《概率论》期末考试试题A卷及答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 设A、B为两个事件,且P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,则P(A∪B)等于()A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案:D2. 设随机变量X的分布函数为F(x),若F(x)是严格单调增加的,则X的数学期望()A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案:A3. 设X~N(0,1),以下哪个结论是正确的()A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案:A4. 在伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p,则连续n次试验成功的概率为()A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案:A5. 设随机变量X~B(n,p),则X的二阶矩E(X^2)等于()A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 设随机变量X~N(μ,σ^2),则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案:μ2. 若随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案:f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立,且X~B(n,p),Y~B(m,p),则X+Y~_______。
参考答案:B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0,则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案:ρ = 05. 设随机变量X~χ^2(n),则X的期望E(X) = _______,方差Var(X) = _______。
参考答案:E(X) = n,Var(X) = 2n三、计算题(每题10分,共40分)1. 设随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),求X+Y的概率密度函数f(x)。
《概率论与数理统计A》期末习题一答案

《概率论与数理统计A 》期末习题一答案一、简答题(本题满分30分,共含6小题,每小题5分)1、设A ,B 为随机事件,A 与B 相互独立,2.0)(=A P ,4.0)(=B P ,求()P AB 。
解:32.04.08.0)()()(=⨯==B P A P B A P 。
(5分)2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他 010 )(x cx x f ,求常数c 的值。
解:121)(1===⎰⎰+∞∞-c dx cx dx x f ,因此2=c 。
(5分) 3、 已知随机变量)4,1(~N X ,求}21{<<X P 。
解:()021}21221211{}21{Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=-<-<-=<<X P X P (3分) 1915.05.06915.0=-=。
(2分)4、设随机变量X 和Y 相互独立,)4,3(~N X ,)9,2(~N Y ,求变量12+-=Y X Z 的数学期望和方差。
解:()()()()51261212=+-=+-=+-=Y E X E Y X E Z E ; (2分)()()()()25916412=+=+=+-=Y D X D Y X D Z D 。
(3分) 5、 已知10个产品中有3个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的3个产品中恰有2个次品的概率。
解:设X :所取得3个产品中次品的个数,则⎪⎭⎫⎝⎛103,3~B X (2分)1000189107103}2{223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P (3分) 6、设随机变量X 、Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则Z(同时要写出分布的参数) ?~(1)t 。
(5分)二、(本题满分10分) 编号为1,2,3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4,从中任选一台。
(1) 求此台仪器正在工作的概率;(2) 已知选到的仪器正在工作,求它编号为2的概率。
概率论期末考试和答案

概率论期末考试和答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 随机变量X服从二项分布B(3,0.5),则P(X=2)为()。
A. 0.375B. 0.5C. 0.25D. 0.125答案:A2. 已知随机变量X服从标准正态分布,P(X<0)=0.5,则P(X>1)为()。
A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案:A3. 若随机变量X服从泊松分布,其参数λ=2,则E(X)为()。
A. 2B. 4C. 0D. 1答案:A4. 已知随机变量X和Y相互独立,且P(X=1)=0.5,P(Y=1)=0.3,则P(X=1且Y=1)为()。
A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.75答案:A5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4),则P(X<0)为()。
A. 0.0228B. 0.9772C. 0.5D. 0.1587答案:A6. 若随机变量X和Y相互独立,且P(X>1)=0.7,P(Y<2)=0.4,则P(X>1且Y<2)为()。
A. 0.28B. 0.56C. 0.7D. 0.4答案:A7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,4),则E(X)为()。
A. 2C. 0D. 1答案:A8. 若随机变量X服从指数分布,其参数λ=0.5,则P(X>3)为()。
A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.75答案:A9. 已知随机变量X服从正态分布N(0,1),则P(-1<X<1)为()。
A. 0.6827B. 0.8413C. 0.9772答案:A10. 若随机变量X和Y相互独立,且P(X=0)=0.4,P(Y=1)=0.6,则P(X=0且Y=1)为()。
