线性方程组AX=B的数值解法(j)PPT
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数值分析第三章 解线性方程组的直接方法 ppt课件
对算每一一次行。计以算后每s注i一意数步m 1：学考j这上a虑n两|严x子a个格i列j |方等。 a程价为...kk 组。省中在时as间iki 最，s大i 只的在ai初k 为始主时元计。
a nk
注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。
§2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
A(2) b(2)
其中
a(2) ij
b(2) i
a(1) ij
b(1) i
mi
a(1)
1 1j
mi1b1(1)
(i, j 2, ...,n)
Step
k：设
a(k) kk
， 0计算因子
m ik a i(k k )/a k (k )k(i k 1 ,..n ) .,
且计算
a(k1) ij
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */：
Step 1: m i1a i1/a 11(a 1 10 )
1
记 L1 =
m 21 ...
1
m n1
a1(1)1...a1(1n) b1(1)
A b ，则 L 1 [A (1 ) b (1 )]
(2) (2)
1
Step n 1:
Ln1Ln2 ...L1
Ab
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
...
a(1) 1n
...
a(2) 2n
... ...
bb12((12))
...
其中 Lk =
1
a(n) nn
bn(n)
1
m k 1,k ...
m n ,k
1
1
线性方程组AXB的数值解法j课件
a a3 41 1
a32 a42
a33 a43
a a3 44 4
m m3 41 1
m32 m42
1 m43
00 10
0 0
u33 0
u u3 44 4
A非奇异蕴含着对所有的k有ukk≠0，k=1,2,3,4.
线性方程组AX=B的数值解法j
26
矩阵的LU分解
• 是否所有的非奇异矩阵A都能作LU分解呢？
则求解线性方程组Ax=b的问题可以分解成两个简 单的问题：
Ly=b Ux=y
易见：Ax=(LU)x=L(Ux)=Ly=b
线性方程组AX=B的数值解法j
8
3.3 上三角线性方程组（续2）
• 求解上三角线性方程组的回代算法
xn
b
... n
... n
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2 nxn b2 a3 3x3 a3nxn b3
a n . .1 ,.n 1 x n 1+ n . .1 ,.n x a nn .b .1 .
回代到第一个方程，得
x1
725 3
1
3x1 2x2 7
53x2
25 3
线性方程组AX=B的数值解法j
13
3.4 高斯消去法和选主元（续2）
• 考虑包含n个未知数的方程组
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3 an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
例3.17和3.18
偏序选主元策略 |akp|=max{|app|,|app+1|,…,|aN-1p|,|aNp|}
第五章 线性方程组的解法PPT课件
第五章 线性方 程组的解法
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
问题的提出：
在自然科学与工程技术中，很多 问题的解决常常归结为求解线性方程 组，如电学中的网络问题，机械和建 筑结构的设计和计算等，因此利用计 算机求解线性方程组就成为一个非常 重要的问题。
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，n+1计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j
其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1。 当k=n，即
27
继续这种过程，第n次消元后增广矩阵为
1
a(1) 12
(A(n) b(n))
1
a(1) 13
a(2) 23
会导致舍入误差的扩散，这是它的缺陷。
30
G-J消去法的一般求解过程如下：
消元过程：对于k=1，2，…，n，执行
设
a(k1) kk
0
，对于j=k，k+1，…，
n，n+1计算
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j 其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1
0
0
a(2) n3
a(2) nn
an(2,n)1
19
如此继续计算下去，第k-1次消元结 束后就得到增广矩阵
a1(01)
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
问题的提出：
在自然科学与工程技术中，很多 问题的解决常常归结为求解线性方程 组，如电学中的网络问题，机械和建 筑结构的设计和计算等，因此利用计 算机求解线性方程组就成为一个非常 重要的问题。
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，n+1计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j
其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1。 当k=n，即
27
继续这种过程，第n次消元后增广矩阵为
1
a(1) 12
(A(n) b(n))
1
a(1) 13
a(2) 23
会导致舍入误差的扩散，这是它的缺陷。
30
G-J消去法的一般求解过程如下：
消元过程：对于k=1，2，…，n，执行
设
a(k1) kk
0
，对于j=k，k+1，…，
n，n+1计算
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j 其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1
0
0
a(2) n3
a(2) nn
an(2,n)1
19
如此继续计算下去，第k-1次消元结 束后就得到增广矩阵
a1(01)
数值计算方法-第3章--线性方程组的解法PPT课件
个顺序主子式
a a (1)
(1)
11
12
Dk
a(1) 21
a(1) 22
a(1) 1k
a(1) 2k
0
(k 1, 2,..., n 1).
a a (1)
(1)
k1
k2
a(1) kk
.
