空间曲面和空间曲线
空间曲面与空间曲线
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
(球面方程的标准式)
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
将标准方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2 0 由此可见球面方程的特点
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
2 双曲面
z
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
o
x
o y
x
y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
3 抛物面
x2 y2 z （ p与 同q 号） 2 p 2q 设 p0,q0，图形如下：
椭圆抛物面
cz22
1
椭球面与平面 z z1
o y
的交线为椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12)
b2 c2
y2 (c2
x
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 x和x1 y的交y1线也是椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
§7.5 空间曲面与空间曲线
一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法
一 曲面方程的概念
1 曲面方程的定义
如果曲面 S 与三元方程
F (x,y,z)0
有下述关系：
（1） 曲面 S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F (x,y,z)0就叫做曲面 S的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
空间几何中的曲面方程与空间曲线的应用
空间几何中的曲面方程与空间曲线的应用在空间几何中，曲面方程和空间曲线是两个重要的概念。
曲面方程描述了一个在三维空间中具有特定形状和性质的曲面，而空间曲线则描述了一个在三维空间中的曲线路径。
这两个概念在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
一、曲面方程的基本概念与应用曲面方程是用来描述曲面形状和性质的数学方程。
在空间几何中，常见的曲面方程包括球面方程、柱面方程和锥面方程等。
1. 球面方程的应用球面方程是描述一个圆心和半径确定的球面的方程。
在物理学中，球面方程被广泛应用于描述天体运动、电荷分布以及声波传播等现象。
例如，根据球面方程可以计算出地球的形状和大小，并用于导航系统的定位。
此外，球面方程还可以用于计算球形容器的容积和表面积，对工程设计有着重要的意义。
2. 柱面方程的应用柱面方程是描述一个平行于一个直线轴的曲面的方程。
柱面在建筑设计和机械工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，柱面方程被用来描述建筑物的立柱和圆柱体结构，以确保结构的稳定性和坚固性。
另外，在机械工程中，柱面方程也被用来描述容器、管道和汽缸等具有圆柱形状的物体。
3. 锥面方程的应用锥面方程是描述由一条直线和一个尖点组成的曲面的方程。
锥面在物理学和光学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，锥面方程可以用来描述电荷分布和电场强度等现象。
在光学中，锥面方程被用来描述光学器件（如透镜）的形状和功能，进而实现光的聚焦和折射效果。
二、空间曲线的基本概念与应用空间曲线是描述一个在三维空间中的曲线路径的数学概念。
空间曲线的表示方法可以使用参数方程、一般方程和向量方程等多种形式。
1. 参数方程的应用参数方程是使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
参数方程在物理学和工程学中被广泛应用。
例如，在物理学中，使用参数方程可以描述粒子在空间中的运动轨迹，从而研究物体的速度、加速度等运动特性。
在工程学中，参数方程可以用于设计曲线形状的物体，如汽车车身曲线和船体曲线等。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在理解和描述物体的形状和运动过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨空间曲线与曲面的定义、性质以及其应用领域。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，在数学上通常表示为参数方程形式或者向量函数形式。
一条空间曲线由无数个点组成，这些点沿着曲线有一定的规律排列。
空间曲线具有以下性质：1. 长度：曲线的长度可以通过对参数范围进行积分计算得出。
长度为曲线上各点之间的距离之和。
2. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线与曲线相切。
切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处重合。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线曲率变化的速度。
曲率可以通过求曲线的曲率半径和弧长的比值得出。
二、空间曲线的应用空间曲线广泛应用于多个学科和领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
以下是空间曲线在相关领域中的应用举例：1. 物理学：在纳米尺度和宏观尺度的物理研究中，空间曲线被用于描述电磁场线、粒子轨迹、物质流动等。
通过分析空间曲线的性质，可以揭示物质的运动规律和相互作用方式。
2. 工程学：在工程设计和制造过程中，空间曲线用于描述物体的外形和运动轨迹。
例如，在航空航天领域，通过研究飞行器的曲线轨迹，可以优化设计以提高飞行效率和安全性。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的曲线建模技术使用空间曲线来表示和绘制三维对象。
