空间曲线地切线与空间曲面地切平面
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
空间曲线的切线与法平面公式
空间曲线的切线与法平面公式空间曲线的切线与法平面公式在几何学中，空间曲线是指在三维坐标系中的曲线。
对于空间曲线上的一点，我们可以通过求取该点处的切线和法平面来描述曲线的性质和特征。
切线是指与曲线相切且方向与曲线在该点处相切的线段。
切线的存在使得我们能够研究曲线在该点处的切向性质。
对于空间曲线上的点 P(x_0, y_0, z_0)，其切线可以通过求取曲线的导数来获得。
设曲线的参数方程为 x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)，其中 t是参数。
我们可以通过对 t 求导得到曲线在该点处的切向量 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。
切点 P 在曲线上的切线向量可以表示为 (dx/dt,dy/dt, dz/dt)|_(x=x_0, y=y_0, z=z_0)。
这个向量可以用来表示切线的方向和斜率。
根据切线向量的定义，我们可以计算出切线的一般方程。
设 M(x, y, z) 是曲线上的一点，并且切点 P(x_0, y_0, z_0) 在曲线上。
那么切线的一般方程可以表示为：(x - x_0) / (dx/dt) = (y - y_0) / (dy/dt) = (z - z_0) / (dz/dt)其中，dx/dt，dy/dt，dz/dt 分别表示曲线在 P 点处的方向导数。
这一表达式可以帮助我们找到曲线上任意一点处的切线。
除了切线，法平面是另一个重要的概念。
法平面是与切线垂直的平面，它与切线相交于曲线上的一点。
通过求取曲线的法向量，我们可以得到法平面的方程。
如果曲线是光滑且参数化的，我们可以通过求取切线向量的两个非零向量的叉乘来获得法向量。
设切线向量为 T，那么法向量可以表示为N = T × T'，其中 T' 是关于参数 t 的导数向量。
这样，法平面的一般方程可以表示为：N · (r - r_0) = 0其中 N 是法向量，r 是平面上一点的位置向量，r_0 是曲线上一点的位置向量。
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ,)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点,B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线,当A B →时,若AB 趋于一条直线,则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零即空间的曲线C 为光滑曲线,则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为也可以写为当A B →时,0t t →,割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x ''',此即为切线的方向向量,所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面,法平面方程为如果空间的曲线C 由方程为且)(),(0'0'x z x y 存在,则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是法平面方程为如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交,由方程组 确定时,假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ,在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数有)(),(0000x z z x y y ==,),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=;于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是 即法平面方程为类似地,如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂Ay x G F 或0),(),(≠∂∂Ax z G F 时,我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式;所以,当向量时,空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r例 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程． 解 当πθ=时,曲线过点()πb a ,0,-,曲线在此点的切线方向向量为{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ,所以曲线的切线方程为bt z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-． 即 b b z a y a x π-=-=+0． 二、空间曲面的切平面与法线设曲面S 的一般方程为取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点,设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续偏导数,且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ;设c 为曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===,我们有 上式对t 在0t t =求导得到因此,曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量 垂直,于是这些切线都在一个平面上,记为α,平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面,向量n称为法向量;S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线,它的方程为 设曲面S 的方程为若),,(z y x F 在S 有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ,则称S 是光滑曲面;由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线;若曲面S 的方程的表示形式为 ),(y x f z =,这时,容易得到S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为 法线方程为我们知道,函数),(y x f z =在点),(00y x 可微,则由Taylor 公式知))()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说,函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似代替,误差为2020)()(y y x x -+-的高阶无穷小;若曲面S 的方程表示为参数形式设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===,),,(0000z y x P 为曲面上一点;假设在),,(0000z y x P 有0),(),(0≠∂∂=P v u y x J ,在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数即x 和y 的逆映射 满足),(),,(000000y x v v y x u u ==;于是,曲面S 可以表示为由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，两边分别同时对y x ,求偏导得到故所以,S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为 法线方程为例 求曲面zxy z ln+=在点)1,1,1(的切平面和法线方程; 解 曲面方程为0ln ),,(=-+=z zxy z y x F ,易得}2,1,1{-=→n切面方程为 即02=-+z y x . 