几何第三讲 曲面与空间曲线
空间曲面和空间曲线
M(x, y,0)
在柱面上任意取一点 M (x, y, z ) ，过点 M 作平行于z 轴的
直线，交xoy 坐标面于点M(x, y, 0 ) ，由柱面的定义可知 点 M 必在准线 C 上。故点M 的坐标满足方程F (x, y) 0 ， 由于点 M 与点M 有相同的横坐标和纵坐标，故点 M 的坐
XYZ
z
z
其中 M (x, y, z) 是母线上的任意一点。
∵点ax 22M1
(yX2, b2
Y,
Zcz)22在准0线上a，b
x
2
y2
a2z2 c2
0
∴
X a
2 2
椭 Y圆b22锥面1，把X
Z c
Z z
x
，Y
圆Z y锥代面入，得
z
(
Z z
x)2
柱面方程： z 2 + 8 y =64， 故曲线L 关于yoz 平面的投影曲线是一段抛物线：
z 2
8y
64
（0
y
8
）。
x 0
§7.4.3 锥面
1．锥面的定义
已知一条定曲线 C 及不在 C 上的 一定点 M，动直线 L 过点 M 沿 C 移 动所形成的曲面称为锥面。动直线 L 称为锥面的母线，点 M 称为锥面的 顶点。曲线 C 称为锥面的准线。 2.锥面的的方程
x r cos
y
r
sin
z b
这时b v ，而参数为 。
（三）空间曲线在坐标面上的投影
L
1．空间曲线在平面上的投影的概念
已知空间曲线L 和平面 ，从
空间曲面和曲线.ppt
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得:
f x2 y2 , z 0,
北京理工大学数学系
f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面的方程.
1
球 面
（3）抛物线
y2
2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
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四.椭圆锥面
设C是椭圆，P为C外的定点，
过P和C上的每一点作直线， 所有这些直线形成的曲面
称为椭圆锥面。
所有直线称为母线， C称为准线， P称为顶点。
?与圆锥面的区别?
C P
3
3 9
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例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)， 求线段 AB的垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
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五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
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如图:投影曲线的研究过程.
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空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在理解和描述物体的形状和运动过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨空间曲线与曲面的定义、性质以及其应用领域。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，在数学上通常表示为参数方程形式或者向量函数形式。
一条空间曲线由无数个点组成，这些点沿着曲线有一定的规律排列。
空间曲线具有以下性质：1. 长度：曲线的长度可以通过对参数范围进行积分计算得出。
长度为曲线上各点之间的距离之和。
2. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线与曲线相切。
切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处重合。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线曲率变化的速度。
曲率可以通过求曲线的曲率半径和弧长的比值得出。
二、空间曲线的应用空间曲线广泛应用于多个学科和领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
以下是空间曲线在相关领域中的应用举例：1. 物理学：在纳米尺度和宏观尺度的物理研究中，空间曲线被用于描述电磁场线、粒子轨迹、物质流动等。
通过分析空间曲线的性质，可以揭示物质的运动规律和相互作用方式。
2. 工程学：在工程设计和制造过程中，空间曲线用于描述物体的外形和运动轨迹。
例如，在航空航天领域，通过研究飞行器的曲线轨迹，可以优化设计以提高飞行效率和安全性。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的曲线建模技术使用空间曲线来表示和绘制三维对象。
空间曲线可以通过插值和逼近方法生成，使得计算机可以准确地表示和操作复杂的曲线形状。
三、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个二维平面，它由无数个点组成，并且在任意一点处都具有一个唯一的切平面。
在数学上，曲面可以用参数方程、隐函数方程或者二次方程等形式表示。
空间曲面具有以下性质：1. 切平面：曲面上的每一点都有一个唯一的切平面与其相切。
切平面是通过该点的一个二维平面，与曲面在该点处相切。
2. 法向量：曲面上的每一点都有一个对应的法向量，它垂直于曲面上的切平面。
3 曲面及空间曲线
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
例如,方程组
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o
1 y
x
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
2、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2
z
x
y
y12 2
z
0
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
求上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影（区域）:
二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
令 t , b
v
x
o
y
上升高度 h 2 b , 称为螺距 .