13
顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在 第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况
.
是原方程组 Ax=b 的解向量。
27
对于
Ly =b
1
由
l21
1
l31
l32 1
y1 b1
y2
b2
y3
b3
ln1 ln2 lnn1 1 yn bn
.
解得
y1 yk
b1 bk
k 1 i 1
lki
yi
,
k 2,3,, n
28
对于 Ux =y
u11 u12 u1n x1 y1
2x3 6
⑤
x1 6 (x2 x3 ) 1
x2 x3 5 / 4 2
x3 (6) / (2) 3
用x3, x2的值求x1 把x3的值代入②求x2
.
8
从下向上逐步求解
对应的增广矩阵的变化
1 1 1 6 1 1 1 6
( A | b) 0
4
1 5 0
4
1
5
2 2 1 1 0 4 1 11
0.8334
5.910
12.10
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
3200
1200
4.200 981.0
数值分析(09)用矩阵分解法解线性代数方程组ppt课件
l31
l32
1
j1
1
ln1 ln2 ln,n1 1 yn bn
数值分析 2
数值分析
第 二 步: 求 解 上 三 角 方 程 组Ux Y ,向 后 回 代 求 出x
xn yn unn
n
xk ( yk ukj x j ) ukk j k 1
(k n 1, n 2, ,1)
x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i); end
数值分析10
数值分析
三、用全主元的三角分解PAQT LU求解Ax b Ax b PAQT (Qx) Pb LU(Qx) Pb
lupqdsv.m
%功能：调用全主元三角分解函数[LU,p,q]=lupqd(A)
1 2 0
1
2 7
1
1 2 17 0 1
数值分析 6
数值分析
P为排列阵，在计算机中用向量表示
例 P (1 2 3 4)T , P1 (3 2 1 4)T ,
P2 (3 4 1 2)T ,
P (3 4 1 2)T
Ax b, PA LU ,
PAx Pb,
LUx Pb f
f (i) b(P(i))
1
2
0
1
数值分析 8
数值分析
lupdsv.m %功能：调用列主元三角分解函数 [LU,p]=lupd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PA=LU, Ax=b←→PAx=Pb % LUx=Pb, y=Ux % Ly=f=Pb, f(i)=b(p(i)) %输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可） %输出：解x（行向量）
y1
《应用数值分析》课件数值分析5.3线性方程组的数值解法
Gaussian Elimination:
Step k：设ak(kk) ，0计算因子
mik
a(k) ik
/
a(k kk
)
(i k 1, ..., n)
且计算
a ( k 1) ij
b( k 1) i
a(k) ij
m
ik
a
(k kj
)
b(k ) i
mik bk(k )
(i, j k 1, ..., n)
n
bi (bi
aij * b j ) / aii
j i 1
2024/11/23
线性方程组的直接解法
11
计算量 /* Amount of Computation */
由于计算机中乘除 /* multiplications / divisions */ 运算的时 间远远超过加减 /* additions / subtractions */ 运算的时间，故 估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通 常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。 (n k) 次
(k)
kk
k ,k1
0
a ( k 1) k 1,k 1
a(1) 1n
a(2) 2n
a(k) kn
a ( k 1) k 1,n
0
a ( k 1) n,k 1
a ( k 1) nn
第 6 章 不动点理论及应用 第 1 页 共 1 页
b(1) 1
b(2) 2
b( k ) k
b( k 1) k 1
b( k 1) n
xn
b(n) n
/
a(n) nn
n
b( i ) i
a
(i ij
Step k：设ak(kk) ，0计算因子
mik
a(k) ik
/
a(k kk
)
(i k 1, ..., n)
且计算
a ( k 1) ij
b( k 1) i
a(k) ij
m
ik
a
(k kj
)
b(k ) i
mik bk(k )
(i, j k 1, ..., n)
n
bi (bi
aij * b j ) / aii
j i 1
2024/11/23
线性方程组的直接解法
11
计算量 /* Amount of Computation */
