运筹学(第5章割平面)_

例5-13 求解下列（AIP）： min f= -7x1-9x2 s.t. -x1 +3x2 ≤6 7x1 + x2 ≤35 xj≥0, 整数， j=1,2。
介绍一些相关概念
5．2．2 柯莫利割
行解．由KAIP KLP，所以x也是(LP)的一个
可行解，因此，x应满足单纯形表T(B)所表示 的方程组：
束为整数的数学规划问题. 整数规划又分线性整数规划和非线 性整数规划. 线性整数规划也叫整数线性规划 (ILP),简称整数规划,简记(IP).
整数线性规划的分类
纯整数规划:所有的决策变量均取整
数. 简记（ＡＩＰ） 混合整数规划:只有部分决策变量取 整数值. 简记（ＭＩＰ） 0-1整数规划:整数变量只能取0或1. 简记（ＢＩＰ）
（5-24）
应用对偶单纯形法
于是，X*=（x1，x2）T=（4，3）T 最优值f*=-55。
5.2.3 柯莫利割平面法


割平面法的基本思路：先用单纯形法解松弛问题， 得最优解Ｘ0，如果Ｘ0是整数，则问题已经解决， 如果不全是整数，给松弛问题一个线性约束条件－ －割平面方程，它将松弛问题的可行域割去一块， 且这个Ｘ0恰被割去,原问题的可行解都不会被割去. 把松弛问题的最优表添加割约束,得改进的松弛问 题,用对偶单纯形法求解,直至最优解为整数为止. 柯莫利割平面法算法步骤（P153）
问 题
1、去掉整数约束的规划问题 的最优解与整数规划的最优 解有何关系？ 2、如何建立整数规划模型？ 如何求解整数规划问题？
例5-1 求解整数规划
(1.5, 3.33) 最优值是-4.83
放松整数约束得到的线性规划问题
为该整数规划松弛问题 任何一个整数规划都可以看成是一 个线性规划松弛问题再加上整数约 束构成 整数规划的可行域是线性规划松弛 问题可行域的一个子集.
工厂生产信息表
定额 （工时/件）
j# 1# 2# 3#
每周可利用 有效工时
工序
A
B C
1.2
0.7 0.9 10
1.0
0.9 0.8 15
1.1
0.6 1.0 12
5400
2800 3600
利润（元/件）Cj
若固定费用dj: 100 ， 200 ， 150
解 设一周内j产品的生产件数为xj
若不考虑固定费用 max f= 10x1+15x2+12x3 s.t . 1.2x1+1.0x2 +1.1x3 ≤5400 0.7x1+0.9x2 +1.0x3≤ 2800 0.9x1 +0.8x2+ 1.0x3≤3600 xj≥0, j=1,2,3.
解
引进0-1变量
0, 选择材料甲， y 1，否则。
约束条件
2x1+5x2 +6x3 ≤180+My 4x1+3x2 +7x3≤ 240+M(1-y)
其中M为充分大的正数
例5-10 旅行售货员问题
P151
§5· 2 纯整数规划的割平面法
5．2．1割平面法的几何特征 记（AIP）的可行域为KAIP。若将（AIP）中 要求变量为整数这个约束去掉，则得到相应的 线性规划（LP），记（LP）的可行域为KLP。
整数规划最优解和线性规划 松弛问题最优解的关系
来自百度文库于最大化问题
松弛问题最优解≥整数规划最优解
对于最小化问题
松弛问题最优解≤整数规划最优解
§5.1整数规划模型
1、固定费用问题 2、选择性约束条件
１．固定费用问题
例5-2 某工厂生产1#、2#和3#三种产 品，每种产品需经过三道工序，有关 信息如下表所示。若j#产品投产，无论 产量大或小，都需要一笔固定的费用dj， 问每种产品各生产多少，可使这一周 内生产的产品所获利润最大?试建立整 数规划模型．
(1)
设B为(LP)的一个基，X为(AIP)的一个可
(2)
(1)-(2)得：
该条件是(AIP)任何一个可行解x必须满足的 条件，我们称它为柯莫利割．
例5-14用割平面法求解例5－13
min f= -7x1-9x2 s.t. -x1 +3x2 ≤6 7x1 + x2 ≤35 xj≥0, 整数， j=1,2。
解 引进松弛变量x3和x4，将问题化成标准型： min f= -7x1-9x2 s.t. -x1 +3x2 + x3 = 6 7x1 + x2 + x4 = 35 xj≥0, 整数， j=1,…，4。
（5-23）
因为松弛变量 x3=6+ x1-3x2，x4=35-7xl-x2， 所以当x1和x2为整数时，x3和x4也一定是整数． 应用单纯形法求解相应的线性规划(LP)，得最优表．
例5-15 求解下列（AIP）： min f= -2x1-5x2 s.t. 2x1 -x2 + x3 = 9 2x1 + 8 x2 + x4 = 31 xj≥0, 整数， j=1,…，4。
1/6 5/6 1/2
1/2 1/4 1/4
第五章 整数规划
§5· 1整数规划模型 §5· 2纯整数规划的割平面法 §5· 4分支定界法 §5· 7最优分配问题
本章基本要求
掌握整数规划的数学模型的建摸技巧； 掌握0-1规划模型 了解割平面公式； 掌握分支定界法； 掌握匈牙利法解决最优分配问题。

整数规划
整数规划：决策变量全体或部分约
xj≥0, j=1,2,3.
其中M为充分大的正数
２．选择性约束条件
例5-3 某工厂生产第j种产品的数量为 xj,j=1,2,3.其使用的材料在材料甲及材料乙中 选择一种。材料消耗的约束条件分别为 2x1+5x2 +6x3 ≤180或 4x1+3x2 +7x3≤ 240， （其他资源未列出），试问这类选择性约束条 件如何体现在模型中？
1,当x j 0， 又设0-1变量 y j 0，否则，
j 1， 2， 3
本问题的数学模型（ 考虑固定费用 ） max f= 10x1+15x2+12x3-100y1-200y2-150y3 s.t . 1.2x1+1.0x2 +1.1x3 ≤5400 0.7x1+0.9x2 +1.0x3≤ 2800 0.9x1 +0.8x2+ 1.0x3≤3600 x j My j，j 1 ， 2， 3