高中数学平面向量习题和答案解析
高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法单选题1、在△ABC 中,若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则△ABC -定是( ) A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等边三角形 答案:C分析:根据向量的数量积的运算公式,求得cosA <0,得到A 为钝角,即可求解. 由向量的数量积的运算公式,可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0,即cosA <0, 因为A ∈(0,π),所以A 为钝角,所以△ABC -定是钝角三角形. 故选:C.2、已知a ,b ⃗ 是不共线的向量,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b ⃗ ,若A,B,C 三点共线,则实数λ,µ满足( )A .λ=μ−5B .λ=μ+5C .λ=μ−1D .λ=μ+1 答案:B解析:根据向量的线性运算方法,分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ; 再由AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得到3−λ=−(2+μ),即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ , 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ; 若A,B,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得3−λ=−(2+μ),化简得λ=μ+5. 故选:B.3、在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且B =π3,b =3,a =√3,则c =( ). A .√3B .2√3C .3−√3D .3 答案:B分析:利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中,由余弦定理得:b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9,即c 2−√3c −6=0,解得:c =−√3(舍),∴c =2√3.c故选:B.4、已知非零向量a →与b →共线,下列说法不正确的是( ) A .a →=b →或a →=−b →B .a →与b →平行C .a →与b →方向相同或相反D .存在实数λ,使得a →=λb →答案:A分析:根据向量共线的概念,以及向量共线定理,逐项判断,即可得出结果. 非零向量a →与b →共线,对于A ,a →=λb →,λ≠0,故A 错误;对于B ,∵向量a →与b →共线,∴向量a →与b →平行,故B 正确; 对于C ,∵向量a →与b →共线,∴a →与b →方向相同或相反,故C 正确; 对于D ,∵a →与b →共线,∴存在实数λ,使得a →=λb →,故D 正确. 故选:A.5、已知向量a =(−1,m ),b ⃗ =(m +1,2),且a ⊥b ⃗ ,则m =( ) A .2B .−2C .1D .−1 答案:C分析:由向量垂直的坐标表示计算.由题意得a ⋅b ⃗ =−m −1+2m =0,解得m =1 故选:C .6、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx (ω>0),将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变时),得到g (x )的图象.g (x )的部分图象如图所示(D 、C 分别为函数的最高点和最低点):其中CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22,则ω=( )A .π4B .π2C .πD .2π 答案:C分析:先求出g (x )的解析式,再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22得到cos∠ACB =12,进而求出|AB |=2,所以T =2×2=4,ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3),∴g (x )=√3sin (12ωx +π3),因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点,所以DA =AC =CB ,由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22,即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12,∴△ACB 为正三角形,又△ABC 的高为√3, ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4, ∴即2π12ω=4πω=4,∴ω=π, 故选:C .7、某人先向东走3km ,位移记为a →,接着再向北走3km ,位移记为b →,则a →+b →表示( ) A .向东南走3√2km B .向东北走3√2km C .向东南走3√3km D .向东北走3√3km 答案:B分析:由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法,得a →+b →表示先向东走3km ,再向北走3km,即向东北走3√2km.故选:B.8、在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,且2S=a2−(b−c)2,则2b2+c2bc 的取值范围为()A.(4315,5915)B.[2√2,4315)C.[2√2,5915)D.[2√2,+∞)答案:C分析:根据余弦定理和△ABC的面积公式,结合题意求出sinA、cosA的值,再用C表示B,求出bc =sinBsinC的取值范围,即可求出2b2+c2bc的取值范围.解:在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA,且△ABC的面积S=12bcsinA,由2S=a2−(b−c)2,得bcsinA=2bc−2bccosA,化简得sinA+2cosA=2,又A∈(0,π2),sin2A+cos2A=1,联立得5sin2A−4sinA=0,解得或sinA=0(舍去),所以bc =sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35,因为△ABC为锐角三角形,所以0<C<π2,B=π−A−C<π2,所以π2−A<C<π2,所以tanC>tan(π2−A)=1tanA=34,所以1tanC∈(0,43),所以bc∈(35,53),设bc =t,其中t∈(35,53),所以2b2+c2bc=2bc+cb=2t+1t=2(t+12t),由对勾函数单调性知y=2t+1t 在(35,√22)上单调递减,在(√22,53)上单调递增,当t=√22时,y=2√2;当t=35时,y=4315;当t=53时,y=5915;所以y∈[2√2,5915),即2b2+c2bc的取值范围是[2√2,5915).故选:C.小提示:关键点点睛:由2b2+c2bc =2bc+cb,所以本题的解题关键点是根据已知及bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=4 sin5AsinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35求出bc的取值范围.