法线方程为习题1．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．2．求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．3．求曲面xy z arctan =在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程;4;证明曲面)0(3>=a a xyz 上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值;5．证明曲面)(xy xf z =上任意一点的切平面过一定点;第七节 极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似,我们可以引入多元函数的极值概念;定义 n 元函数),,,(21n x x x f 在点),,,(002010n x x x P 的一个邻域⊂)(0P U n R 内有定义;若对任何点)(),,,(021P U x x x P n ∈ ,有)()(0P f P f ≥或)()(0P f P f ≤则称n 元函数),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 取得极大或极小值, ),,,(002010n x x x P 称为函数),,,(21n x x x f 的极大或极小值点;极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点;类似一元函数,我们称使得n 元函数),,,(21n x x x f 的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点;我们有如下定理;定理 若),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的极值点,且),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 的一阶偏导数存在,则),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的驻点;证 考虑一元函数)2,1)(,,,,()(001n i x x x f x ni i ==φ,则i x 是)(i x φ的极值点,Fermat 马定理告诉我们,可导函数在极值点的导数是零,于是和一元函数类似,反过来,驻点不一定是极值点;而偏导数不存在的点也有可能是极值点;判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多,下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理;定理 若),(000y x P 为二元函数),(y x f 的驻点,且),(y x f 在),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中有二阶连续偏导数;令2B AC CB B A Q -==,则（1） 当0>Q 时,若0>A ,),(y x f 在),(000y x P 取极小值；若0<A ,),(y x f 在),(000y x P 取极大值；（2） 当0<Q 时,),(y x f 在),(000y x P 不取极值；（3） 当0=Q 时,),(y x f 在),(000y x P 可能取极值,也可能不取极值; 例 求函数)6(32y x y x z --=的极值; 解 解方程组得驻点为)3,2(0P 及直线0,0==y x 上的点;对)3,2(0P 点有0,144,108,1622>--=-=-=B AC C B A ,于是函数z 在)3,2(0P 取积大值108)(0=P z ; 容易判断,满足条件⎩⎨⎧<<=600y x 的点为函数z 的极小值点,极小值为0；满足条件的⎩⎨⎧<=00y x 和⎩⎨⎧>=6y x 的点为函数z 的极大值点,极大值为0; 一、 最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题,即如何用最小的成本获取最大利益的问题,这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题;我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点,统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值;1、 一元函数设)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数,则)(x f 在],[b a 上一定有最大值和最小值;区间的两个端点a 和b 可能成为其最值点,而如果最值点在开区间),(b a 取得的话,则一定是)(x f 的极值点,即是)(x f 的驻点或是使导数)('x f 不存在的点;假设)(x f 的所有驻点是11211,,k x x x ,使导数)('x f 不存在的点是22221,,m x x x ,那么例 求抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点;解 设),(y x 是抛物线x y 22=上的点,则),(y x 与)4,1(的距离是考虑函数2)(d y f =,由0)('=y f ,得到唯一驻点2=y ,于是抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点是)2,2(2、多元函数类似一元函数,n 元函数),,,(21n x x x f 的最值问题就是求),,,(21n x x x f 在某个区域⊂D n R 上的最大值和最小值,我们只需求出),,,(21n x x x f 在D 内部的所有极值和边界上最值,从中比较就可以选出),,,(21n x x x f 在D 上的最值;例 求平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离;解 设),,(z y x 是平面42=++z y x 上的点,则),,(z y x 与)2,0,1(-的距离是 考虑函数2),(d y x f =,由0,0'==y x f f ,得到唯一驻点)3/5,6/11(,于是平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离是665)3/5,6/11(=d 三、条件极值问题和Lagrange 乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n 元函数),,,(21n x x x f ,然后求其极值或最值,是无条件极值问题,但是,更多的极值和最值问题是有约束条件的,即条件极值问题;一般来说,条件极值问题是指：求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m nn 下的极值; 我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m 