空间分析考点整理
考研数学一大纲空间解析几何
考研数学一大纲空间解析几何空间解析几何是考研数学一科目的重要内容之一。
在考研数学一大纲中，空间解析几何包括平面方程与空间直线、平面及空间中的曲面方程、立体几何与相关计算方法等内容。
下面将对这些内容进行详细讨论。
一、平面方程与空间直线平面方程是空间解析几何的基础，在考研数学一大纲中要求掌握平面的一般方程、点法式方程、截距式方程以及向量法方程。
对于一般方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为方程的系数，D为常数项，可以通过法向量的系数A、B、C来确定该平面的法向量。
点法式方程是通过平面上的一点和法向量来表示平面方程的形式，截距式方程是通过平面与坐标轴的截距来表示平面方程的形式。
向量法方程是通过平面上的一点和与平面垂直的一个向量来表示平面方程的形式。
空间直线也是空间解析几何的重点内容之一。
在考研数学一大纲中要求掌握空间直线的点向式方程、对称式方程以及向量式方程。
点向式方程是通过直线上的一点和方向向量来表示直线方程的形式，对称式方程是通过直线与坐标轴的截距来表示直线方程的形式。
向量式方程是通过直线上一点和与该直线平行的一个向量来表示直线方程的形式。
二、平面及空间中的曲面方程在考研数学一的大纲中，平面与空间中的曲面方程也是重要的内容。
常见的曲面方程包括二次曲面方程、柱面方程、圆锥曲线方程等。
二次曲面方程的一般形式为Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、K、L为方程的系数。
不同的二次曲面有不同的特点和性质，例如椭球、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面等。
柱面方程是通过直线沿着某一方向无限延伸而形成的表面。
柱面方程的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为方程的系数。
圆锥曲线方程是由一个点（焦点）和一个直线（准线）确定的曲线。
圆锥曲线方程的一般形式为(x-a)^2+(y-b)^2-(z-c)^2=0，其中(a, b, c)为焦点的坐标。
2023年高考之立体几何和空间向量考点解读
3
=
2
1
1
|AB|·|BC|=
×2×
2
2
1
所 以 VP-ABC = S△ABC ·|PM|=
2 2=2 2,
3
1
26
。
×2 2× 3=
3
3
考查,
一是空间线面关系 的 命 题 真 假 的 判 断,
以选填题的形式考查,
属 于 基 础 题;
二是空间
线线、
线面、
面面平行和垂 直 关 系 交 汇 的 综 合
命题,
(
2)若 ∠POF =1
2
0
°,求 三 棱 锥 PABC
|A1A| -|AM| =
2
6
。
2
2
1
2=
2
解 析:(
1)连 接 DE ,
OF ,设 |AF|=
→
→
→
则 B→
t|AC|,
F =BA + AF = (
1-t)
BA +
→
→
所求体积 V =
76
。
=
6
1
6
×(
4+1+ 4×1)
×
3
2
考点解读:空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 是 立
则该圆锥的
1
2
0
°,
4
体积为(
胡银伟
33
2
=
2
-
3
2
2
|PC| -|OC|
2
2
=
= 6。所以圆锥的体积 V
1
1
2
2
π×|OA| ×|PO|= π× (3)× 6=
管综初数历年真题考点之空间几何分析
管综初数历年真题考点之空间几何分析跨考教育 初数教研室 程龙娜空间几何体是管理类联考当中每年易出的知识点，且常以问题求解的方式进行，每年一般涉及一道问题，且比较容易，只要掌握了长方体、正方体、圆柱体及球体的一些基本知识，比如：表面积、体积、体对角线及内接外接等问题，理解清楚题意，解决此类问题还是比较容易的。
2016年的真题当中也对此类问题进行了考查，因此考生只需牢记基础知识，灵活运用，这个知识点还是比较容易得分的。
下面，跨考教育初数教研室程龙娜结合历年真题，就这部分内容看看是如何进行考查的。
【2011.1】现有一个半径为R 的球体，拟用刨床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体积是（ ）()()()()()3333388341339339A RB RC RD RE R 【解析】本题考查空间几何中的外接球问题，正方体外接球的半径是其体对角线的一半，因此有：设正方体的边长为a ，其对角线长度为3a ，则32a R =，即23a R =因此，正方体的体积为33328393a R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭【答案】B【2012.01】如图，一个储物罐的下半部分是底面直径与高均是20m 的圆柱体，上半部分（顶部）是半球形的，已知底面与顶部的造价是2400/m 元，侧面的造价是2300/m 元，该储物罐的造价是（ ）万元()()()()()56.5262.875.3687.92100.48A B C D E【解析】本题考查的是圆柱体与球体的表面积计算公式，由题目可知，圆柱体的底面半径和球体的半径相等，均为10m ，底面与顶部的表面积为：221104103002πππ+=，侧面的表面为长方形，面积为：2020400ππ⨯=。
因此总共造价为：440030030040075.3610ππ⨯+⨯≈⨯【答案】C【2014.01】如图正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，F 是棱C D ''的中点，则AF 的长为（ ）()()(()()3552223A B C D E【解析】本题考查空间几何中的长度问题作辅助线，连接'AD ，得到直角三角形'AD F ，其中：'22AD =，'1D F =，则22''3AF AD D F =+=【答案】A【2015.01】底面半径为r ，高为h 的圆柱体表面积记为1S ；半径为R 球体表面积记为2S . 则12S S ≤（1）2r h R +≥（2）23h r R +≤ 【解析】2122S r rh ππ=+；224S R π=()222212224224S S r rh R r rh R ππππ-=+-=+-条件（1）：222244222r h r h R R r rh h ++⎛⎫≥⇒≥=++ ⎪⎝⎭ 即()()()222222212224222S S r rh R r rh r rh h r h πππ⎡⎤-=+-≤+-++=-⎣⎦ 根据条件1不能确定半径r 和高h 的大小关系，因此不能确定12S S -的正负，不充分 条件（2）：()22224442244339r rh h h r h r R R ++++⎛⎫≤⇒≤= ⎪⎝⎭即 ()()()()221222222444422227899S S r rh R r rh h r rh r h r h πππ-=+-≥⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪+-=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 根据条件2不能确定半径r 和高h 的大小关系，因此不能确定12S S -的正负，不充分 条件（1）+（2）： 223r h h r R ++≤≤可知223r h h r r h ++≤⇒≤ ()()()2212227809r h r h S S r h ππ-+≤-≤-≤所以有120S S -≤成立，充分【答案】C【2016.01】如图5，在半径为10厘米的球体上开一个底面半径是6厘米的圆柱形洞，则洞的内壁面积为（单位为平方厘米）（ ）（A ）48π （B ）288π (C)96π (D)576π (E)192π【解析】圆柱形的体对角线为球体的直径20厘米，体对角线、圆柱底面直径、圆柱体的高恰好构成直角三角形，则利用勾股定理求得圆柱的高：16122022=-厘米， 洞的内壁面积是圆柱的表面积，即ππ1922=rh【答案】E 文章来源：跨考教育。
(整理)考点37空间直角坐标系空间向量及其运算
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考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算一、解答题1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2. （1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，建系，利用向量法求解.【解析】（1）//,,DE BC AC BC DE AC ⊥∴⊥，1,DE A D DE CD ∴⊥⊥，111,,A D CD D DE ACD DE AC =∴⊥∴⊥面又11,,AC CD CD DE D AC BCDE ⊥=∴⊥面.（2）由（1）可知，1,,CB CD AC 两两互相垂直，分别以它们为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则1A,(0,1,3),(1,2,0),M CM BE ==-AB CDECBE D A 1M图1图21(3,0,A B =-，设平面1A BE 的法向量为1111(,,)n x y z =，由11111112030n BE x y n A B x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得11(1,2n =，设所求线面角为α，则1132sin 22n CM α⋅=+=，sin α=， [0,]2πα∈，4πα∴=.（3）假设存在这样的点P ，设点P 的坐标为(m,0,0)，04m ≤≤3,(0,2,0)D ,1(,0,A P m =- 1(0,2,A D =-,设2222(,,)n x y z =为平面1ADP的法向量，由21222122020n A P mx n A D y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2z=26(n m =，又11A DP A BE 平面与平面垂直，12n n ∴⋅=633022m ++=，解得2m =-（舍去）.所以不存在点P.2.（2012·辽宁高考理科·T18）如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点.(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值.【解题指南】（1）由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求λ的值【解析】（1）连接,AB AC '',由已知得M 为AB '的中点，又N 为B C ''的中点，所以MN 为三角形AB C ''的中位线，故MN ∥AC ',又MN A ACC AC A ACC '''''⊄⊂平面，平面， 因此（2）以A 为坐标原点O ，分别以直线,,AB AC AA '为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -，设1AA '=，则AB AC λ==,从而(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,1),(,0,1),(0,,1)A B C A B C λλλλ'''所以1(,0,),(,,1)2222M N λλλ设(,,)m x y z =是平面A MN '的一个法向量，由00m A M m MN ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10221022x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取1x =，则1,y z λ=-=，故(1,1,)m λ=-设(,,)n a b c =是平面MNC 的一个法向量，由00n NC n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得取1b =-，则3,a c λ=-=，故(3,1,)n λ=--因为A MN C '--为直二面角，所以0(1,1,)(3,1,)0m n λλλ⋅=⇒-⋅--=⇒=.3.（2012·天津高考理科·Ｔ17）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，∠BCA==2PA AD ，=1AC .DBAP(Ⅰ)证明PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长.【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷.【解析】方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B )0,21,21( ，P （0,0,2），（Ⅰ）易得),2-,1,0(=PC ),0,0,2(=AD 于是0.=AD PC ，所以PC ⊥AD. （Ⅱ）PC (0,1,-2),=CD (2,1,0),=-设平面PCD 的一个法向量n ),,,(z y x n =则不妨令1=z ，可得n )1,2,1(=，可取平面PAC 的一个法向量m )0,0,1(=，于是从而所以二面角A-PC-D 的正弦值为630.（Ⅲ）设点E 的坐标为（0,0,h ）,其中]2,0[∈h ，由此得11(,,),22BE h =-由(2,1,0),CD =-故BE CD cos BE,CD |BE ||CD |10<>==， 所以2330cos 2010302==+h ，解得1010=h ，即1010=AE .关闭Word 文档返回原板块。
2019安徽公务员考试公共基础科技知识：宇宙空间领域考点剖析3篇
2019安徽公务员考试公共基础科技知识：宇宙空间领域考点剖析3篇2019安徽公务员考试公共基础科技知识：宇宙空间领域考点剖析12019安徽公务员考试公共基础科技知识：宇宙空间领域考点剖析作为公共基础科技知识的一部分，宇宙空间领域是备受关注的一个考点。
随着人类对宇宙和太空的探索和研究不断深入，这个领域也得到了不断拓展和完善。
本文将从宇宙空间领域的基础概念、历史进程以及前沿技术等多个方面，为大家深入剖析宇宙空间领域这一考点。
一、宇宙空间领域的基础概念宇宙空间领域，是指人类在地球之外所探索的广阔领域。
它包括了太空、天体物理学、宇宙学等多个领域，是人类科技进步和文明发展的重要体现。
在宇宙空间领域，我们探索和研究的主要物体是星球和恒星，以及各种行星、卫星和彗星等小天体。
研究的主要内容包括了恒星物理学、宇宙起源、太阳系形成和演化等。
二、宇宙空间领域的历史进程人类对宇宙和太空的探索始于古代文明。
古代人类通过肉眼观察星象，初步探索了天空的奥秘。
中世纪，单纯的观察转变为天文学，开启了人类对宇宙的正式研究。
17世纪，伽利略等天文学家通过望远镜研究太阳系中的行星，推动了天文学的快速发展。
20世纪，人类进入了太空时代，成功实现了第一次载人航天、登月和空间站的建设等重要事件。
21世纪，随着科技的不断进步，人类探索宇宙的局限性也被逐步突破，各国纷纷加强对宇宙空间领域的研究和开发，以期推进人类未来的科技发展。
三、宇宙空间领域的前沿技术在宇宙空间领域的研究中，科技的不断进步推动着人类对宇宙的认知越来越深入。
以下是一些宇宙空间领域的前沿技术：1. 火箭技术火箭技术是人类进入太空的关键技术之一。
不断的技术改进和升级，使得火箭在重载、高速度等方面都得到了提升，成为太空探索和开发的重要手段。
2. 光学技术光学技术在宇宙空间领域中的应用越来越广泛。
通过望远镜等设备，人类可以观察到更遥远、更细微的宇宙现象。
光学技术日益精湛，除了具有重要经济价值，也为宇宙与空间科学的研究提供了更多的数据和信息。
2015年空间分析复习资料---cuit
空间分析复习指南（红色字体为老师给出的重点）实验一：区域植被指数提取：1.在ArcCatalog中新建一个面图层；2.编辑面图层，画出二环路的范围，保存该图层；3.利用掩膜提取工具提取出二环路内栅格数据；4.打开建模工具，建立计算NDVI模型(NDVI=(TM4-TM3)/(TM4+TM3))，将其重分类，分类标准为0-0.2、0.2-0.4、0.4-1；5.保存模型并运行，打开运行结果得到重分类后NDVI。
打开其属性表，添加area字段,用栅格计算器计算各类制备覆盖面积。
公式为[COUNT] *30 *30。
实验二：公路选线1.加载相应图层，利用高程生成坡度；2.对土地利用进行重分类；3.相同方法对坡度进行重分类，坡度等分十类；4.利用栅格计算器合并数据集，得到成本栅格，（坡度* 0.6 +土地利用* 0.4）；5.将学校和成本栅格输入成本距离工具，输出距离成本和方向栅格数据；6.将距离成本、方向和公路起点数据输入成本路径工具，执行最优路径选择；7.地图中新增的一条线即为最优路径。
实验二拓展：商业连锁店选址1.打开建模工具，建立密度分析模型，输入人口统计数据，利用Kernel Density工具得到人口密度栅格数据；2.建立直线距离分析模型，输入商业网点，利用Euclidean Distance 工具得到空间各点到最近商业点的直线距离；3.利用栅格计算器得到复合要求的选址栅格图，（人口密度>3000 &直线距离>500），注意分析单位为米；4.利用栅格转面工具，将栅格结果转换为矢量结果，得到的结果为商业连锁店选址。
实验三：城市土地区位评价1.打开ArcMap，加载相应图层；2.设置显示坐标系为高斯投影6分带18带；3.按显示坐标系统导出数据；4.打开欧式距离工具，对主要商业点图层，选择一级商业点，对一级商业点做“欧式距离”距离分析；5.同样的方法对二级商业点做“欧氏距离”分析；6.打开栅格计算器，对第4、5步骤得到的两个栅格图层按照公式进行计算，（fi(1- di÷d)）；7.打开像元统计数据工具对第6步骤得到的两个结果进行“像元统计”取最大值得到G1；8.利用对商业点图层处理相同的方法对道路分三级，做栅格计算和“像元统计”最大值得到G2；9.利用栅格计算器将第7、8步骤最后结果分别进行负值取0处理；10.利用“栅格计算器”做最终区位评价，（0.6*G1+0.4*G2）。
地理信息系统考点 (1)
1、地理信息：所有与地理位置有关的信息。
2、地理信息系统：是一种计算机系统，该系统通常由若干个相互关联的子系统构成。
3、GIS中的地理空间：包括地理空间实体及其连接特征定位框架。
4、地理空间：指上至大气电离层，下至地壳与地幔交界的莫霍面之间的空间区域。
5、拓扑关系的概念：当几何图形发生变形的过程中保持不变的相对位置关系。
6.矢量数据结构：是隐式的形式，是利用欧几里得几何学中的点线面及其组合体来表示地理实体空间分布的一种数据组织方式。
【实体数据结构、拓扑数据结构、曲面数据结构】7.删数据结构：基于栅格模型的数据结构，是指将空间分割为有规则的网格，称为栅格单元，在各栅格单元上给出相应属性值来表示地理实体的一种数据组织形式。
8.空间数据库概念：GIS在计算机物理存储介质上存储的点与应用相关的地理空间数据的集合。
9.空间数据的内插：根据已知点或分区的数据构建模型来计算位置点和分区的方法。
10.数据模型：是对现实世界部分现象的抽象，它描述数据结构与数据之间的相互关系，是数据库系统中关于数据内容，数据联系的逻辑的表示，以抽象的形式描述一个部门或系统的业务活动和信息流程。
11.空间分析：是指以地理事物的空间位置和形态为基础，以地理学原理为依托，以空间数据运算为特征，提取与产生新的空间信息的技术和过程。
12.缓冲区分析：是研究数据库的点线面的实体，自动建立其周围一定宽度范围内的缓冲区多边形实体，从而实现空间数据在水平方向得以信息扩展分析的方法。
13.叠置分析：是将有关主题层组成的数据层面，进行叠加产生一个新数据层面的操作，其结果综合了原来的两层或多层要素所具有的属性（是属性值的运算）。
14.数字地面模型（DTM）：是定义于二维区域上的一个有限项的向量序列，它以离散分布的平面点来模拟连续分布的地形。
DTM中属性为高程的要素叫数字高程模型（DEM）。
15.栅格数据的聚合聚类分析：将一个单一层面的栅格数据系统经某种变换而得到一个具有新含义的栅格数据系统的数据处理过程，也有人将这种分析方法称之为栅格数据的单层面。
第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题3 第1讲 空间几何体、空间中的位置关系(小题)
第1讲空间几何体、空间中的位置关系(小题)热点一三视图与直观图1.一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.2.由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面，再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体.例1(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为()(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.跟踪演练1(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()A.①④B.②③C.②④D.①②(2)(2019·江西省重点中学盟校联考)如图所示是一个几何体的三视图及有关数据，则该几何体的棱的长度中，最长的是()热点二表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.例2(1)(2019·菏泽模拟)如图，为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.(12＋43)πB.(6＋23)πC.(9＋23)πD.(15＋43)π(2)(2019·厦门模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.14π3D.16π9跟踪演练2 (1)(2019·江南十校质检)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线(实线、虚线)画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为( )A.20B.20＋π4C.20＋3π4D.20＋5π4(2)(2019·沈阳市东北育才学校模拟)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A.2B.83 C.6 D.8热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.例3 (1)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 和△PBC 均为边长为3的等边三角形，且P A ＝362，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为( )A.13136πB.10103πC.5152πD.556π(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )A.25π4B.25π16C.1 125π4D.1 125π16跟踪演练3 (1)(2019·榆林模拟)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知底面ABC 为正三角形，AA 1⊥平面ABC ，AB ＝63，AA 1＝16，则该三棱柱外接球的表面积为( ) A.400π B.300π C.200π D.100π(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( )A.12B.13C.14D.18热点四 空间线面位置关系的判断 高考中判断空间线面位置关系的注意点：(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断.(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解. 例4 (1)已知直线a ，b ，平面α，β，γ，下列命题正确的是( ) A.