空间曲线可以通过插值和逼近方法生成，使得计算机可以准确地表示和操作复杂的曲线形状。
三、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个二维平面，它由无数个点组成，并且在任意一点处都具有一个唯一的切平面。
在数学上，曲面可以用参数方程、隐函数方程或者二次方程等形式表示。
空间曲面具有以下性质：1. 切平面：曲面上的每一点都有一个唯一的切平面与其相切。
切平面是通过该点的一个二维平面，与曲面在该点处相切。
2. 法向量：曲面上的每一点都有一个对应的法向量，它垂直于曲面上的切平面。
空间曲面和空间曲线(IV)
球面曲线是球面上的一条封闭或非封 闭的曲线。例如，赤道和经线是球面 上的两条特殊的曲线。
抛物面与抛物线
抛物面
抛物面是三维空间中与一个定点等距的点的集合，其形状类 似于开口的抛物线。
抛物线
在平面几何中，抛物线是一条二次曲线，其形状类似于开口 的抛物线。
椭圆抛物面与椭圆抛物线
椭圆抛物面
椭圆抛物面是一种三维曲面，其形状类似于一个向上或向下开口的椭圆。
• 探索新的分类方法：目前对于空间曲面和空间曲线的分类方法还比较有限，未 来可以探索更多的分类方法，以便更好地理解和应用这些对象。如根据几何形 状、拓扑结构等进行分类；或者根据实际应用的需要进行分类等。
• 拓展应用领域：随着科技的发展，空间曲面和空间曲线在各个领域的应用越来 越广泛。未来可以进一步拓展其应用领域，如在机器人设计、生物医学工程、 虚拟现实等领域中应用空间曲面和空间曲线。
曲率描述了曲面或曲线在某一点 的弯曲程度，挠率则描述了曲面 或曲线在某一方向上的弯曲程度。
渐近线是描述曲面或曲线在无穷 远处行为的线，对于理解几何对
象的整体形态具有重要意义。
2023
PART 04
空间曲面与空间曲线的实 例分析
REPORTING
球面与球面曲线
球面
球面是三维空间中与一个定点等距的 点的集合，其形状类似于球体表面。
空间曲面是三维空间中由二维曲线沿着某一方向无限延伸形成的闭合曲面。
分类
根据形成方式，空间曲面可分为旋转曲面和非旋转曲面。旋转曲面是指由一条 平面曲线绕其平面上的一条直线旋转而成；非旋转曲面则包括柱面、锥面等。
常见的空间曲面
球面
圆锥面
抛物面
双曲面
由一个点绕着通过该点 的轴线旋转而成。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学几何学中的重要概念，它们在描述和分析三维物体的形状和特征时起着关键作用。
本文将就空间曲线和空间曲面的定义、性质和应用进行深入探讨。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，它由一系列相互关联的点组成。
可以用参数方程或者向量函数来表示，以便对其进行解析研究。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
直线是最简单的空间曲线，可由两个不同的点确定。
曲线则弯曲或扭转，并有无数个点组成。
闭合曲线是形状回到起点的曲线，如圆或椭圆。
空间曲线具有以下重要性质：1. 弧长：空间曲线的长度称为其弧长，可以通过对曲线进行参数化和积分计算得到。
2. 切线：对于空间曲线上的每个点，都有一个切线与其相切。
切线是曲线在该点弯曲方向上的极限。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲线的切线和法线计算得到。
4. 弯曲方向：曲线可以向左弯曲或向右弯曲，具体取决于曲线上连续两个点的位置关系。
二、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个连续平面，由一系列相关的点构成。
类似于空间曲线，空间曲面也可以用参数方程或者向量函数进行表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆锥面等。
平面是最简单的空间曲面，由无限多个平行于其自身的直线组成。
球面由到球心距离相等的点组成。
圆锥面则由一个尖点和无数个从尖点射出的直线构成。
空间曲面具有以下重要性质：1. 切平面：对于空间曲面上的每个点，都存在一个切平面与其相切。
切平面是曲面在该点处切割曲面所得的截面。
2. 法线：曲面上每个点都有一个法线垂直于曲面。
法线方向是指在该点处曲面向外的方向。
3. 曲率：曲面的曲率描述了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲面的切平面和法线计算得到。
4. 弯曲特性：曲面可以是凸的（向外弯曲）、凹的（向内弯曲）或既不凸也不凹。
三、空间曲线与空间曲面的应用空间曲线和空间曲面在实际应用中有着广泛的应用，特别是在工程学和物理学领域。
空间曲线与曲面的基本概念与性质
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
空间曲面与曲线 (2)
得到一组交线称为截口曲线（简称截口）。
通过这组平行平面上的截口（简称为平行截口）
的形状来分析曲面的大体形状，这种方法称为
截割法。
用平行于xOy坐标平面z=h(|h|≤c)截椭球面，截
口为
x2 y2
h2
a2
b2
1
c2
z h
30
当|h|=c时，截口是平面z=h上的一个点(0,0,c)或
c h2 b2 b
虚半轴平行于x轴，虚半轴长为
a h2 b2 b
它的顶点 0,h, c h2 b2
(0,0,-c);
当|h|<c时，截口是一椭圆，它的两半轴分别为
a
1
h2 c2
及b
h2 1 c2
它的两轴的端点分别是
a
1
h2 c2
,0,
h
与
0,b
1
h2 c2
,
h
31
椭球面的参数方程
x a cos cos
y z
b cos sin c sin
空间曲面与空间曲线
1. 球面 2.柱面 3.锥面 4.旋转曲面 5.二次曲面： 一、椭球面 6. 空间曲线
二、双曲面
三、抛物面
1
1. 球面
到定点P0 (x0 , y0 , z0 )的距离等于定长 r的点的轨迹叫球面 . 则球面方程是 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 r 2 , r是半径, P0 (x0 , y0 , z0 )是球心. 一般方程: x 2 y 2 z 2 Ax By Cz D,即
附录 空间曲面与空间曲线
2
2
