《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

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《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。

教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。

教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。

数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。

【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。

通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。

培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。

【学案内容】：1、方程：X 2+3X –4=0（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。

（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。

（3）则X 1+X 2=_______，方程中（）二次项系数一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______，方程中（）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。

一元二次方程根与系数的关系

北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程*2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计一、教学内容及内容解析1.教学内容知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表述方程的根，能用方程的根表示系数.2.内容解析本课是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的选学内容.我们知道在一元二次方程的求根公式和根的判别式已经揭示了一元二次方程的根与系数的关系，本节课将在求根公式的基础上进一步探究一元二次方程的两根与系数之间的关系.一元二次方程的根与系数的关系是今后继续研究一元二次方程根的情况的重要工具.利用根与系数的这模型关系可以解决和研究许多数学问题，对今后二次函数和高中解析几何的学习和研究意义重大.通过本节课，学生进一步感悟用数学符号表达对数学发展的作用，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验，也为今后学习高阶方程打下理论基础.基于以上分析，本节课的重点是：一元二次方程的根与系数的关系的发现和提出，以及简单的应用.二、目标和目标解析1.目标（1）通过复习一元二次方程的一般式和求根公式，在一般观念的引领下学生能发现和提出研究方程根与系数关系的问题.（2）了解一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.（3）感受由一元二次方程的系数能得到方程根的情况，而用方程的两根不能唯一确定系数这一关系.（4）通过一元二次方程的根与系数的关系的发现、推导和学习过程，培养学生观察、计算和分析能力，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验.2.目标解析达成目标（1）的标志是：通过加减乘除运算将两个根结合起来，研究根与系数的关系.达成目标（2）的标志是：通过对两根的和、差、积、商的分析，能得到用根的和、积与系数的关系作为根与系数的一般关系，并能完成练习1.达成目标（3）的标志是：经历练习2和练习3，总结得到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a、b、c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.达成目标（4）的标志是：在推导得出一元二次方程的根与系数的关系的过程中，学生能从观察、计算、分析等过程得到一元二次方程的根与系数的关系.三、学生学情分析本节课之前，初三学生已经学习了字母表示数，以及一元二次方程的一般式，根的判别式，求根公式和解法等知识，同时也具备一定的观察、计算和分析问题的能力，在一定程度上也已经感受到一元二次方程的根与系数之间有一定联系，但是在探索根与系数关系的更多形式和分析形成一般关系的过程中，对学生的逻辑推理和综合分析能力有很高的要求，同时学生在感受系数与根的相互确定关系时，有一定的困难.本节的难点是:一元二次方程的根与系数的关系的提出和整个代数推理过程，一元二次方程的系数与根的相互确定关系.四、教学策略分析苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者.”而在中小学生的精神世界中，这种需要尤为强烈.再结合以上学情，本节课在教学过程中，以问题为导向，启发、多媒体辅助等教学方法相结合，从学生所学知识出发，以问题解决为主线，以学生探究为主，步步有序，环环相扣，让学生通过操作、思考、交流、表达去实践，始终参与整个问题的发生和解决的过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，从而发展学生的数学思维和创新意识.五、教学过程设计1.复习回顾，引入新课问题 1 前面我们已经认识了一元二次方程，并学习了相关解法，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有实数根时系数要满足的条件是？