概率论期末考试题型、知识点和公式复习

概率论期末复习知识点

第一章(A卷20分，B卷22分)

1.事件的表式

2.事件的关系与运算

3.概率性质及其应用

4.古典概型

5.条件概率

6.全概率公式

7.贝叶斯公式

8.事件的独立性

重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式第二章(A卷22分，B卷20分)

1.离散型随机变量的概率分布

2.两点分布

3.二项分布

4.泊松分布

5.概率密度函数及其性质

6.连续型随机变量的分布函数

7.均匀分布

8.指数分布

9.标准正态分布、正态分布

10.随机变量相关的概率计算

11.离散型随机变量函数的概率分布

重点：○正态分布，二项分布

○离散型随机变量及函数的概率分布第三章(A卷23分，B卷20分)

1.离散型随机向量联合概率分布及分布函数

2.二维连续型随机向量的联合概率密度、性质

及其应用

3.二维连续型随机向量的分布函数

4.均匀分布

5.二维正态分布

6.边缘概率密度

7.随机变量的独立性

8.二维随机向量的相关概率计算

重点：○联合概率密度

○边缘概率密度

○随机变量的独立性

第四章(A卷21分，B卷26分)

1.离散型随机变量的期望

2.连续型随机变量的期望

3.随机变量函数的期望

4.方差

5.方差的性质

6.协方差、协方差的性质

7.相关系数

重点：○数学期望（随机变量及函数的数学期望）○方差（离散型随机变量的方差）

○协方差和相关系数

第五章(A卷14分，B卷12分)

1.雪比切夫不等式的应用

2.棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用

重点：棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理

概率论期末公式复习

对偶律: ，B A B A = ； B A AB = 概率的性质 1. P (Ø)=0；

2. A 1,A 2,…, A n 两两互斥时：P (A 1∪A 2∪…∪A n )=P (A 1)+…+P (A n ),

3.)(1)(A P A P -=(A 是 A 不发生)(D )

4.若A

B , 则有: P (A )≤ P(B )，P (AB ) = P (A )，P (B -A )=P (B )-P (A )，P (A ∪B )=P (B ).

5.)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(D ), P (B -A )=P (B )-P (AB )。

古典概率模型中，事件A 的概率 基本事件总数

中包含基本事件数A A P =

)(

从n 件商品中取出k 商品，共有)!(!!k n k n C k

n -=

[即⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛k n ]种取法[12)1(!⋅⋅⋅-⋅= n n n ]。 D 1- P (B )>0，称下式为事件B 发生条件下，事件A 的条件概率

, )

()

()|(B P AB P B A P =

乘法公式：若P (B )>0，则 P (AB )=P (B )P (A |B ) ；若P (A )>0，则P (AB )=P (A )P (B |A )。

设A 1, A 2,…,A n 是两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n =Ω，且P (A i )>0, i =1, 2,…, n ; 另有一事件B , 它总是与A 1, A 2,…, A n 之一同时发生，则

全概率公式：∑==n

i i i A B P A P B P 1)()()(｜

贝叶斯公式：. ,,2 ,1 , )

()()()()|(1

n i A B P A P A B P A P B A P n

j j j i i i ==∑=｜｜(D 1) 定义：称 A , B 独立，如果P (AB )= P (A )P (B )(D )。

定理. 若事件A , B 独立相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立。 随机变量 X 的分布函数：F (x )= P (X ≤x ), -∞< x <∞。 性质：P (a 1

D 2- 定义 ：设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,,,21 x x 且有

。

,2,1,

)( ===k p x X P k k 则称p 1 , p 2, …为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。其中 p 1 , p 2, …满足

;,2,1 ,0)1( =≥k p k

.1(2))

n(1i =∑∞=k p

离散型随机变量的分布函数(累计频率)：

离散型随机变量X

X x 1 x 2 … x n (∞) p

p 1

p 2

…

p n

==≤=∑≤x

x k k p x X P x F )()(⎪⎪

⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧≤<≤<≤<+∞x x x x x x x x x x p p p n )(322112

111

)()(1--=k k k x F x F p ，;,2,1 =k

k k n k p x X E )(1)(∞=∑=，k

k n k p x X E 2

)(12)(∞=∑=，22)]([)()(X E X E X D -=(D 2)。 D 3- X ~ B (n , p )-参数为(n , p )的二项分布:用X 表示 n 重贝努里试验中事件A 发生的次数，则：

n k p p C k X P k n k k

n , ,1 ,0 ,)1()( =-==-(D 3).

np X E =)(，)1()(p np X D -=.

X ～P (λ)-参数为λ的泊松分布：. ,2 ,1 ,0 ,!

)();( ====-k k e

k X P k p k

λλλ

其中λ>0 是常

数，

λ=)(X E ，λ=)(X D 。

X 为连续型随机变量：有密度函数 0)(≥x f 使： , )()(1

1

11⎰=≤

设其它b x a x h x f <≤⎩

⎨⎧=0)()( ，密度函数的性质： 1 )(⎰∞∞-=dx x f 1 )(⎰=b a dx x h 或(D )

分布函数=≤=)()(x X P x F x b b x a a x dt t h x a

≤<≤<⎪⎩

⎪⎨⎧⎰1)(0

(常用到的不定积分公式：

vdu uv udv x arctg x dx x xdx e dx e k x dx x x x

k k

⎰-=⎰=+⎰-=⎰-=⎰+=⎰--+,1,cos sin ,,12

21α

ααααα等). 在 f (x )的连续点，有：. )()(x f x F ='

⎰=b

a

dx x h x X E , )()(⎰=b

a

dx x h x X E , )()(2222)]([)()(X E X E X D -=

D 4- ),(~2σμN X ：参数为常数μ和σ>0的正态分布：密度函数为

∞<<∞-=

--

x e x f x ,21

)(2

22)(σμσ

π,μ=)(X E ，2

)(σ=X D 。

标准正态分布，记作)1,0(~N X ，0)(=X E ，1)(=X D ：

).

( d 21)( 21)(2

/2

/22可查表得出分布函数：，

，密度函数：t e x x e x x t x ⎰∞

---=Φ∞<<∞-=π

πϕ ，，若) (~ 2σμN X )1,0(~N X σ

μ

-,