概率论期末考试题型、知识点和公式复习
概率论期末复习知识点
概率论期末复习知识点第一章 随机事件与概率概率论期末复习知识点1．**事件的关系及运算(1) A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1ni i A =）． (3) 积事件： AB , 12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1n i i A =)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生,即AB φ=(5) 对立事件： A ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生,记作A B -(或AB ) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.2． **古典概率的定义古典概型：()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．几何概率()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·3．**概率的性质(1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,n A A A 两两互不相容,则有121()()n n i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑．(3)()1()P A P A =-．(4) 若事件A,B 满足A B ⊂,则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) ()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A,B,有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,n A A A ,有111111()()()()(1)()n n n i i i j i j k n i i j n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑. 4．**条件概率与乘法公式()(|)()P AB P A B P B =.乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：()()()P AB P A P B =,事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：(|)()P A B P A =．对于任意n 个事件1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =,任意的11k i i n ≤<<≤,若事件1,2,,n A A A 总满足11()()()k k i i i i P A A P A P A =, 则称事件1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21n n --个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中,随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<,则在n 次重复独立试验中．,事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k n k -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 7．**全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式：如果事件1,2,,n A A A 两两互不相容,且1ni i A ==Ω,()0i P A >,1,2,,i n =,则 1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k n i ii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律,也称这个统计规律为随机变量的分布．1．**离散型随机变量及其分布律(),1,2,,,.i i p P X a i n ===分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质(1) 0i p ≥, 1,2,,,;i n =(2) 11i i p ∞==∑．3．*常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ,它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-,其中,0i =或1,01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ,它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭,其中,0,1,2,,i n =,01p <<．(４)** 泊松分布()P λ,它的概率函数为()!i P X i e i λλ-==, 其中,0,1,2,,,i n =,0λ>．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ==== 其中,0,,1,2,,1ij ij i j p i j p≥==∑∑．5．*二维离散型随机变量的边缘概率设(,)X Y 为二维离散型随机变量,ij p 为其联合概率（,1,2,i j =）,称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘分布律,记为i p 并有.(),1,2,i i ij j p P X a p i ====∑,称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘分布率,记为.j p ,并有.j p =(),1,2,j ij i P Y b p j ===∑.6．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量,X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设X 是一个随机变量,()g x 是一个已知函数,()Y g X =是随机变量X 的函数,它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ,下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为12p p p 则随机变量函数()X 的概率函数可由下表求得但要注意,若()i g a 的值中有相等的,则应把那些相等的值分别合并,同时把对应的概率i p 相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算．1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示,．2．分布函数()F x 的性质(1) 0()1;F x ≤≤(2) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==; 由已知随机变量X 的分布函数()F x ,可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率． 3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质(1) 0(,)1F x y ≤≤；(2) (,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==,(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(3) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+．5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ,如果存在一个非负函数()f x ,使得对于任一实数x ,有()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<()()xF x f x dx -∞=⎰成立,则称X 为连续型随机变量,函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度．6．**概率密度()f x 及连续型随机变量的性质（１）()0;f x ≥（２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量,则对任意一个实数c,()0P X c ==；(5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度,则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()ba f x dx ⎰．7．**常用的连续型随机变量的分布(1) 均匀分布(,)R a b ,它的概率密度为1,;()0,a xb f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余. 其中,)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ,它的概率密度为,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余. 其中,0λ>．(3) 正态分布2(,)N μσ,它的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞,其中,,0μσ-∞<<+∞>,当0,1μσ==时,称(0,1)N 为标准正态分布,它的概率密度为22(),xf x x -=-∞<<+∞,标准正态分布的分布函数记作()x Φ,即22()t xx dt -Φ=⎰, 当出0x ≥时,()x Φ可查表得到；当0x <时,()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ,则有 ()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X,Y)的分布函数(,)F x y ,如果存在一个二元非负函数(,)f x y ,使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xy F x y f s t dtds -∞-∞=⎰⎰成立,则(,)X Y 为二维连续型随机变量,(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度．９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质(1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞；(2) (,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；’(3) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(4) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则对平面上任一区域D 有((,))(,)D P X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０,**二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度,则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．11．常用的二维连续型随机变量(1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布,则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布,并记为 221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则211~(,)X N μσ,222~(,)Y N μσ,即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．12．**随机变量的相互独立性 ．(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切,那么,称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么,X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=． 第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。
概率论与数理统计期末考试复习资料
（1）排 列组合 公式
Pmn
m! (m n)!
