【小学数学】小学四年级奥数：《格点与面积》试题及解析
XX年4月26日小学四年级奥数题格点与面积天天专项练习及答案
XX年4月26日小学四年级奥数题《格点与面积》天天专项练习及答案
难度：★★★★
格点与面积
求以下多边形的面积,填在相应的括号里:
a=（）b=（）
难度：★★★★★
用9个钉子钉成彼此距离为1厘米的正方阵(如右图).若是用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就取得一个三角形,如此取得的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?
难度：★★★★
格点与面积
求以下多边形的面积,填在相应的括号里:
a=（）b=（）
难度：★★★★★
用9个钉子钉成彼此距离为1厘米的正方阵(如右图).若是用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就取得一个三角形,如此取得的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?
难度：★★★★
格点与面积
求以下多边形的面积,填在相应的括号里:
a=（）b=（）
难度：★★★★★
用9个钉子钉成彼此距离为1厘米的正方阵(如右图).若是用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就取得一个三角形,如此取得的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?。
四年级奥数专题 格点与面积(学生版)
学科培优数学“格点与面积”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点比较简单,首次引入面积这个概念,主要是培养学生对图形面积的感觉与认识。
【授课批注】在开始讲解面积这个概念之前可适当复习有关图形周长的概念,帮助学生区分周长和面积。
知识梳理格点图形的概念在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位),这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
a)正方形格点正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形b)三角形格点所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【授课批注】讲解格点图形概念的时候最好能借助诸如钉子板之类的道具,提高教学的形象性,更容易让学生理解,加深印象。
【重点难点解析】1．方形格点与三角形格点面积的特点2．格点图形的分割与拼补【竞赛考点挖掘】1．两种格点图形的基本面积计算2．格点图形面积的等量变形例题精讲【试题来源】【题目】判断下列图形哪些是格点多边形？【试题来源】【题目】如右图,计算各个格点多边形的面积.【试题来源】【题目】如右图（a）,计算这个格点多边形的面积.【试题来源】【题目】右图是一个方格网,计算阴影部分的面积．【试题来源】【题目】分别计算右图中两个格点多边形的面积。
【试题来源】【题目】如图“乡村小屋”的面积是多少？【试题来源】【题目】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？习题演练【试题来源】【题目】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【试题来源】【题目】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少? 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【试题来源】【题目】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的“6”字,阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?【试题来源】【题目】右图是5×5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点称为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么,所围图形的面积是______平方厘米.【试题来源】【题目】如图,每一个小方格的面积都是l平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图（a）,有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【试题来源】【题目】如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算△ABC的面积.【试题来源】【题目】如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形,计算四边形ABCD 的面积.【试题来源】【题目】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【试题来源】【题目】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米.那么,三角形ABC 的面积是_____平方厘米【试题来源】【题目】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图l图2),然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米,那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【试题来源】【题目】如图,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】求下列各个格点多边形的面积【试题来源】【题目】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.【试题来源】【题目】求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.【试题来源】【题目】右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?【试题来源】【题目】将图中的图形分割成面积相等的三块.。
四年级下册数学竞赛试题-第十四格点与面积上A班全国通用
第十四格点与面积（上）日期姓名知识要点1．格点的意义如下图所示，是一张方格纸，这种方格纸是由水平线和垂直线相交而组成的。
图中水平线和垂直线的交点称为格点。
2．面积单位的意义面积相等的每个小正方形称为面积单位，例如上图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
3．利用格点求面积通常用到“扩展法”或“割补法”。
“扩展法”通常是根据图形将其扩展为规则图形，利用规则图形面积减去所求图形以外面积，从而得到图形的面积。
“割补法”通常是把图形通过割补的方式变为规则图形，从而求得解。
典型例题例1 在下列格点里面分别连出一个正方形，一个长方形，一个三角形，一个平行四边形和一个梯形，并且这些图形的所有顶点都要在格点上。
例2 下面的格点间距都是1厘米，请分别画出面积为36平方厘米的正方形、长方形各一个。
例3 用割补法求出下图中各个图形的面积。
（单位面积为1）例4 用扩展法求下列图中多边形的面积。
（单位面积为1）例5 下面的格点间距都是1厘米，请分别求出下面两个图形的面积。
随堂小测姓名成绩1．请在下面的格点中分别画出面积为4个面积单位、6个面积单位的两个图形。
1．用割补法求下图中喇叭和小狗的面积各是多少？（单位面积为1）3．下图中四个图形的面积各是多少？（单位面积为1）2．用“割补”或“扩展”法求下图中各图形的面积。
（单位面积为1）5．如图，每个小方格为1个单位，则阴影部分的三角形面积为单位面积。
6．如果下图中的每个小正方形的面积都表示1平方厘米，那么阴影部分的面积是（）平方厘米。
7．如下图所示，每个小方格的面积都是1平方厘米，求阴影部分的面积。
课后作业姓名成绩1．求下图中各图形的面积；（单位面积为1）2．请在下面的格点中分别画出面积为8个单位、12个单位的两个图形。
（单位面积为1）3．求下图中各图形的面积。
（单位面积为1）①②③3．下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。