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a ，则a ⊥γB.若α∩β＝a ，α∩γ＝b ，β∩γ＝c ，则a ∥b ∥cC.若α∩β＝a ，b ∥a ，则b ∥αD.若α⊥β，α∩β＝a ，b ∥α，则b ∥a(2)(2019·淄博模拟)如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为________.跟踪演练4(1)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥nB.若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC.若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nD.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n(2)(2019·怀化模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°真题体验1.(2018·全国Ⅰ，理，7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正(主)视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.217B.2 5C.3D.22.(2019·全国Ⅰ，理，12)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A.86πB.46πC.26πD.6π3.(2018·全国Ⅱ，理，9)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55 D.22 押题预测1.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P －ABC 的体积为V 1，三棱锥O －ABC 的体积为V 2，若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( ) A.16π9 B.64π9 C.3π2D.6π 2.如图，点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的结论的个数是( )3.已知某实心机械零件的三视图如图所示，若该实心机械零件的表面积为66＋4π，则a ＝________.A 组 专题通关1.已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法： ①若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β；②若l ∥α，α∥β，则l ∥β； ③若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β；④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β. 其中说法正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.42.如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点.下列判断正确的是( )A.当CD ＝2AB 时，M ，N 两点不可能重合B.M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C.当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D.当AB ，CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行3.(2019·龙岩模拟)母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为( )A.16πB.8πC.16π3D.8π34.(2019·龙岩模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为( )A.2 2B.3C.2 3D.25.(2019·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图为半圆，则该几何体的表面积为( )A.6＋4πB.6＋3πC.9＋4πD.9＋3π6.(2019·长春模拟)一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则这个几何体的体积为( )A.32B.643C.323D.87.(2019·河南名校联盟联考)榫卯(sǔnm ǎo)是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为( )A.8＋16π，2＋8πB.9＋16π，2＋8πC.8＋16π，4＋8πD.9＋16π，4＋8π8.(2019·成都模拟)某多面体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为( )A.618πB.69πC.63πD.13π9.(2019·泸州模拟)已知一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆(如图所示)，则这个几何体的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D.2π 10.(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105 D.3311.对于四面体A －BCD ，有以下命题：①若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心； ③四面体A －BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A －BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6.其中正确的命题是( )A.①③B.③④C.①②③D.①③④12.(2019·乌鲁木齐模拟)已知三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等.若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( ) A.36 B.12 C.13 D.3213.(2019·安徽省六安市第一中学模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折叠，其正(主)视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B ，D 形成三棱锥B －ACD ，则其侧(左)视图的面积为________.14.(2019·全国Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.15.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，点D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .16.(2019·济南外国语学校模拟)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 1＝1，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论： ①若PD ＝3，则满足条件的P 点有且只有一个； ②若PD ＝3，则点P 的轨迹是一段圆弧； ③若PD ∥平面ACB 1，则DP 长的最小值为2；④若PD ∥平面ACB 1，且PD ＝3，则平面BDP 截正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形的面积为9π4.其中所有正确结论的序号为________.B组能力提高17.(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)如图，在侧棱长为3的正三棱锥A－BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于23，则动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度为________.18.(2019·江南十校模拟)已知点A，B，C在半径为2的球O的球面上，且OA，OB，OC两两所成的角相等，则当三棱锥O－ABC的体积最大时，平面ABC截球O所得的截面圆的面积为________.。
2024届高考地理必备考点之城市空间结构
2024届高考地理必备考点之城市空间结构城市空间结构是指城市在空间上的布局和组织结构。
城市空间结构的形成与城市发展的历史、地理环境、经济发展和规划管理等诸多因素有关。
城市空间结构包括城市内部的空间结构和城市之间的空间结构两个方面。
一、城市内部的空间结构城市的内部空间结构主要包括城市的居住空间、商业空间、工业空间和公共设施空间等。
不同功能的空间在城市内部形成相互关联、相互作用的空间网络。
1.居住空间城市的居住空间主要包括住宅区、住宅小区、居住建筑等。
居住空间通常分为高档住宅区、中档住宅区和低档住宅区。
高档住宅区多集中在城市中心和繁华商业区附近，而低档住宅区多集中在城市的边缘地带。
2.商业空间城市的商业空间主要包括商业街、商场、超市等商业场所。
商业空间通常分为中心商业区和周边商业区。
中心商业区通常是城市的商业中心，商业活动繁荣，商业设施齐全。
而周边商业区则是中心商业区的辐射区，商业活动相对较少。
3.工业空间城市的工业空间主要包括工业区、工业园区、工业厂区等。
工业空间通常分为重工业区和轻工业区。
重工业区通常位于城市的郊区或者远郊，而轻工业区则更多的分布在城市的中心地带。
4.公共设施空间城市的公共设施空间主要包括学校、医院、博物馆、图书馆、公园等公共设施。
这些公共设施通常分布在城市的各个区域，以便为市民提供便利的服务。
二、城市之间的空间结构1.城市体系结构城市体系结构包括中心城市、次中心城市、普通城市和小城镇等城市类型。
中心城市通常是具有政治、经济、文化等方面的总部功能和辐射功能，次中心城市则是中心城市的辐射区，普通城市和小城镇则是次中心城市的辐射区。
2.城市区域结构城市区域结构包括城市主体区、城市辐射区和城市影响区等。
城市主体区是城市的核心区域，包括市中心、商业中心、文化中心等；城市辐射区是城市的扩展区域，包括市郊区域、工矿区等；城市影响区是城市对周边地区的影响范围，包括城市周边地区的经济、社会、文化等方面的影响。
空间向量考点演变分析
引入后一段 时间 内， 形成 了用传 统几何可证可 解， 用空间 向量也可 以解决 的命题特征， 这一特 征在 目前有的省市仍然在坚持． 也就是说， 无论 如何， 立体几何题 降低难度 已是大势所趋．
二、有关空间向量命题 的争论 空间向量的引入， 使得立体几何 由以证为主 演变为 以算为主， 但是有一个问题 较难处理： 若
的课 题 ．
［ Ｂ ｃｍａｎＣＥ Ｔ ｏ ｓｎ Ｓｎ １ ｅｋ ｎ ， ｈ ｍｐｏ Ｒ，ｅｋ 】 Ｄ Ｓ
Ｌ． ｓ ｓｉ ｇ Ｓ ｕ ｅ ｔ ’ ｄ ｒ ｔ ｎ ｉ ｇｏ ｕ — Ａｓ ｅ ｓｎ ｔ ｄ ｎ ｓ Ｕｎ ｅ ｓａ ｄ ｎ ｆ ｎｃ Ｆ
ｔ ｎｉ ａ ｒｐ ｉｇ ａ ｕａｏ ｎ ｉ ｎ ｎ［ ． ｉ ｓ ａｈｎ ｌ ｌ ｒ ｖ ｏｍｅｔ ］ ｏ ｎ Ｇ Ｃ ｃ ｔ Ｅ ｒ Ｊ
故 ＢＥ ＝ ＥＢ１ ．
该题第 １ 小题 以填空题形式 出现， 过多地 限 制 了考 生思维， 人为地增大 了难度； 而第 Ⅱ 小题 也是 因为所需作的辅助线太 多使得难度过大， 该 题在当时的评价报告 中被认为属于废题． 这两次尝试都 以失败告终， 这一方面决定 了 立体几何 “ 出难题， 不 至多出 中等题” 的总方 针， 并逐渐 形成第 １ 小题证 明， Ⅱ 第 小题求值 的命题
２ １９ 年全 国卷 第２ 题： ． ９６ ２ 如图２ 在正三棱柱ＡＢＣ－ Ｂｚ ｌ Ｅ ∈ ， Ａ１ Ｃ 中， ＢＢ ， Ｉ 截面 Ａ ＥＣ 上侧面 １
～ ～ ～ ～ ～ ～ ｒ ～ ～ ，、 ～ ～ ～ ～ ～ ～
ＢＦ、ＦＧ 电 ＡＢ ＝ ＢＣ得 ＢＦ ＡＣ．
② ’ ． ．
Ｓ ｈ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ａ ｈ ｍ ａ ｉｓ ９ ９ ９ ：５ ｃ ｏ ｌＳ ｉｎ ｅ ａ ｄ Ｍ ｔ ｅ ｔｃ ，１ ９ ， ９ １
空间直线与平面与平面与平面的平行(重难点突破)解析版
专题07 空间直线与平面、平面与平面的平行一、考清分析二、考点梳理考点一直线与平面平行的判定定理和性质定理考点二平面与平面平行的判定定理和性质定理四、题型分析重难点题型突破1 线面平行例1.（1）（福建省龙岩一中2019届期末）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α与直线l至少有两个公共点D.α内的直线与l都相交【答案】B【解析】因为l⊄α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线.（2）.（云南省曲靖一中2019届期末）如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能【答案】B【解析】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.【变式训练1-1】、如图，四边形ABCD是平行四边形，AF∥DE，DE＝2AF.求证：AC∥平面BEF.【证明】设AC∩BD＝O，取BE中点G，连结FG，OG，∴OG∥DE且OG＝12DE.∵AF∥DE，DE＝2AF，∴AF∥OG且AF＝OG，∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO.∵FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF.例2.（江西省吉安一中2019届期中）如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF 的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ， 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .【变式训练2-1】、（江西省景德镇一中2019届质检）已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 的中点.(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)平面BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.(1)证明 在平行四边形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 的交点为O ，则O 是AC 的中点. 又E 是PA 的中点，连接EO ，则EO 是△PAC 的中位线，所以PC ∥EO ， 又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC ∥平面EBD .(2)解 设三棱锥E －ABD 的体积为V 1，高为h ，四棱锥P －ABCD 的体积为V ， 则三棱锥E －ABD 的体积V 1＝13×S △ABD ×h ，因为E 是PA 的中点，所以四棱锥P －ABCD 的高为2h ，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×S 四边形ABCD ×2h ＝4×13S △ABD ×h ＝4V 1，所以(V －V 1)∶V 1＝3∶1，所以平面BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3. 重难点题型突破2 面面平行例3、（2020年南通学情调研）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)∵在△A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴GH与BC确定一个平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易证A1G EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.【变式训练3-1】、如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1) BE∥平面DMF；(2) 平面BDE∥平面MNG.【解析】(1) 如图所示，设DF与GN交于点O，连结AE，在平行四边形ADEF中，G，N分别为EF，AD的中点，所以AE必过点O，且O为AE的中点．连结MO，因为M为AB的中点，所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2) 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.【变式训练3-2】、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．(1) 证明：PB∥平面AEC；(2) 在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．【解析】 (1) 连结BD ，交AC 于点O ，连结EO. 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB. 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC.(2) PC 的中点G 即为所求的点． 证明如下： 连结GE ，FG. 因为E 为PD 的中点， 所以GE ∥CD ，GE ＝12CD.又F 为AB 的中点，且四边形ABCD 为矩形， 所以FA ∥CD ，FA ＝12CD ，所以FA ＝GE ，FA ∥GE ， 所以四边形AFGE 为平行四边形， 所以FG ∥AE.又FG ⊄平面AEC ，AE ⊂平面AEC ， 所以FG ∥平面AEC.。
第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案
第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
新高考数学复习考点知识专题讲义26---空间几何体
新高考数学复习考点知识专题讲义第26讲 空间几何体[考情分析]几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，多以小题的形式进行考查，属于中等难度． 考点一表面积与体积 核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． 2．空间几何体的体积公式 V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； V 锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．例1(1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案402π解析因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r，则母线长l＝2r.在△SAB中，cos∠ASB＝78，所以sin∠ASB＝158.因为△SAB的面积为515，即12SA·SB sin∠ASB＝12×2r×2r×158＝515，所以r2＝40，故圆锥的侧面积为πrl＝2πr2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D －BB1C1的体积为________．答案23 3解析如图，取BC的中点O，连接AO .∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2， ∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3. ∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3. 又11BB C S＝12×2×2＝2，∴11D BB C V ＝13×2×3＝233.易错提醒(1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)． (2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解． (3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．跟踪演练1(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为() A ．122πB ．12π C ．82πD ．10π 答案B解析设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．答案327解析设CD ＝DE ＝x (0<x <1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x )(1－x )＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0.∴当x ＝33时，V max ＝327. 考点二多面体与球 核心提炼解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．例2(1)已知三棱锥P －ABC 满足平面P AB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 答案64π解析 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面P AB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面P AB 上， 即球心就是△P AB 的外心，根据正弦定理AB sin ∠APB ＝2R ，解得R ＝4，所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2022·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案23π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面P AB ，如图所示，则△P AB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB 中，P A ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ， 故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π.规律方法(1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S－ABC的外接球球心O的确定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到过O1的平面ABC的垂线l，在l上找点O，使OS＝OA，点O即为三棱锥S－ABC的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．