师生活动：教师提出问题，学生齐答b2_4ac≥0.追问1 此时，方程的根就可以表示为？师生活动：教师提出问题，学生齐答x=.追问2 我们不妨把方程的两根记为x1和x2.通过观察，我们可以发现一元二次方程的根由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式，除此以外，它们之间还会有其他形式的关系吗？师生活动：教师由求根公式提问，老师引出本节课课题，并板书课题.设计意图：先温习旧知，复习引入既回顾了相关知识，又将学生的注意力直接引导到了研究一元二次方程的根与系数的关系上来，使学生目标明确，可谓开门见山．2.研究问题，探索新知问题2 目前，我们已经得到了两个独立的根与系数间的关系，为了探索出更多形式的关系，我们还可以把两个根做怎样的尝试呢？师生活动：教师始终手指求根公式，引导学生观察表示根的代数式，再回答问题.(预设学生会想到将两根进行加减.若学生无法回答，老师要提醒学生观察思考能不能把两个根结合起来研究，甚至是引导学生观察出表示根的代数式为分式，直至学生回答到将两根进行运算.)追问1 除了加减运算，还可以做什么运算？师生活动：学生回答做乘除运算后，教师把两根加减乘除的四个算式板书于黑板右侧，学生独立计算每个算式，教师巡视学生计算情况，给学生充分计算的时间，大约4分钟左右.学生独立运算后，教师再组织学生进行小组讨论，统一结果，给学生充分讨论的时间，大约2分钟左右.教师加入学生讨论，注意倾听学生的讨论情况并适当引导.追问2 哪个小组愿意和大家分享你们的结果？师生活动：学生分享小组讨论结果，教师板书结果，并关注其他小组的结果是否与之一致，教师要引导学生关注在得到12= cx xa的过程中是否可以运用平方差公式.(预设学生得到12x x的结果不一致，可能有12x x ，还可能有学生对结果进行分母有理化，教师引导学生思考，是否有必要对分母有理化.)设计意图：通过对求根公式的观察,让学生再次明确求根公式也是根与系数的一种关系；通过用加减乘除计算把两个根结合研究根与系数的关系，让学生感受到从单一到综合的研究方法，也锻炼了用数学符号进行代数推理的能力.问题3 通过合作探究，我们得到了4个结果，请同学们仔细观察，你觉得哪几个更适合作为一元二次方程的根与系数的一般关系?师生活动：学生容易选择12+=b x x a -和12=c x x a，并能从形式简单，运用方便等原因进行解释.教师点评时，要指出这其实就是从数学要简洁美的角度进行的选择，对学生的想法评价和赞扬.追问1 除此以外，还有其它原因吗？追问2 请同学们看到x 1-x 2，它的结果看起来比较复杂，那x 1-x 2能不能用x 1+x 2与x 1x 2来表示？师生活动：教师提出问题后，观察学生情况，引导学生回顾完全平方公式，(x 1+x 2)2=x 12+x 22+2x 1x 2，(x 1-x 2)2=x 12+x 22-2x 1x 2，对比可以发现(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2.既然x 1-x 2的结果能用x 1+x 2与x 1x 2来表示，那我们研究根与系数的一般关系时，就不用去关注两个根的差与系数的关系.追问3 请大家再看到两根之商，在做除法运算的时候，对根有什么要求？师生活动：学生知道两根做除法时，根不能为0.而对于任意的一元二次方程的根而言，根是可能等于0的，这就具有不确定性，所以两根之商与系数的关系就不具备一般性.综合以上原因，我们就可以得到，除求根公式以外，一元二次方程的根与系数的又一个关系:如果方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)有两个实根x 1，x 2，那么12+=b x x a-， 12=c x x a . 教师指出，早在16世纪，法国数学家韦达就发现了一元二次方程的根与系数之间有这种关系，为了纪念这位伟大的数学家，人们把这个关系称为韦达定理.然后请同学们打开课本，翻到50页，请勾画这个关系.教师板书韦达定理后，再对关键地方进行提醒.设计意图：经历从两根的和、差、积、商这四个与系数的关系中选择和与积与系数的关系作为根与系数的一般关系的过程，增强学生观察和分析问题的能力.经历了建立根与系数这个模型关系严谨的推理过程，引导和加强学生用数学符号进行代数推理的思想意识.练习1 方程2x 2−3x −2=0的两根分别是x 1，x 2，那么（）A .12123+=12x x x x =-，B .12123+=12x x x x -=-，C .12123+=12x x x x =，D .12123+=12x x x x -=，师生活动：学生独立完成（预设1：学生根据一元二次方程的根与系数的关系，直接代入系数a ，b ，c 的值就可以得到结果；预设2：学生通过解方程，得到x 1=2，x 2=12-，再把两根相加和相乘，可以得到答案）.教师根据学生的回答，正向点评并板书过程.设计意图：通过练习1，巩固一元二次方程的根与系数的关系这一知识点，同时也起到验证这一知识点正确性的作用，同时可以再次感受到一元二次方程的系数可以确定方程根的情况.练习2 请用根与系数的关系，写出一个两根是−1和3的一元二次方程. 师生活动：学生独立完成，学生会想到用因式分解和待定系数法等解决此题，但教师巡查或点评时应该先肯定，再引导学生审题，用根与系数的关系解决问题.学生回答方程和思路后，教师引导其他学生进行验证，并将学生思路板书，注意提取关键信息（预设：根据韦达定理，我们可以得到12+2b x x a =-=，123c x x a ==-，也就有b =−2a ，c =−3a ，如果令a =1，那么b =-2，c =−3，所以方程就可以是x 2−2x −3=0）.追问1 大家都是写的这个方程吗？追问2 你是怎么得到这个方程的？师生活动：学生回答所写方程（预设：-x 2+2x+3=0，2x 2−4x −6=0...）后，教师马上问追问2.