《一元二次方程的根与系数的关系》 教学设计

《一元二次方程的根与系数关系》教学

设计

教材分析:

本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．

教学目标：

【知识与能力目标】

1.掌握一元二次方程根与系数的关系；

2.能运用根与系数的关系解决具体问题.

【过程与方法】

经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.

教学重难点：

【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.

【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？

（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？

（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？

（4）一元二次方程的求根公式是什么？

[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．

[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；

（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；

（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；

（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为

a ac

b

b

x

2

4 2-

±

-

=（△≥0）.

【设计意图】通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。

问题2：请完成下面的表格

观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？

【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。

问题3：（1）填写上表后思考：

①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？

已知方程x 2-4x -7=0的根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ， x 1·x 2= ；

已知方程x 2+3x -5=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ， x 1·x 2= .

已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= ， x 1·x 2= .

[答案]4，-7；-3，-5；2

3，-1. ②如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？

[回答]若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a

. ③如何证明以上发现的规律呢？

[论证结论]教师与学生共同整理证明过程：

证明：当Δ>0时，由求根公式得

x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a

， 所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－b a

， x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝c a

； 当Δ＝0时，x 1＝x 2＝－b 2a . 所以x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a

. [归纳并板书]根与系数关系：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1

＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a

. [文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基

础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.③探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度。

问题4：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1，x 2的和与积．

(1)x 2－6x －15＝0；(2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2.

[师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．

[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，比较b 2－4ac 与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．

[解]（1）x 1+x 2=6，x 1·x 2=-15；

（2）x 1+x 2=37-，x 1·x 2=3

9-； （3）方程化为4x 2-5x+1=0，

∴x 1+x 2=45，x 1·x 2=4

1. 变式练习1 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于(C )

A ．－4

B ．－1

C ．1

D ．4

变式练习2 若x 1，x 2为方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值．

[解]由根与系数关系得，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，

∴x 1＋x 2－x 1x 2=2-（-1）=3.

【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。

问题5：例2 已知方程x 2-x+c=0的一根为3，求方程的另一根及c 的值.

[分析]设方程的另一根为x 1，可通过求两根之和求出x 1的值；再用两根之积求c ，也可将x=3代入方程求出c 值.再利用根与系数关系求x 1值.