河海大学理学院《高等数学》
例 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程． x2 z2 2 2 1 (1) 双曲线 a 分别绕 x 轴和 z 轴； c y 0 x2 y2 z2 旋 1 转 绕 x 轴旋转 2 2 a c 双 2 2 2 x y z 曲 1 绕z 轴旋转 面 a2 c2
二、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面 称为柱面. 这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L叫柱面的 母线. 观察柱面的形 成过程:
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二、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面 称为柱面. 这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L叫柱面的 母线. 观察柱面的形 成过程:
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五、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0 消去变量z后得：H ( x , y ) 0
曲线关于 xoy的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
河海大学理学院《高等数学》
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以下给出几例常见的曲面： 例 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 半径为R 的球面方程. 解 设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R
2 2 2
特别 球心在原点时方程为 x y z R
x x0 y y0 z z0 R 2 2 2 所求方程为 x x0 y y0 z z0 R2
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
本文将对空间曲线和空间曲面进行详细的介绍，并探讨它们的特性和性质。
一、空间曲线空间曲线是三维空间中的曲线，可以用参数方程或者向量方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点表示为参数 t 的函数，通常用向量形式表示。
向量方程则是直接用向量表示曲线上的点，一般形式为 r(t) =(x(t), y(t), z(t))，其中 x(t)，y(t)，z(t) 分别表示曲线在 x、y、z 轴上的坐标。
空间曲线可以分为直线和曲线两种形式。
直线是最简单的空间曲线，可以用一个点和一个方向向量来确定。
曲线则更为复杂，可以是一段圆弧、螺旋线或者任意曲线。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，可以用方程、参数方程或者向量方程来表示。
方程形式的空间曲面通常为 F(x, y, z) = 0，其中 F(x, y, z) 是一个关于 x、y、z 的函数。
参数方程和向量方程也可以用来表示空间曲面，其中参数方程将曲面上的点表示为参数 u、v 的函数，向量方程则直接用向量表示曲面上的点。
空间曲面可以分为封闭曲面和非封闭曲面。
封闭曲面是指四面都封闭的曲面，比如球体或者圆柱体。
而非封闭曲面则是有开口的曲面，比如抛物面或者双曲面。
三、空间曲线的特性和性质1. 切线与法线：空间曲线上的每个点都有一个切线和一个法线。
切线是与曲线相切的直线，其斜率等于曲线在该点的导数；法线则垂直于切线，并与切线构成曲线的法平面。
2. 弧长和曲率：空间曲线的弧长是曲线上的两点间距离。
曲率是衡量曲线弯曲程度的指标，可以通过曲线的切线和法线计算得到。
3. 参数化表示：空间曲线的参数化表示可以使曲线更加灵活，方便计算和研究。
不同的参数化方式可以得到不同的曲线形状。
四、空间曲面的特性和性质1. 曲面方程：空间曲面可以用方程、参数方程或者向量方程表示。
方程形式的曲面方程通常是一个关于 x、y、z 的等式，可以反映曲面上点的坐标特性。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。
通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。
1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。
对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。
对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。
与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。
1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。
对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。
对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。
空间曲面与空间曲线资料
S
y
N(x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x=0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
如图，取，为参数
则球心在原点的球面方程等价于：
x R sin cos
y
R
si n
si n
z R cos
0 2
0
x
z
N M（x,y,z）
R
y
Qθ
P
为球心在原点、半径为R的球面的参数方程。
一般地,曲面的参数方程
x x(u, v) 可表示为： y y(u, v)
z z(u, v)
二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的 母线.
