八年级上册几何的知识点

几何部分

一．全等三角形

１、能完全重合的图像叫做全等图形。两个图形全等，它们的形状和大小都相同。

２、两个能重合的三角形叫全等三角形。

３、全等三角形的对应边相等，对应角相等。

４、三角形全等的判定：

1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。

2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5）三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等。

５、直角三角形全等的判定：

1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边直角边”)。

2）以上判定方法对于直角三角形全部适用。

二．轴对称图形

（一）轴对称与轴对称图形

1.轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么

这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫

做对称点。

2.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3.轴对称和轴对称图形的区别和联系：

区别:①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形

的特性。

联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；

如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

4.常见的轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、

等边三角形、角、线段、相交的两条直线等，正多边形等。

（分别指出这些图形的对称轴的条数）

5.怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。（平面

直角坐标系内的点关于坐标轴以及一些特殊的直线的对称）

6.轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。（二）线段，角的轴对称性

1.线段的轴对称性

①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，

另一条是这条线段的垂直平分线。

②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。（可以证明）

③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合

（注意：如何用尺规作图画线段的垂直平分线？）

例：求证：三角形三条边的垂直平分线交于同一点。

（结论：三角形的三条边的垂直平分线相交于同一点，这个点称为三角形的外心，这个点到三角形三个定点的距离相等）

2.角的对称性

①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

②角平分线上的点到角的两边距离相等。（可以证明）

③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上

结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合

（注意：如何用尺规作图做角的平分线？）

例1：利用尺规作图：经过一点作已知直线的垂线（分点线上和点在线外两种）

例2：求证：三角形三个内角的角平分线交于同一点。（高斯课本P17例4）

（结论：三角形三个内角的角平分线相交于同一点，这个点称作三角形的内心，这个点到三角形三边的距离相等）

（三）等腰三角形的轴对称性

1.等腰三角形的性质

①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；

②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”) 2．等腰三角形的判定方法

①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形

②如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”）

3.等边三角形

①等边三角形的定义：

三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。（等边三角形是等腰三角形的特例。你还能列举一些特例吗？）

②等边三角形的性质：

等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；

等边三角形的每个角都等于600。

③等边三角形的判定：

3个角相等的三角形是等边三角形；

有两个角等于600的三角形是等边三角形；

有一个角等于600的等腰三角形是等边三角

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（简说成：30°所对的直角边是斜边的一半。故这时三角形斜边上的中线将这个直角三角形分成了一个等边三角形和一个等腰三角形。）

补充：直角三角形性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。（直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成了两个等腰三角形）

3.三角形的分类

按角来分：分成锐角三角形，直角三角形和钝角三角形

按边来分：斜三角形：三边都不相等的三角形。

三角形只有两边相等的三角形。

等腰三角形

等边三角形

三．勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

A

B

C

a

b

c

弦

股

勾

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

直角三角形的一些性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理的逆定理可以作为证明直角三角形的一种方法。

证明直角三角形的方法还有：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

注：若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

3.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数

（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13；7,24,25等

4.勾股定理的作用：已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC

∆中，90

C

∠=︒

，则c

b

，a=知识