A. 0.24B. 0.4C. 0.6D. 0.16答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.4),则P(X=3)=_________。
08-09概率论期末考试试卷A (1)

《概率论与数理统计》期末考试试卷(A1)2、下列叙述中正确的是( A ). (A) ()1X EX D DX -= (B) ~(0,1)X EXN DX- (C) 22)(EX EX = (D) 22()EX DX EX =-3、设θ是总体X 中的参数,称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间,下面说话正确的是( D ).(A) 以),(θθ估计θ的范围,不正确的概率是a -1 (B) θ 以概率a -1落入),(θθ (C) θ以概率a 落在),(θθ之外 (D) ),(θθ以概率a -1包含θ4、设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积分别为,G D S S ,则{(,)}(B )P x y D ∈=.(A)GD S S (B) ⎰⎰Ddxdy y x f ),( (C) (,)G g x y dxdy ⎰⎰ (D) G G D S S5、设总体分布为),(2σμN ,若μ未知,则要检验20:100H σ≥,应采用统计量( B ).(A)nS X /μ- (B)100)(21∑=-ni iX X(C)100)(21∑=-ni iXμ (D)22)1(σS n -6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2,现随机取一个箱子,再从中随机取出一个球,则取到白球的概率为( A ).(A)157 (B)4519 (C)135(D)3019 7、设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( B ). (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((B) ∑⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =- (D) 1)(2)(-=-a F a F题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分一.填空题:(本大题共7小题,每小题3分,共21分)1. 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体(3,1)N ,X 为样本均值,已知{}0.5P X λ<=,则=λ 3 。
概率论期末试卷A及答案

学院 系 班级 学号 姓名---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------扬州大学试题纸( 2009-2010学年第 一 学期 )物 理 学院 微电、电科、光科09级 课程 概率论与数理统计(A )卷题目 一 二 三 总分 得分一、填空题(共22分,2分/空)1. 设随机事件A ,B 互不相容,且3.0)(=A P ,6.0)(=B P ,则=)(A B P .2.已知连续型随机变量的分布函数为30,1()(1),111,x F x a x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥1⎩,则常数a = ,概率密度函数()f x = .3. 设随机变量X 在(0,4)上服从均匀分布,则=)(X E ,()D X = .4.设随机变量X 的概率密度函数为/1e ,0(),0,x x f x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它 则()E X = ,()D X = .5.设随机变量,X Y 相互独立,且~(10,0.5)X b ,~(1,4)Y N ,记2Z X Y =-,则()E Z = ,()D Z = .6.设()E X μ=,2()(0)D X σ=>,则利用切比雪夫不等式估计()≤≥-σμ5||X P .7.设总体()~0,1X N ,()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本,则()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()1210,,f x x x = .概率论与数理统计A 卷 第1页 共6页二、单项选择题 (共24分,3分/题)1. 设C B A ,,是3个随机事件,则C B A 表示 .A . CB A ,,都发生 B .C B A ,,都不发生 C . C B A ,,至少有一个发生D . C B A ,,不多于一个发生 2. 三人独立地猜一谜语,已知各人能猜出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4. 则三人中至少有一人能猜出此谜语的概率是 .A . 3/5B . 2/5C . 1/60D . 59/603. 设Y X ,是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为),)(y F x F YX (、则),max(Y X Z =的分布函数为 .A . {}()max (),()Z X Y F z F z F z =B . {}()max (),()Z X Y F z F z F z =C . ()()()Z X Y F z F z F z =D . ()()()Z X Y F z F z F z =4.设随机变量()2,1~-N X ,()2,1~N Y ,令2U X Y =+,2V X Y =-,则Cov(,)U V = ..A 0 .B 2 .C 3 D .65.设总体X ~N (2,σμ),X 1,X 2,…,X 10为来自该总体的样本,X 为样本均值,则X ~ .A . 2(10)N μσ,B .2()N μσ, C. 2()10N σμ, D .2()10N σμ,6. 设总体X ~N (0, 1),X 1,X 2,…,X n 为来自该总体的样本,则统计量12ni i X =∑~ . .A ()2n χ .B ()21n χ- .C ()t n .D ()1t n -概率论与数理统计A 卷 第2页 共6页7. 设总体X 与Y 相互独立,且都服从正态分布()10,N .()91X X ,, 是从总体X 中抽取的一个样本,()91Y Y ,, 是从总体Y 中抽取的一个样本,则统计量192219X X U Y Y++=+~ ..A ()92χ .B ()82χ .C ()9t .D ()8t8. 设总体()20~σ,N X ,()n X X X ,,, 21是从该总体中抽取的一个简单随机样本,则下列表达式可以作为2σ的无偏估计量的是_________..A ∑=-=n i i X n 12211ˆσ .B 2211ˆn i i X n σ==∑ .C 2211ˆ1n i i X n σ==+∑ .D ()∑=+=ni iXn n 12221ˆσ三.