一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
解: 原方程可改写为 (x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 5的球面.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）求曲面方程． （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
附-1_空间曲面与空间曲线
旋转一周的旋转曲面方程为
F x,
y 2 z 2 0.
xoz 坐标面上的已知曲线 F ( x , z ) 0 绕 x 轴旋转
一周的旋转曲面方程为
F x,
y 2 z 2 0.
xoz 坐标面上的已知曲线 F ( x , z ) 0 绕 z 轴
所求方程为
2
2 4 116 2 . x y 1 z 3 3 9
2
二、柱面
给定一曲线 , 如果动直线L沿曲线 平行移动 ,
则动直线L所形成的曲面,称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线. 观察柱面的形 成过程:
一、空间曲面与空间曲线
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1)曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程, 那 么 ， 方 程 F ( x, y, z ) 0 就 叫 做 曲 面 S 的 方 程，而曲面 S 就叫做方程的图形． 研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知一曲面的几何轨迹，建立曲面方程．
2 2 2 2
M
M
0
y
x
(1,0,0)
x y x 0 y0 用 x0 1, y0 z0 , z z 0 代入上式，化简得 2 2 2 x y 1 z , 即所求曲面方程为 2 2 2 x y z 1.
四、锥面 设空间一定点 P0 和一定曲线 , 过 上每一点引一 条过 P0 的直线，这些直线形成的曲面叫做锥面。 定点 P0 称为锥面的顶点. 定曲线 称为锥面的准线. 构成锥面的动直线, 称为 锥面的母线. 例1 试建立顶点在原点, 准线为 x y 1
8.3-8.4空间曲面、空间曲线及其方程
(4)
方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
注意：曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于:
z
C
o o
H (x, y) = 0 z=0
y
x
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面
上的投影曲线方程.
已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 例6 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1.求它们的交线C在xOy 面上的投影曲线的方程. 解 联立两个方程消去 z ,得 椭圆柱面
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例2
研究方程
表示怎样
的曲面. 解 配方得 故此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物 面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x y z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2
空间中的曲面和曲线的性质
空间中的曲面和曲线的性质空间中的曲面和曲线是几何学中的重要概念，它们具有许多独特的性质与特点。
本文将介绍空间中的曲面和曲线的定义、分类以及它们的特性。
一、曲面的定义和分类曲面是空间中的一个二维对象，它可以由平面曲线绕轴线旋转而成，或者由一组参数方程所确定。
曲面的分类根据其形状和性质可以分为以下几种类型。
1. 平面：平面是最简单的曲面，它由无限多个平行于一个固定平面的直线组成。
2. 曲线旋转曲面：这种曲面是由一条曲线绕某个轴线旋转而成，如圆锥面、圆柱面等。
3. 旋转曲面：旋转曲面是由一个平面曲线沿着某个固定轴线旋转形成的，如球面、椭球面等。
4. 参数曲面：参数曲面是由一组参数方程所定义的曲面，如二次曲面、旋转椭球面等。
二、曲面的性质1. 曲率：曲面的曲率描述了曲面的弯曲程度。
曲率越大，曲面越弯曲；曲率越小，曲面越平坦。
曲面上的每一点都有两个主曲率，它们是曲面上的两个最大曲率。
2. 切平面：曲面上的每一点都有一个切平面，切平面与曲面相切于该点。
切平面包含着曲面上的切线，它是曲面在该点的局部近似。
3. 法线：曲面上的每一点都有一个法线，法线垂直于曲面上的切平面，它表示曲面在该点的垂直方向。
4. 曲面的参数化：曲面可以由一组参数方程来表示，这些参数方程描述了曲面上每个点的坐标。
通过参数化，我们可以方便地计算曲面上的各种性质和曲面上点的坐标。
5. 曲面的交线：当两个曲面相交时，它们在相交处形成一条曲线，称为曲面的交线。
交线可以是直线，也可以是曲线，它们在相交处共享相同的点。
三、曲线的定义和分类曲线是一维的几何对象，它可以描述空间中的路径或轨迹。
