一元二次方程的根与系数的关系教学案(二)

一元二次方程的根与系数的关系教学案（二）

一、素质教育目标

（一）知识教学点：

1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；

2．灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．

（二）能力训练点：

提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．

（三）德育渗透点：

知识来源于实际，最后应用于实际．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．

2．教学难点：某些代数式的变形．

3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．

三、教学步骤

（一）明确目标

一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅在验根，已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用，本节课将学习如下两个问题中的应用：（1）不解方程，求某些代数式的值；（2）已知两个数，求作以这两个数为根的新的一元二次方程．（二）整体感知

本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．

2．本节课继续学习它的应用

（1）不解方程，求某些代数式的值．

例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．

分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．解：设方程的两个根是x1，x2，那么

（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．

教师板书，引导，学生回答，体会．

启发学生，总结以下两点：

1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．

2．格式、步骤要求规范

第一步：求出x1+x2，x1x2的值．

第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．

第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．

练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；

（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．

学生板书、笔答、评价．

（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．

如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．

∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．

由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．

解：所求方程是

教师引导、板书，学生回答．

练习：教材P.34中4．

学生笔答、板书、评价．

例已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．

分析：此题可以通过列方程求得．

但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．

解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．

解这个方程，得

教师板书，学生回答，评价，体会．

以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．

练习：教材P.34中5．

学生板书、笔答、体会、评价，教师引导．

通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．（四）总结、扩展

1．本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……

2．通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力．

四、布置作业

教材P.33中A 3、4；B 1．

教材P.34中B 2（学有余力的同学做）．

五、板书设计

12.4 一元二次方程根与系数关系（二）

应用1．验根例：…

…

例：……

2．已知一根，求另一根．解：…

…

解：……

3．求某些代数式值．

4．求作一个新方程．

六、作业参考答案

教材P.35中 A2

A3．

∴ x1+x2=-1，x1x2=-1

∴所求的方程是x2+x-1=0