由于计算机中乘除 /* multiplications / divisions */ 运算的时 间远远超过加减 /* additions / subtractions */ 运算的时间，故 估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通 常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。 (n k) 次
(k)
kk
k ,k1
0
a ( k 1) k 1,k 1
a(1) 1n
a(2) 2n
a(k) kn
a ( k 1) k 1,n
0
a ( k 1) n,k 1
a ( k 1) nn
第 6 章 不动点理论及应用 第 1 页 共 1 页
b(1) 1
b(2) 2
b( k ) k
b( k 1) k 1
b( k 1) n
xn
b(n) n
/
a(n) nn
n
b( i ) i
a
(i ij
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23
3.4 高斯消去法和选主元（续11）
病态问题：矩阵A中元素的微小变化引起解 的很大变化
1 0.48
0.299xx121.347
x1
x
2
1 1
1 0.49
0.299xx121.347
x1
x
2
3
0
cond(A)=207.012
18.06.2020
24
图形解释
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-2
-1
0
1
2
3
4
18.06.2020
25
3.4 高斯消去法和选主元（续12）
一个线性方程组称 为是病态的，如果 其系数矩阵接近奇 异且它的行列式接 近0
矩阵条件数 cond(A)=||A||||A-1||
18.06.2020
26
3.5 三角分解法
A=LU:下三角矩阵L的主对角线为1，上三角矩阵 U的对角线元素非零
定义3.4 如果非奇异矩阵A可表示为下三角矩阵L和上 三角矩阵U的乘积：A=LU，则A存在一个三角分解
a11 a12 a13 a14 1 0 0 0u11 u12 u13 u14
a21 a22 a23 a24m21 1 0 00 u22 u23 u24
a a3 41 1
a32 a42
a33 a43
a a3 44 4
18.06.2020
28
3.5 三角分解法（续1）
利用前代/回代算法求解形如Lx=b或Ux=b的线性 方程组是容易的
如果对一个给定的矩阵A，能够找到一个下三角 矩阵L和一个上三角矩阵U，使A=LU
则求解线性方程组Ax=b的问题可以分解成两个简 单的问题：
Ly=b Ux=y
易见：Ax=(LU)x=L(Ux)=Ly=b
偏序选主元策略 |akp|=max{|app|,|app+1|,…,|aN-1p|,|aNp|}
按比例偏序选主元（平衡）策略
sr=max{|arp|,|arp+1|,…,|arN|} 其中r=p,p+1,…,N
|akp|m ax{|app|,|ap1p|,L,|aNp|}
sk
sp sp1
sN
18.06.2020
7
3.3 上三角线性方程组
定义3.2 N×N矩阵A=[aij]中的元素满足对所 有i>j，有aij=0，则称矩阵A为上三角矩阵； 如果A中的元素满足对所有i<j，有aij=0，则 称矩阵A为下三角矩阵。
定理3.5（回代）设AX=B是上三角线性方程 组，如果akk≠0，其中k=1,2,…,N，则该方程 组存在唯一解。
线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程 组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特 征向量的数值方法。
18.06.2020
2
线性方程组求解问题
考虑线性方程组 Ax = b 其中A是一个(n ×n)的非奇异矩阵, x是要求解
的n维未知向量, b是n维常向量
a11 a12 a1nx1 b1
18.06.2020
5
线性方程组的解（续1）
求逆运算和行列式计算由于运算量大，实 际求解过程中基本不使用，仅作为理论上 的定性讨论
克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在 实际应用中存在很大的困难，在线性代数 中，为解决这一困难给出了高斯消元法
还有三角分解法和迭代求解法
18.06.2020
6
解法分类
an1x1 an2 x2 an3x3 L ann xn bn
16
3.4 高斯消去法和选主元（续4）
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3
a21 a22
a2nx2
b2
an1 an2 annxn bn
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2
an1x1 an2x2 annxn bn
18.06.2020
3
线性方程组的解的存在性和唯一性
定理3.4 设A是N×N方阵，下列命题等价： 给定任意N×1矩阵B，线性方程组AX=B有唯
选主元以避免
a
( p
p p
)
0
，如果此主元非零，则不
换行；如果此主元为零，则寻找第p行下满足
a
( k
p p
)
0
的第1行，将此行与第p行互换，使新主元非零。