计算题(共54分,9分/题)1.将两信息分别编码为A 和B 发送出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为04.0;而B 被误收作A 的概率为07.0,信息A 与信息B 传送频繁程度为2:3.若已知接收到的信息是A ,求原发信息也是A 的概率.概率论与数理统计A 卷 第3页 共6页---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------2. 盒子中有5个球,编号分别为5,1.从中随机取出3个球,引入,2,3,4随机变量X,表示取出的3个球中的最大号码.(1) 求随机变量X的分布律;(2) 求随机变量X的分布函数.3.设随机变量()1~NX,21,0=+,试求随机变量Y的概率密度函数.Y X概率论与数理统计A卷第4页共6页4.设(,)X Y 的联合概率密度函数为()2221140x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩,其它,(1)求{}P Y X ≤;(2)求(,)X Y 的边缘概率密度函数(),()X Y f x f y ; (3)判断随机变量X 与Y 是否相互独立.5.某运输公司有500辆汽车参加保险,在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006,每辆参加保险的汽车每年交保险费800元,若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元.试利用中心极限定理计算,保险公司一年赚钱不小于200000元的概率.附:标准正态分布分布函数()x Φ表:x0.56 0.57 0.58 0.59 ()x Φ0.71230.71570.71900.7224概率论与数理统计A 卷 第5页 共6页---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------6.设总体X 的概率密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0063θθθx x xx f ,其中0>θ是未知参数,()n X X ,, 1是从该总体中抽取的一个样本.(1) 求未知参数θ的矩估计量θˆ; (2) 求()θˆD .概率论与数理统计A 卷 第6页 共6页09级概率论与数理统计(A)卷 参考答案及评分标准一、填空题(共22分,2分/空).1. 4/7 2. 1/2, 23,11(),20,x x f x ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它3. 2, 4/34.,θ 2θ 5. 3, 18.5 6. 0.04 7.()10212512ii x eπ=-∑二、单项选择题(共24分,3分/题).1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.C 8.B 三、计算题(共54分,9分/题).1. 解: 设{}A A 原发信息是=,{}B B 原发信息是=. {}A A 接收信息是=',{}B B 接收信息是='. 则由题设,()53=A P ,()52=B P ,()04.0='A B P ,()07.0='B A P . (3分) (1) 根据全概率公式,()()()()()320.960.070.60455P A P A P A A P B P A B '''=+=⨯+⨯= (3分)根据Bayes 公式,得()()()()()()()9536.007.05296.05396.053=⨯+⨯⨯='+''='B A P B P A A P A P A A P A P A B P (3分) 2.解: ⑴ X 的可能取值为5,4,3.且{}1011335===C X P ,{}10343523===C C X P ,{}10653524===C C X P所以,随机变量X 的分布律为:X 3 4 5P101 103 106 ( 6分)⑵随机变量X 的分布函数为:()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=51541044310130x x x x x F .( 3分) 3解: 随机变量X 的概率密度函数为()2221x ex f -=π()+∞<<∞-x (2分)设随机变量Y 的分布函数为()y F Y ,则有 (){}{}{}1122-≤=≤+=≤=y XP y X P y Y P y F Y (2分)①. 如果01≤-y ,即1≤y ,则有()0=y F Y ;(1分)②. 如果1>y ,则有(){}{}1112-≤≤--=-≤=y X y P y X P y F Y⎰⎰------==12112222221y x y y x dx edx eππ即()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰--122122y y dxey F y x Y π(2分)()()1221122100y Y Y e y f y F y y y π--⎧⋅>⎪'∴==-⎨⎪≤⎩即 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--00112121y y e y y f y Y π(2分)4. 解:(1)()(,)xP Y X dx f x y dy ∞-∞-∞≤=⎰⎰=2112460021213()4820xx dx x ydy x x dx =-=⎰⎰⎰(3分) ⑵ 当11≤≤-x 时,()()()421218214212x x ydy x dy y x f x f x X -===⎰⎰+∞∞-, 所以,随机变量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011182142x x x x f X ;(2分)当10≤≤y 时,()()250322727421y yx ydx x dx y x f x f yyyY ====⎰⎰-+∞∞-, 所以,随机变量X 的边缘密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其它102725y yy f Y (2分) ⑶()()(),X Y f x y f x f y ≠,∴X 与Y 不独立.(2分)5. 解: 设{}某辆汽车出事故=A ,则()006.0=A P .(1分)设X :运输公司一年内出事故的车数.则()~5000.006X b , .(3分)保险公司一年内共收保费400000500800=⨯,若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算,则保险公司一年赚钱不小于200000元,则在这一年中出事故的车辆数不能超过4辆.