个变量,从而转化为上一节的无条件极值问题来解决,但是,消元法往往比较困难甚至是不可能的,所以,我们需要给出一种新的方法来求条件极值;下面我们介绍拉格朗日乘子法;我们以二元函数为例来说明,即：求目标函数),(y x f z =在一个约束条件0),(=y x F 限制下的极值问题;假设点),(000y x P 为函数),(y x f z =在条件0),(=y x F 下的极值点,且0),(=y x F 满足隐函数存在定理的条件,确定隐函数)(x g y =,则0x x =是一元函数))(,(x g x f z =的极值点;于是 由隐函数存在定理得到 令λ=),(),(0000y x F y x f y y ,于是极值点),(000y x P 需要满足三个条件：因此,如果我们构造拉格朗日函数其中,λ称为拉格朗日乘子,则上面三个条件就是也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题;用这种方法去求可能的极值点的方法,称为拉格朗日乘子法;类似地,求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m nn 下的极值时,我们可以构造相应的拉格朗日函数为于是,所求条件极值点满足方程组例横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆,其表面积等于S ,问其尺寸怎样时,此盆有最大的容积解 设圆半径为r ,高为h ,则表面积)0,0)((2>>+=h r rh r S π,容积h r V 221π=; 构造拉格朗日函数 解方程组 得到ππ32,300S h S r ==,这时33027πS V =; 由实际情况知道,V 一定达到最大体积,因此,当00232r Sh ==π时,体积最大; 习题1． 求函数xy y x z 333-+=的极值; 2． 求函数22442y xy x y x z ---+=的极值; 3．求椭圆4422=+y x 上与)0,1(最远的点 4．求平面1=-+z y x 与点)1,1,2(-的最短距离; 5．求曲面12+=xy z 上与)0,0,0(最近的点6．已知容积为V 的开顶长方浴盆,问其尺寸怎样时,此盆有最小的表面积7．求用平面0=++Cz By Ax 与椭圆柱面12222=+by a x 相交所成椭圆的面积;第八节 导数在经济学中的应用一、导数的经济意义 1．边际函数定义 设函数)(x f y =可导,则导函数)('x f 在经济学中称为边际函数; 在经济学中,我们经常用到边际函数,例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等,它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题,都反映了导数在经济学中的应用;成本函数)(x C 表示生产x 个单位某种产品时的总成本;平均成本函数)(x c 表示生产x个单位某种产品时,平均每个单位的成本,即xx C x c )()(=;边际成本函数是成本函数)(x C 相对于x 的变化率,即)(x C 的导函数)('x C ;由微分近似计算公式我们知道令1=∆x ,我们有)()1()('x C x C x C -+≈,也就是说,边际成本函数)('x C 可以近似表示已经生产x 个单位产品后再生产一个产品所需要的成本;在生产中,我们当然希望平均成本函数)(x c 取得极小值,这时,我们可以得到0)('=x c即则0)()('=-x C x xC ,于是我们得到)()('x c x C =;因此,平均成本函数)(x c 取得极小值时,边际成本函数和平均成本函数相等;这在经济学中是一个重要原则,就是说在生产中,当边际成本函数低于平均成本函数时,我们应该提高产量,以降低平均成本；当边际成本函数高于平均成本函数时,我们应该减少产量,以降低平均成本; 例 设某种产品生产x 个单位时的成本为21.02250)(x x x C ++=;求（1） 当生产产品100单位时的边际成本和平均成本； （2） 当生产产品数量为多少时平均成本最低; 解 1边际成本函数和平均成本函数为 于是,5.14)100(,22)100('==c C2平均成本函数)(x c 取得极小值时,边际成本函数和平均成本函数相等,即 因此,当生产产品数量为50时平均成本最低; 类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数;需求函数)(x p 表示销售x 单位某种产品时的单个产品的价格;那么,)(x p 是x 的单调减少函数;收益函数是)()(x xp x R =,边际收益函数是)('x R ;利润函数是 边际利润函数是)('x P ;当利润函数取极大值时,0)()()('''=-=x C x R x P ,于是,)()(''x C x R =,也就是说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本;为了保证取得最大利润还需要下面条件即)()(''''x C x R <;所以,当)()(''x C x R =且)()(''''x C x R <时取得最大利润;例设某种产品生产x 个单位时的成本为320003.001.028.127)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.028.10)(-=;当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润 解 收益函数是 由)()(''x C x R =得到 我们得到100=x ;容易验证对任意0>x 有)()(''''x C x R <;所以,当生产产品数量达到100单位水平可以取得最大利润;2．弹性在经济学中我们常常用到弹性的概念,弹性也是一种变化率问题,与导数概念密切相关;定义 设函数)(x f y =在点0x 可导,则称00x x yy ∆∆为函数)(x f y =在点0x 与x x ∆+0两点间的弹性；称00x x yy ∆∆在0→∆x 时的极限为函数)(x f y =在点0x 的弹性,记为x x ExEy =或)(0x f ExE即如果)(x f y =在),(b a x ∈可导,相应地,我们可以给出),(b a 上弹性函数的定义当x 很小时,我们有近似计算公式也就是说,函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比,上式表示当x 从0x 产生001的改变时, )(x f y =改变000)(x f ExE需求函数)(p f Q =表示在价格为p 时,产品的需求量为Q ;需求函数)(p f Q =是单调减少函数,)(p f Q =的反函数也称为需求函数,就是我们前面提到的需求函数)(x p ;需求函数)(p f Q =对价格p 的导数称为边际需求函数;需求函数)(p f Q =的弹性为由于)(p f Q =是单调减少函数,因此0≤EpEf; 收益函数)()(p pf pQ p R ==,于是令EpEfE d =,我们有 若1<d E ,则需求变动幅度小于价格变动幅度,称为低弹性,这时,0)('>p R ,)(p R 是单调增加函数;也就是说当价格上涨时收益增加, 当价格下跌时收益减少;若1>d E ,则需求变动幅度大于价格变动幅度,称为高弹性,这时,0)('<p R ,)(p R 是单调减少函数;也就是说当价格上涨时收益减少, 当价格下跌时收益增加;若1=d E ,则需求变动幅度和价格变动幅度相同,称为单位弹性,这时,0)('=p R ;也就是说当价格改变时,收益没有变化;类似上面对需求弹性的研究,我们也可以讨论供给弹性;供给函数)(p Q ϕ=是指商品生产商的供给量Q 与价格p 之间的关系函数;)(p Q ϕ=是单调增加函数;边际供给函数是)(p Q ϕ=对价格p 的导数,供给弹性函数是例 设某种产品的需求函数为p Q 5100-=,其中价格)20,0(∈p ; 1求需求函数Q 的弹性EpEQ； 