《力学》平面汇交力系与平面力偶系
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第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
t2平面汇交力系与平面力偶系
应用场景
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
第2章 平面汇交力系和平面力偶系
9
例题 1
解：
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
F
R O
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
qP
B
由已知条件可求得
A
h
cos q R h 0.866
(a)
R
q 30
FO
再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得
解得
FB sin q F FA FB cosq P
（2）应用合力矩定理
MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy )
F cosq l cosj F sinq l sinj Fl cos(q j)
22
§2—4 平面力偶 1．力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，
称为力偶。如图所示，记作（F，F'）。力偶的两力之间
如图轧路碾子自重P = 20
kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高
h = 0.08 m碾子中心O处作用一
水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
R
FO
障碍物的压力；(2)欲将碾子拉
q
过障碍物，水平拉力至少应为多
B
大；(3)力F 沿什么方向拉动碾
A
h
子最省力，此时力F为多大。
大小取决于力的大小与力臂的乘积，平面力对点之矩是一 个代数量。它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正， 反之为负。
F对矩心点O之矩
MO(F) r
ห้องสมุดไป่ตู้Oh
B F A
M O (F ) Fh 2 AOAB
式中 AOAB为三角形OAB 的 面积，如图所示。单位为 N•m或kN •m。
第2章平面汇交力系与平面力偶系
FBA
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
FR FRx 2 FRy 2
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
工程力学ppt 2平面汇交力系和平面力偶系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
《理论力学》平面汇交力系与平面力偶系
n
MO (F R ) MO (F i )
i 1
y
(2) 力矩的解析表达式
MO (F ) xF sinq yF cosq
xFy yFx
y
Fy
A Ox
F
q
Fx x
例1 已知F＝1400 N, r＝60 mm, a＝20°，求力Fn对O点的矩。
Ft
Fn
Fn
Fr
MO(F) F h Fr cos 78.93 N m MO (F) MO (F r ) MO (F t ) MO (F t ) F cos r
M Fd (F3 F4 )d F3d F4d M1 M 2
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
Fxi 0 Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X 0 RAcos SCDcos4500 Y 0 PRA sin SCD sin450 0
第2章
平面汇交力系 与平面力偶系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系思维导图
①掌握力偶、力偶矩的基本概念及其力偶的基本性质。
力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力和分力之间应满足力的平行四边形规则。
一般情况下，力在坐标轴上投
影的大小不等于力沿坐标轴分解的分力的大小。
只有当α（由平行四边形面积表达式证出）平面力对点之矩简称力矩，是一代数量，其绝对值等于力的大小与力臂的乘
积，正负号表示力矩的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负
平面力对点之矩还可应用合力矩定理求解。
特别是在力臂计算不方便时，若将其分解
为两个正交分力并用合力矩定理计算则较方便，注意表达中的负号。
由等值、反向、不共线的两个平行力组成的力系效应用力偶矩来度量。
力偶没有合力，力偶只能用力偶来平衡力偶力偶矩
在平面问题中，力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积
解析法根据合力投影定理求出合力在
合力的大小和方向余弦
平衡的几何条件：力多边形自行封闭
平衡的解析条件：力系中各分力在两个坐标轴上的投影的代数和分
别等于零
平面力偶系可合成为一个力偶，称为合力偶。
合力偶矩等于各分力偶矩的代数和
（注意区分转向，即正负号）
平面力偶系平衡的充分和必要条件是：所有各分力偶矩的代数和等于零。
山东大学《理论力学》教案第2章 平面汇交力系与平面力偶系
第2章 平面汇交力系与平面力偶系一、目的要求1．平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法，并能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解，掌握汇交力系合成的解析法和平衡方程，并能熟练的应用平衡方程求解汇交力系的平衡问题。
3. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。
4．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
二、基本内容1．平面汇交力系合成的几何法·力多边形法则平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。
即∑==+++=n i i 11F F F F F n 2R 或 ∑=F F R合力R F 的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。
作出图示首尾相接的开口的力多边形，封闭边矢量即所求的合力。
2．平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。
其矢量表达式为∑==0F F R （2-2） 力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。
如图2-4所示。
3．力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力F 在y x ,轴上的投影分别为cos cos sin x y F F F F F αβα=⎫⎪⎬==⎪⎭力的投影是代数量。
4．平面汇交力系合成的解析法合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
即00x y F F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑ 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。
5.平面内的力对点O 之矩是代数量，记为M o (F )ABO Fh M o ∆±=±=2)(F其中F 为力的大小，h 为力臂，∆ABO 为力矢AB 与矩心O 组成三角形的面积。
一般以逆时针转向为正，反之为负。