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
3、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学几何学中的重要概念，它们在描述和分析三维物体的形状和特征时起着关键作用。
本文将就空间曲线和空间曲面的定义、性质和应用进行深入探讨。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，它由一系列相互关联的点组成。
可以用参数方程或者向量函数来表示，以便对其进行解析研究。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
直线是最简单的空间曲线，可由两个不同的点确定。
曲线则弯曲或扭转，并有无数个点组成。
闭合曲线是形状回到起点的曲线，如圆或椭圆。
空间曲线具有以下重要性质：1. 弧长：空间曲线的长度称为其弧长，可以通过对曲线进行参数化和积分计算得到。
2. 切线：对于空间曲线上的每个点，都有一个切线与其相切。
切线是曲线在该点弯曲方向上的极限。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲线的切线和法线计算得到。
4. 弯曲方向：曲线可以向左弯曲或向右弯曲，具体取决于曲线上连续两个点的位置关系。
二、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个连续平面，由一系列相关的点构成。
类似于空间曲线，空间曲面也可以用参数方程或者向量函数进行表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆锥面等。
平面是最简单的空间曲面，由无限多个平行于其自身的直线组成。
球面由到球心距离相等的点组成。
圆锥面则由一个尖点和无数个从尖点射出的直线构成。
空间曲面具有以下重要性质：1. 切平面：对于空间曲面上的每个点，都存在一个切平面与其相切。
切平面是曲面在该点处切割曲面所得的截面。
2. 法线：曲面上每个点都有一个法线垂直于曲面。
法线方向是指在该点处曲面向外的方向。
3. 曲率：曲面的曲率描述了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲面的切平面和法线计算得到。
4. 弯曲特性：曲面可以是凸的（向外弯曲）、凹的（向内弯曲）或既不凸也不凹。
三、空间曲线与空间曲面的应用空间曲线和空间曲面在实际应用中有着广泛的应用，特别是在工程学和物理学领域。
空间曲线与曲面的参数方程与性质
空间曲线与曲面的参数方程与性质空间曲线和曲面是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的参数方程以及它们的性质。
一、空间曲线的参数方程与性质空间曲线是指在三维空间中由一组点构成的连续曲线。
为了描述和研究曲线的性质，可以使用参数方程来表示曲线上的点的坐标。
设曲线上的点的坐标为(x, y, z)，曲线的参数为t，则曲线的参数方程可以表示为：x=f(t)y=g(t)z=h(t)其中f(t)，g(t)，h(t)是t的函数，且在t的定义域上连续可导。
空间曲线的参数方程可以灵活地描述曲线的形状，在计算和分析上也更具优势。
根据具体的问题和曲线的特点，可以选择不同的参数方程来表达。
根据参数方程，可以计算曲线上各个点的切向量、曲率、弧长等性质。
切向量表示曲线在该点的切线方向，曲率描述曲线在该点的弯曲程度，而弧长则是曲线上两个点之间的距离。
二、空间曲面的参数方程与性质空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的连续曲面。
为了描述和研究曲面的性质，同样可以使用参数方程来表示曲面上的点的坐标。
设曲面上的点的坐标为(x, y, z)，曲面的参数为u和v，则曲面的参数方程可以表示为：x=f(u, v)y=g(u, v)z=h(u, v)其中f(u, v)，g(u, v)，h(u, v)是u和v的函数，且在参数域上连续可导。
空间曲面的参数方程可以将曲面分解成u和v两个变量的函数，对于复杂的曲面，参数方程的使用相对简单和便捷。
通过参数方程可以计算曲面上各个点的法向量、曲率、面积等性质。
法向量表示曲面在该点的法线方向，曲率描述曲面在该点的弯曲程度，而面积则是曲面上某一区域的大小。
三、空间曲线与曲面的参数方程的关系与应用空间曲线和曲面的参数方程之间存在密切的联系。
实际上，曲线可以被看作是曲面上的一条特殊轨迹。
通过曲线的参数方程，可以确定曲线在曲面上的位置和方向。
而通过曲面的参数方程，可以描述曲线所在的曲面的形状和性质。
高等数学：7-3曲面及空间曲线(1)
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
C : Gx, z 0.