2用需求弹性说明价格在什么范围变化时,降低价格反而使收益增加; 解 1需求函数Q 的弹性20-=p pEp EQ ; 2容易得到当2010<<p 时,1>=EpEQE d ,这时,0)('<p R ,当价格下跌时收益增加;二、其它应用举例导数在经济学中有很多应用,下面举一些例题说明;首先,我们考虑连续复利率问题;假设初始资金为0A ,如果年利率为r ,那么,t 年后资金为t r A t A )1()(0+=;通常情况下是一年多次计息,假设一年n 次计息,那么 我们这里是连续复利率计算问题,令∞→n 得到 于是,我们得到连续复利率计算公式rt e A t A 0)(=;例某企业酿造了一批好酒,如果现在就出售,总收入为0R ,如果贮藏起来,t 年后出售,收入为520)(t eR t R =;如果银行年利率为r ,并且以连续复利率计算,问贮藏多少年后出售可以使收入的现值最大;解 由连续复利率计算公式,t 年后的总收入)(t R 的现值)(t X 为 由0)('=t X 得,2251r t =年;故贮藏2251r年出售,总收入的现值最大; 下面,我们再举一个其它应用题;例 某企业生产某型号仪器,年产量A 台,分几批生产,每批生产准备费为B 元,假设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,平均库存量为批量的一半;设每年一台仪器的库存费为C 元;问如何选择批量,使一年中库存费与准备费之和最小;解 设批量为x 台,则库存费为C x 2,每年生产的批数为xA,生产准备费为B x A ,于是总费用为 令0)('=x f ,得到CABx 2=; 因此,批量为CABx 2=台时,一年中库存费与准备费之和最小; 多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用;n 元函数),,,(21n x x x f y =的偏导数),,2,1)(,,(21n i x x x f x n i=∂∂称为对i x 的边际函数;我们可以类似一元函数引入边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等;我们还可以类似一元函数引入函数的偏弹性概念;这里不再一一详细叙述;下面我们举几个多元函数应用题;例 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量;总成本函数为1如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润；2如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和统一的价格,使该企业总利润最大化；并比较两种策略下的总利润大小;解 1总利润函数是 由得5,421==Q Q ,这时7,1021==p p ;因为这是一个实际问题,一定存在最大值,且驻点唯一,因此当7,1021==p p 时,取得最大利润（3） 若实行价格无差别策略,则21p p =,即有约束条件 构造拉格朗日函数 由得2,4,521===λQ Q ,这时821==p p ; 最大利润因此,企业实行价格差别策略所得利润要大于实行价格无差别策略的利润;例 假设某企业通过电视和报纸作广告,已知销售收入为 其中x 万元和y 万元为电视广告费和报纸广告费; 1在广告费用不限的情况下求最佳广告策略； 2如果广告费用限制为万元,求相应广告策略; 解 1利润函数为 由得到唯一驻点1,5.1==y x ;这时最大利润为41)1,5.1(=P 万元2构造拉格朗日函数为 由得到唯一驻点5.1,0==y x ;这时最大利润为39)5.1,0(=P 万元习题1．设某种产品生产x 个单位时的成本为230040000)(x x x C ++=;求 1当生产产品1000单位时的边际成本和平均成本； 2当生产产品数量为多少时平均成本最低;2．设某种产品生产x 个单位时的成本为32001.0361450)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.060)(-=;当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润 3．设某种产品的需求函数为5p e Q -=,求6=p 时的需求弹性； 4． 设某种产品的需求函数为p Q 2100-=讨论其弹性的变化; 5;某产品的总收益函数和成本函数分别是 厂商追求最大利润,政府对产品征税,求：1求产品产量和价格为多少时,厂商能取得税前最大利润； 2征税收益的最大值及此时的税率； 3厂商纳税后的最大利润;6．假设某厂家在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量;总成本函数为试确定两个市场上该产品的销售价格,使该企业获得最大利润;第九节 曲率所谓曲率就是用来描述曲线的弯曲程度的．线有直线和非直线,如果一个人沿着直线行走,他不需要转动方向；但如果他沿着一条非直线行走时,他在每一点行进的方向是曲线的切线方向．因而他在每一点行进的方向大多是不一样的．人移动时,他要转动方向．当曲线的弯曲程度大一点时,人走相同的距离目光的转向要大一点．在直线上转向是没有的．因而我们就用曲线上单位距离切线方向即目光方向的转动角度来刻画曲线的弯曲程度．设光滑曲线方程为()x f y =,()b a x ,∈,()b a x x ,,21∈,()()111,x f x P ,()()222,x f x P 是曲线上的两点．当弧21P P 很小时,可以用21P P 的直线距离来近似．设曲线在点21,P P 的切线与x 轴正向的夹角分别是ααα∆+,,则()()()21tan ,tan x f x f '=∆+'=ααα,所以()()()21arctan ,arctan x f x f '=∆+'=ααα．而()()()()21221221x f x f x x P P -+-=,这时有1212limP P x x α∆→是刻画曲线在点1x 的弯曲程度的,通常记为k ． 定义 若函数()x f y =具有两阶连续的导数,则曲线上单位长度的切线转动 称为函数()x f y =的曲率．显然曲率0≥k ．例 求抛物线c bx ax y ++=2的曲率． 解：b ax y +='2,a y 2='', 所以曲率为()()232212b ax ak ++=．显然当02=+b ax 时,k 最大． 即在abx 2-=对称轴处,曲线弯曲程度最大． 例 求直线b kx y +=的曲率． 解：因为k y =',0=''y , 所以0=k ．即直线没有弯曲．上面这种方法是对显函数而言的．如果曲线有参数方程()()⎩⎨⎧==t y y t x x 给出,求曲率的过程可以如下进行．先求()()t x t y dx dy ''=,()()()()()()322t x t y t x t x t y dx dy dx d dx y d ''''-'''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,代入前面求曲率的公式,得到()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=．例 求半径为R 的圆的曲率． 解：可设圆方程为⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x ,则θsin R x -=',θcos R y ='； θcos R x -='',θsin R y -=''；代入上面的公式,得()()()RR R R R R R k 1sin cos sin sin cos cos 2322=+⋅-⋅-=θθθθθθ． 即圆的弯曲程度是其半径的倒数．R 越大,曲率越小．为此我们一般曲线上任意一点可以用一个圆弧来表示．相比较着一点的曲率的倒数,即k1称为该点的曲率半径,也就是说,该点的弯曲程度与半径为k1的圆的弯曲程度接近．