力矩的解析表达式为： 合力矩定理： 6.力偶和力偶矩：·大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
平面汇交力系和平面力偶系
2. 任意个共点力的合成
为力多边形
位置图
力矢图
合力FR可以表达为 F R F 1 F 2 F 3 F 4
注：①在力多边形中，各力矢首尾相接，环绕同一方向， 而合力矢是反向封闭力多边形；②根据矢量相加的交换律 ，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边 形，但所得的合力矢FR却是一样的，即合力矢FR与各分力 矢的作图顺序无关。
力矩与合力矩的解析表达式
y
Mo F Mo Fy Mo Fx
Fy
xFyyFx
Aq
n
y
Mo FR (xiFyi yiFxi) O x
i1
B
F
Fx
x
28
[例2-4] 如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力F的作用。设F=1400N。 压力角 200，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r =60mm，试计算力 F对于轴心O的力矩。
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：
tgEB0.41
AB1.2 3
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16k1N 8
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X0 T2cosT10 ①
用线通过该三角形的几何中心。此结果要做为公式记住，遇到这
样的分布载荷时直接使用即可。
31
§2-4 平面力偶系的合成与平衡
一、力偶与力偶矩 力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
记作（F，F′）
32
力偶的性质 ⑴ 性质1
力偶的作用面
力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
为力多边形
位置图
力矢图
合力FR可以表达为 F R F 1 F 2 F 3 F 4
注：①在力多边形中，各力矢首尾相接，环绕同一方向， 而合力矢是反向封闭力多边形；②根据矢量相加的交换律 ，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边 形，但所得的合力矢FR却是一样的，即合力矢FR与各分力 矢的作图顺序无关。
力矩与合力矩的解析表达式
y
Mo F Mo Fy Mo Fx
Fy
xFyyFx
Aq
n
y
Mo FR (xiFyi yiFxi) O x
i1
B
F
Fx
x
28
[例2-4] 如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力F的作用。设F=1400N。 压力角 200，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r =60mm，试计算力 F对于轴心O的力矩。
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：
tgEB0.41
AB1.2 3
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16k1N 8
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X0 T2cosT10 ①
用线通过该三角形的几何中心。此结果要做为公式记住，遇到这
样的分布载荷时直接使用即可。
31
§2-4 平面力偶系的合成与平衡
一、力偶与力偶矩 力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
记作（F，F′）
32
力偶的性质 ⑴ 性质1
力偶的作用面
力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
平面汇交力系和力偶系
' FaO F bO
A
F
B b O
M F , F M F M F O O O
Fd FaO bO
d F
a
' 力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作 M F ,F ,或M
力偶的作用效应取决于力的大小和力 偶臂的长短，与矩心的位置无关。
Mo(F) O
h
B 力F 对O点之矩的计算方法： F rA M F Fh
F , F , F 力矢：F x y z 矢径： r x , y , z
O：矩心 h：力臂
M F r F O 的面积 M F 2 A BC O
A
F2
F3
F4
F2
F3
FR1
a
F1
FR2
F4
F R
结论： 平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇交点， 其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封 闭边。
F1
A
F2
F2
பைடு நூலகம்3
FR1
a
F3
F4
F1
FR2
F4
F R
显然合力矢与各个分力的合成次序无关。
F2 F R F 1 F4 a F3
结论：
平面汇交力系的合成结果是一个通过汇交点的合力， 其大小可用力的多边形法则得到，合力为力多边形 的封闭边。
n F F F F F R 1 2 n i
i 1
例题 A D
已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力
A
F
B b O
M F , F M F M F O O O
Fd FaO bO
d F
a
' 力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作 M F ,F ,或M
力偶的作用效应取决于力的大小和力 偶臂的长短，与矩心的位置无关。
Mo(F) O
h
B 力F 对O点之矩的计算方法： F rA M F Fh
F , F , F 力矢：F x y z 矢径： r x , y , z
O：矩心 h：力臂
M F r F O 的面积 M F 2 A BC O
A
F2
F3
F4
F2
F3
FR1
a
F1
FR2
F4
F R
结论： 平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇交点， 其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封 闭边。
F1
A
F2
F2
பைடு நூலகம்3
FR1
a
F3
F4
F1
FR2
F4
F R
显然合力矢与各个分力的合成次序无关。
F2 F R F 1 F4 a F3
结论：
平面汇交力系的合成结果是一个通过汇交点的合力， 其大小可用力的多边形法则得到，合力为力多边形 的封闭边。
n F F F F F R 1 2 n i
i 1
例题 A D
已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力
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=
=
3.平面力偶系的合成
已知：M1, M2 ,Mn;
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
Mn d
Fn
M1 F1d M2 F2d Mn Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
MO FR MO Fi
（1）该结论适用于任何合力存在的力系
（2）当力矩的力臂不易求出时，常将力分解 为两个容易确定力臂的分力（通常分解为正 交力），然后应用合力矩定理计算力矩。
例2-4
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: MO F .
