概率论期中考试试卷及答案

将 个不同的球随机地放在 个不同的盒子里，求下列事件的概率 个球全在一个盒子里 恰有一个盒子有 个球
解
把 个球随机放入 个盒子中共有45 种等可能结果 （ ） 个球全在一个盒子里 共有 种等可能结果 故
个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
30
2
415=C C 种方法
个球中取 个放在一个盒子里，其他 个各放在一个盒子里有 种方法 因此， 恰有一个盒子有 个球 共有 × 种等可能结果
故
12572
625360)(=
=
B P
某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为 小时和 小时，设甲、乙在 小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。

解：
设 分别为两船到达码头的时刻。

由于两船随时可以到达，故 分别等可能地在 上取值，如
厦门大学概统课程期中试卷
＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业
考试时间
右图
方形区域，记为Ω。

设 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。

222024,024024,024,2111
()24576,()2322506.522
()
()0.8793
()x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===⨯+⨯===Ω={(x,y)},
A={(x,y)或},有所以，
设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是 ： ： ，且第一、二、三厂家的正品率依次为 、 、 ，若在该商场随机购买一件商品，求：
该件商品是次品的概率。

该件次品是由第一厂家生产的概率。

解
1231122331,
(1)
()()(|)()(|)()(|)
=60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024
(2) (|)A B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B P B A =++=
设为该产品为次品，,分别为三个厂家产品，则由全概率公式可知由贝叶斯公式可知
111()()(|)60%*(1-98%)
()()0.024
=0.5P AB P B P A B P A P A ==
甲乙丙三台机床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为 ，求在这段时间内，最多只有一台机床需人照顾的概率。

解：
设123A A A 、、分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，i B 代表这段时
间内恰有 台机床需要照管， 、
显然，0B 与1B 互斥，123A A A 、、相互独立。

并且：
123012312311231231230101(=(=(=(=((((=(=(+(+(=+(=((P A P A P A P B P A A A P A P A P A P B P A A A P A A A P A A A P B B P B P B ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋃+）0.3、）0.2、）0.1
））=）））=0.70.80.90.504，））））
0.30.80.90.70.20.9+0.70.80.1=0.398故最多只有一台机床需要照顾的概率为：）））=0.902
设顾客在某银行的窗口等候服务的时间 （以分钟计）服从参数为 的指数分布，某顾客在窗口等候服务，若超过 分钟，他就离开．他一月内要到银行 次，以 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试计算
≥ ．
解：
1
5125
10
20202551,0()5
0,015(10),
5~(5,)
(1)1(0)1()(1-)=1-0.4833=0.5167x x e x X f x x Y n p P X e dx e Y B e P Y P Y C e e -+∞
-----⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩
==>==≥=-==-⨯⎰的密度函数为为伯努利概型，其中，，即
某种电池的寿命 （单位：小时）是一个随机变量，服从μ ，σ 的正态分布，求这样的电池寿命在 小时以上的概率，并求一允许限 ，使得电池寿命在 ， 内的概率不小于 ．
(1.4286)0.9236;(1.65)0.95Φ=Φ=
解：
22~()=(30035)250300
(250)1(250)1()1( 1.4286)35
(1.4286)0.9236
(300300)(300)(300)(
)()2()10.9353535()0.95351.6557.7535X N N P X F P x X x F x F x x x x
x
x
x μσ-≥=-=-Φ=-Φ-=Φ=-<<+=+--=Φ-Φ-=Φ-≥Φ≥≥≥因，，故又即；
故，
设随机变量 在区间 − 上服从均匀分布，求2x Y e = 的密度函数
解：
2-24-2
4
-241
,12
~(12)()3
0,1
,,
2111(),3261,6()0,X x Y Y x X U X f x dx Y e e y e dy y f y e y e y y e y e
y
Y f y ⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩==<<==<<⎧<<⎪=⎨⎪⎩
因，，有的密度函数为其他
又因为严格单增，且-1<x<2时，有则故的密度函数为其他
假定某人浏览网站时独立且随机点击任意网站，点击甲网站概率为 。

浏览进行到点击甲网站两次为止，用 表示直至第一次点击甲网站为止所点击的次数，以 表示此次浏览点击网站的总次数，试求（ ）的联合分布律及 与 的条件分布律。

解：
各次点击是独立的，对任意的 ，有
2222
1
1
12
11
1
22
1
1
22,)(,=(1),1,2,,1;2,3
,)(=
(,=
(1)(1)(1),1,2,
(=(,=(1)(1)(1)n n n m n m m m n n n m m n X Y P X m Y n p p m n n X Y X Y P X m P X m Y n p p p p p p m p P Y n P X m Y n p p n p p -∞
∞
-=+=+-----==-==-=-====--==-====-=--∑
∑
∑
∑故(的联合分布律为
）(关于及的边缘分布律为））））2222
22
11
,2,32,3(1)1(==,1,2,,1;
(1)(1)11,2,
(1)(==(1),1,2,(1)
n n n n m m n X Y n p p P X m Y n m n n p p n m p p P Y n X m p p n m m p p ------==-===----=-==-=++
-故、条件分布律分别为：当时
）当时
）
．设二维随机变量 ),(Y X 的联合概率密度为
01,01
(,)0cxy x y f x y <<<<⎧=⎨
⎩
其它 其中 为常数 求 （ ）常数
（ ）求关于,X 关于Y 的边缘概率密度() ()X Y F x F y ，
（ ）求12P X Y ⎧
⎫+>⎨⎬⎩
⎭的概率
解
1
1
0101
(1) (,)1
1 *1
42 (0,1)
(2) () =(,)0 (0,1)2 ( () =(,)x y x y X Y f x y dxdy cxydxdy c dx xydy c x x f x f x y dy x y x f y f x y dx -∞<<+∞-∞<<+∞
<<<<+∞-∞+∞
-∞
====∈⎧=⎨
∉⎩∈=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
由密度函数性质可知因此 01/2
01/2
11/20
0,1)
0 (0,1)
11(3) =1-=1-(,)22111
1-411212
x y x
x P X Y P X Y f x y dxdy
dx xydy <<<<-⎧⎨
∉⎩⎧⎫⎧
⎫+>+≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭==-
=⎰⎰⎰⎰。