（单位面积为1）趣味题四堆火柴桌上放四堆火柴：一堆17根，一堆7根，一堆6根和一堆2根。
小学四年级奥数：《格点与面积》试题及解析
小学四年级奥数：《格点与面积》试题及解析.DOC如下图;在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上;如果任意相邻平行线之间的距离都相等;我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点）;把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度;把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点;这个多边形就叫做格点多边形;本讲就;学习求格点多边形的面积问题。
这种格点多边形的面积计算起来很方便;一般有三种方法：①规则的格点多边形;可以运用多边形的面积公式求出面积;②一些简单而又特殊的格点多边形;可以通过数格子求出面积;③较复杂的不规则图形;一般用皮克公式计算。
其中数格子的方法比较原始;很少用。
任意格点多边形;只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数;就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=内格点个数+ 边格点数÷2-1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的;被称为“皮克定理”;这是一个实用而有趣的定理。
例1：求下面各图形的面积。
【解析】：图①是个平行四边形;周界上有10个格点;图内有4个格点;根据格点面积公式;图①的面积为：4+10÷2-1=8;图②是个梯形;周界上有8个格点;图内有2个格点;根据格点面积公式;图②的面积为：2+8÷2-1=5;图③是个三角形;周界上有6个格点;图内有4个格点;根据格点面积公式;图③的面积为：4+6÷2-1=6;以上3个图形都是规则图形;但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算;不能用面积公式计算。
图④是个六边形;周界上有8个格点;图内有9个格点;根据格点面积公式;图④的面积为：9+8÷2-1=12。
这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。
例2：下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？【解析】：这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。
喇叭周界上有8个格点;图内没有格点;面积为：0+8÷2-1=3;小猫周界上有20个格点;图内有2个格点;面积为：2+20÷2-1=11;小狗图案可以看着是两个格点多边形组成;先分别求出每个格点多边形的面积;再求出总面积。
小学数学《格点与面积》练习题(含答案)
小学数学《格点与面积》练习题（含答案）内容概述同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？【例2】如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.【例3】如右图（a），计算这个格点多边形的面积.【例4】（1998年新加坡小学数学奥林匹克竞赛）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算右图中两个格点多边形的面积。
【例6】用N表示多边形内部格点， L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积,填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）面积（S）例2图4例3例4例5（1）【例7】本讲开始提到的图“乡村小屋”的面积是多少？【例8】 (保良局亚洲区城市小学数学竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例9】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【例10】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于2平方厘米的三角形有多少个？三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【例11】如右图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【例12】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.【例13】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【例14】（第五届“华杯赛”）正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?练习一1.求下列各个格点多边形的面积.2. 右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?5.将图中的图形分割成面积相等的三块.正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例15】判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有（1）是格点多边形。
(完整版)小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例 2】 如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑹⑸⑷【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P P M F EDCBA【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．。
小学奥数 格点型面积 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形． 【答案】⑴是格点多边形【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑶⑵⑴⑹⑸⑷【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 12L S N =+-例题精讲4-2-7.格点型面积图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)； 图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)； 图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)； 图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3） （4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理． 【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)． 【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案30格点型面积(二)
年 级四年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题 格点型面积（二）上一节中，我们主要学习了正方形格点面积，这一节，我们主要学习三角形格点面积。
三角形格点面积公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有：S ＝2×N ＋L －2。
也就是说，格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与图形周界上格点数的和减去2。
例1 如下图（a ），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是正三角形。
每个小正三角形的面积均为1（面积单位），计算△ABC 的面积。