跟踪演练2(1)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π答案C解析如图所示，设球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝12，2R因为V O－ABC＝V C－AOB，而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大， 此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知P A ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．答案20π解析∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3，∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1，则43πR 31＝92π，解得R 1＝322.∵P A ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A 22＋r 21， 可得P A 2＝R 21－r 21＝102，∴P A ＝10.正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10， ∴r 2＝102， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题强化练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个()A ．等边三角形B ．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形答案A解析AO＝2A′O′＝2×32＝3，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2.在Rt△AOB中，AB＝12＋(3)2＝2，同理AC＝2，所以原△ABC是等边三角形．2．(2022·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12答案C解析设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h′，则由已知得h2＝12ah′.如图，设O为正四棱锥S－ABCD底面的中心，E为BC的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，∴h ′2＝12ah ′＋14a 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)．3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于()A.12B.13C.14D.18 答案C 解析如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长，则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形， 设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径， 则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14.4．(2022·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体的费用最少为()A ．4500元B ．4000元C ．2880元D ．2380元 答案B解析因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1000元，所以气体的费用最少为4×1000＝4000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积()A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 答案B解析由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h (h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D．2π答案C解析如图，过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－13·π·CE2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3.7．(2022·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π答案A解析如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角形ABC的边长为a.由πr2＝4π，得r＝2，则33a＝2，a＝23，OO1＝a＝2 3.在Rt△OO1A中，由勾股定理得R2＝r2＋OO21＝22＋(23)2＝16，所以S球＝4πR2＝4π×16＝64π.8．(2022·武汉调研)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝23，∠BAC＝2π3，则球O的体积为()A.32π3B．3πC.4π3D．8π答案A解析设△ABC外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，∵AB＝AC＝1，AA1＝23，∠BAC＝2π3，∴2r＝ABsin∠ACB ＝112＝2，即O1A＝1，O1O＝12AA1＝3，∴OA＝O1O2＋O1A2＝3＋1＝2，∴球O的体积V＝43π·OA3＝32π3.故选A.9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9 B.4000π27C．81πD．128π答案B解析小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h (0<h <5)，底面半径为r (0<r <5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h <53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h <5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫25－259×⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋5＝4000π27，故选B.10．已知在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为() A.36B.12C.13D.32 答案C解析∵在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等， ∴此三棱锥的外接球即以P A ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， ∵球O 的半径为1，∴正方体的边长为233，即P A ＝PB ＝PC ＝233，球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13S △P AB ×PC＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形， S △ABC ＝233，∴h ＝23，∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13. 二、多项选择题11．(2022·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值 答案AD解析由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A正确；因为水面EFGH所在四边形，从图②，图③可以看出，EF，GH长度不变，而EH，FG的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B错；假设A1C1与水面所在的平面始终平行，又A1B1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A1B1C1D1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C错；水量不变时，棱柱AEH－BFG的体积是定值，又该棱柱的高AB不变，且V AEH－BFG＝12·AE·AH·AB，所以AE·AH＝2V AEH－BFGAB，即AE·AH是定值，故D正确．12.(2022·青岛检测)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝22，A1B1＝2，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，则下列叙述正确的是()A．该四棱台的高为 3B．AA1⊥CC1C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为16π答案AD解析将四棱台补为如图所示的四棱锥P－ABCD，并取E，E1分别为BC，B1C1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O1，O，连接AC，BD，A1C1，B1D1，A1O，OE，OP，PE.由条件知A1，B1，C1，D1分别为四棱锥的侧棱P A，PB，PC，PD的中点，则P A＝2AA1＝4，OA＝2，所以OO1＝12PO＝12P A2－OA2＝3，故该四棱台的高为3，故A正确；由P A＝PC＝4，AC＝4，得△P AC为正三角形，则AA1与CC1所成角为60°，故B不正确；四棱台的斜高h′＝12PE＝12PO2＋OE2＝12×(23)2＋(2)2＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C不正确；易知OA1＝OB1＝OC1＝OD1＝O1A21＋O1O2＝2＝OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D正确．三、填空题13．(2022·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．答案1解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.答案2600π解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm2)．15．已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为________．答案82 3π解析将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R＝22，则球O的体积V＝43πR3＝823π.16．(2022·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
高考数学考点重点剖析立体几何与空间向量的应用
高考数学考点重点剖析立体几何与空间向量的应用在高考数学中，立体几何与空间向量是非常重要的考点之一。
掌握了这些知识点，不仅可以在数学考试中取得较好的成绩，还能帮助我们在实际生活中解决问题。
本文将对立体几何与空间向量的应用进行详细的剖析，帮助考生更好地理解和掌握相关知识。
### 一、立体几何的基本概念与性质立体几何是研究空间图形的形状、大小、位置关系以及它们之间的性质和变化规律的数学学科。
在高考数学中，常见的立体几何知识包括平面与空间直线的位置关系、平面与平面的位置关系、点与线的位置关系等。
例如，我们可以用空间向量的方法来解决空间中线段的垂直、平行等性质问题。
空间直线的位置关系问题可以通过向量的夹角、垂直等性质进行分析。
另外，高考中还经常会考察空间多面体的性质，如正方体、长方体、棱柱、棱锥等的体积、表面积计算。
掌握了这些基本的概念与性质，我们可以更好地理解和解决高考中的立体几何问题。
### 二、空间向量的基本概念与运算法则空间向量是指具有大小和方向的量，它可以用有序数对表示。
在高考数学中，我们常常会遇到空间直角坐标系下的向量表示和运算的问题。
空间向量的基本概念包括向量的模、方向角等。
向量的模表示向量的长度，方向角表示向量与坐标轴的夹角。
空间向量的运算法则包括向量的加法、减法、数量乘法等。
通过对空间向量的运算法则的灵活应用，我们可以解决各类与向量相关的问题。
在高考数学中，立体几何与空间向量常常结合起来，形成复杂的应用题。
例如，在求解线段垂直平分线问题中，我们可以通过空间向量的方法，先求得线段的中点坐标，再判断垂直平分线的方程。
又如，在平面与空间直线的位置关系问题中，我们可以通过向量的夹角来判断它们之间的关系。
### 三、立体几何与空间向量的应用举例1. 平面与空间直线的位置关系考生在解决平面与空间直线的位置关系问题时，可以通过向量的夹角和垂直性质来进行分析。
2. 空间向量在图形平移中的应用考生在解决图形平移问题时，常常会用到空间向量的平移性质。
专题06 空间点、线与面的位置关系(重难点突破)解析版
专题01 空间点、线、面的位置关系一、考情分析二、考点梳理一、平面1．平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______________的，一个平面可以将空间分成_______________部分．2．平面的画法在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面．（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其邻边长的_______________倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．3．平面的表示为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：点P在直线a上，记作P_______________a；点Q不在直线a上，记作Qa；点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作B_______________α；直线a在平面α内，记作a_______________α；直线l不在平面α内，记作lα；直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．二、平面的基本性质1．三个公理（1）公理1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．（2）公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面．符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．（3）公理3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________．符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．【名师提醒】（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．2．公理2的三个推论（1）推论1：经过一条直线和_______________的一点，有且只有一个平面．符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：（2）推论2：经过两条_______________，有且只有一个平面．符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：（3）推论3：经过两条_______________，有且只有一个平面．符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：三、空间两直线的位置关系1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线．即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα．（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面．（1）_______________——同一平面内，有且只有一个公共点；（2）_______________——同一平面内，没有公共点；（3）_______________——不同在任何一个平面内，没有公共点．3．空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：（2）从是否共面的角度分类：四、公理4与等角定理1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相_______________．（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线，a∥b，b∥c_______________．（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．（2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．图（1）图（2）五、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_______________．3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是_______________，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；（2）证明：证明作出的角就是要求的角；（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．六、空间中直线与平面的位置关系1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有_______________种：①直线在平面内——有_______________个公共点；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；③_______________——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为_______________．2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．直线和平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类：；（2）按是否平行分类：；（3）按直线是否在平面内分类：．七、平面与平面之间的位置关系1．两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有_______________条公共直线．2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3．两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．三、题型分析(一) 空间直线的位置关系例1．（西藏拉萨中学2019-2020学年高一上学期期末）如图，正方体中，直线1AB 与1BC 所成角大小为（ ）．A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】C 【解析】连接111,,AD B D 如图1111,BC AD B AD ∴∠就是1AB 与1BC 所成角或其补角，在正方体中，1111==AD B D AB ∴，11=3B AD π∠， 故直线1AB 与1BC 所成角为60.故选C.（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，BM ∴⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，BM 是BDE ∆中DE 边上的中线，EN 是BDE ∆中BD 边上的中线，直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则BD ，BE ==，BM ∴=，EN a =，，故选B ．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1中点为M ，BC 中点为N ，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为（ ） A ．1 B ．45-C ．34-D ．0【答案】D【解析】由题得1||MN BC ,所以∠1ABC 就是异面直线AB 1与MN 所成角或补角.由题得AC ==,11AB BC12AB C π∴∠=，,所以异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为0.故选:D（2021·全国高三专题练习（文））如图，三棱锥P ABC -中，，PA PC ⊥，且3PA =，，2BC=，M 是PC 中点，14DB PB =，E 是AB 的中点，则异面直线DE 与BM 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．C ．D ．【答案】B 【分析】取PB 的中点N ，PM 的中点G ，连接AG 、NG 、AN ，则异面直线DE 与BM 所成角的平面角为ANG ∠，然后利用题目所给数据计算出AN ，AG ，NG ，然后利用余弦定理求解出ANG ∠的余弦值大小，得到异面直线DE 与BM 所成角的余弦值大小. 【详解】取PB 的中点N ，PM 的中点G ，连接AG 、NG 、AN ，则//NG BM ， ∵14DB PB =，∴D 是NB 的中点， 又∵E 是AB 的中点， ∴//BM GN ，∴ANG ∠为异面直线DE 与BM 所成的角或其补角，∵，PA PC ⊥，且PB PC P ⋂=，,PB PC 面PBC ，所以PA ⊥面PBC , 又∵122PN PB ==，1PG =， ∴在Rt PAN ∆中，， 在Rt PAG ∆中，，在BPC ∆中由余弦定理得2222224427cos 22448PB PC BC BPC PB PC +-+-∠===⋅⨯⨯，在NPG ∆中由余弦定理得NG =∴222222cos2156AN NG AGANGAN NG+-+-∠===⋅⋅，∴异面直线DE与BM所成角的余弦值为.故选：B.（2021·全国高三专题练习（文））已知M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是（）A．过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交B．过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直C．过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交D．过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行【答案】C【分析】根据题意作出图形，取1C C的中点N，设BN与11B C交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM 必与AB直线相交于某点O，根据线线关系和线面关系逐一判断即可.