曲线可以由参数方程或者隐式方程来描述，常见的曲线类型有以下几种。
1. 直线：直线是最简单的曲线，它由无限多个点组成，任意两点之间的线段都在直线上。
2. 抛物线：抛物线是由二次方程所定义的曲线，它具有对称轴和焦点。
抛物线可以向上开口、向下开口或者平行于x轴。
3. 椭圆：椭圆是由一个参数方程所定义的曲线，它是一个闭合的曲线。
空间曲面与空间曲线
2、
旋转曲面：
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所围成的 空间曲面叫做旋转曲面，旋转的平面曲线叫做母线，定直线叫 做轴。 z
M 0 ( x, y , z )
M 0 (0, y1 , z1 )
y
x
设在 yoz 平面上有一已知平面曲线 C，它的方程为：
f ( y, z) =0
把曲线围绕 Z 轴旋转一周， 就得到以 z 轴为轴的旋转空间曲 面，它的方程可以求得如下： ① ②
x 2 y 2 y1
f ( y1 , z1 ) =0
f ( x 2 y 2 , z1 ) =0
3、 柱面
平行于定直线，并延定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫 做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的 母线。
x
例子： 不含 z 的方程 x
2
y
2
r
2
表示在空间直角坐标系
空间曲面与空间曲线
一、空间曲面
1、 曲面方程的概念：
像在平面解析几何中一样，把平面曲线当作动点运动的轨 迹， 在空间解析几何中， 任何曲面也可以看成动点的运动轨迹， 在这样的意义下，如果曲面 S 与三元方程：
F ( x, y, z) =0
有下述关系：
① 曲面 S 上任何一点都满足上述方程。 ② 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足上述方程。 那末，上述方程叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 叫做方程的图形。
内的圆柱面，它的母线平行与 Z 轴，它的准线为 xoy 平面内的 圆x
2
y
2
r
2
。
二、空间曲线
1、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看做是两个空间曲面的交线：
微积分中的空间曲线与空间曲面方程
微积分中的空间曲线与空间曲面方程微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化与极限。
在微积分中，我们经常会遇到空间曲线和空间曲面方程的问题。
本文将探讨微积分中的空间曲线与空间曲面方程的相关知识。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一系列点组成的曲线。
在微积分中，我们通常使用参数方程来描述空间曲线。
参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
例如，对于一条空间曲线C，我们可以使用参数t来表示曲线上的点的坐标，即(x(t), y(t), z(t))。
在研究空间曲线时，我们经常需要计算曲线的长度、曲率等属性。
曲线的长度可以通过弧长公式来计算，即L = ∫ds，其中ds表示弧长元素。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以通过曲线的切线和曲率半径来计算。
曲率半径R可以通过公式R = (1/k)来计算，其中k是曲线的曲率。
二、空间曲面方程空间曲面是指在三维空间中由一系列点组成的曲面。
在微积分中，我们通常使用隐式方程或参数方程来描述空间曲面。
隐式方程是通过将曲面上的点的坐标代入方程得到的等式，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲面上的点的坐标，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
在研究空间曲面时，我们经常需要计算曲面的切平面、法向量等属性。
曲面的切平面是指与曲面相切且与曲面的法向量垂直的平面。
切平面可以通过曲面上一点的法向量和该点的切向量来确定。
曲面的法向量是指与曲面上任意一点的切平面垂直的向量，可以通过曲面的方程来计算。
三、应用举例现在我们来看一个应用举例，以帮助更好地理解微积分中的空间曲线与空间曲面方程。
假设我们有一个空间曲线C，其参数方程为：x(t) = cos(t)y(t) = sin(t)z(t) = t我们希望计算曲线C在区间[0, 2π]上的长度。
根据弧长公式，曲线C的长度可以表示为：L = ∫ds其中，ds表示弧长元素，可以表示为：ds = √(dx^2 + dy^2 + dz^2)将曲线C的参数方程代入上式，可以得到：ds = √((-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2) dt= √(2) dt因此，曲线C在区间[0, 2π]上的长度可以表示为：L = ∫√(2) dt= √(2) t |[0, 2π]= √(2) (2π - 0)= 2√(2)π通过以上计算，我们得知曲线C在区间[0, 2π]上的长度为2√(2)π。
空间解析几何中的空间曲线与曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面在数学中，空间解析几何是研究空间中的点、直线、曲线和曲面等几何元素的学科。