追问3 通过两位同学所分享的解题过程，你们有什么发现？师生活动：教师根据学生回答情况，引导学生发现归纳满足根是−1和3的一元二次方程并不唯一，给a 赋不同的值，就会得到不同的一元二次方程.同时，引导学生观察过程，根据韦达定理建立了一个关于系数a ，b ，c 的不定方程.追问4 除了对a 可以赋值以外，还可以？追问5 通过这个练习题，我们可以感受到，已知一元二次方程的两根，根所对应的方程并不唯一.如果一定要使得方程唯一，那就要在什么前提下？师生活动：学生独立思考，容易得到还可以对系数b ，c 中任意一个赋值.已知方程两根，在系数a ，b ，c 中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.设计意图：学生通过练习2，学生可以进一步感受一元二次方程的根与系数的关系，已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，与练习1也很强的关联性和对比性.练习3 我们在刚才练习2的基础上，增加二次项系数为1这个条件，此时,我们就很容易得到一元二次方程是?追问1 这个方程是唯一的吗？师生活动：教师肯定学生的回答，同时引导学生观察练习2中所写的方程，它们都可以在等号两边同时除以二次项系数，化为x 2−2x −3=0，所以这些方程的解都是−1和3.设计意图：通过练习2变式到练习3的对比，使学生再次感受到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a ，b ，c 中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.同时，通过教师的引导讲解，感受和回顾一元二次方程二次项系数化为1这一常态化变形方式.教师活动：我们在对一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)变形时，一般会把二次项系数a 化为1，原方程就会变形为2+0b c x x a a+= (a ≠0)，此时方程的两根之和依然是b a -，两根之积依然是c a .但2+0b c x x a a+= (a ≠0)的形式看起来却不够简单，恰好字母可以代表一切数或式，我们不妨令=b p a ，=c q a，此时一元二次方程就可写为x 2+px +q =0，一元二次方程的根与系数的关系就是1212+=x x p x x q -=，，根与系数的关系形式上会进一步简化.请同学们记录.设计意图：通过教师的讲解，使学生感受到一元二次方程二次项系数化为1后根与系数关系的形式，同时在面对此类问题时，可以首先把二次项系数化为1.这也体现了从一般到特殊的研究方法.练习4 已知方程5x 2+kx −6=0 的一个根是2，请求出此方程的另一根和k 的值（教材习题2.8的第3题）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，收集学生做题情况(预设1：通过根与系数的关系建立另一根和k 的方程组；预设2：把已知的根2代入方程中求出k 的值，再通过解方程或根与系数的关系得到另一根；预设3：先把二次项系数化为1后，再进行求解).教师板书以根与系数的关系为思路的解题过程.设计意图：巩固本节课所学知识，同时感受多种方法解题的过程.3.回顾课堂，小结升华师生活动：教师引导学生回顾本堂课的探究和学习过程，总结知识，学习过程，数学思想等：（1）知识层面上，学习了一元二次方程的根与系数的一般关系，12+=b x x a -，12=c x x a，感受到了由方程的系数可以确定根，由根不能唯一确定方程的系数这一关系.（2）探究过程上，复习了一元二次方程的求根公式，经历了观察根的表示形式，计算两根的和、差、积、商，并分析了计算的结果，得出了韦达定理.（3）思想方法上，体现了从单一到综合的研究方法，感受了用数学符号进行代数推理的思想方法，最终建立了根与系数的模型.设计意图：通过小结，回顾探索新知的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想和方法，引发学生更深层次的思考，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思习惯，促进学生认知结构与思维品质的优化.4.布置作业，课后巩固必做：教材51页习题2.8，第1题，第2题和第4题；选做：拓展思考题，已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −3=0的根，请求出1211x x +与12x x -的值.设计意图：根据学生情况，分层布置作业，必做作业用以巩固本堂课所学知识和方法，选做作业引导学生还可以探究根与系数关系的更多形式. 六、课堂教学目标检测1．若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n与mn的值分别为（）A．1，﹣3B．﹣1，3C．﹣3，1 D．3，﹣1设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用.2．已知关于x方程2x2﹣3x+a＝0有一个根为4，则方程的另一个根为b，则a b＝．设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系和应用.3．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式11的值为．a b设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用,以及其它形式的探究.4．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．设计意图：考查一元二次方程的概念，根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系的应用.。