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
（2）加 法和乘 法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方 法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步
率。分布函数F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意 实数x ，有
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
X
| x1, x2,, xk, 。
P( X xk) p1, p2,, pk,
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ，k 1,2,， （2） pk 1。 k 1
（2）连 续型随 机变量 的分布 密度
概率论期末考试题型、知识点和公式复习
概率论期末复习知识点第一章（A 卷 20 分， B 卷 22 分） 2. 二维连续型随机向量的联合概率密度、性质1. 事件的表式及其应用2. 事件的关系与运算3. 二维连续型随机向量的分布函数3. 概率性质及其应用4. 均匀分布4. 古典概型5. 二维正态分布5. 条件概率6. 边缘概率密度6. 全概率公式7. 随机变量的独立性7. 贝叶斯公式8. 二维随机向量的相关概率计算：O联合概率密度8. 事件的独立性重点重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式O边缘概率密度第二章（A 卷 22 分， B 卷 20 分）O随机变量的独立性1. 离散型随机变量的概率分布第四章（A 卷 21 分， B 卷 26 分）2. 两点分布 1. 离散型随机变量的期望3. 二项分布 2. 连续型随机变量的期望4. 泊松分布 3. 随机变量函数的期望5. 概率密度函数及其性质 4. 方差6. 连续型随机变量的分布函数 5. 方差的性质7. 均匀分布 6. 协方差、协方差的性质8. 指数分布7. 相关系数O数学期望（随机变量及函数的数学期望）9. 标准正态分布、正态分布重点:O方差（离散型随机变量的方差）10. 随机变量相关的概率计算11. 离散型随机变量函数的概率分布O协方差和相关系数重点：O正态分布，二项分布第五章（A 卷 14 分， B 卷 12 分）O离散型随机变量及函数的概率分布1. 雪比切夫不等式的应用第三章（A卷23分，B卷20分）1. 离散型随机向量联合概率分布及分布函数2. 棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用重点：棣莫弗 ----- 拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律：厂B AB ， AB A B ； 概率的性质 1. P (? )=0;2. A,A,…,A n 两两互斥时： RAU AU …U A)= P (A)+…+P (A),3. P(A) 1P(A)( A 是 A 不发生)(D)4. 若 AB 则有：P (A ) w P( B ), P (AB = P (A ),RBA )=RB- RA> , RAU E )= R E ).5.P(A B) P(A) P(B) P(AB)(D), P ( B A )=P ( B )- P (AB )。
概率论与数理统计期末考试考点总结
概率论与数理统计期末考点总结
第一章
事件的运算；概率的性质；古典概型（不包括难题）；条件概率；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式；事件独立性。
（第一章的内容是全书的基础，必须熟练掌握）
第二章、第三章
一、二维随机变量的定义；一维分布函数、密度函数、分布列；二维联合分布和边际分布所对应的分布函数、密度函数（以上内容知道即可）
随机变量的独立性（条件分布不考）
常见分布：二项分布、泊松分布、几何分布、正态分布、均匀分布、指数分布；一元、二元函数的分布。
（以上内容要求掌握）
第四章
期望、方差的定义与性质（要求熟练掌握）；
函数的期望（掌握即可）；
斜方差与相关系数（了解即可）；
第五章
本章不考。
第六章
总体、样本的统计量（知道即可）；
三种常用统计量分布的定义与性质；抽样分布定理（掌握）
第七章
矩估计、极大自然数分布两种方法（熟练掌握）
第八章
区间估计（单总体）；假设检验（双侧）
（双总体和单侧不考）。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理讲解
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。
第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为 ， ，则A=B= ；X 的密度函数为 。
概率论与数理统计期末复习提纲
推论： P( B A) P( B) P( AB ) 4) P( A) 1 5) P( A) 1 P( A ) 6) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
第二章 一维随机变量及其分布
一维随机变量
离散型随机变量
随机变量的分布函数 连续性随机变量 随机变量函数的分布
pij P{X xi , Y y j }， i, j 1, 2,
满足规范性条件 pij 1 ，则称 ( X , Y ) 为二维离散型
i , j 1
随机变量。
定义
设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，其所有可 能取值为 ( xi , yi )(i, j 1, 2,) ，则称 pij (i, j 1, 2,) 为 ( X , Y )的联合分布律。
3 x p ( x ) dx 1 ke dx 1 ， 解：(1) ， 0
ke 3 x , p( x ) 0,
x0
x 0，
1 3x k e 3
0
1，
k 3，
即
3e 3 x , p( x ) 0,
0
0
数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C; 请注意: 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 独立 n n 推广 : E[ X i ] EX i
i 1 i 1
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
0 1
0 1
x
1 2 x 2x 1 2
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论期末试题及解析答案
