一元二次方程根与系数的关系学案
人教版九年级上第21章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(有答案)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系【目标导航】1、经历从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系2、掌握一元二次方程根与系数的关系式3、能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差【知识链接】法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种非常密切的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。
用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等都很方便。
【珍宝探寻】珍宝 一．一元二次方程根与系数的关系1． 设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=ca； 解析：（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1x 2∴x 1+x 2=2b b a -+-ba ，x 1·x 2=2b a -+·2b a --=ca即 这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。
2.使用一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数的关系时需注意：(1)先把方程化为一般形式，并要注意隐含条件a ≠0； (2)应用时一定要记住根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0这个前提条件； (3)写 时不要弄错符号. 【营养快餐】快餐 一 经典基础题例1：若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x 的值是（ ） A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 分析：由有根与系数的关系12cx x a=＝－3。
解：因为0322=--x x ，中a ＝1，c ＝－3，所以12-31x x =＝－3 故选B点拨：本题利用两根之积与系数的关系.例2．1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+分析：由根与系数的关系可建立关于1x 和2x 的方程组12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，再把所求式子用它们表示出来，代入化简即得解：由一元二次方程根与系数的关系，得12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，进而（1）2221x x +＝212212)(x x x x -+＝417（2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝213（3）原式＝)32()(2222221x x x x -++＝5417+＝4112点拨：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、恒等式的变形等知识。
一元二次方程根与系数的关系导学案(重要)
一元二次方程根与系数的关系导学案一、学习目标1、熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2、灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.二、重点、难点重点：一元二次方程的根与系数的关系．难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．三、教学过程（一）复习引入1、一元二次方程的一般形式？2、一元二次方程有实数根的条件是什么？3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式。
除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？（二）探索并归纳一元二次方程根与系数的关系1、解方程并观察x1＋x2, x1·x2与系数的关系x2－2x=0x2＋3x－4=0x2－5x+6=0 x2＋5x－24=0问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？归纳：一元二次方程根与系数的关系(1).当二次项系数为1的关于x的方程x2 +px+q=0两根为x1 、x2(p,q 为常数).则：x1＋x2= , x1·x2=3、解方程并观察x1＋x2, x1·x2与系数的关系2x2－x－6=02x2＋x－6=05x2－4x－12=0问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？归纳：（三）例题讲解例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的x1 ，x2的和与积。
(1) x2+7x+6=0(2) 2x2－3x－2=0变式题：50页随堂练习1、2例2：已知方程5x2+k x－6=0的一个根是2，求另一个根及k值。
变式：50页随堂练习3（四）典型题训练题型一：已知一元二次方程，求有关两根的代数式的值。
例：若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为（ ） A ．3 B ．－3C ．13D ．－13变式题1、已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．3 题型二：利用一元二次方程的根与系数的关系判断方程的根的符号。
一元二次方程的根与系数的关系导学案
一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1、 知道一元二次方程的根与系数的关系。
2、 能运用一元二次方程的根与系数的关系进行已知一根求另一根的简便运算。
学习重点、难点：重点：一元二次方程的根与系数关系的推导和它的运用。
难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系。
学习流程： 一、旧知回顾：（独立完成，组长检查指导） 1、 写出一元二次方程的一般式和求根公式。
2、 已知232+=x ，232-=y 求22y xy x ++的值。
二、合作交流：（独学、互学，交流归纳）1、 仔细观察一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个实数根a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=它们有什么相同点和不同点。
试求222121x x x x ++的值。
归纳：一元二次方程的根21,x x 与系数c b a ,,之间有什么关系呢？=+21x x ， =⋅21x x2、若方程4522=-x x 的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。
3、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根和k 的值。
三、课堂检测：1、若方程x x 4322=-的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。
2、已知方程0322=-+kx x 的一个根x 1=3，求它的另一个根x 2和k 的值。
3、关于x 的方程01622=+-+m x x 的两个根互为倒数，则m= 。
四、课堂整理1、 熟记一元二次方程的根与系数的关系，你记住了吗？请写下来：2、这节课你学了什么？会了什么？还有不会的吗？五、拓展延伸（挑战自我）1、当k 取何值时，013)13(2322=-++-k x k x（1）有一根为零？（2）有两个互为相反数的根？（3）两根互为倒数？2、已知关于x 的方程0)1(2=-+-a a x x 有两不等的正数根，求a 的取值范围。
一元二次方程根与系数的关系导学案