此时在该点的法线上的的一侧一点Ｏ,使得k OP 1=,点Ｏ称为曲率中心．以O 为圆心,k1为半径的圆称为P 点的曲率圆．下面考虑隐函数曲率的求法．求隐函数的曲率,关键在于求y y ''',．举一个例子．例 求曲线12222=+b y a x ()0,0>>b a 上一点的曲率．解：对12222=+by a x 两边对x 求导,得到0121222='+y by a x． 所以 ya xb y 22-='．又对0121222='+y by a x两边对x 求导,得到 01212122222=''+'+y by y b a ． 所以32422223242244221y a b a x b y y a b y x a b a b y y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='', ()()232424442321xb y ab a y y k +='+''=．特别地,当R b a ==时,Rk 1=． 最后介绍极坐标系下,曲线的曲率的求法． 例 求阿基米德螺线θa r =的曲率．解：因为θθθcos cos a r x ==,θθθsin sin a r y ==,所以θθθsin cos a a x -=',θθθcos sin a a y +='． θθθcos sin 2a a x --='',θθθsin cos 2a a y --=''． 代入公式()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=,得()()232223222222122θθθθ++=++=a a aa a k ．曲率半径为k1．。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学几何学中的重要概念，它们在描述和分析三维物体的形状和特征时起着关键作用。
本文将就空间曲线和空间曲面的定义、性质和应用进行深入探讨。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，它由一系列相互关联的点组成。
可以用参数方程或者向量函数来表示，以便对其进行解析研究。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
直线是最简单的空间曲线，可由两个不同的点确定。
曲线则弯曲或扭转，并有无数个点组成。
闭合曲线是形状回到起点的曲线，如圆或椭圆。
空间曲线具有以下重要性质：1. 弧长：空间曲线的长度称为其弧长，可以通过对曲线进行参数化和积分计算得到。
2. 切线：对于空间曲线上的每个点，都有一个切线与其相切。
切线是曲线在该点弯曲方向上的极限。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲线的切线和法线计算得到。
4. 弯曲方向：曲线可以向左弯曲或向右弯曲，具体取决于曲线上连续两个点的位置关系。
二、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个连续平面，由一系列相关的点构成。
类似于空间曲线，空间曲面也可以用参数方程或者向量函数进行表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆锥面等。
平面是最简单的空间曲面，由无限多个平行于其自身的直线组成。
球面由到球心距离相等的点组成。
圆锥面则由一个尖点和无数个从尖点射出的直线构成。
空间曲面具有以下重要性质：1. 切平面：对于空间曲面上的每个点，都存在一个切平面与其相切。
切平面是曲面在该点处切割曲面所得的截面。
2. 法线：曲面上每个点都有一个法线垂直于曲面。
法线方向是指在该点处曲面向外的方向。
3. 曲率：曲面的曲率描述了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲面的切平面和法线计算得到。
4. 弯曲特性：曲面可以是凸的（向外弯曲）、凹的（向内弯曲）或既不凸也不凹。
三、空间曲线与空间曲面的应用空间曲线和空间曲面在实际应用中有着广泛的应用，特别是在工程学和物理学领域。
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解 设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节 微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程 空间曲面的切平面和法线方程 小结 思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
空间曲线与曲面的切平面与法线方程
空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。
通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。
本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。
一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。
曲线上每一点都有唯一的切线。
通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。
2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。
设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。
由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。
4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。
切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。
设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。
切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。
三维空间中的曲线与曲面
三维空间中的曲线与曲面在数学中，我们经常遇到分析三维空间中的曲线与曲面。
曲线与曲面是几何学中的重要概念，对于研究空间中的运动、形变和相互关系具有重要意义。
本文将介绍三维空间中的曲线与曲面的定义、性质以及它们在实际生活中的应用。
1. 曲线的定义与性质在三维空间中，曲线可以通过参数方程或者隐式方程来表示。
参数方程的形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，变量 t 为参数，可以是实数。
函数 f(t)，g(t) 和 h(t) 分别表示曲线在 x、y 和 z 轴上的坐标随参数 t 的变化情况。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线在空间中的不同部分。
曲线的性质主要包括长度、切线和曲率。
曲线的长度可以通过导数运算和积分运算求得。
切线是指曲线上某一点处的切线方向，它垂直于曲线的切线平面。
曲率是曲线在某一点处弯曲程度的度量，表示为曲线的曲率半径的倒数。
2. 曲面的定义与性质曲面可以由隐式方程或者参数方程来表示。
隐式方程的形式为：F(x, y, z) = 0其中，函数 F(x, y, z) 定义了曲面在三维空间中的形状。
参数方程的形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，变量 u 和 v 是曲面上的参数，函数 f(u, v)，g(u, v) 和 h(u, v)分别表示曲面上的点在x、y 和z 轴上的坐标随参数u、v 的变化情况。
曲面的性质主要包括方程、切平面和法向量。