概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。
1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。
1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。
1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。
2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。
解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。
解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。
现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。
解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。
P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。
概率论题型基础知识点总结
概率论题型基础知识点总结概率论题型基础知识点总结概率论是概率分析与运算的理论基础，常用于研究随机现象的规律。
掌握概率论的基础知识点对于理解概率问题的本质和解题过程至关重要。
本文将对概率论题型的基础知识点进行总结和归纳。
一、概念理解1. 随机现象：具有多种可能结果的现象，每种可能发生的结果称为随机事件。
2. 样本空间：随机现象所有可能结果的集合。
3. 随机事件：样本空间的子集，可以是一个结果，也可以有多个结果。
用大写字母表示，如A、B。
4. 必然事件：必然发生的事件，其对应的集合是样本空间的子集合。
5. 不可能事件：不可能发生的事件，其对应的集合是空集。
二、概率公式1. 相对频率定义：假设某一事件发生的频率稳定下来，那么事件发生的概率就等于这个事件发生的相对频率。
2. 等可能性定义：在所有可能结果等可能的情况下，某一事件发生的概率等于该事件包含的结果数与样本空间结果数的比值。
3. 事件的互斥与独立：若两个事件不可能同时发生，则称其为互斥事件；若两个事件的发生与否没有相互影响，则称其为独立事件。
4. 概率公式：已知随机事件A和B，有概率公式P(A) + P(A') = 1（A'为事件A的补事件）；P(AUB) = P(A) + P(B) -P(AnB)（U为并集，n为交集）。
三、常见题型1. 组合问题：指定事件A、B、C的情况下，求A或B或C至少一个事件发生的概率。
解题思路：使用容斥原理，P(AuBuC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AnB) - P(AnC) - P(BnC) + P(AnBnC)。
2. 逆概率问题：已知概率P(A)，求其对立事件A'的概率P(A')。
解题思路：P(A') = 1 - P(A)。
3. 条件概率问题：在已知事件B发生的条件下，求事件A发生的概率P(A|B)。
解题思路：P(A|B) = P(AnB) / P(B)。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
概率论与数理统计期末考试题型
概率论与数理统计总共八道大题，题型如下：1.掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式（1）已知,5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P 求：P(AB); P(A U B);)|(B A B P U .（2）事件A 与B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A －B)，P(A U B)解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3，P(A －B)= P(A)－P(AB)=0.2，P(A U B)= P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8（3）若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A －B)，P(A U B)，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P解：P(A －B)=0.1，P(A B)=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，)|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -=U =2/3 2.古典概型，（1）今有甲乙两盒乒乓球，各装10只，已知甲盒中有7只新的，乙盒中有6只新的，现从甲乙两盒中各取一只。
试求：1、取到两只都是新球的概率；2、取到2只都是旧球的概率；3、取到2球是一新一旧的概率。
（2）书12页例1.63.能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
（1）设某仓库有一批产品，已知其中15%、80%、5%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为0.02, 0.01, 0.03. 求 ①现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率？②若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大？ （2） 4.一维连续已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其它010)21()(x x A x f ,求: (1)常数A ; (2)}22.0{<<X P ; (3)分布函数F (x ); (4)数学期望E (X ); (5)方差D (X )5．二维离散设随机变量(X ,Y )的联合分布律为YX1 2 0 0.2 0.2 0.1 10.10.10.3(1)求边缘分布律P (X =k ) k =0,1 和P (Y =k ) k =0,1,2(2)求条件分布律P (X =k |Y =2) k =0,1和P (Y =k |X =1) k =0,1,2(3)求期望E (X )，E (Y ) (4)求方差D (X )，D (Y ) (5)求协方差 cov(X ,Y )6.会用中心极限定理解题（1）某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.