【详解】直线AB与11B C是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取1C C的中点N，则//MN AB，且MN AB=，设BN与11B C交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、11B C都相交，故A正确；过M点有且只有一条直线与直线AB、11B C都垂直，此垂线就是棱1DD，故B正确；凡是过的面均和AB、11B C都相交，即过M点有无数个平面与直线AB、11B C都相交，故C不正确；过M点有且只有一个平面与直线AB、11B C都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：C.(二) 空间直线的平行问题例2．（2019•新课标Ⅱ，理7文7）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】对于，α内有无数条直线与β平行，或//αβ； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，//αβ； 对于C ，α，β平行于同一条直线，或//αβ； 对于D ，α，β垂直于同一平面，或//αβ．故选B ．（2017•新课标Ⅰ，文6）如图，在下列四个正方体中，，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于选项B ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意；对于选项C ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；对于选项D ，由于//AB NQ ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意；所以选项满足题意，故选．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，则折起后B ，D 两点的距离为________.【答案】1.【解析】取AC 的中点E ，连结DE ，BE ，显然DE ⊥AC ，因为平面ACD ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥BE ，而122DE BE AC ===，所以，1BD ==.（2021·浙江高三其他模拟）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则直线m 与n 一定平行B ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则直线m 与n 可能相交、平行或异面C ．若m α⊥，//n α，则直线m 与n 一定垂直D ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 一定平行 【答案】C 【分析】根据线面、面面的判定定理及性质定理一一判断即可； 【详解】解：对于A ，m ，n 可能平行、异面、相交，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则直线m 与n 不可能平行，故B 错误； 对于C ，根据线面垂直、线面平行的性质可知直线m 与n 一定垂直，故C 正确；对于D ，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 可能平行，也可能异面，故D 错误． 故选：C（2021·浙江高三期末）已知m 、l 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊥，l β⊂，则“αβ⊥”是“//m l ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】利用面面垂直的性质、判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】充分性：若αβ⊥，设n αβ=，存在直线b β⊂，使得b n ⊥，由面面垂直的性质定理可得b α⊥，m α⊥，则//m b ，从而可得//m β或m β⊂，则m 与l 的位置关系不确定，充分性不成立； 必要性：m α⊥，//m l ，则l α⊥，l β⊂，αβ∴⊥，必要性成立.因此，“αβ⊥”是“//m l ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法； （2）集合法； （3）转化法.(三) 空间直线的垂直问题例3．（2017•新课标Ⅲ，文10）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥ C ．11A E BC ⊥ D ．1A E AC ⊥【答案】C【解析】连1B C ，由题意得，11A B ⊥平面11B BCC ，且1BC ⊂平面11B BCC ，111A B BC ∴⊥，，1BC ∴⊥平面11A ECB ，1A E ⊂平面11A ECB ，11A E BC ∴⊥，故选C ．【变式训练3-1】．（2013新课标Ⅱ，理4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l⊄α，l ⊄β，则（ ）． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】若α∥β，又m ⊥平面α，则m ⊥平面β，又∵n ⊥平面β，∴m ∥n ，与m 与n 异面矛盾，故A 错；若l ⊥β，∵n ⊥平面β，∴l ∥n ，与l ⊥n 矛盾；若α与β相交，设交线为a ，过n 上一点作直线b ∥m ，设b 与n 确定的平面为γ，∵m ⊥l ，∴b ⊥l ，∵l ⊥n ，∴l ⊥γ，又m ⊥平面α，n ⊥平面β，∴m ⊥a ， n ⊥a ，∴b ⊥a ，∴a ⊥γ，则a ∥l ，故选D ．【变式训练3-2】．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是（ ）．A ．B ．C ．既不垂直也不平行D ．的位置关系不确定 【答案】D【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D ．【变式训练3-3】．（2020·长沙市·湖南师大附中高二月考）在下列四个正方体中，能得出AB CD ⊥的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A1234,,,l l l l 14//l l 14,l l 14,l l【分析】由线面垂直的性质可判断A ，根据异面直线所成角的计算可判断BCD. 【详解】对A ，如图，连接BE ，则在正方体中，CD BE ⊥，又AE ⊥平面BCED ，CD ⊂平面BCED ，则AE CD ⊥，，CD 平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，CD AB ∴⊥，故A 正确；对B ，如图，连接AE ，易得//CD AE ，则BAE ∠为异面直线,AB CD 所成角，60BAE ∠=，故,AB CD 不垂直，故B 错误；对C ，如图，//CD BE ，则ABE ∠为异面直线,AB CD 所成角，易得，故,AB CD 不垂直，故C 错误；对D ，如图，//CD BE ，则ABE ∠为异面直线,AB CD 所成角，显然90ABE ∠≠，故,AB CD 不垂直，故D 错误. 故选：A.【变式训练3-4】．（2021·湖北高二月考）已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（ ） A ．,//m n m n αα⊥⇒⊥ B ．//,n n ββαα⊥⇒⊥ C ．//,m n m n ββ⊥⇒⊥ D ．//,//m n m n αα⊂⇒【答案】C 【分析】ABD 项均可举出反例，C 项可用线面垂直的判定定理说明 【详解】A. ,//m n m α⊥，则n 也可在平面α内，故选项A 不正确.B. //,n ββα⊥，则n 也可在平面α内, 故选项B 不正确.C. //,m n m n ββ⊥⇒⊥成立两平行线,m n ，m ⊥平面β，m 必垂直于β内的两条相交直线，则n 必定垂直于β内那两条相交直线，故n β⊥, 故C 正确. D. //,m n αα⊂，则,m n 也可是异面直线的关系. 故选项D 不正确. 故选：C(四) 空间直线与平面的综合问题例4．（2014浙江）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（ ）． A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 【答案】C【解析】选项,,A B D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C ． 【变式训练4-1】．（2014辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）．A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】对于选项A ，若//,//,m n αα，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m α⊥，m n ⊥，则或//n α，C 错误；对于选项D ，若//m α，m n ⊥，则//n α或或n 与α相交，D 错误．故选B ．【变式训练4-2】．（2013广东）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若,,,则B ．若,,,则C ．若,,,则D ．若,,,则 【答案】D【解析】A 中,m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n 还可能为异面；C 中m 应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，选D ．【变式训练4-3】．（2012浙江）设是直线，,αβ是两个不同的平面（ ） A ．若∥α，∥β，则α∥β B ．若∥α，⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，⊥α，则⊥β D ．若α⊥β, ∥α，则⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵∥α，⊥β，则αβ．如选项A ：∥α，∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，⊥α，∥β或；αβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥//αβm α⊂n β⊂//m n m n ⊥m α⊂n β⊂αβ⊥m α⊥//m n //n βαβ⊥l l l l l l l l l l l l l l l l β⊂选项D ：若α⊥β, ⊥α，∥β或⊥β．【变式训练4-4】．（2021·全国高三月考（理））若,,m n l 为空间三条不同的直线，,,αβγ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m l n l ⊥⊥，则//m n B ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥C ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβD ．若,,//,m n m n αββγ⋂=⋂=则//αβ【答案】B 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】,m l n l ⊥⊥时，,m n 的位置关系是相交，平行或者异面，A 错；//m α，则α内存在直线a ，使得（过m 的平面与α交线为a ），又m β⊥，因此a β⊥，从而αβ⊥正确；若,,αγβγ⊥⊥则,αβ可能相交，可能平行，C 错；若,m n αββγ⋂=⋂=，则,m n 可能相交也可能平行，D 错． 故选：B ．【变式训练4-5】．（2016·上海高二学业考试）设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ）A ．直线l 平行于直线mB ．直线l 与直线m 异面C ．直线l 与直线m 没有公共点D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C 【分析】根据线面的位置关系可选答案. 【详解】若直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，则直线l 平行于直线m 或直线l 与直线m 异面，所以直线l 与直线m 没有公共点 故选：C【变式训练4-6】．（2021·浙江高二期末）设mn 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命l l l题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥B ．//,,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥C ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥【答案】B 【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个判断可得答案. 【详解】对于A ，,,//m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒或α与β相交但不垂直或αβ⊥，故A 不正确；对于B ，因为//n β，过n 作平面γ交平面β于n '，所以//n n '，由//αβ，m α⊥可得m β⊥，所以m n '⊥，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，,,////m n m n αβαβ⊥⊥⇒或m 、n 相交且垂直或m 、n 相交但不垂直或m 、n 异面且垂直或m 、n 异面但不垂直，故C 不正确； 对于D ，,,//m n m n αβαββ⊥=⊥⇒或n β⊂或n 与β相交但不垂直或n β⊥.故选：B。
第33讲 空间中的平行关系(讲义版)
第33讲空间中的平行关系一、考情分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.二、知识梳理1.平行直线(1)平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2)基本性质4(空间平行线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b3.(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.三、经典例题考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】(1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若a⊥c，b⊥c，则a∥bB.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bD.若α∥β，a⊂α，则a∥β(2)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是()【答案】(1)D(2)B【解析】(1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.(2)在B中，如图，连接MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1直线与平面平行的判定【例2－1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，P A＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝12CB，∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴DE∥CB，DE＝12CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥DA，在Rt△P AD中，P A＝AD＝1，∴DP＝ 2.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CB，∵CB⊥AB，P A∩AB＝A，∴CB⊥平面P AB，∴CB⊥PB，则PC＝3，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，∴S△PDC ＝12×1×2＝22.连接EP，EC，易知V E－PDC＝V C－PDE，设E到平面PDC的距离为h，∵CD⊥AD，CD⊥P A，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，则13×h×22＝13×1×12×12×1，∴h＝24，∴点F到平面PDC的距离为2 4.角度2直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.考点三面面平行的判定与性质【例3】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.规律方法 1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.[方法技巧]1.转化思想：三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.4.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.5.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.6.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.7.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.四、 课时作业A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α内有无数个点到β的距离相等D ．,αβ垂直于同一平面A ．恰能作一个B ．至多作一个C ．至少作一个D ．不存在A ．线段1C FB ．线段CFC ．线段CF 和一点1CD ．线段1C F 和一点C ．A ．若b α⊂，//a b ，则//a αB ．若a α⊥，b α⊥，则//a bC ．若//a α，b αβ=，则//a bD ．若a α⊂，b α⊂，l a ⊥，l b ⊥，则l α⊥A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．α与β同时平行于同一条直线C ．α与β同时垂直于同一条直线D ．α与β同时垂直于同一个平面A ．α内有无数条直线与β平行B ．α、β垂直于同一平面C ．α、β平行于同一条直线D ．α内有两条相交直线与β平行A ．1B ．32C ．3D ．2∥C．MN AD D．以上均有可能A．MN PD B．MN PAA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件BD GHA．1B．BD EFC．平面EFGH平面ABCDA BCDD．平面EFGH平面11A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④①αββγαγ⎫⇒⎬⎭；②m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；③m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④m n m n αα⎫⇒⎬⎭． 其中正确的命题是（ ）． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④A ．若//αβ，//βγ，则//αγB ．若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a bC ．若//αβ，βγ⊥，则αγ⊥D ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．“m n ⊥”是“n α⊥”的充分条件B ．“//m n ”是“//m β”的既不充分又不必要条件C ．“//αβ”是“//m n ”的充要条件D ．“m n ⊥”是“αβ⊥”的必要条件A ．有一个B ．有无数多个C ．至多一个D ．不存在A ．若m ，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβB ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若//αβ，//m α，则//m βD ．m ，n 是异面直线，若//m α，//m β，//n α，βn//，则//αβ①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩． 其中的正确命题序号是（ ）A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①②④A ．2πB ．3πC ．4πD ．7πA ．22B ．6C ．5D ．7 A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④A ．l α⊂，m β⊂，//l mB ．l m ⊥，//l α，m β⊥C ．l α⊂，m α⊂，l β//，//m βD ．//l m ，l α⊥，m β⊥①直线1//AD 平面MNP ；②1HD CQ ⊥；③P ，Q ，H ，R 四点共面；④1A C ⊥平面11AB D .其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在①AP 与CM 是异面直线；②1,,AP CM DD 相交于一点；③1//MN BD ；④//MN 平面11BB D D .A ．①④B ．②④C ．①④D ．②③④A ．线段B ．三角形，且其所在平面平行于平面11AAC CC ．梯形，且其所在平面平行于平面11BB C CD ．平行四边形，且其所在平面平行于平面11AA B BA ．aB ．2aC ．2aD ．22aA ．22 B ．6 C ．2 D ．6（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值（1）求证：//MN 平面11BCC B ；（2）求证：MN ⊥平面11A B C ．（1）证明：1//B C 平面1BA D ；（2）求二面角1B A D C --的余弦值.（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(1)求证：EF ||平面11ABC D ；(2)四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为16π，求异面直线EF 与BC 所成的角的大小.。
空间几何体知识点解读及考点分析
空间几何体知识点解读及考点分析作者：陈昕李伟玉来源：《中学生数理化·高一版》2015年第10期一、知识点解读1.熟练掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征，熟练掌握圆柱、圆锥、圆台以及球的结构特征。
2.空间几何体的三视图画法要求：正视图（从前向后看）、俯视图（从上往下看）、侧视图（从左往右看，也叫左视图）；正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的长度一样，俯视图与侧视图的宽度一样。
即正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽。
3.空间几何体的直观图常用斜二测画法，其基本步骤是：（1）画几何体的底面。
（2）画几何体的高。
4.熟练掌握柱、锥、台和球的侧面积与体积公式的应用。
5.球的组合体常见结论及解法。