曲面的方程描述了曲面上的所有点满足的数学关系。
切平面是曲面上某一点处的切平面，它与曲面相切且垂直于曲面上的切线。
法向量是切平面的垂直向量，它垂直于曲面。
3. 曲线与曲面的应用曲线与曲面在现实生活中有广泛的应用。
在物理学中，曲线与曲面可以用来描述物体的运动轨迹或者物体表面的形状。
例如，行星在太空中的运动轨迹、水滴在玻璃表面上的形状等都可以用曲线与曲面来描述。
在计算机图形学中，曲线与曲面是构建三维模型的基础。
空间曲线与曲面的切平面与法平面
空间曲线与曲面的切平面与法平面在数学中，空间曲线和曲面是重要的研究对象。
曲线是一个一维的对象，可以用参数方程或者隐式方程表示。
曲面则是一个二维的对象，可以用参数方程、隐式方程或者参数化方程表示。
在研究空间曲线和曲面时，我们常常需要了解曲线和曲面上某点的切线或者法线，这对于进一步研究曲线和曲面的性质和变化非常重要。
本文将介绍空间曲线和曲面的切平面与法平面的概念以及求解方法。
一、空间曲线的切线与切平面空间曲线是三维空间中的一条曲线，我们可以通过曲线上某一点的导数来求解该点处的切线。
设曲线的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t).在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，该点的切向量T可以由参数t求导得到：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)|t=t0.切向量T是曲线上该点的切线方向，我们可以通过该向量来确定切线的方向。
此外，曲线上任意一点的切向量均与曲线在该点的切线方向相同。
在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，切线方程可以表示为：(x - x0)/dx/dt = (y - y0)/dy/dt = (z - z0)/dz/dt.切线方程表示了曲线上点P处切线上所有点的坐标与点P坐标的关系，通过该方程我们可以求解切线上的点的坐标。
与切线相对应的是切平面，切平面与曲线上某一点处的切线垂直，并且包含该切线。
我们可以通过点法式方程来表示切平面，设曲线上一点为P(x0, y0, z0)，其切平面方程为：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.其中A、B、C为切平面的法向量的坐标，可以通过切线的方向向量T求解：A = dx/dt,B = dy/dt,C = dz/dt.切平面方程表示了切平面上所有点的坐标与点P坐标的关系。
二、空间曲面的法线与法平面空间曲面是三维空间中的一个二维对象，我们可以通过曲面上某一点的偏导数来求解该点处的法线。
空间曲线的切线与法平面掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法
空间曲线的切线与法平面掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法空间曲线是三维几何中的重要概念，理解和掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法对于解决相关问题具有关键作用。
本文将介绍空间曲线的定义以及切线与法平面的计算方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、空间曲线的定义空间曲线是三维空间中的曲线，由于其存在弯曲和变化的特性，我们需要研究曲线上某一点的切线方向和曲线在该点的法平面。
切线与法平面是通过对曲线在该点的局部线性逼近得到的，具体计算方法如下。
二、切线的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的切线方向。
切线的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式。
假设曲线的参数方程为x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)，其中t为参数。
2. 然后，我们需要求解参数方程在该点的导数。
将参数t代入参数方程中，得到此点处的切向量，即曲线在该点的切线方向。
切向量的表示形式为T = (x'(t), y'(t), z'(t))。
3. 最后，我们可以得到切线的方向向量。
对切向量进行归一化处理，得到的单位向量即为切线的方向向量。
通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的切线方向，从而进一步分析曲线的性质和特点。
三、法平面的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的法平面。
法平面与切线垂直，并与曲线在该点的切线相切。
法平面的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式，与求解切线相同。
2. 然后，我们可以先求解切线的方向向量T。
3. 接着，我们需要找到与切线方向向量垂直的向量N。
可以通过以下方法得到：a. 找到切线方向向量与任意向量都垂直的向量V。
b. 通过向量叉乘的方式，得到N = T × V。
4. 最后，我们需要找到一个过该点的平面，且法向量为N。
这个平面即为法平面。
通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的法平面，从而进一步分析曲线的性质和特点。
二、空间曲线的切线与法平面
二、空间曲线的切线与法平面空间曲线是指在三维空间中的曲线，如抛物线、螺线等。
在研究空间曲线的性质时，我们需要了解曲线在某一点的切线及其法平面的概念。
空间曲线在一点P处的切线是曲线在该点处的切线，是曲线在该点处的变化方向。
在二维平面上，我们可以用斜率描述曲线在某一点的变化方向，但在三维空间中，曲线的方向并不仅仅是一个数值，因此我们需要使用向量来表示曲线的切线方向。
设曲线L在点P处有切向量T。
我们可以通过求导数的方式求得曲线在某一点处的切向量。
具体来说，对于曲线的参数方程f(t)=(x(t),y(t),z(t))，我们可以求得它的导数f'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))，该导数所表示的向量即为曲线在t时刻的切向量。
通常我们取该向量的单位向量作为曲线在该点处的切向量，即T= f'(t) / |f'(t)|以抛物线为例，其参数方程为f(t)=(t,t^2,0)，其导数为f'(t)=(1,2t,0)，因此在点(1,1,0)处的切向量为T=(1,2,0) / √5法平面是曲线在某一点处的切平面与该点处的法线垂直的平面。
设曲线L在点P处的切向量为T，其法向量N则由曲线在该点处的曲率所决定，即曲率半径的倒数。
我们可以通过求导数的方式求得曲线在某一点处的曲率半径，即ρ= |T'| / |T|^3当曲线在某一点的曲率半径不为0时，曲线在该点处的法向量可表示为以抛物线为例，它在任何一点处的法向量都是竖直向上的单位向量，法平面是以该点为顶点的水平平面。
切线和法平面在物理学和工程学中有很广泛的应用。
例如，当我们研究一条道路上的车辆行驶时，我们需要考虑曲线的切线和法向量，确定车辆在某一时刻的方向和曲率。
同样的，在设计机械零件时，我们需要考虑曲面的法向量，确定加工或装配时的方向和位置。
此外，切线和法向量还广泛应用于计算机图形学和计算机辅助设计中。
在计算机图形学中，我们常常需要在三维空间中绘制、编辑和变换图形，切线和法向量是求解这些问题的重要工具。
空间曲线的切线与法平面探讨
空间曲线的切线与法平面探讨
设空间曲线：
，
在点处的切向量为
，
切线方程为：
，
法平面方程为：
.
如果空间曲线是方程组表示，则可将一个变量（如）看作参量，利用隐函数求导法，求出，，则切向量为.
例1 求曲线，在点处的切线和法平面方程.
