2
1
2 用平面zz=k0去截割(要求 |k | c), 得椭圆
x2

a
2

y2 b2
1
k2 c2
z k
当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
双曲抛物面
（马鞍面）

x2 2p
y2 2q
z（p
与q
同号）
z
截痕法
p 0, q 0
用z = a截曲面
用x = 0截曲面
0
用y = b截曲面
x
y
.
(3)双曲面:
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截

y b

z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 a2

y2 z2 b2
1
x
z
0
y
.
单叶旋转双曲面
上题双曲线 绕 y 轴一周
x2 y2

a
2

b2
1
z 0
y
o
a
x
单叶旋转双曲面
上题双曲线 绕 y 轴一周
x2 y2

a
2

b2
1
z 0
.
z
解: 原方程可改写为
(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为5 的球面.
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程. 解 设M ( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,