方程 Hy,z 0, 在空间直角坐标系中表示：
母线平行于 x 轴的柱面, 其准线是 yOz 面上的曲线
C : Hy, z 0. 10
方程 x z 0, 在空间直角坐标系中表示：
母线平行于 y轴的柱面,
其准线是 xOz 面上的曲(直)线:
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
z Mx, y,z
•
R
M0 x0 , •y0 ,z0
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R,
o
y
x
或 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
（2） 2
方程(2) 就是以 M 0 x0 , y0 , z0 为球心 ,半径为 R 的球面方程.
叫做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线， 动直线 l 叫做柱面的母线。
z
y
z
O y2 2x
o
y
x
x xy0
y 2 2 x 表示母线平行于
z 轴, 准线是 xOy面上的抛物线
y 2 2 x 的抛物柱面。
x y 0 表示母线平行于
z轴, 准线是 xOy面上的直线
x y 0 且过 Z 轴的平面。 8
x2 y2 z2 1
（1）
x 2 y 12 z 12 1
（2）
求它们的交线 C 在 xOy面上的投影方程。
解：从（1）式减去（2）式并化简得：
y z 1
再以 z 1 y 代入（1），得交线 C 关于 xOy面的投影
柱面，方程为
x2 2y2 2y 0
于是两球面的交线在
xOy面上的投影曲线方程为
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
空间曲面与空间曲线【高等数学PPT课件】
研究空间曲面有两个基本问题：
S
（1）已知一曲面的几何轨迹， 建立曲面方程．
oy x F(x, y, z) 0
（2）已知一三元方程 F(x, y, z ) = 0 研究曲面形状．
以下给出几例常见的曲面：
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为
R 的球面方程.
z
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
y
0
.
o x
z
(3) y x 表示母线平行z轴的平面.
z
o
y
x
y x
平面
例2
y2 b2
z c
2 2
1
椭圆柱面
//x 轴
准线为：
y2 b2
z2 c2
x 0
1
x2 a2
y2 b2
1 双曲柱面
// z轴
准线为：
x2 a2
y2 b2
1
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴 准线为： x2 2 pz
交准线于点 M0 ( x0 , y0 ,1)( x02 y02 1),
OM OM0
即有 x0 y0 1 , x yz
即
x0
x z
,
y0
y, z
代入 x02 y02 1 得 x2 y2 z2 圆锥面 x
z
M
0
M
o y
常见锥面及方程:
x y2 z2 y x2 z2
o
y
x
该圆还可表示为下列形式:
x2 y2 z2 1
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。
通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。
1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。
对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。
对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。
与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。
1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。
对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。
对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。
第三节空间曲面与曲线
②过点(a,b,c)且与xoy面平行的平面方程:z=c
③坐标面yoz 、坐标面xoz以及过点(a,b,c)
且分别与之平行的平面方程为：
x=0; y=0; x=a; y=b
3. 球面方程： ①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为 半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 如： x2+y2+z2+2x-2y-2=0 特点：平方项系 数相同；没有交 2 2 2 2 整理得： (x+1) +(y-1) +z =2 叉项。 表示一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 一般我们将动直线L沿定曲线c平行移动所形 成的轨迹称为柱面。其中直线L称为柱面的母线， 定曲线c称为柱面的准线。
2 2 3x y 1 投影曲线方程 z 0
消去y得3x2+1-2z=0 投影柱面方程为3x2-2z-1=0
2 3x 2 z 1 1 投影曲线方程 y 0
消去x得z=1-y2
2 z 1 y 投影曲线方程
投影柱面方程为z=1-y2
例2:两个柱面x y a
2
2
2 和x 2
z a
2
2
的交线是一条空间曲线
x2 y2 z 2 1 例5：求曲线 2 2 2 x ( y 1) ( z 1) 1
在xOy面上的投影方程。
解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面 方程为 x 2 y 2 y 0
2.空间曲线的参数方程： F ( x, y, z ) 0 设空间曲线方程 G( x , y , z ) 0 如果选定一个适当的函数x=x(t)代入上述方程 组,并由它解出y=y(t),z=z(t)得 x x (t ) 方程组 y y (t ) 称为空间中曲线的参数方程。 z z (t ) 例3：如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等 角速度绕z轴旋转，同时，以等速度v沿平行于z轴 的正方向移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其 参数方程
空间中的曲面和曲线
柱面,
平行于 x 轴;
平行于 y 轴;
平行于 z 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线
柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线
准线 yoz 面上的曲线 l2.