解析设，则有，.于是，因此切线方程为
，
法平面方程为
即
.
例2 求曲线，在点处的切线和法平面方程.
解析当曲线以两个曲面方程
，
交线形式给出时，可先求出两曲面在交点处的法向量：
，
则曲线在该点的切向量为
，
本题中，，，
.
于是，切线方程为
或
.
法平面方程为
即
.
例3证明曲线
，，
与锥面的各母线相交的角度相同.
解析圆锥的顶点在原点，过圆锥上任一点的母线也过原点.因此，母线的方向向量.
曲线在点的切向量为
.
因为，所以有
，
于是，交角相同.
例4求函数在点沿曲线
，，
在此点的切线方向上的导函数.
解析，
，
，
在点，它们的值分别是.
又曲線在该点的切线的方向余弦为.于是所求的导数为.。
立体几何中的曲线与曲面的切线与切平面
立体几何中的曲线与曲面的切线与切平面在立体几何中，曲线和曲面是两个重要的概念。
当我们研究曲线和曲面时，了解其切线和切平面是十分必要的。
本文将讨论立体几何中曲线与曲面的切线与切平面。
一、曲线的切线曲线的切线是指曲线上某一点的切线，即通过这一点并与曲线仅有一个公共点的直线。
在立体几何中，我们常常关注于曲线上某一点的切线与该点的斜率。
以一条曲线为例，设曲线的方程为y=f(x)，其中f(x)是某一函数。
若点(x0, y0)位于曲线上，则曲线在这一点的切线的斜率可通过求解f'(x0)得到，其中f'(x0)表示f(x)的导数。
设曲线在点(x0, y0)的切线方程为y=k(x-x0)+y0，其中k为斜率，可以通过f'(x0)求得。
二、曲面的切平面曲面的切平面可以理解为与曲面仅有一个公共点的平面。
在立体几何中，我们通常关注于曲面上某一点的切平面与该点的切线。
以一个曲面为例，设曲面的方程为z=g(x,y)，其中g(x,y)是某一函数。
若点(x0, y0, z0)位于曲面上，则曲面在这一点的切平面的法线向量可以通过求解该点的梯度向量得到，即(∂g/∂x, ∂g/∂y, -1)。
设曲面在点(x0, y0, z0)的切平面方程为∂g/∂x(x-x0)+∂g/∂y(y-y0)-(z-z0)=0，其中∂g/∂x和∂g/∂y分别表示g(x,y)对x和y的偏导数。
三、曲线与曲面的切线与切平面的应用曲线与曲面的切线与切平面的应用非常广泛。
在工程和自然科学领域，我们经常需要在某一点研究曲线和曲面的性质。
切线和切平面为我们提供了关于这些点的重要信息。
例如，在计算机图形学中，切线和切平面用于创建真实感的渲染效果。
通过计算每个像素点的切线和切平面，可以确定光照的方向和强度，从而使得渲染结果更加真实。
另外，在建筑设计中，曲线和曲面的切线和切平面也被广泛应用。
在设计建筑物的曲线形状时，了解曲线的切线可以帮助设计师确定立面的特点。
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面工X 二x(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：《y = y(t) , t€(o(,P).z = z(t)设tot C，J, A(x(t o), y(t o), z(t o)、B(x(t i), y(t i),z(t i))为曲线上两点,A, B 的连线AB称为曲线C的割线，当B > A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A的切线.如果x = x(t), y = y(t), z = z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的•因为割线的方程为x — x(t°)y — y(t°) z—z(t°)x(tj — x(t o) y(tj — y(t o) z(t i) — z(t o)也可以写为x — x(t。
)_ y — y(t。
)_ z — z(t。
)x(tj - x(t。
) y(tj - y(t。
) z(tj —z(t。
)t -t o t - t o t - t o当B > A时，t > t o，割线的方向向量的极限为fx(t o), y(t o), z(t o)1，此即为切线的方向向量，所以切线方程为X — x(t o) _ y — y(t o) _ z _z(t o)x(t。
)「y(t。
)「z(t o).过点A(x(t o), y(t o), z(t o)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(x(t o), y(t o), z(t o)的法平面，法平面方程为x'(t o)(x-X o) y (t o)(y - y o) z'(t°)(z - z°) = 0如果空间的曲线C由方程为y = y(x),z = z(x)且y'(x o),z'(x°)存在，则曲线在点A(x°, y(X o), z(x°)的切线是X -X o _ y - y(X o) _ z -z(X o)1 y"(x o) z"(x o)法平面方程为(x-X o) y (X o)(y - y(X o)) z'(X o)(z-z(X o)) =o如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组；F(x, y,z)=0,c:丿[G(x, y, z) = o确定时，假设在A(x o, y o ,z o)有J =班F，G)式o，在A( x o, y o, z o)某邻域内满足隐函数点(y,z)A组存在定理条件，则由方程组丿F(x, y,z)-0,在点A(x o,y o,z o)附近能确定隐函数©(X, y,z) = 0y = y(x),z 二z(x)七/ 、/ 、 dy1 c(F,G) dz 1 F(F,G)有y o = y(x o ), Z o =z(x o ) — = ------------------------ ,一 = ---------------- 。
高等数学A第6章多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面 曲面的切平面及法线)
也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例
例4 求曲线x y z 6, x y z 0, 在 (1,2,1)处的切线及法平面 .