其中，空间曲线和曲面是解析几何中的重要概念，对于研究空间中的形状和运动非常关键。
本文将介绍空间解析几何中的空间曲线与曲面，并对其相关性质进行探讨。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
常见的空间曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
下面以直线为例进行讨论。
1. 直线在空间解析几何中，直线可通过点和方向确定。
假设直线上有两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则直线的方向向量为AB(x₂-x₁,y₂-y₁, z₂-z₁)。
方向向量是指从点A指向点B的向量。
除了通过两个点来确定直线外，我们还可以使用点与方向向量的形式表示直线。
设直线上一点为P(x, y, z)，则直线的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中t为参数，同时a、b、c为方向向量AB的分量。
2. 抛物线、椭圆和双曲线在空间解析几何中，抛物线、椭圆和双曲线都是曲线的一种。
它们的方程可以通过二次方程来表示。
以抛物线为例，其方程一般形式为：Ax² + By² + Cz = 0其中A、B、C为实数，并且A和B不同时为零。
抛物线在空间中呈现出的形状取决于A、B和C的取值。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
常见的空间曲面包括平面、球面、圆锥曲面和椭球面等。
1. 平面在空间解析几何中，平面是由三个相互垂直的坐标轴确定的。
平面可以用一个点和一个法向量来表示。
假设平面上有一点P(x₁, y₁, z₁)，该平面的法向量为N(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0其中(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
2. 球面在空间解析几何中，球面是由一个固定点O和到该点距离相等的所有点构成的曲面。
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质空间曲线和空间曲面是高等数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，可由参数方程、一般方程或向量方程来描述。
1. 参数方程空间曲线的参数方程给出了曲线上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)的曲线在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))。
2. 一般方程空间曲线的一般方程为F(x, y, z) = 0。
例如，x^2 + y^2 + z^2 = 4表示一个球面。
3. 向量方程空间曲线的向量方程用向量表示曲线上任一点，用参数表示向量的方向。
例如，r(t) = ai + bj + ck表示一个向量r在三维空间中随参数t改变的轨迹。
二、空间曲线的性质空间曲线有着一些重要的性质，包括弧长、切向量和曲率等。
1. 曲线的弧长曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。
利用参数方程，可以通过积分计算曲线的弧长。
2. 曲线的切向量曲线的切向量表示曲线在某点的切线方向，其方向是曲线在该点的切线方向，模为单位长度。
切向量与曲线的切线垂直。
3. 曲线的曲率曲线的曲率衡量了曲线的弯曲程度。
曲率的倒数称为曲率半径，表示曲线上某点处的曲线在该点的局部半径。
三、空间曲面的基本概念空间曲面是指在三维空间中的一个二维曲面，可由一般方程或参数方程来描述。
1. 参数方程空间曲面的参数方程给出了曲面上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)的曲面在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))。
2. 一般方程空间曲面的一般方程为F(x, y, z) = 0。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是微积分和几何学中的重要概念，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
它可以用参数方程或者向量函数来表示。
例如，对于参数方程来说，一条空间曲线可以表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中x、y、z分别表示曲线上的点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)则是关于参数t的函数。
通过改变参数t的值，我们可以得到曲线上的不同点。
空间曲线有许多重要的性质。
其中之一是曲线的切线方向。
在曲线上的任意一点P，曲线的切线方向是通过该点的一条直线，它与曲线在该点的切线相切。
曲线的切线方向可以通过求曲线在该点的导数来得到。
另一个重要的性质是曲率。
曲线的曲率描述了曲线的弯曲程度。
曲线的曲率可以通过求曲线的曲率半径来得到。
曲率半径是曲线在某一点处的切线与曲线在该点的曲率圆的半径。
曲线的曲率半径越小，曲线的弯曲程度越大。