（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。
（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。
（3）球与正四面体的组合体：棱长为“的正四面体的内切球的半径为√6/12a，外接球的半径为√6/4a。
二、考点分析考点l：空间几何体的结构特征例1 下列四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点；⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥。
其中真命题的序号是。
解：对于命题①，显然符合平行六面体的定义，①是正确的。
对于命题②，底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，②是错误的。
对于命题③，如图1，PD⊥平面ABCD，其中底面ABCD为矩形，容易证明∠PAB，∠PCB为直角，这样四个侧面都是直角三角形。
由棱台的定义知，命题④是正确的。
当以斜边为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，⑤是错误的。
答案为①③④。
跟踪训练1：下列结论正确的是（）。
A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线提示：显然选项A、B、C错误。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解5---用空间向量研究直线、平面的位置关系
高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP→来表示．我们把向量OP→称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a，①把AB→＝a代入①式得OP→＝OA→＋tAB→，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·AP→＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.12.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .1考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1 , l2的方向向量，则l⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.12. 线面垂直的向量表示设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .知识点三 面面垂直的向量表示设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线l 过点(1,0,1)P -，平行于向量(211)S =,,，平面π经过直线l 和点(1,2,3)A ，则平面π的一个法向量n 的坐标为（ ）A ．1212⎛⎫- ⎪⎝⎭,,B ．1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,,C ．(1,0,2)-D ．(120)-,, 2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面α经过点(1,1,1)A 和(1,1,)B z -，(1,0,1)n =-是平面α的法向量，则实数z =（ ）A ．3B ．1-C ．2-D ．3-3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =1OCB 的法向量(),,n x y z =为（ ）A ．()0,1,1B ．()1,1,1-C ．()1,0,1-D ．()1,1,1--题型二：空间中点、直线和平面的向量表示4．（2021·全国·高二专题练习）已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②5．（2022·全国·高二）已知平面α内有一点A (2，－1,2)，它的一个法向量为(3,1,2)n =，则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(,,)OP xOA yOB zOC x y z R =++∈，则2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱111,BB B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A ．1A E 平面11CC D DB ．1A E ⊥平面11BCC B C ．11A ED F ∥D ．11AE DF ⊥8．（2022·山东淄博·高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，平面α的法向量为()1,1,1n =，直线l 的方向向量为m ，则下列说法正确的是（ ）A ．若11,,122m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则//l αB ．若()1,0,1m =-，则l α⊥C ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内9．（2022·安徽宣城·高二期末）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（ ）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB D C ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=10．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知1v 、2v 分别为直线1l 、2l 的方向向量（1l 、2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（ ）A ．1212v v l l ⇔∥∥；B ．111v n l α⊥⇔∥；C ．12n n αβ⊥⇔⊥D ．12n n αβ⇔∥∥11．（2021·安徽·高二期中）给出以下命题，其中正确的是（ ） A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为()2,1,1b =-，则l 与m 垂直 B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =，则l α⊥ C ．平面α､β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ∥D ．平面α经过三个点()1,0,1A -，()0,1,0B -，()1,2,0C -，向量()1,,n p q =是平面α的法向量，则53p q +=12．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线1l 与2l 的方向向量分别为()123,,a a a a =和()123,,b b b b =，则两直线1l 与2l 垂直的充要条件为（ ）A ．11a b λ=，22a b λ=，33a b λ=（R λ∈）B ．存在实数k ，使得a kb =C ．1122330a b a b a b ++=D ．a b a b ⋅=±⋅题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题13．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，P 、Q 是正方体表面上相异两点．若P 、Q 均在平面1111D C B A 上，满足1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥．(1)判断PQ 与BD 的位置关系； (2)求1A P 的最小值．14．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥.,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.(1)若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB ：(2)线段PD 上是否存在点M ，使NM 与平面PCD 6PM PD 值；若不存在，说明理由15．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)求证：B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)是否存在点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ？若存在，求出DG 的长度；若不存在，说明理由.【双基达标】一、单选题16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱ABC A B C '''-中，底面是以B 为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，那么BB '=（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1317．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面α的法向量为(342)n =-，，，(342)AB =--，，，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ）A ．AB α∥B ．AB α⊥C ．AB α⊂D ．AB α⊂或AB α∥18．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1A O //EFB ．1A O EF ⊥C ．1A O //平面1EFBD ．1A O ⊥平面1EFB 19．（2022·全国·高二）有以下命题： ①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直 其中真命题的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体ABCD A B C D ''''-，给出下列结论：①直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =；②直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =； ③平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =；④平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =．其中正确的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．421．（2022·全国·高二）已知直线1l 经过点1(1,2,3)P -，平行于向量1(1,1,2)s =-，直线2l 经过点2(1,2,0)P -，平行于向量2(0,1,1)s =，求与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标．22．（2022·全国·高二）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，13AN AE =．(1)求证：MN AD ⊥；(2)若1CD DE ==，求MN 的长．【高分突破】一：单选题23．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =--，平面α的一个法向量为()2,4,2b =-，则（ ）A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．//l α或l α⊂24．（2022·江苏苏州·高二期末）已知平面α的一个法向量为n =（2，－2，4）， AB =（－1，1，－2），则AB 所在直线l 与平面α的位置关系为（ ） A ．l ⊥αB ．l α⊂C ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α25．（2021·全国·高二如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，60BAC ∠=，2PA AB ==．以点B 为原点，分别以BC ，BA ，AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为m 和n ，则下面选项中正确的是（ ）．A ．点P 的坐标为()0,0,2-B ．()4,0,2PC =- C ．n 可能为()0,2,2-D ．cos ,0m n >26．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二）设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为1n ，2n ，l 和m 是不重合的两条直线，l ，m 的方向向量分别为1e ，2e ，那么αβ∥的一个充分条件是（ ）A ．l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥B ．l α⊂，m β⊂，且12e e ∥C ．11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥D ．11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥27．（2021·浙江金华第一中学高二期中）平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，点G 为线段AF 的中点，点P ，Q 分别为线段BE 和CE 上的动点（不包括端点）.若GQ DP ⊥，则线段PQ 的长度的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣⎭ 28．（2021·湖北·武汉市第十四中学高二阶段练习）设a ，b 是两条直线，a ，b 分别为直线a ，b 的方向向量，α，β是两个平面，且a α⊥，b β⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件29．（2021·河南·高二阶段练习（理））给出下列命题：①直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l m ⊥②直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l α⊥. ③平面,αβ的法向量分别为()()120,1,310,,,2n n ==，则//αβ.④平面α经过三点A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，向量()1,,=n u t 是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的序号是（ ）A ．②③B ．①④C ．③④D ．①②30．（2021·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知点(2A ，1-，2)在平面α内，(3n =，1，2)是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．(1P ，1-，1)B ．P 31,3,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭31．（2021·北京·汇文中学高二期中）若,αβ表示不同的平面，平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---，则平面α与平面β（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定32．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）已知直线l 的方向向量是(3,2,1)a =-，平面α的法向量是1,2(,)1n =-，则l 与α的位置关系是（ ） A ．l α⊥B ．//l αC ．//l α或l α⊂D ．l 与α相交但不垂直 二、多选题(共0分)33．（2022·浙江省长兴中学高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中，1,,,,CA CB CA CB CC D E M ⊥==分别为11B C ，11,CC AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则（ ）A ．对于棱AC 上任意点N ，有1MN BC ⊥B ．棱AC 上存在点N ，使得MN ⊥面1BC NC ．对于棱AC 上任意点N ，有MN 面1A DED ．棱AC 上存在点N ，使得MN DE ∥34．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．顶点B 到平面APC 2．存在点P ，使得1BD ⊥平面APC C ．AP PC +30．当P 为1BD 中点时，APC ∠为钝角35．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l 与m 垂直B ．若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--，则l α⊥C ．若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ⊥D ．若存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面36．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160DAB DAA BAA ∠∠∠===，1AB AD AA ==，点M ，N 分别是棱1111,D C C B 的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．1MN AC ⊥B ．向量1,,AN BC BB 共面 C ．1CA ⊥平面1C BDD ．若AB =1637．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（ ） A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 38．（2022·江苏宿迁·高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅= B ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则12//0n n αβ⇔⋅= C ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则1212//n n n n αβ⇔⋅=⋅ D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直39．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（ ）A ．1BD AP ⊥B ．AP PB +26+ C ．异面直线AP 与1A D 23D ．11APB C PD ∠=∠40．（2022·全国·高二课时练习）给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则12n n αβ⇔∥∥ B ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⇔⋅=∥C ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅=D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 三、填空题41．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面,ABC (1,2,3),(4,5,6)AB AC ==，写出平面ABC 的一个法向量n =______．42．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______． 43．（2022·全国·高二课时练习）已知1v ､2v 分别为不重合的两直线1l ､2l 的方向向量，1n､2n 分别为不重合的两平面α､β的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①2121////v v l l ⇔；②2121v l l v ⊥⇔⊥；③12////n n αβ⇔；④12n n αβ⊥⇔⊥.44．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A ′B ′C ′D ′－ABCD ，M 是正方形BB ′C ′C 的中心，P 是△A ′C ′D 内（包括边界）的动点，满足PM =PD ，则点P 的轨迹长度为______．45．（2022·全国·高二课时练习）向量,,i j k 分别代表空间直角坐标系与,,x y z 轴同方向的单位向量，若45a i j k =-+，44b mi j k =+-，若a 与b 垂直，则实数m =______． 46．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：（1）直线BC 的一个方向向量___________； （2）点OD 的一个方向向量___________； （3）平面BHD 的一个法向量___________；（4）DBC △的重心坐标___________.47．（2022·上海·格致中学高二期末）已知向量()1,2,a m m =+是直线l 的一个方向向量，向量()1,,2n m =是平面α的一个法向量，若直线l ⊥平面α，则实数m 的值为______． 48．（2021·河北省盐山中学高二阶段练习）已知P 是ABCD 所在的平面外一点，()2,1,4AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--，给出下列结论：①AP AB ⊥； ②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的一个法向量；④AP//BD ，其中正确结论的个数是__________． 四、解答题49．（2022·全国·高二）如图所示，在棱长为1的正方体1111OABC O A B C -，中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF x ==，其中01x ≤≤，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -．(1)求证：11A F C E ⊥；(2)若1A 、E 、F 、1C 四点共面，求证：111112A F AC A E =+．50．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ､F ､G 分别为AB ､SC ､SD 的中点.若AB a ，SD b =.(1)求EF ； (2)求cos ,AG BC ； (3)判断四边形AEFG 的形状.51．（2022·湖南·高二）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6AD =，13AA =，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD ； (2)平面11ACC A ； (3)平面1ACD ．