概率论期中考试试卷及答案

1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.
解:
把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故
P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
30
2415=C C 种方法
4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法
因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故
12572
625360)(=
=B P
2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。

解：
设x,y 分别为两船到达码头的时刻。

由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。

设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。

222024,024024,024,2111
()24576,()2322506.522
()
()0.8793
()
x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===⨯+⨯===Ω={(x,y)},
A={(x,y)或},有所以，
3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求：
(1) 该件商品是次品的概率。

(2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。

解:
厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业
考试时间
1231122331,
(1)
()()(|)()(|)()(|)
=60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024
(2) (|)A B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B P B A =++=
设为该产品为次品，,分别为三个厂家产品，则由全概率公式可知由贝叶斯公式可知
111()()(|)60%*(1-98%)
()()0.024
=0.5P AB P B P A B P A P A ==
4.甲乙丙三台机床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为,08,，求在这段时间内，最多只有一台机床需人照顾的概率。

解：
设123A A A 、、分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，i B 代表这段时间内恰有i 台机床需要照管，i=0、1.
显然，0B 与1B 互斥，123A A A 、、相互独立。

并且：
123012312311231231230101(=(=(=(=((((=(=(+(+(=+(=((P A P A P A P B P A A A P A P A P A P B P A A A P A A A P A A A P B B P B P B ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋃+）0.3、）0.2、）0.1
））=）））=0.70.80.90.504，））））
0.30.80.90.70.20.9+0.70.80.1=0.398故最多只有一台机床需要照顾的概率为：）））=0.902
5.设顾客在某银行的窗口等候服务的时间 X （以分钟计）服从参数为1/5的指数分布，某顾客在窗口等候服务，若超过10 分钟，他就离开．他一月内要到银行5 次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试计算P {Y ≥ 1}．
解：
15
125
10
20202551,0
()5
0,015(10),
5~(5,)
(1)1(0)1()(1-)=1-0.4833=0.5167x x e x X f x x Y n p P X e dx e Y B e P Y P Y C e e -+∞
-----⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
==>==≥=-==-⨯⎰的密度函数为为伯努利概型，其中，，即
6. 某种电池的寿命X （单位：小时）是一个随机变量，服从μ = 300，σ = 35 的正态分布，求这样的电池寿命在250 小时以上的概率，并求一允许限x ，使得电池寿命在(300 – x ，300 + x )内的概率不小于．
(1.4286)0.9236;(1.65)0.95Φ=Φ=
解：
22~()=(30035)250300
(250)1(250)1()1( 1.4286)35
(1.4286)0.9236
(300300)(300)(300)(
)()2()10.9353535()0.95351.6557.7535X N N P X F P x X x F x F x x x x
x
x
x μσ-≥=-=-Φ=-Φ-=Φ=-<<+=+--=Φ-Φ-=Φ-≥Φ≥≥≥因，，故又即；
故，
7. 设随机变量X 在区间 (?1, 2)上服从均匀分布，求2x Y e = 的密度函数 解：
2-24-2
4
-241
,12
~(12)()3
0,1
,,
2111(),3261,6()0,X x Y Y x X U X f x dx Y e e y e dy y f y e y e y y e y e
y
Y f y ⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩==<<==<<⎧<<⎪=⎨⎪⎩
因，，有的密度函数为其他
又因为严格单增，且-1<x<2时，有则故的密度函数为其他
8.假定某人浏览网站时独立且随机点击任意网站，点击甲网站概率为p ,(0<p<1)。

浏览进行到点击甲网站两次为止，用X 表示直至第一次点击甲网站为止所点击的次数，以Y 表示此次浏览点击网站的总次数，试求（X,Y ）的联合分布律及X 与Y 的条件分布律。

解：
各次点击是独立的，对任意的m,n(m<n)，有
2222
1
1
12
11
1
22
1
1
22,)(,=(1),1,2,,1;2,3
,)(=
(,=
(1)(1)(1),1,2,
(=(,=(1)(1)(1)n n n m n m m m n n n m m n X Y P X m Y n p p m n n X Y X Y P X m P X m Y n p p p p p p m p P Y n P X m Y n p p n p p -∞
∞
-=+=+-----==-==-=-====--==-====-=--∑
∑
∑
∑故(的联合分布律为
）(关于及的边缘分布律为））））2222221
1
,2,32,3(1)1(==,1,2,
,1;
(1)(1)11,2,
(1)(==(1),1,2,(1)
n n n n m m n X Y n p p P X m Y n m n n p p n m p p P Y n X m p p n m m p p ------==-===----=-==-=++
-故、条件分布律分别为：当时
）当时
）
9．设二维随机变量 ),(Y X 的联合概率密度为01,01
(,)0cxy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩
其它 (其中c 为常数)
求: （1）常数C
（2）求关于,X 关于Y 的边缘概率密度() ()X Y F x F y ，
（3）求12P X Y ⎧
⎫+>⎨⎬⎩
⎭的概率
解:
1
1
0101
(1) (,)1
1 *1
42 (0,1)
(2) () =(,)0 (0,1)2 ( () =(,)x y x y X Y f x y dxdy cxydxdy c dx xydy c x x f x f x y dy x y x f y f x y dx -∞<<+∞-∞<<+∞
<<<<+∞-∞+∞
-∞
====∈⎧=⎨
∉⎩∈=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
由密度函数性质可知因此 01/2
01/2
11/20
0,1)
0 (0,1)
11(3) =1-=1-(,)22111
1-411212
x y x
x P X Y P X Y f x y dxdy
dx xydy <<<<-⎧⎨
∉⎩⎧⎫⎧
⎫+>+≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭==-
=⎰⎰⎰⎰。