Φ(1.67)=0.9525, Φ(1.68)=0.9535（2）每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．7.统计量的判断，掌握无偏性与有效性的判断方法（1）设321,,X X X 是总体),(~2σμN X 的一个样本，其中μ,0>σ未知，则以下的函数： 1. 321X X X ++； 2. μ33+X ； 3. 1X ； 4. 22X μ； 5.321ii Xσ=∑； 6. }max{i X ； 7. 3X +σ 中哪些为统计量？为什么？（2）设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且,,2σμ==DX EX 则在估计量32112110351ˆX X X ++=μ；32121254131ˆX X X ++=μ； 32131214331ˆX X X ++=μ；3214313131ˆX X X ++=μ中，指出μ的无偏估计量，求出其中方差最小的估计量.（3）设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计，并求出方差，比较哪个更有效。
概率论期末考试题型、知识点和公式复习
概率论期末复习知识点第一章(A卷20分，B卷22分)1.事件的表式2.事件的关系与运算3.概率性质及其应用4.古典概型5.条件概率6.全概率公式7.贝叶斯公式8.事件的独立性重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式第二章(A卷22分，B卷20分)1.离散型随机变量的概率分布2.两点分布3.二项分布4.泊松分布5.概率密度函数及其性质6.连续型随机变量的分布函数7.均匀分布8.指数分布9.标准正态分布、正态分布10.随机变量相关的概率计算11.离散型随机变量函数的概率分布重点：○1正态分布，二项分布○2离散型随机变量及函数的概率分布第三章(A卷23分，B卷20分)1.离散型随机向量联合概率分布及分布函数2.二维连续型随机向量的联合概率密度、性质及其应用3.二维连续型随机向量的分布函数4.均匀分布5.二维正态分布6.边缘概率密度7.随机变量的独立性8.二维随机向量的相关概率计算重点：○1联合概率密度○2边缘概率密度○3随机变量的独立性第四章(A卷21分，B卷26分)1.离散型随机变量的期望2.连续型随机变量的期望3.随机变量函数的期望4.方差5.方差的性质6.协方差、协方差的性质7.相关系数重点：○1数学期望（随机变量及函数的数学期望）○2方差（离散型随机变量的方差）○3协方差和相关系数第五章(A卷14分，B卷12分)1.雪比切夫不等式的应用2.棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用重点：棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律: ，B A B A = ； B A AB = 概率的性质1. P (Ø)=0；2. A 1,A 2,…, A n 两两互斥时：P (A 1∪A 2∪…∪A n )=P (A 1)+…+P (A n ),3.)(1)(A P A P -=(A 是 A 不发生)(D )4.若A B , 则有: P (A )≤ P(B )，P (AB ) = P (A )，P (B -A )=P (B )-P (A )，P (A ∪B )=P (B ).5.)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(D ), P (B -A )=P (B )-P (AB )。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则AB C =， 又2163)(,74)(===A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211A A A A +=，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ，从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ．（1）由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ，12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ，由此解得 π1,21==B A ． （2）X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π， 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ．（3）X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．【解】（1）由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx ， 由此得2=a ．（2） )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .（3）当0<x 时，有00)(==⎰∞-xdx x F ；当10<≤x 时，有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-；当1≥x 时，有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．【解】（1）由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ，由此得41=A ． （2）当11<<-x 时，有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ； 当1-≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X ．所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X（3）)(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.【解】（1）当10<<x 时，有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-；当0≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时，有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ； 当0≤y 或2≥y 时，显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y（2）⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .（3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X（2）12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy ．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ； 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ，23=b ． （2） 由数学期望的性质，有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x ， 由此得2=A ．（2）由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==，故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ．【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布：4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ，由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ，由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]【解】 由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ，由此得977.0)20(=σΦ，于是220≈σ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X .（1）0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ， 由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6.（2）)107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ， 即)5.0,2(~2N Z ．于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=．【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是)1,0(~5221N X X +，又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++，所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=，比较可得53=k ．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【解】 由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量． 【解】（1）21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ，令)(X E X =，即21+=λX ，解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ． （2）样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ，上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ，上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ， 解得2121-=∑-==x nx nni i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ． 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ， 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ， 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==， λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E ， 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ．因为σ未知，所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ， 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α． 现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t ． 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品．20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.【解】由题意，待检验的假设为0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ．因为σ未知，所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ， 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t ． 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．．原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
大学概率论与数理统计公式总结,期末考试不挂科的法宝
概率公式整理 A uQ = Q I.随机事件及其概率吸收律：AU0=A A 5人〃)=4 = A/In0 = 04n(4u/^) = 4A-B = AB = A-(AB)反演律：AuB = A B AB = A<j B P(A) = 1-P(A) P(B-A) = P(B)-P(AB) U A =A AA A =U Ar=l r=l f=l i=l 若 AuB => P[B -A) = P(B) - P(A) 2. 概率的定义及其计算： 对任意两个事件人B,有 加法公式:对任意两个事件有P(A uB) = P(A) + P(B) - P(AB) P(CjA)述P(AJ-工P(AC)+ E) + - + (-1)"'1P(A,A 2 • • • A n ) /«1 r=l lii<j<n l<i<j<kin 3. 条件概率 P(B | A)= 些凹 乘法公式 P(AB) = P(A)P(B\A)(P(A) > 0) P(4) P( A"…人)"(A )P (爲 ⑷…P(九I A A …A” J (P(A,2 …心)>0) 全概率公式 P(A) = £ P(AB,) = 2 P(BJ P(A I fi,) Bayes 公式 P(B k \ A)= “仲i=l P(4)P(AuB)<P(A) + P(B) =P (城)P(4| 以)r=l略hl 血-iz 甘4旷 ◎十"拓“饴 PS <X<b) = P(X< h)-P(X< a) 随机变山及其分布分布函数计畀— =F (b) — F (a) 离散型随机变量(1) 0 - I 分布P(X =k) = p A (l-p)' \ k = 0y l 二项分布 〃(〃,/?)若 P(4)=" P(X=k) = C"(l_p 严,"0,1,k k k 2 才 * Possion 定理 lim/zp,, =2>0 有 >!^CnPn(l ~Pn) =e 万 "0,12 …4. 5. ⑵ n — (3) Poisson 分布 P(久) P(X=R) =小一，k=o,12•… k\6.连续型随机变量(1) 均匀分布b-a (X ,ci<x<bF(g其他 x-a⑵指数分布 £(2) /(X)=0, x>0 具他 09 1 一严 x<() ,x>0 ⑶止态分布N(〃，cr2)] r"-")2 -oo<x<+oo F(x) = /—— f e 2a ：d/ 2a 2 1 _ 匚 i x d (p(x) = -J=-e 3 -oo<x<-Foo 0(x) = -^=J l e 7dz -oo<x <+<x> 二维随机变显(X,Y)的分布函数 F(x,y)=「[' f(i h v)dvclu J_8 J 一8 边缘分布函数与边缘密度函数(x) = j' j^*5f(u y v)dvdu f x (x) = ^f\x,v)dv人(y)=L*7V(0J)—标准正态分布 7 •多维随机变昴及具分布 />(y)= P f f(u.v)dudvJ ・8 er —oo&连续型二维随机变量 (1)区域G 上的均匀分布，=U,V)eG0, 其他(2)二维正态分布.( — “J，一 2 P/(^y)= ------------- xer 」2勿0 2寸1 _ P ・ —OQ < X < -H» OO < y < +009.二维随机变竝的条件分布f (x, y) = f x (x)/r j x (y|x) X 的 R 阶中心矩 E((X-E(X))*) X 的 方差 E((X-E(X))2) = D(X)X,Y 的k + l 阶混合原点矩 E(X k Y l) X.Y 的k + l 阶混合中心矩 E((X-E(X)r(Y-£(Y))‘) X 9Y 的二阶混合原点矩 E(XY) X 9Y 的二阶混介中心矩 X"的协方差E((X-E(X))(y-E(r)))'(x-E(x))(y-E(y))、< J D (X )莎百 丿X 的方差 D(X) = E((X ・E(X))2) AXX) = £(X 2)-£C(X) 协方差 cov(x,y)=E ((X - E(x))(y 一E(r)))=E(XY)-E(X)E(Y) = ±^(D(X±Y)-D(X)-D(Y))相关系数C ：组合数 中心n, n>h m>0, n. m^N.⑴排列数公式= yi(n-lXw- 2)---(n -m + 1)=出=?2! = ?2(«-1\^- 2)・・・2 1(2)组合数公式AW>0 =fy(y)f x \Y (x\y)A(y)>o+8fx (x) = L /(x, y)dy = L £|y (彳 y)齐(y)〃y A(y)= J m /(^ y)^ = L 环(妝)人(兀皿二 f(x,y) fx\Y(^fy(y) =AW 「E(X)= [ ^xf(x)dx J —8x 的k 阶绝对原点矩E (I x r)如④)=册-屉如凹10.随机变量的数字特征 数学期望E(X) =工5 “1随机变虽函数的数学期望X 的k 阶原点矩E(X k)A(y)Ard)fx(x) 4«oX#的相关系数cov(XV)4D (X)/D (Y)1.排列数(MI <M )V C：（3）组合数性质:一””（心）册亦等（5 c； +C；A +C；“ +・・・ + C；。
《概率论与数理统计》复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BAAB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）BA AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）（4）0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式：∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4）Bayes 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(，pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4．分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6．随机变量的函数)(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计期末复习知识点
fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
f X (z y) fY ( y)dy
(2) 当X 和Y 相互独立时:
M = max(X,Y ) 的分布函数
Fmax(z) P{M z} FX (z)FY (z)
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk k 1
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量. 分布律为：
P{X xi , Y y j } pij i, j 1,2,
若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
则 E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F ( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
(一)均匀分布
pi1
p•1
pi2
p•2
pij pi•
p• j 1
性质：
1 0 pij 1
2
pij 1.