52．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC D ．(1)分别指出平面PAD 、平面PAB 的一个法向量；(2)若AB AD AP ==，试在图中作出平面PDC 的一个法向量； (3)PBD △是否有可能是直角三角形？(4)根据法向量判断平面PBC 与平面PDC 是否有可能垂直．53．（2022·浙江绍兴·高二期末）正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4.E 为棱1AA 上的动点，F 为棱1CC 的中点.(1)证明：1EC BD ⊥；(2)若E 为棱1AA 上的中点，求直线BE 到平面11B D F 的距离.【答案详解】1．A 【解析】 【分析】设法向量(),,n x y z =，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】由题意可得()0,2,4AP =--,设经过直线l 和点A 平面的法向量为(),,n x y z =，则24020n AP y z n s x y z ⎧⋅=--=⎨⋅=++=⎩，令1x =，则4,2y z =-= ， 所以()1,4,2n =-，所以经过直线l 和点A 平面的法向量为()(),4,2,0t t t t R t -∈≠. 故选：A 2．B 【解析】 【分析】由(1,0,1)n =-是平面α的法向量，可得0AB n ⋅=，即可得出答案. 【详解】解：()2,0,1AB z =--，因为(1,0,1)n =-是平面α的法向量， 所以0AB n ⋅=，即()210z ---=，解得1z =-. 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解. 【详解】ABCD 是正方形，且AB1AO OC ∴==，11OA ∴=，()0,1,0A ∴-，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，()1,1,0AB ∴=，()0,1,0OC =，又()111,1,0A B AB ==，()11,1,1B ∴，()11,1,1OB =，平面1OCB 的法向量为(),,n x y z =，则00y x y z =⎧⎨++=⎩，得0y =，x z =-，结合选项，可得()1,0,1n =-， 故选：C. 4．B 【解析】 【分析】求出||25AD = 0AP AD ⋅=判断②正确；由AP AB ⊥，AP AD ⊥判断③正确；假设存在λ使得λ=AP BD ，由122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩无解，判断④不正确.【详解】由(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知：在①中，||166AD ==≠，故①不正确；在②中，4400AP AD ⋅=-++=，∴⊥AP AD ，AP AD ∴⊥，故②正确；在③中，2240AP AB ⋅=--+=， AP AB ∴⊥，又因为AP AD ⊥，AB AD A ⋂=，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，假设存在λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，无解，故④不正确；综上可得：②③正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 5．B 【解析】 【分析】要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA 与平面的法向量n 是否垂直，即判断PA n 是否为0即可.【详解】对于选项A ，(1,0,1)PA =，则(1,0,1)(3,1,2)50==≠PA n ，故排除A ； 对于选项B ，1(1,-4,)2=PA ，则1(1,4,)(3,1,2)34102=-=-+=PA n对于选项C ，1(1,2,)2=PA ，则1(1,2,)(3,1,2)3+21602==+=≠PA n ，故排除C ；对于选项D ，7(3,-4,)2=PA ，则7(3,4,)(3,1,2)9471202=-=-+=≠PA n ，故排除D ； 故选:B 6．B 【解析】 【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈,得P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=，然后分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】解：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈ 则P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=若2x =，3y =-，2z =，则1x y z ++=，所以P ,A ,B ,C 四点共面 若P ,A ,B ,C 四点共面，则1x y z ++=，不能得到2x =，3y =-，2z = 所以2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的充分不必要条件 故选B. 【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.7．A 【解析】 【分析】对A ：由平面11ABB A 平面11CC D D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断；对B ：若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，从而即可判断； 对C 、D ：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，从而即可判断.【详解】解：对A ：由长方体的性质有平面11ABB A 平面11CC D D ，又1A E ⊂平面11ABB A ，所以1A E 平面11CC D D ，故选项A 正确；对B ：因为E 为棱1BB 的中点，且111A B BB ⊥，所以1A E 与1BB 不垂直，所以若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，故选项B 错误； 对C 、D ：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1,,DA a DC b DD c ===，则()1,0,A a c =，,,2c E a b ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,D c ，,,2a Fbc ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以10,,2cA E b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,,02aD F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，所以1A E 与1D F 不平行，且1A E 与1D F 不垂直，故选项C 、D 错误. 故选：A. 8．C 【解析】 【分析】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，111022m n ⋅=--+=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故A 选项错误； 对于B 选项，1010m n ⋅=+-=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故B 选项错误；对于C 选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面α与所有坐标轴相交，故正确；对于D 选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点O 与平面α关系，故错误. 故选：C 9．D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得； 【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，()1,0,1A ，()10,1,0C ，()0,0,1D ，()10,0,0D ，()11,1,0B ，()0,1,1C ，所以()11,1,1AC =--，因为1AM AC λ=，所以()1,,1M λλλ-+-+，所以()1,,1A M λλλ=--+，()1,,DM λλλ=-+-，()11,0,1CB =-，()10,1,1D C =，设平面11CB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100CB n x z D C n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =，1y =-，所以()1,1,1n =-对于A ：若1AC ⊥平面1A DM ，则11AC A M ⊥，则()()11110AC A M λλλ⋅=++-⨯-+=，解得13λ=，故A 错误；对于B ：若//DM 平面11CB D ，则DM n ⊥，即10DM n λλλ⋅=-+--=，解得13λ=，故B 错误；当1A DM 为直角三角形时，有1MD MA ⊥，即()()()21110A M DM λλλλλ⋅=--+++--+=，解得23λ=或0λ=（舍去），故C 错误；设M 到1DA 的距离为k ，则22221111323()2236k DM λλλ=-=-+=-+，∴当1A DM 的面积最小时，13λ=，故D 正确．故选：D ．10．B 【解析】 【分析】按照方向向量和法向量在线面关系中的应用直接判断即可. 【详解】A 选项：因为1l 、2l 不重合，所以1212v v l l ⇔∥∥，A 正确；B 选项：111v n l α⊥⇔∥或1l α⊂，B 错误；C 选项：12n n αβ⊥⇔⊥，C 正确；D 选项：因为α，β不重合，所以12n n αβ⇔∥∥，D 正确. 故选：B. 11．D 【解析】 【分析】判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于A ，因为21210a b ⋅=--=-≠，所以l 与m 不垂直，A 错误； 对于B ，因为110a n ⋅=-+=，l α⊥不成立，所以B 错误； 对于C ，因为1n 与2n 不平行，所以αβ∥不成立，C 错误；对于D ，()1,1,1AB =--，()1,3,0BC =-，由10n AB p q ⋅=--+=，130n BC p ⋅=-+=，解得13p =，43q =，所以53p q +=，D 正确. 故选：D. 12．C 【解析】 【分析】由空间直线垂直时方向向量0a b ⋅=，即可确定充要条件. 【详解】由空间直线垂直的判定知：1122330a b a b a b a b ⋅=++=. 当1122330a b a b a b ++=时，即0a b ⋅=，两直线1l 与2l 垂直. 而A 、B 、D 说明1l 与2l 平行. 故选：C13．(1)PQ 与BD 的位置关系是平行【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ 与BD 的位置关系；（2）用含参数的表达式求出1A P ，进而求出最小值. (1)以D 为原点，以射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正向建立空间直角坐标系，()11,0,1A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1,1,0B ．因为P 、Q 均在平面1111D C B A 上，所以设(),,1P a b ，(),,1Q m n ，则111,1,2A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,1,1BP a b =--，()1,1,1BQ m n =--． 因为1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥，所以()()()()111110,21110,2BP A E a b BQ A E m n ⎧⋅=--+--=⎪⎪⎨⎪⋅=--+--=⎪⎩解得:1,21.2b a n m ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以(),,0PQ n b n b =--，()1,1,0BD =--，即()PQ b n BD =-，PQ BD ，所以PQ 与BD 的位置关系是平行．(2)由（1）可知：12b a -=，()11,,0A P a b =-，所以()101A P a a ===≤≤．当14a =时，1A P 有最小值，最小值为． 14．(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法证明；（2）利用向量法计算，判断出点M 不存在.(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =-因为PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA ⊥又因为,AD AB PA AB A ⊥⋂=所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD =所以0MN AD ⋅=，即AD MN ⊥又因为MN ⊄平面PAB所以//MN 平面PAB(2)不存在符合题意的点M ，理由如下：(0,3,3),(2,1,0),(2,2,0),PD CD DN =-=-=-设平面PCD 的法向量()1111,,n x y z =则111133020PD n y z CD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨令11x =，则1(1,2,2)n = 设PM PDλ=，即,[0,1]PM PD λλ=∈(0,3,3)PM λλ=-则0,3,(3)3M λλ- 12(2,13,33),sin cos ,1MN MN n λλθ=--==+==解得53λ=或13λ=-，不满足[0,1]λ∈，故不存在符合题意的点M .15．(1)证明见解析(2)存在，12【解析】【分析】（1）连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，根据E 为1AA 的中点， F 为1BB 的中点，分别得到11//D E MC ，1//BF MC ，从而有1//BF D E ，再由平面的基本性质证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，分别求得平面BEF 的一个法向量()1111,,x n y z =和平面GEF 的一个法向量()2222,,n x y z =，根据平面GEF ⊥平面BEF ，由120n n ⋅=求解.(1)证明：如图所示：连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，因为E 为1AA 的中点，所以1111////EM A B C D ，且1111EM A B C D ==，所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC ，又因为F 为1BB 的中点，所以1//BM C F ，且1BM C F =，所以四边形1BMC F 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//BF D E ，所以B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，由已知()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,1F ， 则()1,1,0EF =-，()0,1,1EB =-，()1,0,1EG t =--，设平面BEF 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩， 取11x =，则()11,1,1n =；设平面GEF 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()1222010x y x t z -+=⎧⎨-+-=⎩， 取21x t =-，则()21,1,1n t t =--；因为平面GEF ⊥平面BEF ，所以120n n ⋅=，所以1110t t -+-+=， 所以12t =.所以存在满足题意的点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ，DG 的长度为12.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出()0BB m m '=>，根据垂直和唯一的点E 得到方程22210m m λλ-+=由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出2m =.【详解】如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB '所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设()0BB m m '=>，则()()0,0,0,1,0,B A m '，()0,1,E m λ，01λ≤≤，则()()1,1,,0,1,A E m m BE m λλ=--'=，则()()2221,1,0,1,10A E BE m m m m m λλλλ⋅=--⋅=-'+=，因为在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，所以22210m m λλ-+=在01λ≤≤上有唯一的解，令()2221f m m λλλ=-+，可知()()011f f ==，故要想在01λ≤≤上有唯一的解，只需42Δ40m m =-=，因为0m >，所以解得：2m =17．B【解析】【分析】求出AB n =-，即n 与AB 平行，从而求出AB α⊥【详解】因为AB n =-，即(342)n =-，，与(342)AB =--，，平行， 所以直线AB 与平面α垂直.故选：B18．B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点， 则11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b ，1(,,2)OA a a b =-，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b ==，对于A ，显然1OA 与FE 不共线，即1A O 与EF 不平行，A 不正确；对于B ，因12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=，则1OA FE ⊥，即1A O EF ⊥，B 正确；对于C ，设平面1EFB 的法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得(1,1,0)n =-， 120OA n a ⋅=>，因此1OA 与n 不垂直，即1A O 不平行于平面1EFB ，C 不正确；对于D ，由选项C 知，1OA 与n 不共线，即1A O 不垂直于平面1EFB ，D 不正确.故选：B19．A【解析】【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.故选：A20．A【解析】【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.【详解】解：设正方体ABCD A B C D ''''-的边长为1，则()0,0,0D ，()0,0,1D '，()1,1,0B ，()0,1,1C '，()1,1,1B '，()0,1,0C ，对①：因为(0,0,1)DD '=，所以直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =正确； 对②：因为()101BC ,,'=-，所以直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =不正确； 对③：因为OA ⊥平面ABB A ''，又()1,0,0OA =，所以平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =不正确；对④：因为2(1,1,1)n =，()1,1,1DB '=，()0,1,0DC =，211130DB n ++='⋅=≠，201010DC n ⋅=++=≠，所以平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =不正确. 故选：A.21．(3,1,1)-（不唯一）【解析】【分析】由题设，1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =是直线1l 、2l 的方向向量，设面α的法向量(,,)m x y z =，应用空间向量垂直的坐标表示求法向量即可.【详解】由题设，直线1l 、2l 的方向向量分别为1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =，而12s s λ≠(R)λ∈， 所以直线1l 、2l 不平行，设与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量(,,)m x y z =，所以21200m x y z m z s s y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⋅⎩⋅，令1z =-，则(3,1,1)m =-. 故与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标(3,1,1)-.22．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明AB ⊥平面ADEF ，可得AB AF ⊥，再将MN 用,,AB AD AF 表示，再根据向量数量积的运算律证明0MN AD ⋅=，即可得证；（2）根据（1），根据2MN MN =，将MN 用,,AB AD AF 表示，从而可得出答案.(1)证明：在矩形ABCD 中，AB AD ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，且平面ABCD 平面ADEF AD =， AB 平面ABCD ， 所以AB ⊥平面ADEF ，又因AF ⊂平面ADEF ，所以AB AF ⊥， MN MB BA AN =++1133DB BA AE =++()()1133AB AD AB AD AF =--++ 2133AB AF =-+， 所以212103333MN AD AB AF AD AB AD AF AD ⎛⎫⋅=-+⋅=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭， 所以MN AD ⊥； (2)解：因为1CD DE ==， 所以1AB AF ==，则222214145339993MN AB AF AB AF AB AF ⎛⎫=-+=+-⋅= ⎪，即MN 23．C 【解析】 【分析】推导出//a b ，利用空间向量法可得出线面关系. 【详解】因为()1,2,1a =--，()2,4,2b =-，则2b a =-，即//a b ，因此，l α⊥. 故选：C. 24．A 【解析】 【分析】由向量AB 与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系． 