因此所求概率为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤994.0006.0500006.05004994.0006.0500006.05004X P X P⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯-=58.0994.0006.0500006.0500X P ()7190.058.0=Φ≈(5分)6. 解: ⑴. ()()()26032θθθθ=-==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E ,(3分)所以,()X E 2=θ ,将()X E 用样本均值∑==ni i X n X 11来替换,得未知参数θ的矩估计为X 2ˆ=θ(2分) ⑵. ()()()()X D nX D X D D 442ˆ===θ,(1分) 而 ()()()[]22X E X E X D -=()()20462223322θθθθθθ=--=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x (2分)所以,()()nn X D n D 52044ˆ22θθθ=⨯== . (1分)第9页---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------第10页。
概率论期末考试试卷试题A卷包括答案

07 级?概率论?期末考试试题 A 卷及答案一、填空题〔总分值 15 分〕:1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,那么“第一卷及第五卷出现在旁边〞的概率为1。
1023!1解答: p15!102.设 P( A) p, P( B)q, P( A B)r , 那么 P( AB )r q。
解答: P( AB )P( A B)P[( A B) B)] P( A B) P(B)r q3.设随机变量的分布列为P( X k )a k, k0,1,2,...3则a =2. 3解答: 1a a113 a a2k 03k12334. 设随机变量为与, D=25,D=36,,0.4 ,那么 D( -)= 37.解答:D ()D D 2 cov(, ),cov(,) D DD () D D 2 D D,25 36 2 5 6 0.4 375. 设随机变量服从几何分布 P(k )q k 1 p,k 1,2,... 。
那么的特征函数f (t )。
解 : f t E(e it)e itk q k1 p pe it qe it itk 1pe it .k1k 11qe二、单项选择题〔总分值15 分〕:1.设 .A 、 B、 C 为三个事件 , 用 A、 B、 C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生〞为(④).① A B C .②AB C A BC AB C③ABC .④ A BC ABC ABC A BC2. 以下函数中, ()可以作为连续型随机变量的分布函数.①. F x e xx0②G xe x x01x01x0③ x0x0④ H x0x01e x x0 1 e x x03. 下面是几个随机变量的概率分布,其中期望不存在的为〔②〕。
① P(k )n p k (1p) n k ,0 p 1, k 0,1,..., n .k② P((1) k 3k)1, k 1,2,... .k3kk③ P(k )e,0, k0,1,2.. .k!④ . P(k )(1p)k 1 p, 0p 1, k1,2,...4. 设( ,) 服从二维正态分布 N ( a1 , a2 ; 1 2 ,22 ; r ) ,r0是,独立的〔③ 〕。
概率论与数理统计 期末试卷及答案 A

第 1 页 共 5 页班级 姓名 准考证号‥‥‥‥‥‥密‥‥‥‥‥‥封 ‥‥‥‥‥ 线 ‥‥‥‥内 ‥‥‥‥‥不 ‥‥‥‥‥准 ‥‥‥‥‥答 ‥‥‥‥‥题 ‥‥‥‥‥‥期末考试试卷 参考答案学年学期: 课程名称: 《概率论与数理统计》 适用专业:(满分:100分 时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)在每小题列出的备选项中选择符合题目要求的,请将其代码填涂在答题卡上相应的位置,错涂、多涂或未涂均无分。
1.设二项分布的随机变量,其数学期望与方差之比为4:3,则该分布的参数p =( ).A .0.5B .0.25C .0.75D .不能确定2.设随机变量X 与Y 的关系为21Y X =+,如果()D X =2,则()D Y =( ).A .4B .6C .8D .103.若X 服从区间[]2,6上的均匀分布,则{23}P x <<=( ).A .0.2B .0.75C .0.5D .0.254.若随机变量X 的期望EX 存在,则()E aX b +=( ).A .aEXB .2a EXC .aEX b +D .2a EX b +5.当随机变量X 的可能值充满( )时,则()cos f x x =可以成为随机变量X 的密度函数.A .π[0,]2B .π[,π]2C .[0,π]D .3π7π[,]226.矿砂中铜含量服从正态分布),(~2σμN X ,2μσ,未知,现从总体中抽取样本521,,,X X X ,5115i i X X ==∑,52211()5i i S X X ==-∑,在显著水平α下检验00:μμ=H ,则所取的统计量为( ).A .5/0σμ-X B .5/0S X μ- C .4/0σμ-X D .4/0S X μ-7.事件表达式A B +的表示( ).A .事件A 与事件B 同时发生 B .事件A 发生但事件B 不发生C .事件B 发生但事件A 不发生D .事件A 与事件B 至少有一个发生8.样本空间S 中的事件A 与B 相互独立的充要条件是( ). A .A B S += B .()()()P AB P A P B =C .AB =∅D .()()()P A B P A P B +=+9.设1X 、2X 是总体X 的样本,则下列统计量不是总体X 的期望的无偏估计量的是( ).A .1XB .121233X X + C .121()2X X + D .121()3X X +10.任何一个连续型随机变量X 的密度函数()f x 一定满足( ).A 卷第 2 页 共 5 页‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 密 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 封 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥A .0()1f x ≤≤B .() d 1f x x +∞-∞=⎰C .在定义域内单调不减D .lim ()1x f x →+∞= 11.