为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t0 处的导向量 就是该点的切向量.
r (t0 ) ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例
x x 例2 求曲线 y ( x )在( x0 , y0 , z0 )处的切线与法平面 . z ( x)
n
M0
T
该曲线在M0的切向量为 T { ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )}
又F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0,
则Fx ( t0 ) Fy ( t0 ) Fz ( t0 ) 0.
即Fx , Fy , Fz ( t0 ), ( t0 ), ( t0 ) 0, n { Fx , Fy , Fz }与切向量T垂直, n即为切平面的法向量.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
M
T
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1. 曲线方程为参数方程的情况
T M
设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M ( x0 x, y0 y, z0 z )
y y0 z z0 切线方程为 x x0 , ( x0 ) ( x0 )
切线和平面
π
π = − 2 , y′ π = 2 , z′ π = 2 从而 x′ 2 4 4 2 4
2 2 π M0 = (x(t0), y(t0), z(t0)) = , , 2 2 2
切 线 方 程
2 2 π x− y− z− 2 = 2 = 2 2 2 2 − 2 2
给 t 以改变量 ∆t , 当 t = t0 +∆t 时, Γ上的对 应点 M = (x(t0 +∆t), y(t0 +∆t), z(t0 +∆t)) = (x0 +∆x, y0 +∆y, z0 +∆z), 其中∆x = x (t0 +∆t)–x (t0), ∆y, ∆z 类似. 故 M0M = (∆x, ∆y, ∆z), 割线 M0M 的方程,
以后, 也称切线的方向向量为切向量.
例1. 求曲线 x = cos t , y = sin t , z = 2t 在 t = 处的 4 的切线和法平面方程. 解: 求切线的方向向量 (x'(t0), y'(t0), z'(t0)) x' (t) = – sint , y' (t) = cost , z' (t)= 2
cos α = +
' Fx
'2 Fx
'2 + Fy
'2 + Fz
, cos β = +
' Fy '2 Fx '2 + Fy '2 + Fz
,
cos γ = +
Fz'
'2 '2 '2 Fx + F y + Fz
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第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为)()()()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=--也可以写为010********)()()()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=---当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x如果空间的曲线C 由方程为)(),(x z z x y y ==且)(),(0'0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是)()()()(100000x z x z z x y x y y x x '-='-=-法平面方程为))()(())()(()(00'00'0=-+-+-x z z x z x y y x y x x如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(:z y x G z y x F c ，确定时，假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ，在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数)(),(x z z x y y ==有)(),(0000x z z x y y ==，),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=。
于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是AA dx dz z z dx dy y y x x 0001-=-=- 即AAAy x G F z z x z G F y y z y G F x x ),(),(),(),(),(),(000∂∂-=∂∂-=∂∂-法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F AA A类似地，如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂Ay x G F 或0),(),(≠∂∂Ax z G F 时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。
所以，当向量0}),(),(,),(),(,),(),({≠∂∂∂∂∂∂=AA A y x G F x z G F z y G F r ρ时，空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r ρ例6.32 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程．解 当πθ=时，曲线过点()πb a ,0,-，曲线在此点的切线方向向量为{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ，所以曲线的切线方程为bt z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-． 即 b b z a y a x π-=-=+0．二、空间曲面的切平面与法线 设曲面S 的一般方程为0),,(=z y x F取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点，设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续偏导数，且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x 。
设c 为曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x c 设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===，我们有0))(),(),((=t z t y t x F上式对t 在0t t =求导得到0)(),,()(),,()(),,(0'0000'0000'000=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x因此，曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =ϖ垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为α，平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面，向量n ρ称为法向量。
S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线，它的方程为),,()(),,()(),,()(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 设曲面S 的方程为0),,(=z y x F若),,(z y x F 在S有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ，则称S 是光滑曲面。
由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。
若曲面S 的方程的表示形式为 ),(y x f z =，这时，容易得到S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法线方程为1)(),()(),()(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 我们知道，函数),(y x f z =在点),(00y x 可微，则由Taylor 公式知))()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说，函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似代替，误差为2020)()(y y x x -+-的高阶无穷小。
若曲面S 的方程表示为参数形式⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(:v u z z v u y y v u x x S 设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===，),,(0000z y x P 为曲面上一点。
假设在),,(0000z y x P 有0),(),(0≠∂∂=P v u y x J ，在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数（即x 和y 的逆映射）),(),,(y x v v y x u u ==满足),(),,(000000y x v v y x u u ==。
于是，曲面S 可以表示为)),(),,((),(y x v y x u z y x f z ==由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，两边分别同时对y x ,求偏导得到),(),(),(),(),(),(,),(),(v u y x u xy vv u y x vxyuv u y x uyxvv u y x v yx u∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 故,),(),(),(),(),(),(),(),(v u y x v u x z v z u z f v u y x v u z y v z u z f y v y u y x v x u x ∂∂∂∂-=+=∂∂∂∂-=+=所以，S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为)(),(),()(),(),()(),(),(0),(0),(0),(000000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z v u y x y y v u x z x x v u z y v u v u v u 法线方程为),(0),(0),(0000000),(),(),(),(),(),(v u v u v u v u y x z z v u x z y y v u z y x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-例6.33 求曲面zxy z ln+=在点)1,1,1(的切平面和法线方程。
解 曲面方程为0ln ),,(=-+=z zxy z y x F ，易得}2,1,1{-=→n切面方程为0)1(2)1()1(=---+-z y x即02=-+z y x . 法线方程为211111--=-=-z y x习题6.61．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．2．求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．3．求曲面xyz arctan=在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程。