空间曲线在物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以通过描述物体的运动轨迹来研究物体的运动状态。
而物体的运动轨迹可以用空间曲线来表示。
另外，在电磁学中，我们可以通过描述电流在导线中的流动来研究电磁场的分布。
而电流的流动路径可以用空间曲线来表示。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
它可以用隐函数方程或者参数方程来表示。
例如，对于隐函数方程来说，一个空间曲面可以表示为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是关于x、y、z的函数。
通过满足隐函数方程的点，我们可以得到曲面上的点。
空间曲面也有许多重要的性质。
其中之一是曲面的法线方向。
在曲面上的任意一点P，曲面的法线方向是垂直于曲面在该点的切平面的方向。
曲面的法线方向可以通过求曲面在该点的梯度来得到。
另一个重要的性质是曲面的曲率。
曲面的曲率描述了曲面的弯曲程度。
曲面的曲率可以通过求曲面的主曲率来得到。
空间曲线与曲面的方程
空间曲线与曲面的方程一、空间曲线的方程空间曲线是在三维空间中的曲线，通常由参数方程给出。
参数方程由参数变量表示曲线上的点的位置，从而描述了曲线的形状。
下面我们来讨论一些常见的空间曲线的方程。
1. 直线的方程直线是最简单的一种空间曲线，可以用一条方程来表示。
直线的方程通常由点斜式或者两点式给出。
- 点斜式：对于一个直线上的点P(x, y, z)，斜率为m，已知直线上另一点Q(x1, y1, z1)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x - x1) = (y - y1) / (y - y1) = (z - z1) / (z - z1)- 两点式：已知直线上两点P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)2. 圆的方程圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，可以通过参数方程或者一般方程来表示。
- 参数方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：x = x0 + r * cos(t)y = y0 + r * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
- 一般方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^23. 椭圆的方程椭圆是一个平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的方程也可以通过参数方程或者一般方程来表示。
- 参数方程：对于一个椭圆的中心点C(x0, y0, z0)，长轴a，短轴b，椭圆的方程可以表示为：x = x0 + a * cos(t)y = y0 + b * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
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M(x, y,0)
在柱面上任意取一点 M (x, y, z ) ，过点 M 作平行于z 轴的
直线，交xoy 坐标面于点M(x, y, 0 ) ，由柱面的定义可知 点 M 必在准线 C 上。故点M 的坐标满足方程F (x, y) 0 ， 由于点 M 与点M 有相同的横坐标和纵坐标，故点 M 的坐
XYZ
z
z
其中 M (x, y, z) 是母线上的任意一点。
∵点ax 22M1
(yX2, b2
Y,
Zcz)22在准0线上a，b
x
2
y2
a2z2 c2
0
∴
X a
2 2
椭 Y圆b22锥面1，把X
Z c
Z z
x
，Y
圆Z y锥代面入，得
z
(
Z z
x)2
柱面方程： z 2 + 8 y =64， 故曲线L 关于yoz 平面的投影曲线是一段抛物线：
z 2
8y
64
（0
y
8
）。
x 0
§7.4.3 锥面
1．锥面的定义
已知一条定曲线 C 及不在 C 上的 一定点 M，动直线 L 过点 M 沿 C 移 动所形成的曲面称为锥面。动直线 L 称为锥面的母线，点 M 称为锥面的 顶点。曲线 C 称为锥面的准线。 2.锥面的的方程
x r cos
y
r
sin
z b
这时b v ，而参数为 。
（三）空间曲线在坐标面上的投影
L
1．空间曲线在平面上的投影的概念
已知空间曲线L 和平面 ，从
L 上各点向平面 作垂线，垂足
L1
所构成的曲线L1 称为曲线L 在
平面 上的投影曲线。准线为曲
线 L 而母线垂直于平面 的柱面称为空间曲线L 关于平面
o
y
解：
x 2
x
2
y2 y2
z2 2z
3
(1) ( 2)
x
(1)－(2)得 z2 2z 30 ，(z 3)(z 1) 0 ，
z 3 （舍去），z 1 。
交线L 的方程也可表示为：x2 y 2 z 2 3 ， 消去 z， z 1
故方程 1(x, y) 0 所表示的柱面就是曲线 L 关于xoy 面的
投影柱面。
而方程
1(x, y) 0 z 0
就是曲线 L 在xoy
面上的投影曲
线的方程。
同样，从曲线 L 的方程中分别消去 x 与 y ，得到柱面方程
2 ( y, z) 0 与3 (x, z) 0 ，
则
2 ( y, z) 0 x 0
与
3 (x, z) 0 y 0
分别是曲线 L 在