【详解】因为2AB n -=，所以//AB n ，所以AB α⊥． 故选：A ． 25．C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ，分别计算即可求值. 【详解】建立空间直角坐标系如图：由题意可得()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ， 所以()23,2,2PC =--，()0,2,2BP =.设(),,n x y z =，则23220220x y z z y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取2z =，可得()0,2,2n =-.因为AB BC ⊥，PA BC ⊥，AB AP A =， 所以BC ⊥平面PAB ， 因为BC ⊂平面PBC 所以平面PBC ⊥平面PAB ， 所以m n ⊥，所以cos ,0m n =. 综上所述，A ，B ，D 错，C 正确. 故选：C 26．C 【解析】 【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A ，l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误； 对于B ，l α⊂，m β⊂，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故B 错误； 对于C ，11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥，则αβ∥，故C 正确；对于D ，11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故D 错误. 故选：C. 27．D 【解析】 【分析】以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，，根据向量垂直的坐标表示求得112n m =-，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围. 【详解】解：因为平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，所以以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则()10,1D ，，11,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，， 所以11,2GQ n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，()1,1DP m =--，，又GQ DP ⊥，所以0GQ DP ⋅=，即()111,1,11022n m m n ⎛⎫--⋅--=--= ⎪⎝⎭，，， 整理得112n m =-，所以222222155241+1+24455PQ m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又01m <<，所以25552PQ ≤<， 故选：D.28．C【解析】 【分析】根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解. 【详解】由题意可得a ，b 分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥等价于a b ⊥， 即“αβ⊥”是“a b ⊥”的充要条件． 故选：C. 29．B 【解析】 【分析】依据题意得到：①求数量积a b ⋅，得到a b ⊥，即l m ⊥；②求数量积n a ⋅，可得到a n ⊥，故//l α或l α⊂；③利用1n 与2n 的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到0,0n AB n AC ⋅=⋅=，解出1u =，0=t ，进而可求解． 【详解】①11211221102a b ⋅=⨯-⨯-⨯=--=，所以a b ⊥，即l m ⊥，所以①正确． ②011(1)(1)0a n ⋅=-⨯+-⋅-=，所以a n ⊥，所以//l α或l α⊂，所以②错误． ③因为1260n n ⋅=≠，且12n xn ≠，所以α与β是相交的．所以③错误．④因为(1n =，u ，)t 是平面α的法向量，A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，所以(1,1,1),(2,2,1)AB AC =-=-．所以0,0n AB n AC ⋅=⋅=，即10220u t u t -++=⎧⎨-++=⎩，解得1u =，0=t ，所以1u t +=．所以④正确． 故选：B.30．B 【解析】 【分析】根据题意可得AP n ⊥，依次验证是否满足0n AP ⋅=即可. 【详解】设(P x ，y ，)z ，则(2AP x =-，1y +，2)z -； 由题意知，AP n ⊥，则0n AP ⋅=，3(2)(1)2(2)0x y z ∴-+++-=，化简得329x y z ++=.验证得，在A 中，311214⨯-+⨯=，不满足条件； 在B 中，3313292⨯++⨯=，满足条件；在C 中，3313232⨯-+⨯=，不满足条件； 在D 中，()315313242⎛⎫⨯--+⨯-=- ⎪⎝⎭，不满足条件.故选：B. 31．A 【解析】 【分析】根据两个平面的法向量平行即可判断出平面α与平面β平行. 【详解】对于平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---， 因为1212v v =-，所以12v v 、平行.。
空间几何体各考点
空间几何体[考情分析] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．考点一 空间几何体的折展问题核心提炼空间几何体的侧面展开图 1．圆柱的侧面展开图是矩形． 2．圆锥的侧面展开图是扇形． 3．圆台的侧面展开图是扇环．例1 (1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40 km ，山高为4015 km ，B 是山坡SA 上一点，且AB ＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A 到B 的环山观光公路，这条公路从A 出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为( )A ．60 kmB ．12 6 kmC ．72 kmD ．1215 km答案 C解析 该圆锥的母线长为(4015)2＋402＝160， 所以圆锥的侧面展开图是圆心角为2×π×40160＝π2的扇形，如图，展开圆锥的侧面，连接A ′B ，由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A ′B ，A ′B ＝SA ′2＋SB 2＝1602＋1202＝200， 过点S 作A ′B 的垂线，垂足为H ，记点P 为A ′B 上任意一点，连接PS ，当上坡时，P 到山顶S 的距离PS 越来越小，当下坡时，P 到山顶S 的距离PS 越来越大， 则下坡段的公路为图中的HB ， 由Rt △SA ′B ∽Rt △HSB ， 得HB ＝SB 2A ′B ＝1202200＝72(km)．(2)(2022·深圳检测)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝3，AB ＝1，AD ＝1，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB 等于( )A.12B.13C.35D.34 答案 D解析 由题意知，AE ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2， 在△ACE 中，由余弦定理知， CE 2＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos ∠CAE ＝1＋3－2×1×3×32＝1， ∴CE ＝CF ＝1，而BF ＝BD ＝2，BC ＝2， ∴在△BCF 中，由余弦定理知，cos ∠FCB ＝BC 2＋CF 2－BF 22BC ·CF ＝4＋1－22×2×1＝34.规律方法 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．跟踪演练1 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )A．C∈GHB．CD与EF是共面直线C．AB∥EFD．GH与EF是异面直线答案ABD解析由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即C∈GH，又可知CD与EF是平行直线，即CD与EF是共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F 重合)，GH与EF是异面直线，故A，B，D正确，C错误．(2)如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝30°，P A＝PB＝PC＝2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是()A．3 2 B．3 3C．2 3 D．2 2答案 D解析将三棱锥由P A展开，如图所示，则∠AP A1＝90°，所求最短距离为AA1的长度，∵P A＝2，∴由勾股定理可得AA 1＝22＋22＝2 2.∴虫子爬行的最短距离为2 2.考点二 表面积与体积核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． 2．空间几何体的体积公式(1)V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为高)． (2)V 锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．(3)V 台＝13(S 上＋S 上·S 下＋S 下)h (S 上，S 下为底面面积，h 为高)．(4)V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．例2 (1)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙＝2，则V 甲V 乙等于( )A. 5 B ．2 2 C.10 D.5104答案 C解析 方法一 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合S 甲S 乙＝2，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l ＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆， 所以2πr 1＝4π，2πr 2＝2π，得r 1＝2，r 2＝1. 由勾股定理得，h 1＝l 2－r 21＝5，h 2＝l 2－r 22＝22， 所以V 甲V 乙＝13πr 21h113πr 22h 2＝4522＝10.方法二 设两圆锥的母线长为l ，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，侧面展开图的圆心角分别为n 1，n 2， 则由S 甲S 乙＝πr 1l πr 2l ＝n 1πl 22πn 2πl 22π＝2，得r 1r 2＝n 1n 2＝2. 由题意知n 1＋n 2＝2π， 所以n 1＝4π3，n 2＝2π3，所以2πr 1＝4π3l ，2πr 2＝2π3l ，得r 1＝23l ，r 2＝13l .由勾股定理得，h 1＝l 2－r 21＝53l ， h 2＝l 2－r 22＝223l ， 所以V 甲V 乙＝13πr 21h113πr 22h 2＝4522＝10.(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，AB ＝ED ＝2FB .记三棱锥E －ACD ，F －ABC ，F －ACE 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则( )A ．V 3＝2V 2B ．V 3＝V 1C ．V 3＝V 1＋V 2D ．2V 3＝3V 1答案 CD解析 如图，连接BD 交AC 于O ，连接OE ，OF .设AB ＝ED ＝2FB ＝2，则AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2， FB ＝1.因为ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ， 所以FB ⊥平面ABCD ，所以V 1＝V E －ACD ＝13S △ACD ·ED ＝13×12AD ·CD ·ED ＝13×12×2×2×2＝43，V 2＝V F －ABC ＝13S △ABC ·FB ＝13×12AB ·BC ·FB ＝13×12×2×2×1＝23.因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以ED ⊥AC ， 又AC ⊥BD ，且ED ∩BD ＝D ，ED ，BD ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF . 因为OE ，OF ⊂平面BDEF ， 所以AC ⊥OE ，AC ⊥OF . 易知AC ＝BD ＝2AB ＝22， OB ＝OD ＝12BD ＝2，OF ＝OB 2＋FB 2＝3， OE ＝OD 2＋ED 2＝6， EF ＝BD 2＋(ED －FB )2 ＝(22)2＋(2－1)2＝3，所以EF 2＝OE 2＋OF 2，所以OF ⊥OE . 又OE ∩AC ＝O ，OE ，AC ⊂平面ACE ， 所以OF ⊥平面ACE ， 所以V 3＝V F －ACE ＝13S △ACE ·OF＝13×12AC ·OE ·OF ＝13×12×22×6×3＝2， 所以V 3≠2V 2，V 1≠V 3，V 3＝V 1＋V 2,2V 3＝3V 1， 所以选项A ，B 不正确，选项C ，D 正确． 规律方法 空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．跟踪演练2 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为( ) A ．802π B ．40 C ．402π D ．405π答案 C解析 由圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，可得sin ∠ASB ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158， 又△SAB 的面积为515， 可得12SA 2sin ∠ASB ＝515，即12SA 2×158＝515，可得SA ＝45， 由SA 与圆锥底面所成角为45°， 可得圆锥的底面半径为22×45＝210， 则该圆锥的侧面积为π×210×45＝402π.(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是( )A.72π24B.73π24C.72π12D.73π12答案 B解析 如图，设上底面的半径为r ，下底面的半径为R ，高为h ，母线长为l ，则2πr ＝π·1,2πR ＝π·2， 解得r ＝12，R ＝1，l ＝2－1＝1， h ＝l 2－(R －r )2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32，上底面面积S ′＝π·⎝⎛⎭⎫122＝π4， 下底面面积S ＝π·12＝π，则该圆台的体积为13(S ＋S ′＋SS ′)h ＝13×⎝⎛⎭⎫π＋π4＋π2×32＝73π24. 考点三 多面体与球核心提炼求空间多面体的外接球半径的常用方法(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 例3 (1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V －ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝VA ＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )A ．(2－3)∶1B ．(23－3)∶1C ．(3－1)∶3D ．(3－1)∶2答案 C解析 因为VA ⊥底面ABC ，AB ，AC ⊂底面ABC ， 所以VA ⊥AB ，VA ⊥AC ， 又因为∠BAC ＝90°，所以AB ⊥AC ，而AB ＝AC ＝VA ＝2，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径R ＝12×22＋22＋22＝3，设该三棱锥的内切球的半径为r ， 因为∠BAC ＝90°，所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22＋22＝22， 因为VA ⊥AB ，VA ⊥AC ，AB ＝AC ＝VA ＝2， 所以VB ＝VC ＝VA 2＋AB 2＝22＋22＝22， 由三棱锥的体积公式可得，3×13×12×2×2·r ＋13×12×22×22×32·r ＝13×12×2×2×2⇒r ＝3－33， 所以r ∶R ＝3－33∶3＝(3－1)∶3.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．100π B ．128π C ．144π D ．192π答案 A解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，连接O 1O 2(图略)，则O 1O 2＝1，其外接球的球心O 在直线O 1O 2上．设球O 的半径为R ，当球心O 在线段O 1O 2上时，R 2＝32＋OO 21＝42＋(1－OO 1)2，解得OO 1＝4(舍去)；当球心O 不在线段O 1O 2上时，R 2＝42＋OO 22＝32＋(1＋OO 2)2，解得OO 2＝3，所以R 2＝25，所以该球的表面积为4πR 2＝100π. 综上，该球的表面积为100π.规律方法 (1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解． (2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．跟踪演练3 (1)(2022·全国乙卷)已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( ) A.13 B.12 C.33D.22答案 C解析 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O 组成的圆锥体积最大． 设圆锥的高为h (0<h <1)，底面半径为r ， 则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π(1－h 2)h ，则V ′＝13π(1－3h 2)，令V ′＝13π(1－3h 2)＝0，得h ＝33，所以V ＝13π(1－h 2)h 在⎝⎛⎭⎫0，33上单调递增，在⎝⎛⎭⎫33，1上单调递减，所以当h ＝33时，四棱锥的体积最大． (2)(2022·衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为________，该组合体的外接球的体积为________． 答案6 823π 解析 如图，连接P A 交底面BCD 于点O ，则点O 就是该组合体的外接球的球心．设三棱锥的底面边长为a ， 则CO ＝PO ＝R ＝33a ， 得2×33a ＝2， 所以a ＝6，R ＝2， 所以V ＝43π·(2)3＝823π.专题强化练一、单项选择题1．(2022·唐山模拟)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．2∶3答案 A解析 设球的半径为r ，依题意知圆柱的底面半径也是r ，高是2r ，圆柱的侧面积为2πr ·2r ＝4πr 2，球的表面积为4πr 2，其比例为1∶1.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 B解析 设圆锥的母线长为l ，因为该圆锥的底面半径为2，所以2π×2＝πl ，解得l ＝2 2. 3.某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字．该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图是该正方体的展开图．若图中“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是( )A ．最B ．美C ．逆D ．行 答案 B解析 把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，面“致”与面“美”相对，若“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是“美”．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A －B 1CD 1的体积为( ) A.43 B.83 C ．4 D ．6 答案 B解析 如图，三棱锥A －B 1CD 1是由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去四个小三棱锥A －A 1B 1D 1，C －B 1C 1D 1，B 1－ABC ，D 1－ACD 形成的，又1111ABCD A B C D V －＝23＝8，11111111A A B D C B C D B ABC D ACD V V V V －－－－＝＝＝＝13×12×23＝43， 所以11A B CD V －＝8－4×43＝83.5．(2022·河南联考)小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口(半径较大的圆)卡住，球心到垃圾篓底部的距离为510a ，垃圾篓上底面直径为24a ，下底面直径为18a ，母线长为13a ，则该篮球的表面积为( ) A ．154πa 2 B.6163πa 2 C ．308πa 2 D ．616πa 2答案 D解析 球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示．根据题意，设垃圾篓的高为h ，则h ＝(13a )2－(12a －9a )2＝410a . 所以球心到上底面的距离为10a . 设篮球的半径为r ， 则r 2＝10a 2＋(12a )2＝154a 2. 故篮球的表面积为4πr 2＝616πa 2.6.(2022·湖北联考)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm ～25 mm)，大雨(25 mm ～50 mm)，暴雨(50 mm ～100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨答案 B解析 由题意知，一个半径为2002＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002×150300＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥，所以积水厚度d ＝13π×502×150π×1002＝12.5(mm)，属于中雨．7.(2022·八省八校联考)如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E ，F 两点，且四面体ABEF 的体积为四面体ABCD 体积的13，则EF 的最小值为( )A.22 B.32 C.13 D.33答案 D解析 由题知V B －AEF ＝13V B －ACD ，所以S △AEF ＝13S △ACD ＝13×12×1×1×32＝312，记EF ＝a ，AE ＝b ，AF ＝c ， 则12bc sin 60°＝312，即bc ＝13. 