母线
故所求方程为
例1. 求动点到定点
方程.
特别,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面 .
例：
求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：
旋转曲面方程为
交线为
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
,它与所给平面的
截线方程为
解
如图,
例
解答
交线方程为
在 面上的投影为
空间曲线的一般方程、参数方程．
( 必要时需作图 ).
三、柱面
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
的坐标也满足方程
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
定义3.
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
空间解析几何中的空间曲线与曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面在数学中，空间解析几何是研究空间中的点、直线、曲线和曲面等几何元素的学科。
其中，空间曲线和曲面是解析几何中的重要概念，对于研究空间中的形状和运动非常关键。
本文将介绍空间解析几何中的空间曲线与曲面，并对其相关性质进行探讨。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
常见的空间曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
下面以直线为例进行讨论。
1. 直线在空间解析几何中，直线可通过点和方向确定。
假设直线上有两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则直线的方向向量为AB(x₂-x₁,y₂-y₁, z₂-z₁)。
方向向量是指从点A指向点B的向量。
除了通过两个点来确定直线外，我们还可以使用点与方向向量的形式表示直线。
设直线上一点为P(x, y, z)，则直线的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中t为参数，同时a、b、c为方向向量AB的分量。
2. 抛物线、椭圆和双曲线在空间解析几何中，抛物线、椭圆和双曲线都是曲线的一种。
它们的方程可以通过二次方程来表示。
以抛物线为例，其方程一般形式为：Ax² + By² + Cz = 0其中A、B、C为实数，并且A和B不同时为零。
抛物线在空间中呈现出的形状取决于A、B和C的取值。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
常见的空间曲面包括平面、球面、圆锥曲面和椭球面等。
1. 平面在空间解析几何中，平面是由三个相互垂直的坐标轴确定的。
平面可以用一个点和一个法向量来表示。
假设平面上有一点P(x₁, y₁, z₁)，该平面的法向量为N(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0其中(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
2. 球面在空间解析几何中，球面是由一个固定点O和到该点距离相等的所有点构成的曲面。
空间曲面与空间曲线学习总结
面及其方程一曲面方程的概念空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。
因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。
为此，我们给出如下定义：若曲面S与三元方程F x y z(,,) 0(1)有下述关系：1、曲面S上任一点的坐标均满足方程(1)；2、不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)。
那么，方程(1)称作曲面S的方程，而曲面S称作方程(1)的图形。
下面，我们来建立几个常见的曲面方程。
【例1】球心在点),,(zyxM，半径为R的球面方程。
解：设M x y z (,,)是球面上的任一点，那么M M R 0=， 即：()()()x x y y z z R -+-+-=020202()()()x x y y z z R -+-+-=0202022(2)(2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。
反过来，不在球面上的点''''M x y z (,,)，'M 到M 0的距离M M R 0'≠， 从而点'M 的坐标不适合于方程(2)。
故方程(2)就是以M x y z 0000(,,)为球心，R 为半径的球面方程。
若球心在原点，即M x y z O 0000000(,,)(,,)=，其球面方程为x y z R 2222++=【例2】设有点A (,,)123和B (,,)214-，求线段AB 垂直平分面π的方程。
解：所求平面π是与A 和B 等距离的点的几何轨迹，设M x y z (,,)是所求平面上任意的一点，则AM BM =即：()()()()()()x y z x y z -+-+-=-+++-123214222222化简得26270 x y z-+-=这便是平面π的方程。
上述两例告诉我们如下事实：作为点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量x y z ,,之间的方程一般地表示点(,,)x y z的轨迹所形成的曲面。
曲面和空间曲线讲解
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例7 求yO z 平面上的曲线 f (y, z) = 0 绕z 轴旋转
一周所得空间曲面的方程.