yoz 平面和xoz 平面上的投影曲线的方程。
z
例 9．求球面 x 2 y 2 z 2 3 与
旋转抛物面 x 2 y 2 2z 的交线L
在 xoy 平面上的投影曲线方程。
若锥面方程是关于x 、y 、z 的二次式，则称之为二次锥面。
例 1．求顶点为坐标原点，
z
准线是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
z c
M1
zc
的锥面方程。
o
y
解：过顶点o(0,0,0) 和准线上的
x
点 M1( X ,Y , Z ) 的母线方程为
x y z ，即X Z x ，Y Z y ，
a2
(Z y)2 z b2
1，化简得
Z c
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
0，
即为所求锥面（称为椭圆锥面）的方程。
这是一个x, y, z 的二次齐次方程。
例 2．求顶点为M (3, 1, 2) ，准线为x 2 y 2 z 2 1 x y z 0
而 L 的 方程为 x x y y z z ，其参数方程为
1 0
1
x xt x xt
y
y
y
y
代入准线方程，得
z zt z z t
(xt)2 y2 (z t)2 1 () 2(xt)2 2 y2 (z t)2 2 ( )
这样就可省略消去 z 的过程。
例
10．求曲线L
：
x x
2 2
y2 y2
z2 8y
64
在xoy
、yoz
平面上的
投影曲线的方程。 解：曲线L 在xoy 平面上的投影曲线方程为x2 y 2 8y 。
z 0 从曲线L 的方程中消去 x，得曲线L 关于yoz 平面的投影
得交线L 关于xoy 平面的投影柱面方程：x2 y2 2 。
∴交线L 在xoy 平面上的投影曲线方程是 x2 y2 2 ， z 0
它在 xoy 平面上是以（0，0，0）为圆心，2 为半径的圆。
如果在曲线L 的方程中，出现有一个缺 z 项的方程时， 那么此方程所表示的曲面正巧是经过曲线L 且母线平行 于 z 轴的柱面，它就是曲线L 关于xoy 平面 的投影柱面，
6．方
x
0
,
y0, z0
)
z
z2 x2 1
表示两个圆柱的交线L 在 第一卦限的部分。
此曲线亦可用方程组
x2
y
2
1
(
x
0
,
y0, z0
)表示。
o
y
y z 0
x
例
7．方程组
x2
y2
4
表示在z
1
平面上的圆。
z 1
C L
M
设锥面的准线C
的方程为
F1
(
x,
y,
z)
0,
F2 (x, y, z) 0.
其顶点为 M (x, y, z) ，则通过顶点M (x, y, z) 和准线 C
上的点M1 ( X ,Y , Z ) 的母线方程为
z
x x y y z z ， X x Y y Z z 其中点 M (x, y, z) 是母线上的任意一点。
标也满足方程 F (x, y) 0 。
反之，如果空间一点 M (x, y, z ) 满足方程F (x, y) 0 ， 则过点 M (x, y, z ) 且与z 轴平行的直线必通过准线 C 上 的点 M(x, y, 0 ) ，即 M (x, y, z ) 必在柱面上，因此方程 F (x, y) 0 在空间表示以xoy 平面上的曲线C 为准线， 母线平行于z 轴的柱面方程。
§7.4 空间曲面和空间曲线
本节以两种方式来讨论空间曲面： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。
7.4.1 球面与柱面
（一）球面 空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。
求球心在点M (x, y, z) ，半径为 R 的球面方程。 设M (x, y, z) 为球面上的任一点，则有 MM R ， 即 (x x)2 ( y y)2 (z z)2 R ，化简得：
垂足为Q(x, y, 0 ) ，则从P 到P 所 经过的角 t ，上升的高度为
oP
y
QP vt ，即质点的运动方程为： x
P Q
x r cost
y
r
sin
t
z vt
此方程称为圆柱螺旋线方程。
也可以用其它变量作参数；例如令 t ， 则螺旋线方程为
方程组
x
2
y2
4
表示在xoy
平面上的圆。
z 0
（二）空间曲线的参数方程
空间曲线L 上动点 M 的坐标x, y, z 也可以用另一个 变量t 的 函数来表示， 即
x x(t)
y y(t)
②
z z(t)
当t 取定一个值时，由方程组②就得到曲线上一点的
坐标，通过t 的 变动，可以得到曲线上所有的点，方程 组②称为曲线 L 的 参数方程，t 为 参数。
的锥面方程。
解：设 M (X ,Y ,Z ) 是准线上的任一点，则M点与顶点M
构成的直线L应在 所求锥面上，而直线L的方程为
x3 y1 X 3 Y 1
z2 Z 2
( 1), t
变换方程的形式为
X 3(x 3)t ，Y 1 ( y 1)t ，Z 2 (z 2)t ，
2()()得 (zt)2 0 ，故t z ，
代入()和()中，消去 t ，
则得所求柱面方程为(x z)2 y 2 1 。
7.4.2 空间曲线
（一）空间曲线的一般方程
空间曲线L 可以看作两个曲面1 与2 的交线。若曲 面1 与 2 的方程分别为F (x, y, z) 0 与G(x, y, z) 0 ， 则其交线L 的方程为
M1 M
当点 M1( X ,Y , Z ) 在曲线 C 上移动时，
M
o
y
点 M (x, y, z) 就是锥面上的点。
x
因为
M
1
(
X
,Y
,
Z
)
是准线上的点，所以满足方程