则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°≥2bc －bc ＝bc ＝13，当且仅当b ＝c ＝33时取等号，所以a 即EF 的最小值为33. 8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤18，814 B.⎣⎡⎦⎤274，814 C.⎣⎡⎦⎤274，643 D ．[18,27]答案 C解析 方法一 如图，设该球的球心为O ，半径为R ，正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，依题意，得36π＝43πR 3，解得R ＝3.由题意及图可得⎩⎨⎧l 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，R 2＝(h －R )2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，解得⎩⎨⎧h ＝l 22R ＝l 26，a 2＝2l 2－l418，所以正四棱锥的体积V ＝13a 2h＝13⎝⎛⎭⎫2l 2－l 418·l 26＝l 418⎝⎛⎭⎫2－l 218(3≤l ≤33)， 所以V ′＝49l 3－l 554＝19l 3⎝⎛⎭⎫4－l 26(3≤l ≤33)．令V ′＝0，得l ＝26， 所以当3≤l <26时，V ′>0； 当26<l ≤33时，V ′<0，所以函数V ＝l 418⎝⎛⎭⎫2－l 218(3≤l ≤33)在[3，26)上单调递增，在(26，33]上单调递减，又当l ＝3时，V ＝274；当l ＝26时，V ＝643；当l ＝33时，V ＝814，所以该正四棱锥的体积的取值范围是⎣⎡⎦⎤274，643.方法二 如图，设该球的球心为O ，半径为R ，正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，依题意，得36π＝43πR 3，解得R ＝3.由题意及图可得⎩⎨⎧l 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，R 2＝(h －R )2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，解得⎩⎨⎧h ＝l 22R ＝l 26，a 2＝2l 2－l418，又3≤l ≤33，所以该正四棱锥的体积V ＝13a 2h＝13⎝⎛⎭⎫2l 2－l 418·l 26＝l 418⎝⎛⎭⎫2－l 218 ＝72×l 236·l 236·⎝⎛⎭⎫2－l 218 ≤72×⎣⎢⎡⎦⎥⎤l 236＋l 236＋⎝⎛⎭⎫2－l 21833＝643⎝⎛⎭⎫当且仅当l 236＝2－l 218，即l ＝26时取等号， 所以正四棱锥的体积的最大值为643，排除A ，B ，D.方法三 如图，设该球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，正四棱锥的侧棱与高所成的角为θ，依题意，得36π＝43πR 3，解得R ＝3，所以正四棱锥的底面边长a ＝2l sin θ，高h ＝l cos θ. 在△OPC 中，作OE ⊥PC ，垂足为E ， 则可得cos θ＝l 2R ＝l 6∈⎣⎡⎦⎤12，32，所以l ＝6cos θ， 所以正四棱锥的体积 V ＝13a 2h ＝13(2l sin θ)2·l cos θ＝23(6cos θ)3sin 2θcos θ＝144(sin θcos 2θ)2. 设sin θ＝t ，易得t ∈⎣⎡⎦⎤12，32，则y ＝sin θcos 2θ＝t (1－t 2)＝t －t 3， 则y ′＝1－3t 2.令y ′＝0，得t ＝33， 所以当12<t <33时，y ′>0；当33<t <32时，y ′<0， 所以函数y ＝t －t 3在⎝⎛⎭⎫12，33上单调递增，在⎝⎛⎭⎫33，32上单调递减．又当t ＝33时，y ＝239；当t ＝12时，y ＝38； 当t ＝32时，y ＝38， 所以38≤y ≤239，所以274≤V ≤643. 所以该正四棱锥的体积的取值范围是⎣⎡⎦⎤274，643. 二、多项选择题9．(2022·武汉模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是( )A ．圆柱的侧面积为4πR 2B ．圆锥的侧面积为2πR 2C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．球的体积是圆锥体积的两倍 答案 ACD解析 对于A ，∵圆柱的底面直径和高都等于2R ， ∴圆柱的侧面积S 1＝2πR ·2R ＝4πR 2，故A 正确； 对于B ，∵圆锥的底面直径和高等于2R ， ∴圆锥的侧面积为S 2＝πR ·R 2＋4R 2＝5πR 2，故B 错误； 对于C ，圆柱的侧面积为S 1＝4πR 2，球的表面积S 3＝4πR 2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C 正确； 对于D ，球的体积为V 1＝43πR 3，圆锥的体积为V 2＝13πR 2·2R ＝23πR 3，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D 正确．10．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上且所有面均与内球相切，则( ) A ．该正方体的棱长为2B ．该正方体的体对角线长为3＋ 3C ．空心球的内球半径为3－1D ．空心球的外球表面积为(12＋63)π 答案 BD解析 设内、外球半径分别为r ，R ，则正方体的棱长为2r ，体对角线长为2R ，∴R ＝3r ， 又由题知R －r ＝1， ∴r ＝3＋12，R ＝3＋32， ∴正方体棱长为3＋1，体对角线长为3＋3， ∴外接球表面积为4πR 2＝(12＋63)π.11.如图，已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的体积为32π3答案 AD解析 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，分别取BC ，B 1C 1的中点E ，E 1，记四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，A 1C 1，BD 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE ，由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱P A ，PB ，PC ，PD 的中点， 则P A ＝2AA 1＝4，OA ＝22AB ＝2A 1B 1＝2， 所以OO 1＝12PO ＝12P A 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由P A ＝PC ＝4，AC ＝4，得△P AC 为正三角形， 则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 错误； 四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12(23)2＋(2)2＝142， 所以该四棱台的表面积为 (22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 错误；由△P AC 为正三角形，易知OA 1＝OA ＝OC ＝OC 1，OB 1＝OD 1＝OB ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，且外接球的半径为2，所以该四棱台外接球的体积为4π3×23＝32π3，故D 正确．12．(2022·聊城模拟)用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴长与短半轴长乘积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是( ) A ．底面椭圆的离心率为22B ．侧面积为242πC ．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36πD ．底面积为42π 答案 ABD解析 不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的几何体是圆柱，如图，矩形ABCD 是圆柱的轴截面，平行四边形BFDE 是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知∠ABF ＝45°， 则BF ＝2AB ，设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ， 则2a ＝2·2b ，即a ＝2b ， c ＝a 2－b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫22a 2＝22a ， 所以离心率为e ＝c a ＝22，A 正确；作EG ⊥BF ，垂足为G ，则EG ＝6， 易知∠EBG ＝45°，则BE ＝62， 又CE ＝AF ＝AB ＝4，所以斜圆柱侧面积为S ＝2π×2×(4＋62)－2π×2×4＝242π，B 正确；由于斜圆柱的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球的表面积为4π×22＝16π，C 错误； 易知2b ＝4，则b ＝2，a ＝22， 所以椭圆面积为πab ＝42π，D 正确．三、填空题13.(2022·湘潭模拟)陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗．陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h 1，h 2，r ，且h 1＝h 2＝r ，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S 1和S 2，则S 1S 2＝________.答案22解析 由题意知，圆锥的母线长为l ＝h 21＋r 2＝2r ，则圆锥的侧面积为S 1＝πrl ＝2πr 2，根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为 S 2＝2πrh 2＝2πr 2，所以S 1S 2＝22.14．(2022·福州质检)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，F 是线段A 1B 1上的动点，则AF ＋FC 1的最小值为________． 答案6＋ 2解析 依题意，把正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的上底面△A 1B 1C 1与侧面矩形ABB 1A 1放在同一平面内，连接AC 1，设AC 1交A 1B 1于点F ，如图，此时点F 可使AF ＋FC 1取最小值，大小为AC 1，而∠AA 1C 1＝150°，则AC 1＝AA 21＋A 1C 21－2AA 1·A 1C 1cos ∠AA 1C 1 ＝22＋22－23cos 150° ＝8＋43＝6＋2，所以AF ＋FC 1的最小值为6＋ 2.15.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品(如图所示)．该工艺品可以看成是一个球体被一个棱长为4的正方体的6个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，其中一个截面圆的周长为3π，则该球的半径为________；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积计算公式是S ＝2πRh .由此可知，该实心工艺品的表面积是________．答案 52 47π2 解析 设截面圆半径为r ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为2，根据截面圆的周长可得3π＝2πr ，得r ＝32， 故R 2＝r 2＋22＝254，得R ＝52， 所以球的表面积S 1＝25π.如图，OA ＝OB ＝52，且OO 1＝2， 则球冠的高h ＝R －OO 1＝12， 得所截的一个球冠表面积S ＝2πRh ＝2π×52×12＝5π2，且截面圆的面积为π×⎝⎛⎭⎫322＝9π4， 所以工艺品的表面积为4πR 2－6⎝⎛⎭⎫S －9π4＝25π－3π2＝47π2.16.(2022·开封模拟)如图，将一块直径为23的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为________．答案 23π－4解析 设正四棱柱的底面正方形边长为a ，高为h ，则底面正方形的外接圆半径r ＝22a ， ∴h 2＋r 2＝h 2＋12a 2＝3，∴a 2＝6－2h 2，∴正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝(6－2h 2)h ＝－2h 3＋6h (0<h <3)， ∴V ′＝－6h 2＋6＝－6(h ＋1)(h －1)，∴当0<h <1时，V ′>0；当1<h <3时，V ′<0；∴V ＝－2h 3＋6h 在(0,1)上单调递增，在(1，3)上单调递减， ∴V max ＝V (1)＝4，又半球的体积为23π×()33＝23π， ∴切割掉的废弃石材的体积为23π－4.。
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空间分析考点整理绪论地理信息系统的概念：地理信息系统作为一个功能强大的空间信息系统，主要由四个部分组成，即计算机硬件系统，计算机软件系统，地理空间数据和系统的组织管理人员。
GIS的应用：（1）地图制图；（2）城市与区域规划；（3）国土监测与灾害监测；（4）资源调查与管理；（5）环境管理与保护；（6）军事国防；（7）辅助决策。
GIS的发展方向：（1）网络化；（2）组件化；（3）标准化；（4）多维化；（5）商业化；（6）大众化与信息服务；（7）全球化。
综合不同学者对空间分析的看法，先将空间分析定义为：以地理空间数据库为基础，运用逻辑运算、一般统计和地统计、图形与形态分析、数据挖掘等技术，提高隐含在空间数据内部的与空间信息有关的知识和规律，包括位置、形态、分布、格局以及过程等内容，以解决涉及地理空间的各种理论和实际问题。
空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息空间分析与空间应用模型区别空间分析是基本的、解决一般问题的理论和方法，空间模型则是复杂（合）的、解决专门问题的理论和方法。
空间分析与应用模型的关系是“零件”与“机器”的关系。
GIS空间分析所涉及的应用主要有以下6个方面：（1）查询操作；（2）量算操作；（3）描述和总结操作；（4）推理操作；（5）优化模型操作；（6）假设和验证。
GIS空间分析的一般方法包括：（1）空间查询和检索；（2）空间量算；（3）空间插值；（4）叠置分析；（5）缓冲区分（6）网络分析；（7）数字高程模型。
第二章与数据有关的几个概念：1、地理空间与分析空间2、空间物体与空间实体3、空间物体的维数与延展度4、空间变量和空间物体的属性。
空间物体的维数随应用环境而定，取决于分析空间的维数。
空间物体的延展度反映了空间物体的空间延展特性。
在二维分析空间中，我们区分点、线、面这三类空间物体，在三维分析空间中，则区分点、线、面、曲面（体）这四类空间物体，相应的延展度分别记为0，l，2，3。
空间数据的组成成分：（1）关于空间物体形态和位域的几何数据；（2）关于空间物体主题的属性数据；（3）关于空间物体位域上的空间变量的统计数据或模型参数。
空间物体与空间变量的关系：空间物体是空间变量的定义域；作为物体，我们感兴趣的是它的形状、位置（静的部分）；作为变量，我们感兴趣的是它的变化、分布以及趋势（动的部分）。
一、数据与信息(一) 数据指输入到计算机并能被计算机进行处理的数字、文字、符号、声音、图像等符号。
数据是对客观现象的表示，数据本身并没有意义。
(二) 信息1、信息的定义：信息是现实世界在人们头脑中的反映。
它以文字、数据、符号、声音、图像等形式记录下来，进行传递和处理，为人们的生产，建设，管理等提供依据。
2、信息的特性：1）客观性2）适用性3）传输性4）共享性数据不是事物本身，这是因为：1．数据只能从有限的方面去描述事物。
2．数据存在各种误差。
二、数据的基本特性：1选择性2可靠性3时间性4完备性5详细性详细性根据数据的属性可分为：（1）空间详细性；是指统计单元的级别高低（2）时间详细性；是指统计的周期、时间间隔的大小（3）质量详细性；分类指标体系的详细性（4）数量详细性。
指计量的单位、分级情况、使用的量。
数据的尺度: 1、名义尺度2、有序尺度3、间隔尺度4、比率尺度名义尺度:描述事物名义上的差别，这种差别往往是质的差别。
有序尺度:表示事物的等级和次序概念，这种等级或次序比名义尺度稍微具有“量的色彩。
间隔尺度：可以定量地描述事物间的差异大小。
比率尺度：可以明确描述事物间的比率关系。
数据的基本特性:一、抽样性二、概括性三、多态性四、空间性四个尺度之间的关系：1.量的概念不断增强2.可以相互转化，但顺序相反3.名义尺度和有序尺度是定性描述，不能施以直接的数值运算，但可以施以间接的数值分析。
间隔尺度和比率尺度是定量描述，可以同等对待。
4.尺度差别不是事物本质的差异，而是人们对事物考虑角度的差异。
空间抽样可以分为以下三类：1、为了估计推测空间物体的某种非空间属性值的抽样。
如布设观测点估计平均温度、降水量。
2、为了描述空间物体形态的抽样。
如线状地物特征点的抽样。
3、为了进行空间物体分类的抽样。
如各种土壤类型划分、气候分区等。
线状物体抽样：一、线状物体的抽样通常从两个方面去探讨；二、一个比较简单的算法（垂距法）；三、一个著名的算法：Douglas-Peuker 方法；四、McMaster方法；五、线状地物抽样的效果；Douglas-Peuker算法优点：是具有平移、旋转的不变性，给定曲线与限差后，抽样结果一定。
压缩效果好。
缺点：必须在对整条曲线数字化完成后才能进行，且计算量较大。
第三章地图投影原理：地图投影是指建立地表曲面和投影平面两个点集间的一一对应关系，亦即研究如何将地球曲面表示到地图平面的方法与过程。
此两点坐标之间可用下列函数关系式表示：x=f1(B,L)、y=f2(B,L) 地图投影按投影轴和地轴的相对位置分类：圆锥，圆柱，方位正轴，斜轴，横轴地图投影按变形性质分类：等角投影（投影过程中保持等角的条件）；等面积投影（投影过程中保持面积大小不变）；任意投影（投影中既有角度变形，又有面积变形）；地图投影按投影方法的分类：透视－几何投影（根据视点、物点与像点之间的几何关系来建立投影的方程。
）；几何－解析投影（首先根据经纬线形状确定投影方程的基本形式。
再根据给定的某种条件解析地推求出特定投影的具体方程。
）；解析投影（这类投影事先不人为地确定经纬先的形状，其投影后的经纬线形状与投影方程的形式，完全依据人们给的条件逐步推求得到。
）通常研究两个相互垂直的法截面的曲率，这种相互垂直的法截面称为主法截面。
对于椭球体来说，要研究下列两个主法截面，一个是曲率具有最大值，而另一个曲率具有最小值。
第一个是包含子午圈的截面，成为子午圈截面。
第二个是垂直于子午圈的截面成为卯酉圈截面等角条件：等角投影可定义为任何点上二微分线段组成投影后保持不变。
亦即投影前后对应的微分面积保持图形相似，故亦可称为正形投影。
这一条件可叙述并以数学关系式表示：（1）经纬线投影后正交，即θ’=90°；（2）一点上任一方向的方位投影前后保持相等，即α=α’。
中国常用的地图投影系列：我国GIS系统中常配置高斯投影和兰勃托投影。
1：500～1：5000常用城市独立坐标系；1：1W～1：50W均采用全球统一分带的高斯—克吕格投影；1：100W～lambert投影（正轴等角割圆锥投影）二、高斯-克吕格投影的条件和分布规律投影条件：1、中央经线和赤道投影为平面直角坐标系的坐标轴。
2、投影后无角度变形。
3、中央经线投影后保持长度不变。
变形规律：在同一纬线上，长度比随经差增大而增大；在同一经线上，长度比随纬度减小而增大。
第四章空间分布类型空间分布的分类是逻辑上的，有些现象可以归为某一类，同时又可归为另一类。
分布密度是指单位分布区域内的分布对象的数量，是两个比率尺度数据的比值。
空间分布参数描述（注：公式及图形书上复习）算术平均值中心注：没有考虑点之间的差异。
加权平均中心关键：权重的确定。
中位中心（重点）中位中心是这样一个点位，它使到所有点的路程（距离）之和为最短。
4．极值中心（重点）定义：在点群中设置一个点，该点到点群中各点的最大距离小于任何其他点相对于点群中最远点的距离地理意义：如果在n个点群中设置一个点位，那么应该力求使该点到点群中的所有点都不至于过远。
几何意义：（xe，ye）就是点群的最小外接圆的圆心。
近似方法：找出一点群中相距最远的点对，其连线的中心点可以作为（xe，ye）的起始替代点分布中心的距离是对两个不同点状群体之间的关系的最简单的描述。
分布中心的移动是描述离散群体随时间在空间演变的一个重要参数。
离散点群在空间的分布趋势（走向）通过分布轴线来计算。
于离散点群，可以拟合一条直线L：点群相对于L的距离反映了离散点群在点群走向上的离散程度，而L的走向则描述了点群的总体走向。
离散度：不同的离散度反映了不同的分布特性空间分布参数描述（注：公式及图形书上复习）一、平均距离二、标准距离三、极值距离四、平均邻近距离一、平均距离：所有点与分布中心距离的平均值二、标准距离：一般指算术平均中心注：相同的分布密度因离散度的不同也会对应不同的分布，具有不同的分布特性，离散度同时也是对分布密度的补充。
三、极值距离：极值中心到所有点群中距离最大的。
四、平均邻近距离空间聚类空间聚类的目的是对空间物体的集群性进行分析，将其分为几个不同的子群。
2)空间聚类算法一、先假定n个点自成一类，然后逐步合并，这样在聚类的过程中，分类将越来越少，直至聚至一个适当的分类数目，这一聚类过程称之为系统聚类。
二、在聚类之初假定n个点合为一类，然后逐步分解，这样在聚类过程中，分类越来越多，直至一个适当的数目，这一聚类过程称之为逐步分解三、先确定若干聚类中心，然后逐点比较以确定离散点的归宿，这称之判别聚类。
3)空间聚类的准则一、距离靠近的点才可以归为同一子群，距离较远的点则应划为不同的子群，因此空间聚类中最常用的准则就是距离准则二、子群内方差应尽可能小，子群间方差应尽可能大，这就是离差（方差）准则在聚类分析中，我们的目标是使E尽可能的小。
只要改变点群的分群数量（合并或分解）或者对子群作调整（将某一点从子群剔除归人另一子群），E值都可能改变。
在距离相等的情况下，将点位归入含点数较少的子群，换句话说，离差方法具有平衡各子群含点数目的特征。
%>_<%注：子群调整等公式及算法详细过程见书。
%>_<%系统聚类基本思想：首先是n个样本各自成一类，然后计算类与类之间的距离，选择距离最小（或离差平方和增量最小）的两类合并成一个新类，计算新类与其它类的距离，再将距离最小（或离差平方和增量最小）的两类进行合并，依此类推，直至所有的子群全部合并。
空间聚类小结1)空间聚类的结果只能作为一种参考而不是一个依据。
2)离差具有平衡各子群含点数的特征。
3)距离反映的是个体之间的亲疏关系，而离差则描述了群体内部的亲疏程度。
4)点群中心、轴线等各种描述参数都只有针对子群才有意义。
空间趋势反映的是空间物体在空间区域上变化的主体特征，因此它忽略了局部的变异以揭示总体规律。
二、描述空间趋势的参数：1）空间梯度均值2）趋势面三、趋势面分析根据空间的抽样数据，拟合一个数学曲面，用该数学曲面来反映空间分布的变化情况。
趋势面分析在应用上要考虑两方面的问题。
1）是数学曲面类型（数学表达式）的确定；2）是拟合精度的确定。
第五章长度一、对于用矢量格式表示的空间数据，线状物体的长度计算；二、对于用栅格格式表示的空间数据，线状物体的长度计算；1)缺陷是根据它们所计算得出的长度值比实际曲线长度值要小。