一元二次方程根与系数的关系导学案Ting Bao was revised on January 6, 20021学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：ab x x -=+21，ac x x =21； 2．会用根的判别式及根与系数关系解题.一、自主学习阅读教材P40—42,完成课前预习1、(1)一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律； ②x 2+px+q=0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律； ②ax 2+bx+c=0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理） ax 2+bx+c=0的两根1x =,2x =12x x +=12.x x =4、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --=（2）22350x x +-=（3）21203x x -= 5、已知方程2290x kx +-=的一个根是-3，求另一根及K 的值。
二、小组讨论，展示预习提纲三、教师点拨：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.四、课堂练习1．若方程20ax bx c ++=(a≠0)的两根为1x ，2x 则12x x +=12.x x =2．方程22310x x --=则12x x +=12.x x =3．若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为____p=____4．已知方程230x x m -+=的一个根1，则它的另一根是____m=____5．若0和-3是方程的20x px q ++=两根，则p+q=____6.在解方程x 2+px+q=0时，甲同学看错了p ，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q ，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=，q=。
一元二次方程的根与系数的关系优秀教案
课题：一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
（一）知识与技能
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
（二）过程与方法
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
（三）情感态度与价值观
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养孩子观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
二、重点难点
1、重点一元二次方程根与系数的关系
2、难点对根与系数关系的理解和推导
三、教学过程。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。
今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。
那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。
(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。
师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。
假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。
其中a、b、c分别是方程的系数。
那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。
通过实例探究根与系数的关系。
师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。
例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。
那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
九年级上册一元二次方程的根与系数的关系学案
九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》学案一元二次方程的根与系数的关系（总第学时）主备人：备组学习目标：把握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
学习重难点：重点：根与系数的关系及其推导。
难点：正确明白得根与系数的关系。
学习进程：一、温顾互查一元二次方程的一样形式是什么？2一元二次方程的求根公式是什么？3如何判定一元二次方程根的情形？二、探讨新知试探：解方程并观看x1＋x2,x1•x2与系数的关系方程x1x2x1＋x2x1•x2x2－x＋6=0x2＋3x－4=0x2－x－2=0x2＋3x＋2=02问题：观看两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？3猜一猜：请依照以上的观看猜想：方程的两根与系数a,b,之间的关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．4验证结论：设为方程的两个实数根，证明上述结论（1）当知足条___________时，方程的两根是（2）两根之和两根之积．结论：一元二次方程根与系数关系：（1）若是为方程的两个实数根，那么______,_________若是为方程的两个实数根,那么______,_________三、合作探讨不解方程，求以下方程两根的和与积：（1），2写出以-２与１为根的一元二次方程。
3、已知方程的一个根是-3，求另一根及的值。
四当堂训练．假设方程的两根为，,那么==2．方程那么==3．假设方程的一个根2，那么它的另一个根为p=4．已知方程的一个根1，那么它的另一根是=．假设0和-3是方程的两根，那么p+q=6在解方程x2+px+q=0时，甲同窗看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同窗看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你以为方程中的p=，q=。
7．两根均为负数的一元二次方程是（）ABD8．假设方程的两根中只有一个为0，那么（）Ap=q=0BP=0,q≠0p≠0,q=0Dp≠0,q≠0九、不解方程，求以下方程的两根和与两根积：（1）x2-x-10=0（2）2x2+7x+1=0（3）3x2-1=2x+（4）x（x-1）=3x+7学后反思：。
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21.2.4一元二次方程根与系数的关系
主备人： 学科组长：
【教师寄语】：你是泊于青春的港口的一叶小舟，愿你扬起信念的帆，载着希望的梦幻，驶向辽阔的知识海洋。
【学习目标】
1．理解并掌握根与系数关系：a b
x x
-=+21，a c
x x =
21；
2．会用根的判别式及根与系数关系解题.
【学习过程】
自学交流
【学习方式】1.独立思考解决问题。
2.小组交流，互相补充完善。
3.小组代表展示相对完善的答案。
知识准备
（1）一元二次方程的一般式：
（2）一元二次方程的解法：
（3）一元二次方程的求根公式：
质疑合作
2、知识探究：设1x ，2x 是一元二次方程02
=++c bx ax （a ≠0）的两根， 试推导a b
-x x 21=+， a c
x x =21.；
【方法点拨】：通过一元二次方程根的公式去探索
归纳：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
若1x ，2x 是一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根，则a b -x x 21=+，a c
x x =21.
巩固提升
【方法点拨】：
熟记一元二次方程根与系数的关系，掌握公示特征。
一、填空：
1． 若方程20ax bx c ++=(a≠0)的两根为1x ，2x 则12x x += ，12.x x = 2 ．方程22310x x --= 则12x x += ，12.x x =
3 ．若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为____ p=____
4 ．已知方程230x x m -+=的一个根1，则它的另一根是____ m= ____
5 ．若0和-3是方程的20x px q ++=两根，则p+q= ____
二、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）0156x 2=--x （2）0973x 2=-+x （3）2415x x =-
三、已知方程2290x kx +-=的一个根是 -3 ，求另一根及k 的值。
拓展延伸
1、已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 βα1
11+）（ 222βα+）（ βα-）（3
2 ．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）。