袋中有5球,3新2旧,从中任取一球,无返回的取两次,A =第一次取新球,B =第二次取新球.求P (B|A )=( ).A .12B .23C .35D .1312.已知事件A 和B 互不相容,()0,()0P A P B >>,下式成立的是( ). A .()()()P A B P A P B =+ B .()()()P AB P A P B =C .()1P A B =D .()0P AB >13.若随机变量2(,),3,1,X N EX DX μσ==则11}P X ≤≤={-( ).A .2(1)1A Φ-、 B .(4)(2)B Φ-Φ、C .(4)(2)Φ--Φ-C 、 D .(2)(4)Φ-ΦD 、 14.参数为λ的指数分布的方差是( ).A .1λB .2λC .λD .21λ15.设X 为连续型随机变量,则{1}P X ==( ). A .1B .0C .不能确定D .以上都不对二、判断题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)判断正误,正确代码为A ,错误代码为B ,请将正确的答案代码涂在答题卡相应的题号下。
《概率论》期末考试试题A卷和答案

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案一、 填空题(满分15分):1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为101。
解答:101!5!321=⨯=p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。
解答:q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k ak X P k则a =32. 解答:32233111310=⇒=-⋅==∑∞=a a a a kk 4.设随机变量为ξ与η,已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答:374.065236252)(),cov(),cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=-+=-ηξηξρηξηξηξηξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1===-k p qk P k ξ。
则ξ的特征函数=)(t f ξ 。
()().1)(:1111it it k k it itk k itk it qepe qe pep qe e E tf -====∑∑∞=--∞=ξξ解 二、 单项选择题(满分15分):1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.下列函数中,( )可以作为连续型随机变量的分布函数.①.()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=010x x e x F x②()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-010x x e x G x③()⎩⎨⎧≥-<=Φ0100x e x x x④()⎩⎨⎧≥+<=-0100x e x x H x3.下面是几个随机变量的概率分布,其中期望不存在的为(② )。
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07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案
一、 填空题(满分15分):
1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为
10
1。
解答:10
1
!5!321=⨯=
p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。
解答:q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3
)(===k a
k X P k 则a =
3
2
. 解答:32233
111310
=⇒=-⋅==
∑
∞
=a a a a k
k
4.设随机变量为ξ与η,已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答:
37
4.065236252)(),cov()
,cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=
-+=-ηξηξρηξηξηξη
ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D
5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1
===-k p q
k P k ξ。
则ξ的特征函数
=)(t f ξ 。
()()
.1)(:1
1
1
1
it it k k it it
k k itk it qe
pe qe pe
p q
e e E t
f -====∑∑∞
=--∞
=ξ
ξ解 二、 单项选择题(满分15分):
1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).
① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++
③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.下列函数中,( )可以作为连续型随机变量的分布函数.
①.()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=010
x x e x F x
②()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=-010
x x e x G x
③()⎩
⎨⎧≥-<=Φ0100
x e x x x
④()⎩
⎨⎧≥+<=-0100
x e x x H x
3.下面是几个随机变量的概率分布,其中期望不存在的为(② )。
①n k p p p k n k P k
n k ,...,1,0,10,)1()(=<<-⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-ξ . ②,...2,1,3
1
)3)1((==-=k k P k k k
ξ. ③..2,1,0,0,!
)(=>=
=-k e k k P k
λλξλ .
④. ,...2,1,10 ,)1()(1
=<<-==-k p p p k P k ξ
4.设),(ηξ服从二维正态分布);,;,(2
22
121r a a N σσ,0=r 是ηξ,独立的( ③ )。
①充分但不必要条件 . ②必要但不充分条件.