分析与解：解法一：如图（b ）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC 的面积为10.解法二：如图（c ）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而△ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即ABC S ∆＝3，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而△ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即ADC S ∆＝2。
平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而△FBC 的面积是平行四边形FBGC 面积的一半，即FBC S ∆＝4。
所以三角形ABC 的面积是1＋2＋3＋4＝10（面积单位）。
解法三：因为N ＝4，L ＝4，所以S ＝2×N ＋L －2＝2×4＋4－2＝10（面积单位）。
例2 如下图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC 的面积。
分析与解：因为N＝5，L＝3，所以S＝2×N＋L－2＝2×5＋3－2＝11（面积单位）。
例3如图，如果每一个小正三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解：解法一：正三角形格点阵中多边形面积＝（2N＋L－2）个单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L为图形周界上格点数。
小学数学《格点与面积》练习题(含答案)
小学数学《格点与面积》练习题（含答案）内容概述同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？【例2】如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.【例3】如右图（a），计算这个格点多边形的面积.【例4】（1998年新加坡小学数学奥林匹克竞赛）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算右图中两个格点多边形的面积。
【例6】用N表示多边形内部格点， L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积,填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）面积（S）例2图4例3例4例5（1）【例7】本讲开始提到的图“乡村小屋”的面积是多少？【例8】 (保良局亚洲区城市小学数学竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例9】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【例10】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于2平方厘米的三角形有多少个？三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【例11】如右图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【例12】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.【例13】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【例14】（第五届“华杯赛”）正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?练习一1.求下列各个格点多边形的面积.2. 右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?5.将图中的图形分割成面积相等的三块.正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例15】判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有（1）是格点多边形。
高斯小学奥数四年级下册含答案第04讲_格点图形面积计算
第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个． 一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．第四讲 格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米 详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。
四年级奥数巧箱格点与面积
巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。
巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。
做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。
【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。
图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。
图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。
填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。
（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。
■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。
我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。
如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。
做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。
心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。
问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。
小学数学四年级 格点与面积 PPT+作业+答案
不规则图形0×2-2=8（平方厘米） 整体：36+8=44（平方厘米）
例7 如图：用9 个钉子钉成相互间隔为1 厘米的正方形方阵。如果用一
根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，那么在这样 得到的三角形中，面积是1 平方厘米的三角形有多少个？面积是2 平方厘米的三角形有多少个？
【分析】分别数出边界个点数和内部各点数，再利用格点面积公式求。
边界格点数：34个，内部各点数：20个
面积：34÷2+20-1=36（平方厘米）
例2 在下图中，每个小方格的面积都是2 平方厘米，那么格点多边
形的面积是多少平方厘米？
【分析】通过题意发现，单位小正方形的面积变为了2平方厘米，在运用格点公式时，也要 整体扩大2倍。
边界个点数：14个，内部格点数：14个
面积：14÷2+14-1=20（平方厘米）
例3 在下图中，每个小方格的边长都是1 厘米，那么阴影部分的面
积是多少平方厘米？
【分析】 直接求阴影部分的面积较麻烦，可通过割补法分别求出整体和空白部分的面积后 再求阴影部分面积。其中，空白部分可通过多边形格点面积公式求。
【分析】求三角形格点多边形面积，分别数出边界个点数和内部各点数，再利用公式求。
边界格点数：10个，内部格点数：12个
面积：10+12×2-2=30（平方厘米）
【小结】三角形格点多边形面积可通过数出边界格点数、 内部格点数来求，注意与正方形格点多边形面积公式区分。
练习5
如图：任意相邻的三个点呈“∵”或“∴”所组成的三角形都 是面积为1 的等边三角形，计算△ ABC 的面积。
整体：6×6=36（平方厘米） 空白：边界个点数：12个，内部格点数：9个
小学数学四年级 格点与面积教案 例题+练习+作业+答案
格点与面积知识点总结1：正方形格点多边形面积公式2：三角形格点多边形面积公式3：割补法求不规则多边形面积【例题精讲】例1在下面的正方形网格中，每个小正方形的面积都是1平方厘米。
