圆周运动经典例题

vA
A
例5、如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个
质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度
ω做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的
最大压力和最小压力的数值之差为多少？
【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点 时受杆的拉力F1及重力作用，如图甲所示，此时F1>mg。当小铁 块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力 F2），如图所示： 【解析】对铁块，由牛顿第二定律得： 甲：F1-mg=mω2r ① 乙：F2+mg=mω2r(或mg-F2=mω2r) ② 由①②两式得： F1±F2=2mω2r. 由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为： 2mω2r. 铁块转至最高点时，电动机对地面的压力FN最小为： FN=Mg±F2，其中M为电动机的质量. 电动机对地面的最大压力为：F′N=Mg+F1 故：FN′-FN=F1±F2=2mω2r
解：先求出弹力为0 时的速率v0
v mg m r
2
m
v0 rg 2.25m / s
球应受到内壁向上的支持力N1
2 1
A
O m A
(1) v1=1m/s < v0
v m g N1 m r
N1 1.6( N )
球应受到外壁向下的弹力力N2
(2) v2=4m/s &另一端通过光滑小孔吊着质量 m=0.3千克的物体 ，M与圆孔距离为0.2米，并知M和水平面的最大静摩擦 力为 2 牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在 什么范围m会处于静止状态？(g取10米/秒2) M
O r
m
解：当具有最小值时，M有向圆心运动 趋势，故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心 方向相反，且等于最大静摩擦力2牛。
2 T f M 隔离M有： m 1r
M
r
O m
解得：
2.9( rad / s )
当具有最大值时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心， 大小也为2牛。 隔离M有： T 解得：
2 f m M 2 r
6.5( rad / s )
故范围是：2.9弧度/秒≤ ≤ 6.5弧度/秒。
1、竖直平面内的圆周运动 临界条件：小球恰能过最高点
（1）无支持物模型
mv mg r
2 0
v0
gr
gr B 、不能过最高点的条件：v gr
实际是球还没到最高点时就脱离了轨道
A、能过最高点的条件： v
思考:小球在竖直平面的运动情况?
（2）有支持物模型 临界条件：
小球恰能到最高点：v=0；
N2 4.4( N )
由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别为： (1) 对内壁1.6N向下的压力 (2)对外壁4.4N向上的压力.
mg N2 O
例4、 如图，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直面内
球心到轴O的距离分别为O=0.8m，BO=0.2m。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B球对 杆的作用力的大小和方向？
T cos mg
T sin mv 2 / l sin
2 mg
两式整理得： 2T 2 3mgT 2 m 2 g 2 0
解得：T
例11、如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上
面绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30°与
45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当 角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
例12、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向
放置着两个用细线相连的小物体A、B，它们的质量均为
m，它们到转轴距离分别为rA=20 cm，rB=30 cm，A、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：（g 取10 m/s2） （1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度0；
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度；
对A: 对B: 0.4mg -T =mrAω2 T + 0.4mg =mrBω2
8g 解得：0 4rad / s 5
（2）绳子断后，小球落点到抛出点的水平距离是多大？
R
（1）6 rad/s （2）6 m
h v
例10、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿
竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°。一条长为L
的绳（质量不计），一端固定在圆锥体顶点O处，另一