③充分且必要条件 . ④.既不充分也不必要条件.
5. 设随机变量21ξξ、为相互独立的随机变量,下面给出的分布中不具有再生性的为( ③ )。
① 二项分布 ②. 泊松分布 ③均匀分布. ④ 正态分布
三、(满分20分)
(1)把长度为a 的线段,任意折成三折,求此三线段能构成三角形的概率。
解:设y x 、分别表示其中二条线段的长度,第三条线段的长度为)(y x a +-,则
{}a y x a y a x y x ≤+<≤≤≤≤=Ω0,0,0),(,
又设
A =“三条线段能构成一个三角形”
={}
x y x a y y y x a x y x a y x y x >+-+>+-++->+)(,)(),(),( =()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<<>
+2,2
,2,a y a x a y x y x ,
A 的面积为8
)2(212
2a a =
⋅,则 41
2
81)(22
==Ω=a
a
A A P 的面积的面积。
(2)炮战中,在距目标250米,200米,150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,现在已知目标被击毁,求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
解:设A 表示“目标被击中”,1B 表示“炮弹距目标250米射出”,2B 表示“炮弹距目标200米射出”,3B 表示“炮弹距目标150米射出”,
23
1
2.02.01.07.005.01.005.01.0)
()()
()()(3
1
111=
⨯+⨯+⨯⨯=
=
∑=i i
i
B A P B P B A P B P A B P =0.043 四、(满分16分)设ηξ,的密度函数为
()其他
1
00
8,<<<⎩⎨
⎧=y x xy
y x p
求:(1)求ηξ,的边际密度函数;(2)ηξ,是否相互独立?为什么?(3)()
y x p ;(4)ηE 。
解:(1)
()
.
100
4)(,
100141
00
8),()(3
2
1
其他
同理其他其他
<<⎩⎨
⎧=<<⎩
⎨⎧-=<<⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰∞
+∞
-y y y p x x x x ydy
x dy y x p x p x
ηξ
(2).)()(),(不独立与,故因为ηξηξy p x p y x p = (3)当10<<y 时,
()其它
其它y
x y
x
y x y xy y x p <<⎪⎩⎪⎨⎧=<<⎪⎩⎪
⎨⎧=00
200482
3
(4)5
45
44)(10
51
4=
=
==
⎰⎰
+∞
∞
-y dy y dy y yp E ηη 五、(满分8分)若ξ服从指数分布,其密度为
⎩⎨
⎧≤>=-0
00
)(x x e x p x
λλ
求η=
)(y F η。
解:
2
2
2
2000()
())0
00()0
000
100
0y y x y
y P y F y P y y y p x dx
y y y e dx e y y ηλλξλ-->⎧<=<=⎨
≤⎩⎧>⎪=⎨≤⎪⎩⎧⎧>>-⎪⎪==⎨⎨≤≤⎪⎪⎩⎩
⎰⎰
六、(满分18分)
(1)若随机事件A 与B 互斥,且0)(>B P ,证明:
)
()
(1)(B P A P B A P -
= 证明:由A 与B 互斥,从而0)(=AB P
()1()()()()
()1()()()
P AB P A P B P AB P A P A B P B P B P B --+=
==-
(2).设{
}k ξ是独立随机变量序列,且 {}
,...2,1,2
1
3==
±=k k P k ξ 证明{
}k ξ服从大数定律. 证明:
{}).
(01
111)(1,,
2
1)(21)(,021)(213
132********
232
2312312
313
1∞→→=⋅⋅≤===⋅-+===-+⋅=∑∑∑===n n n n n k n D n D n k k k E D k k E n k n k k n
k k k k k k ξξξξξξ独立时当 故{
}k ξ满足马尔可夫条件,从而{}k ξ服从大数定律. 七、(满分8分)设随机变量n ξξξ,...,,21相互独立、同分布,且
n i D E i i ,...,2,1,,2=+∞<==σξμξ,
令
1
1n
n k k n ζξ==∑,
求:(1),n n E D ζζ;(2)i ξ与ζ的相关系数r 。
(3)用特征函数法证明2221
1n P
k k n ξσμ=−−
→+∑ 解:(1)
n
D E 2σζμζ=
=
(2)k
i k i k i =≠⎩⎨
⎧=2
),cov(σ
ξξ
n n n n k k i n
k k i i 2
1
1),cov(1),cov(1),cov(σξξξξζξ===∑∑==
n
n
n
D D r i i 1),cov(2
=
⋅
=
=
σ
σσζ
ξζξ。