j 1 i1
2.边缘分布律
3. 独立性
pij pi• p• j , ( i, j 1,2, )
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
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广东商学院华商学院试题题型课程名称概率论（A卷）课程代码课程班号（本科）共 3 页一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，错选、多选或未选均无分）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分，错填、不填均无分)三、计算题(本大题共3小题，共40分)四、综合题（本大题共2小题，共20分）课程名称概率论（B卷）课程代码课程班号（本科）共 4 页一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，错选、多选或未选均无分）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分，错填、不填均无分)三、计算题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)四、综合题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）概率论期末复习知识点第一章1.事件的表示2.事件的关系与运算3.概率性质及其应用4.古典概型5.条件概率6.全概率公式7.贝叶斯公式8.事件的独立性重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式第二章1.离散型随机变量的概率分布2.两点分布3.二项分布4.泊松分布5.概率密度函数及其性质6.连续型随机变量的分布函数7.均匀分布8.指数分布9.标准正态分布、正态分布10.随机变量相关的概率计算11.离散型随机变量函数的概率分布重点：○1正态分布，二项分布○2离散型随机变量及函数的概率分布第三章1.离散型随机向量联合概率分布及分布函数2.二维连续型随机向量的联合概率密度、性质及其应用3.二维连续型随机向量的分布函数4.均匀分布5.二维正态分布6.边缘概率密度7.随机变量的独立性8.二维随机向量的相关概率计算重点：○1联合概率密度○2边缘概率密度○3随机变量的独立性○4二维正态分布第四章1.离散型随机变量的期望2.连续型随机变量的期望3.随机变量函数的期望4.方差5.方差的性质6.协方差、协方差的性质7.相关系数重点：○1数学期望（随机变量及函数的数学期望）○2方差（离散型随机变量的方差）○3协方差和相关系数第五章1.雪比切夫不等式的应用2. 棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用 重点：棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律: ，B A B A = ； B A AB = 概率的性质 1. P (Ø)=0；2. A 1,A 2,…, A n 两两互斥时：P (A 1∪A 2∪…∪A n )=P (A 1)+…+P (A n ),3.)(1)(A P A P -=(A 是 A 不发生)(D )4.若A ⊂B , 则有: P (A )≤ P(B )，P (AB ) = P (A )，P (B -A )=P (B )-P (A )，P (A ∪B )=P (B ).5.)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(D ), P (B -A )=P (B )-P (AB )。
古典概率模型中，事件A 的概率基本事件总数中包含基本事件数A A P =)(从n 件商品中取出k 商品，共有)!(!!k n k n C k n -=[即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ]种取法[12)1(!⋅⋅⋅-⋅= n n n ]。
D 1- P (B )>0，称下式为事件B 发生条件下，事件A 的条件概率, )()()|(B P AB P B A P =乘法公式：若P (B )>0，则 P (AB )=P (B )P (A |B ) ；若P (A )>0，则P (AB )=P (A )P (B |A )。
设A 1, A 2,…,A n 是两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n =Ω，且P (A i )>0, i =1, 2,…, n ; 另有一事件B , 它总是与A 1, A 2,…, A n 之一同时发生，则全概率公式：∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜贝叶斯公式：. ,,2 ,1 , )()()()()|(1n i A B P A P A B P A P B A P nj j j i i i ==∑=｜｜(D 1)定义：称 A , B 独立，如果P (AB )= P (A )P (B )(D )。
定理. 若事件A , B 独立相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立。
随机变量 X 的分布函数：F (x )= P (X ≤x ), -∞< x <∞。
性质：P (a 1<X ≤b 1)=F (b 1)-F (a 1).D 2- 定义 ：设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,,,21 x x 且有 。
,2,1,)( ===k p x X P k k 则称p 1 , p 2, …为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