端栓着一个质量为m的小物体（可视为质点）。小物体
以速率V 绕轴线做水平匀速圆周运动。 求： O ⑴当 v
（2）质点在半径为b的圆周上运动的角速度。
P
F
解：（1）绳子迅速放松后质点P沿切线做匀 速直线运动。如图所示，质点做匀速直线运 动的距离为： S b 2 a 2
做匀速直线运动速度大小为
v a
S b2 a2 t v a
所以质点由半径a到b所需的时间为
（2）绳子绷直的瞬间，质点的法向 速度V2变为0，此后质点以切向速度V1 作半径为b的匀速圆周运动。
B vB
转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的小球A和B，
vA
A
解: 两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同，由此 可知： vA=4m/s时vB=1m/s 对A球：FA-mg=mvA2/OA 解出：FA=30N，于是A球对细杆的力大小为30N，方 向向下 对B球：设杆对球的作用力向下，则FB+mg=mvB2/OB 解出：FB=-5N，于是B球对细杆的力大小为5N，方向 向下 vB B
mg
（1）当 v gl / 6 体有支持力。 Y方向： T X方向： T
cos N sin mg
sin N cos mv / l sin
2
N T
2 解得：T mg 3
mg
（2）当 v 3 gl / 6 3 gl / 6 时，锥面对物 体无支持力，物体已离开锥面高，设α表示绳 与轴线之间的夹角。 Y方向： X方向：
gl / 6 时,绳对物体的拉力。
300
⑵当 v 3 gl / 2 时，求绳
对物体的拉力。
解：物体刚要离开锥面时，锥面对物体的支持 力为0，设此时线速度为V0。 Y方向： T X方向： T
cos mg
T
2 sin mv0 / l sin
解得：v0
3 gl / 6
3 gl / 6 时，锥面对物
例6、如图所示，水平转台上放着A、B、C三物，质量
分别为2m、m、m，离转轴距离分别为R、R、2R，与 转台动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法正确的 是（ ） A．若三物均未滑动，C物向心加速度最大
B．若三物均未滑动，B物受摩擦力最大
C．转速增加，A物比B物先滑动
D．转速增加，C物先滑动
例 7 、细绳一端系着质量 M=0.6 千克的物体，静止在水
N，绳子受到的
拉力为______N。
v
N mg
解： 在圆周的最高点，杯子中的水受到的杯底 对它的压力和重力的合力为向心力。
所以水不流出的条件是： v
v mg N m r
2
v
N G
而压力只能： N 0
gr 3m / s
若瓶子在最高点的速度为6m/s v2 则瓶子对水的压力为 N m m g 3( N ) R 2
A.v的最小值为
gL
B.v若增大，向心力也增大 C.当v由 gL 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大 D.当v由0逐渐增大时，杆对球的弹力先减小后增大
例2、杂技演员表演“水流星”，使装有水的瓶子在
竖直平面内做半径为0.9 m的圆周运动，若瓶内盛有100 g水，瓶的质量为400 g，当瓶运动到最高点时，瓶口向 下，要使水不流出来，瓶子的速度至少为 m/s, 若瓶子在最高点的速度为6m/s则瓶子对水的压力为
sin a v1 而： b v
b θ a V
v1 b v a
a2 所以： 2 b
例9、如图所示，一个人用长为l=1m，只能承受Tm=46N
拉力的绳子，拴着一质量为m=1kg的小球，在竖直平面 内做圆周运动。已知圆心O离地面高h=6m，转动中小球 在最低点时绳子断了。 （1）绳子断时小球运动的角速度多大？
（3）当A物体即将滑动时，烧断细线， A、B状态如何？ （1）3.65 rad/s （2）4 rad/s （3）A随圆盘一起匀速转动，B离心运动
解：（1）圆盘转动角速度达到ω0时，圆盘对B的 摩擦力达到最大静摩擦力fm fm=0.4mg=mrBω02
4g 解得：0 3.65rad / s 3 （2）当A即将开始滑动时，A、B都达到最大静 摩擦力
轻杆无弹力时： v a、当v=0时，N=mg b、当0＜v＜ gr 时，支持力N, 0＜N＜mg
gr
v mg – N = m r c、当v= gr 时，N=0
2
v d、当v＞ gr 时，拉力T T + mg = m r
2
例1、如图所示，长为L的轻杆，一端固定着一个小球，
另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平面内运动， 设小球在最高点的速度为v, 则（ ）
例8、如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量
为M的质点P，与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板
与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为 a、角速度为ω的匀速圆周运动.若绳子迅速放松至某一长 度b而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周 运动. 求：（1）质点由半径a到b所需的时间，
T (m M ) 绳子受到的拉力为：
v (m M ) g 15( N ) R
例3、用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管
径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点直