解（1）直接按定义
MO F F h F r cosθ
4.平面汇交力系的平衡方程
平衡条件： FR 0
平衡方程：
Fx Fy
0 0
例2-2 已知：系统如图，不计杆、轮自 重，忽略滑轮大小， P=20kN。 求：系统平衡时，杆AB,BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，取滑
轮B（或点B），画受力图。
建图示坐标系
由 Fx 0
由
Fy 0
列 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
(2) 力偶对于其作用面内任一点之矩都等于力偶 矩，而与所选矩心的位置无关。
MO1 F
F ,
d
F
x1
MO1 F F x1
M
Fd
O1
F
力偶矩的符号
M
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，而不改变对刚体的作用效果。
=
=
2 Cx
2h
由 Fy 0
列 F CBsin FCy 0
得 FCy 1.5kN
压块C对工件的压力大小为11.25kN，压块C对地面的 压力大小为1.5kN ，AB杆受压力大小为11.35kN 。
§2.2 平面力系力对点之矩的概念和计算
1、平面力系中力对点之矩的概念
O称为矩心，O到力的作 用线的垂直距离h称为力 臂
力的大小与方向余弦： F Fx2 Fy2
cos Fx
F
cos Fy
F
（3）平面汇交力系合成的解析法
由FR Fi 由合矢量投影定理，得合力投影定理。
合力的投影：
FRx Fix
FRy Fiy
合力的大小：
FR
F F 2
2
Rx
Ry
合力的方向余弦： cos(FR , i ) cos(FR , j )
cos 45
129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
F F 2 F 2 171.3N
R
Rx
Ry
cos FRx 0.7548
FR
F cos β Ry 0.6556
F R
40.99o , β 49.01o
由 Fx 0
列 FBA cosθ FBC cosθ 0
得 F F
BA
BC
由 Fy 0
列 FBA sin θ FBC sin θ F 0
得 F F 11.35kN
BA
BC
（2）选压块C分析受力如图
由 Fx 0
列 F cosθ F 0
CB
Cx
得 F F cotθ Fl 11.25kN
78.93N m
（2）按合力矩定理
MO F MO Ft MO Fr
F cos θ r 78.93N m
• 练习：习题2-8
§2.3 平面力偶系的合成与平衡条件
1.力偶的概念 （1）力偶：作用在同一刚体上等值、反向、
不 作共线F的,F一 对平行力组成的力系称为力偶，记
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.1 平面汇交力系合成与平衡条件
1.平面汇交力系合成的几何法
合成方法：力多边形规则 合成结 F2
3
FR2 FR1 F3 Fi i 1
F1
n
FR Fi Fi i1
合力与分力矢顺序无关。
2.平面汇交力系平衡的几何条件
Fix FR
Fiy
FR
作用点为力的汇交点。
设θ为合力与x轴所夹的锐角
则由tan FRy 求出角
FRx 再由FRx，FRy的正负确定合力的方向。
例2-1
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力。
解：用解析法
F Rx
F ix
F cos30 1
F 2
cos 60
F 3
cos 45
F 4
i 1
结果：平面力偶系可合成为一个合力偶，其合力偶 矩等于各力偶矩的代数和。
n
M Mi Mi
i 1
4.平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系的
合力偶矩等于零。即 Mi 0
列
F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
F F P
1
2
FBA 7.321kN压力
FBC 27.32kN（压力）
例2-3 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm，忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力。
解：AB、BC杆为二力杆。
（1）取销钉B分析，受力如图。
平衡条件： 平面汇交力系平衡
合力为零
Fi 0
平衡的几何条件： 该力系的力多边形自行封闭。
3.平面汇交力系合成的解析法
（1）.力在坐标轴上的投影
y
b′ Fy
a′
A β Fx
α
F
Fy
B
O
a Fx b
(b)
Fx F cos
Fy
F
cos
F Fx Fy
（2）力的解析式： F Fx Fy Fxi Fy j
（2）力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素： a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 力偶矩：
M F d 2ABC
2. 力偶与力偶矩的性质
(1)力偶不能用一个力来代替，既不能合成为一个合 力；也不能与一个力成平衡；力偶中的两个力在
任一轴上投影的代数和恒为零。
两个要素：
1.大小：力F与力臂h 的乘积
2.方向：转动方向
MO F F h
力对点之矩是一个代数量。
它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积； 常用单位为N·m或kN·m 它的正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转向时 为正，反之为负。
2、合力矩定理 合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点
之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。即