其中 p 1 , p 2, …满足;,2,1 ,0)1( =≥k p k.1(2))n(1i =∑∞=k p 离散型随机变量的分布函数(累计频率)： ==≤=∑≤xx k k p x X P x F )()(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<+∞x x x x x x x x x x p p p n )(322112111)()(1--=k k k x F x F p ，;,2,1 =kk k n k p x X E )(1)(∞=∑=，kk n k p x X E 2)(12)(∞=∑=，22)]([)()(X E X E X D -=(D 2)。
D 3- X ~ B (n , p )-参数为(n , p )的二项分布:用X 表示 n 重贝努里试验中事件A 发生的次数，则：n k p p C k X P k n k k n , ,1 ,0 ,)1()( =-==-(D 3). np X E =)(，)1()(p np X D -=.X ～P (λ)-参数为λ的泊松分布：. ,2 ,1 ,0 ,!)();( ====-k k ek X P k p kλλλ其中λ>0 是常数，λ=)(X E ，λ=)(X D 。
X 为连续型随机变量：有密度函数 0)(≥x f 使： , )()(1111⎰=≤<b a dx x f b X a P设其它bx a x h x f <≤⎩⎨⎧=0)()( ，密度函数的性质： 1 )(⎰∞∞-=dx x f 1 )(⎰=b a dx x h 或(D ) 分布函数=≤=)()(x X P x F x b b x a a x dt t h xa ≤<≤<⎪⎩⎪⎨⎧⎰1)(0(常用到的不定积分公式：vdu uv udv x arctg x dx x xdx e dx e k x dx x x xk k⎰-=⎰=+⎰-=⎰-=⎰+=⎰--+,1,cos sin ,,1221αααααα等).在 f (x )的连续点，有：. )()(x f x F ='⎰=b adx x h x X E , )()(⎰=badx x h x X E , )()(2222)]([)()(X E X E X D -=D 4- ),(~2σμN X ：参数为常数μ和σ>0的正态分布：密度函数为∞<<∞-=--x ex f x ,21)(22)(σμσπ,μ=)(X E ，2)(σ=X D 。
标准正态分布，记作)1,0(~N X ，0)(=X E ，1)(=X D ：).( d 21)( 21)(2/2/22可查表得出分布函数：，，密度函数：t e x x e x x t x ⎰∞---=Φ∞<<∞-=ππϕ ，，若) (~ 2σμN X )1,0(~N X σμ-,}{11b X a P <<. 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμσμa b }{1b X P <.1⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμb )(1)( 0 x x x Φ-=-Φ>时，当(D 4) X ～U(a , b )-均匀分布，密度函数：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0, ,1)(其他b x a ab x f 2/)()(b a X E +=，12/)()(2a b X D -=. X ~E(λ)-参数为λ的指数分布, 密度函数：0)( .0 , 0 , 0 , )(>⎩⎨⎧<≥=-λλλx x e x f x ，λ/1)(=X E ，2/1)(λ=X D .X 1，X 2独立，.2,1),,(~2=i N X i i i σμ a X 1+b X 2+c ~N (a μ1+b μ2+c ，a 2σ12+b 2σ22) E (aX +b )= a E (X )+b ，D (aX +b )= a 2D (X )，E (aX +bY +c )= a E (X )+ b E (X )+c ， X ，Y 独立，D (aX +bY +c )= a 2D (X )+b 2D (X ).二维离散型随机变量(X ,Y )： p ij ),(j i y Y x X P ===≥0，1)(1)(1=∑∑∞=∞=ij m i n j p ，ij n j i p p )(1∞=⋅∑=，ij m i j p p )(1∞=⋅∑=， 分布函数=),(y x F ij y Y x X p ji ≤≤∑∑,2,1.,2,1,===⋅⋅j i p p p j i ij 独立：。
ijj i m i n j p y x g Z E Y X g Z ),()(),,()(1)(1∞=∞=∑∑== ),()()()()(,,,,,2222Y E X E XY E Y E X E Y X XY Y X Z ，，，，可计算：时=)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=等。
独立→不相关：0),(=Y X Cov ，或)()()(Y E X E XY E =。
二维连续型随机变量(X ,Y )密度函数),(),(),(⎩⎨⎧∈=其它D y x y x h y x f [均匀分布时，d y x h 1),(=，d 为D 的面积]， D 是矩形(含正方形)、全部区域、三角形(含大三角形)、圆盘、直线与抛物线所围区域等。
D 5- )),((),(),(),(1)()()()(2121dx y x h dy dy y x h dx dxdy y x h dxdy y x f y y dc x x b a Dϕϕψψ⎰⎰=⎰⎰=⎰⎰=⎰⎰=+∞∞-+∞∞-或 (a 是区域D 左边界的最小值，b 是区域D 右边界的最大值，ψ1(x )是区域D 的下边界函数，ψ2(x )是区域D 的上边界函数；c 是区域D 下边界的最小值，d 是区域D 上边界的最大值，φ1(x )是区域D 的左边界函数，φ2(x )是区域D 的右边界函数)。