平凡选主元策略
18.06.2020
22
3.4 高斯消去法和选主元（续10）
选主元以减少误差：把元素中的最大绝对值移到 主对角线上
例3.17和3.18
如果两个N×N线性方程组的解相同，则称 二者等价
对一个给定方程组进行初等变换，不会改 变它的解
18.06.2020
13
3.4 高斯消去法和选主元（续1）
考虑一个简单的例子：
3x1 2x2 7 4x1 x2 1
求解第二个方程，得
x2 5
第二个方程减去第 一个方程除以3再乘 以4得到的新方程， 得到新的方程组：
an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
a31/a11 an1/a11
18.06.2020
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2nxn b2 a3 2x2 a3 3x3 a3nxn b3 an 2x2 an3x3 an nxn bn
18.06.2020
9
3.3 上三角线性方程组（续2）
求解上三角线性方程组的回代算法
xn
b
... n
a
... n
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2nxn b2 a3 3x3 a3nxn b3
a n . .1 ,.n 1 x n 1+ n . .1 ,.n x a nn .b .1 .
an...nxn bn...
xn1
bn...1 - an...1,nxn an..1.,n1
最后
n
x 1b 1(a 1x21 a a 1 x3 11 a nxn)b 1(k a 1 2 a 1 k 1 xk)
18.06.2020
10
上三角线性方程组的求解
基本算法：
xxni b(nbi/unjnni1uijxj )/iui
3x1 2x2 7
53x2
25 3
18.06.2020
回代到第一个方程，得
x1
725 3
1
14
3.4 高斯消去法和选主元（续2）
考虑包含n个未知数的方程组
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3 an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
in1,..2.,1
18.06.2020
11
上三角线性方程组的求解（续1）
(2) 式可简写成 Ux b， 其中
u11 U
u12 u 22
u1n u2n
unn
18.06.2020
12
3.4 高斯消去法和选主元
求解有N个方程和N个未知数的一般方程组 AX=B的一般做法：构造一个等价的上三角 方程组UX=Y，并利用回代法求解
18.06.2020
8
3.3 上三角线性方程组（续1）
条件akk≠0很重要，因为回代算法中包含对akk的除 法。如果条件不满足，则可能无解或有无穷解
定理3.6 如果N×N矩阵A=[aij]是上三角矩阵或下 三角矩阵，则
N
det(A)a11a22LaNN aii i1
联系定理3.4，可知要条件akk≠0成立才能保证方 程组存在唯一解
关于线性方程组的数值解法一般有两类
直接法：若在计算过程中没有舍入误差，经 过有限步算术运算，可求得方程组的精确解 的方法
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法
迭代法具有占存储单元少，程序设计简单， 原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但 存在收敛性及收敛速度等问题
18.06.2020
xn
b n...
a
... nn
利用3.3节的回代法求解上述上三角方程组
18.06.2020
19
3.4 高斯消去法和选主元（续7）
消去过程
2x1 x2 4x3 16 3x1 2x2 x3 10 x1 3x2 3x3 16
2x1 x2 4x3 16
1 2
x2
5x3 -14
x1 3x2 3x3 16
(x2 2
4
x3)
16 2 4 3 2
1
18.06.2020
21
3.4 高斯消去法和选主元（续9）
上述消去过程中，如果akk=0，则不能使用第k行 消除第k列的元素，而需要将第k行与对角线下的 某行进行交换，以得到一个非零主元。如果不能 找到非零主元，则线性方程组的系数矩阵是奇异 的，因此线性方程组不存在唯一解
第3章 线性方程组 AX=B的数值解法
18.06.2020
1
引言
在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归 结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小 二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方 程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程， 偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组， 而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程 组。