请据此计算下面两个图形的面积。
【答案】13平方厘米和15平方厘米。
正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1（1）边界格点数：20个，内部格点数：4个，面积：20÷2+4-113（平方厘米）（2）边界格点数：14个，内部格点数：9个，面积：14÷2+9-1=15（平方厘米）【例题小结】对比已学割补法与格点面积的优势，引导学生掌握更高效的方法。
练1在下面的正方形网格中，每个小正方形的面积都是1平方厘米。
网格中多边形的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米【解析】边界格点数是34个，内部格点数是20个，因此面积是34÷2+20-1=36平方厘米。
例2在下图中，每个小方格的面积都是2平方厘米，那么格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】13平方厘米正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1边界格点数：7 个，内部格点数：4 个面积：（7÷2+4-1）×2=13（平方厘米）【例题小结】单位小正方形面积是几，利用格点公式求出的面积也要扩大几倍。
练2小新将某市的地图轮廓绘制到了网格上，且每相邻的四个点围成的正方形的面积都是1平方厘米。
请帮小新计算出该市在地图上的面积。
【答案】20平方厘米【解析】边界格点数是14个，内部格点数是14个，因此面积是14÷2+14−1=20（平方厘米）。
例3在下图中，每个小方格的边长都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】22平方厘米。
割补方法：整体－空白整体：6×6=36（平方厘米）空白：正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-112÷2+9－1=14（平方厘米）阴影：36-14=22（平方厘米）【例题小结】阴影部分面积=整体-空白练3在下图中，每个小正方形的边长都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】14平方厘米【解析】可以将阴影部分面积和十字形的空白部分看做一个整体，面积是：8÷2+21－1=24（平方厘米），十字形的空白部分的面积是12÷2+5－1=10（平方厘米），因此阴影部分面积是24-10=14（平方厘米）。
小学奥数-格点型面积
板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲格点型面积【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①②③底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)④⑤⑥底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个) 1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；3311⨯的正方形：9个；22以11⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12故可以组成9414220++++=(个)正方形．【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF；另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm，22cm，21.5cm．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm)．⑴ ⑵【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【例 9】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．HGFEDCBA【解析】箭形ABCDEFGH的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【例10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？19．所以图形的面积为：54192162.5+÷-=(面积单位)．【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+72-1)×1=6．5(平方厘米)方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55⨯的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【解析】为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成面积最大．最大面积为550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米)．【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【解析】 要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：215218.5+÷-=；2所占的面积为：242111÷-=；1所占的面积为：17217.5÷-=．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527++=．【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm ，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm ，求大正方形的面积．【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D ，则D 与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是2197.4 5.121714cm 25-÷-=（）（）（）大正方形的面积为219cm ．【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．B PQFEDCB A【解析】 如图，将正六边形ABCDEF 等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF 面积3=，CDE 面积9=，四边形ABQP 面积11=．上述三块面积之和为391123++=．因此，阴影四边形CEPQ 面积为542331-=．板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算(b )(a )(c )(d )【解析】 方法一：如图(b )所示，在ABC 内连接相邻的三个点成DEF ，再连接DC 、EA 、FB 后是ABC可看成是由DEF 分别延长FD 、DE 、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到2ACD S =， 3AEB S =，4FBC S =，所以123410S =+++=(面积单位)．方法二：如图(c )所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出ABC 的面积为10．方法三：如图(d )所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即3AEB S =，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而ADC的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即2ACDS=．平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而FBC 的面积是平行四边形FBGC 的一半，即：4FBCS =．所以123410S =+++=(面积单位)．