解 设M1(0, y1, z1)是曲线 f (y, z) = 0上的一个 点， M(x, y, z) 是M1 在旋转过程中所产生
x
的任一点，则有
z
d M1(0, y1, z1)
准线: xOy 平面上的抛物线 y 2 = 2x.
母线: 与z 轴平行.
z
o x
y2 2x
y
S ：抛物柱面
返回
例5
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,
b 0)
S
{( x,
y,z) |
x2 a2
y2 b2
1}
准线: xOy 平面上的双曲线
z
x2 a2
y2 b2
1
母线: 与z 轴平行.
O
y
x
S ：双曲柱面
返回
例6 y = x
在 xy 平面上, y = x 是一条直线.
z
在空间直角坐标系 O - xyz 中，y = x 是一张平面. 它也可 以看成是以xy 平面上的直线 y = x 为准线，母线平行于z 轴 的柱面.
o x
y
y x
返回
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕该平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.
f ( x2 z2, y) 0
同样可讨论平面曲线
L’:
f
(
x, z) y0
0
绕x轴或z轴旋转所成的曲面方程.
返回
例 10 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一
第三节 曲面空间曲线的方程
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例4 方程
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2 特殊地：球心在原点时方程为 x y z R
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
例 3 已知 A(1,2,3) ，B( 2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
f y,
x 2 z 2 0.
例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为 的圆锥面方程． z
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
以下给出几例常见的曲面.
R 例 1 建立球心在点M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 的球面方程.
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当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
类似地,
椭球面
平面 xk (|k|<a) 与椭球面的交线也是椭圆；
平面 yk (|k|<b) 与椭球面的交线也是椭圆；
椭球面
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
椭球面的画法：
z
1．选择坐标系；
2．画坐标面与曲面的交线；
c
3．画出轮廓线。
O a x
b y
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
对于球面上任一点 M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2. 即: (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2
称上述方程为球面的标准方程.
特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2
M R
M0
曲面方程的概念
定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
y
o
a
x
单叶旋转双曲面
上题双曲线 绕 y 轴一周
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 z2 a2 c2 1
与平面 z z1 ( | z1 |
. 截面上圆的方程
x
2
c)
y
的交线为圆
2
a2 c2
(c2
z12
).
z z1
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
(2) 椭圆抛物面: x 2 y 2 2z （p 与q 同号） z p2 q2
截痕法
(1) S上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0;
(2) 不在S上点的坐标都 不满足方程F (x, y, z) =0;
z F (x, y, z) = 0
S
o
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲 面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
例2 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲 面?
z = ay
z a( x 2 y2 )
x
平方得:
y
z2 = a2 ( x2 + y2 )
该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x2
（1）双曲线 a 2
y2 b2
1 分别绕 x轴和 y 轴；
绕 x 轴旋转 x 2 y 2 z 2 1
S
将 z z1 , y1 x2 y2
代入
f ( y1, z1 ) 0
得S的方程：f ( x2 y2 , z) 0
P
M (x, y, z)
M1 (0, y1 , z1 )
z
z1 C
.
o
y1
y
x
方程 f x2 y2 , z 0
是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
双曲抛物面
（马鞍面）
x2 2p
y2 2q
z（p
与q
同号）
z
截痕法
p 0, q 0
用z = a截曲面
用x = 0截曲面
0
用y = b截曲面
x
y
.
(3)双曲面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
.
o
x
.
y
小结：
方程 f x2 y2 , z 0
是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
a2
b2
旋 转
双
绕 y 轴旋转 x 2 z 2 y 2 1
曲 面
a2
b2
双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
例2
（讨论柱面、二次曲面）
3.2 旋转曲面
ห้องสมุดไป่ตู้
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
双曲柱面
x2 y2 1 a2 b2
z
x
0
L
平面 x+y=1 z
y
0
y
x
L
抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
3.4 二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
解: 原方程可改写为
(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为5 的球面.
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程. 解 设M ( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
3.3 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
播放
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例5: 求直线 z = ay，x=0 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.
解: 将 y 用 x2 y2 代入直
z
线方程, 得
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C叫柱 面的准线，动直 线L叫柱面的母线.
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