《一元二次方程根与系数的关系》教案

一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。

2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。

3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。

教学重点1、根与系数关系及运用教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。

2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。

过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。

1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。

1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。

2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。

3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。

四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。

2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案

2.一元二次方程的根与系数的关系：推导并证明一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x1、x2与系数a、b、c之间的关系，即x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。并通过实例说明这一关系在实际问题中的应用。
本节内容旨在帮助学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系，为解决实际问题和进行后续学习打下基础。
最后，我感到欣慰的是，尽管存在一些挑战，但大多数学生还是能够跟上课程的节奏，并在小组讨论和实践中展现出积极的学习态度。我会根据今天的反思，调整教学方法，以期在下一节课中更好地帮助学生理解和掌握一元二次方程的根与系数关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的意义及其与根的关系。
-举例解释：重点讲解判别式Δ的应用，如何通过判别式判断方程有几个实数根、无实数根或有重根，以及如何利用根与系数的关系求出方程的根的和与积。
-核心内容强调：
a.判别式Δ的计算方法及其与一元二次方程根的数量的关系。
-难点突破方法：
a.通过具体的例子，逐步引导学生理解判别式的计算过程，并解释其在判断根的性质时的作用。
b.设计不同类型的实际问题，指导学生如何将问题转化为一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题。
c.采用直观的图表或动画辅助教学，帮助学生形象理解根与系数之间的关系。
d.组织小组讨论，让学生在合作交流中互相启发，共同解决难点问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。这是指在ax²+bx+c=0的一元二次方程中，根x1、x2与系数a、b、c之间的数学关系。这种关系在数学分析和问题解决中具有重要地位。

一元二次方程的根与系数的关系》教案

一元二次方程的根与系数的关系》教案一元二次方程的根与系数的关系知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，能够使用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并解决一些简单的问题。

过程与方法】通过探究一元二次方程根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和解决问题的能力，渗透整体的数学思想和求简思想。

情感态度】通过学生自主探究，发现根与系数的关系，增强研究的信心，培养科学探究精神。

教学重点】根与系数的关系及运用。

教学难点】定理的发现及运用。

一、情境导入，初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们的数学学科中更蕴藏着大量的规律。

那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们一起去探究，感受一次当科学家的滋味。

二、思考探究，获取新知解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？教学说明】通过让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。

归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式可知：x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a则有以下结果：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

三、运用新知，深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积。

1）x2-6x-15=0；2）5x-1=4x2；3）x2=4；4）2x2=3x。

2.已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.1）求k的取值范围；2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值。

苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系》教学设计

苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系》教学设计一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是苏科版数学九年级上册第1章的内容。

这一章节的主要目的是让学生理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够运用这一关系解决实际问题。

在教材中，通过引入一元二次方程的求根公式，引导学生探究根与系数之间的关系，并运用这一关系来判断方程的根的情况。

二. 学情分析学生在学习这一章节之前，已经学习了二次函数、一元二次方程等相关知识，具备了一定的数学基础。

但学生在理解根与系数之间的关系，以及运用这一关系解决实际问题方面还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，理解并掌握根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够运用这一关系判断方程的根的情况。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：如何引导学生理解并掌握根与系数之间的关系，以及运用这一关系解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，用于引导学生观察、思考。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于让学生运用根与系数之间的关系解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入一元二次方程的求根公式，引导学生回顾二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生观察、思考，并通过举例说明这一关系的应用。

3.操练（15分钟）让学生通过计算、观察，找出根与系数之间的关系，并尝试运用这一关系解决实际问题。

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

（二）过程与方法
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课

八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：

一元二次方程的根与系数的关系教案

一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。

今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。

那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。

(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。

师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。

假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。

其中a、b、c分别是方程的系数。

那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。

通过实例探究根与系数的关系。

师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。

例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。

那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

《一元二次方程根与系数的关系》教学设计

《一元二次方程根与系数的关系》本节是对于一元二次方程的实际探究，对于方程能够从这里有更好的认识，对于自己对于问题的理解，起到重要的作用。

1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．【教学重点】根与系数的关系及其推导【教学难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．教学过程一、复习提问一元一次方程的概念。