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【解析】 因为5N =；3L =：所以22253211S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【解析】 ⑴ ∵7L =；7N =，∴22277219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)；⑵ ∵5L =；8N =，∴22285219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)； ⑶ ∵6L =；7N =，∴22276218S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)； ⑷ ∵7L =；8N =，∴22287221S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【解析】 图中有1357911131564+++++++=(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642÷=，图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为：2124226⨯+-=(面积单位)，进而得图形的面积为：26252⨯=．【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【解析】 法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N +L -2)x 单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N =9，L =4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．【例 19】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【解析】 图1中阴影部分占整个三角形面积的1225，图2中阴影部分占整个三角形面积的1649，故图2中阴影部分的面积为294÷12162549=200(平方分米)．【例 20】 将图中的图形分割成面积相等的三块．【解析】 如右图所示．【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【解析】 如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN 全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN 全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．SR QAB CDE F NMP P M F ED CBA【解析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF 被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6240.25÷=(平方厘米)，三角形MNP 由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP 的面积0.259 2.25=⨯=(平方厘米)．【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．【解析】 ABC ABD BCD ACD S S S S ∆∆∆∆=++21221229=⨯+⨯+⨯66()=平方厘米。
小学奥数4-2-7 格点型面积.专项练习及答案解析
模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴ ⑵ ⑶毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12L S N =+-． 例题精讲4-2-7.格点型面积【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212（）(面积单位)；+⨯÷=图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218（）(面积单位)．+⨯÷=如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )． 【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3）（4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182L S N =+-=(单位面积)． 【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．HGF E D CA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 箭形A B 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
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格点与面积
如下图;在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上;如果任意相邻平行线之间的距离都相等;我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点）;把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度;把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点;这个多边形就叫做格点多边形;本讲就;学习求格点多边形
的面积问题。
这种格点多边形的面积计算起来很方便;一般有三种方法：
①规则的格点多边形;可以运用多边形的面积公式求出面积;
②一些简单而又特殊的格点多边形;可以通过数格子求出面积;
③较复杂的不规则图形;一般用皮克公式计算。
其中数格子的方法比较原始;很少用。
任意格点多边形;只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数;就可用下面的皮克公式算出面积：
格点多边形面积=内格点个数+ 边格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的;被称为“皮克定理”;这是一个实用而有趣的定理。
例1：求下面各图形的面积。
【解析】：
图①是个平行四边形;周界上有10个格点;图内有4个格点;根据格点面积公式;图①的面积为：4+10÷2-1=8;
图②是个梯形;周界上有8个格点;图内有2个格点;根据格点面积公式;图②的面积为：2+8÷2-1=5;
图③是个三角形;周界上有6个格点;图内有4个格点;根据格点面积公式;图③的面积为：4+6÷2-1=6;
以上3个图形都是规则图形;但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算;不能用面积公式计算。
图④是个六边形;周界上有8个格点;图内有9个格点;根据格点面积公式;图④的面积为：9+8÷2-1=12。
这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。
例2：下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
【解析】：
这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。
喇叭周界上有8个格点;图内没有格点;面积为：0+8÷2-1=3;
小猫周界上有20个格点;图内有2个格点;面积为：2+20÷2-1=11;
小狗图案可以看着是两个格点多边形组成;先分别求出每个格点多边形的面积;再求出总面积。
躯干面积：0+12÷2-1=5;
尾巴面积：0+4÷2-1=1;
总面积：5+1=6。
像小狗图案这样;由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形;要求其总面积;一般先求出每个独立多边形的面积;再求和;以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。
例3：下面是一个漂亮礼盒的平面图;请你求出它的面积。
【解析】：
这个礼盒平面图是由3个独立的格点多边形组成的。
左边三角形面积可以用皮克公式求出：4+4÷2-1=5;
右边三角形面积可以用皮克公式求出：2+6÷2-1=4;
下面长方形长为6、宽为3;可以直接用长方形面积公式算出面积：6×3=18;
所以上图总面积为：5+4+18=27。