二、导入新课1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？ 3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？三、讲授新课方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 x 2－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0x 2－5x ＋6＝012间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：小结：根与系数关系：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1¡¤x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 配方法解方程2x 2-34x-2=0应把它先变形为（）． A ．（x-31）2=98B ．（x-23）2=0C ．（x-31）2=89 D ．（x-13）2=109例2 下列方程中，一定有实数解的是（）． A ．x 2+1=0 B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（12x-a ）2=a四、随堂训练例1 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例2 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.五、小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．六、作业：1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x2－5x－3＝0(2)9x＋2＝x2(3)6x2－3x＋2＝0(4)3x2＋x＋1＝02．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值.。

九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计

（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对讲授新知部分的内容，进行讨论。讨论主题包括：判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系等。
2.讨论要求：小组成员要积极参与，发表自己的观点，倾听他人的意见，共同探讨问题。每个小组选出一个代表，汇报本组讨论成果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨问题。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程根与系数的关系及其应用，归纳解题方法。
2.教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识点，指出易错点，提醒学生注意。
3.课堂小结：对本节课的教学内容进行梳理，形成知识结构，为学生后续学习奠定基础。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
7.关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导。对学习困难的学生，要进行耐心辅导，帮助他们克服困难；对优秀生，要适当提高要求，激发他们的潜能。
8.定期组织课堂小结，让学生在总结中回顾所学知识，形成系统的知识结构。同时，鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.作业难度分层，满足不同学生的学习需求；
3.作业形式多样，注重培养学生的实践能力和团队合作精神；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题，提高数学应用能力；
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.判别式的推导及其与根的关系的理解；
2.在实际问题中，如何构建一元二次方程模型，并运用根与系数的关系进行求解；

一元二次方程的根与系数的关系教案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。

实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。

一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数的关系。

本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。

二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。

（2）过程与方法：在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。

（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。

达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。

达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。

初中数学初二数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

初中数学初二数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的根的概念，了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.学会使用根的判别式来判断一元二次方程的根的情况，并能根据判别式的值来确定方程的根的性质。
3.掌握一元二次方程的求解公式，能够运用公式法求解一元二次方程，并解决实际问题。
-激发学生的学习兴趣，通过表扬和鼓励，增强学生的学习信心。
-关注学习困难的学生，给予个别辅导，帮助他们克服学习中的困难。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：通过一个关于抛物线的实际例子，如“一个篮球在抛出后，其运动轨迹形成一个抛物线，假设我们知道篮球的初始速度和抛出角度，如何确定篮球落地的时间？”来引入一元二次方程的根与系数的关系。
-讲解：在学生探究的基础上，教师进行总结讲解，强调重难点，并配合典型例题进行解释。
-练习：设计梯度明显的练习题，让学生在课堂上即时巩固所学知识，并及时给予反馈。
-应用：结合实际生活情境，设计综合应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高学生的数学应用能力。
3.教学评价：
-过程评价：关注学生在课堂上的参与度、合作探究能力和解决问题的策略。
-利用多媒体辅助教学，通过动态演示和图形展示，帮助学生形象地理解抽象的数学概念。
-实施分层次教学，针对不同水平的学生设计不同难度的练习题，使每个学生都能在课堂上得到有效的训练。
2.教学过程：
-导入：通过一个实际问题引入本节课的内容，激发学生的好奇心和学习兴趣。
-探索：引导学生通过小组合作、讨论的方式，探究一元二次方程根与系数的关系，总结根的判别式的使用方法。
4.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力。

一元二次方程根与系数的关系教案(完美版)

一元二次方程根与系数的关系一、教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．在线分享文档设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x 2-2x ＋1＝0；（2）x 2-9x ＋10＝0；（3）2x 2-9x ＋5＝0；（4）4x 2-7x ＋1＝0；（5）2x 2-5x ＝0；（6）x 2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系． 3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．在线分享文档验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。

初中数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案

教学设计二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n ＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( ) A ．x 2－6x ＋8＝0 B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x－20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x ＝4是一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x 1，则由根与系数的关系得x 1＋4＝3，∴x 1＝－1.故答案为x ＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－1【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a )2－4×a (a －6)＝24a ≥0.解得a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6.由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋4＝x 1x 2，∴－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24.经检验a ＝24是方程－2a a －6＋4＝aa －6的解．即存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立．(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a 为负整数，则6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a ＝7或8，9，12.。

《一元二次方程的根与系数的关系》 教学设计

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一元二次方程根与系数的关系

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2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案

一元二次方程的根与系数的关系》教案

苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系》教学设计

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

一元二次方程的根与系数的关系教案

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九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计

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初中数学初二数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

一元二次方程根与系数的关系教案(完美版)

初中数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案

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