多选题9、等边三角形ABC 中,BD →=DC →,EC →=2AE →,AD 与BE 交于F ,则下列结论正确的是( ) A .AD →=12(AB →+AC →)B .BE →=23BC →+13BA →C .AF →=12AD →D .BF →=12BA →+13BC →答案:AC分析:可画出图形,根据条件可得出D 为边BC 的中点,从而得出选项A 正确; 由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →,进而可得出BE →=13BC →+23BA →,从而得出选择B 错误;可设AF →=12AD →,进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →,从而得出λ=12,进而得出选项C 正确;由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →,从而得出选项D 错误. 如图,∵BD →=DC →,∴D 为BC 的中点,∴AD →=12(AB →+AC →),∴A 正确; ∵EC →=2AE →,∴AE →=13AC →=13(BC →−BA →),∴BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →,∴ B 错误;设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →,且B ,F ,E 三点共线,∴λ2+3λ2=1,解得λ=12,∴AF →=12AD →,∴C 正确;BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →,∴D 错误. 故选:AC10、已知△ABC 是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC,AB 上的点,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 与CE 交于点O ,则( )A .OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B .AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C .|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D .ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为76 答案:BD解析:可证明EO =CE ,结合平面向量线性运算法则可判断A ;由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ;建立直角坐标系,由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ;由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以E 为AB 的中点,且CE ⊥AB ,以E 为原点如图建立直角坐标系,则E (0,0),A (−1,0),B (1,0),C(0,√3),由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33),则D (−13,2√33), 取BD 的中点G ,连接GE ,易得GE//AD 且GE =12AD =DC , 所以△CDO ≌△EGO ,EO =CO ,则O (0,√32), 对于A ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ,故A 错误;对于B ,由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确; 对于C ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32),OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36), 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√33),所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23,故C 错误; 对于D ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33), 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76,故D 正确.故选:BD.小提示:关键点点睛:建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 11、下列说法中错误的是( ). A .若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ,c //d ,则a //d B .若|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ,则a =b⃗ C .若a ,b ⃗ 非零向量且|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |,则a ⊥b ⃗ D .若a //b ⃗ ,则有且只有一个实数λ,使得a =λb ⃗ 答案:ABD分析:对于题中所给的条件与结论需要考虑周全,可以得出结论. A 选项,当b ⃗ ,c 中至少有一个0⃗ 时,a 与d 可能不平行,故A 错误; B 选项,由|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ,可得a =b ⃗ 或a =−b⃗ ,故B 错误; C 选项,|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |,根据数量积规则,则两边平方化简可得a ⋅b ⃗ =0, ∴a ⊥b⃗ ,故C 正确; D 选项,根据向量共线基本定理可知当a ,b⃗ 都为非零向量时成立, a 为零向量时也成立(λ=0) ,若b ⃗ =0⃗ 时,λ 不存在,但b ⃗ //a (零向量与所有的向量共线),故D 错误; 故选:ABD.12、下列说法错误的是( )A .若a //b ⃗ ,则存在唯一实数λ使得a =λb⃗ B .两个非零向量a ,b ⃗ ,若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |,则a 与b⃗ 共线且反向C .已知a =(1,2),b ⃗ =(1,1),且a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(−53,+∞) D .在△ABC 中,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABC 为等腰三角形 答案:AC分析:若a =b ⃗ =0⃗ 可判断A ;将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B ;求出a +λb ⃗ 的坐标,根据a ⋅(a +λb ⃗ )>0且a 与a +λb ⃗ 不共线求出λ的取值范围可判断C ;取AC 的中点D ,根据向量的线性运算可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可判断D ,进而可得正确选项. 对于A :若a =b ⃗ =0⃗ 满足a //b⃗ ,则实数λ不唯一,故选项A 错误; 对于B :两个非零向量a ,b ⃗ ,若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |,则(a −b ⃗ )2=(|a |+|b⃗ |)2, 所以a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2|a ||b ⃗ |,可得2a ⋅b ⃗ =2|a ||b ⃗ |⋅cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−2|a ||b ⃗ |,cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−1,因为0≤〈a ⋅b ⃗ 〉≤π,所以〈a ⋅b ⃗ 〉=π,所以a 与b⃗ 共线且反向,故选项B 正确; 对于C :已知a =(1,2),b ⃗ =(1,1),所以a +λb ⃗ =(1+λ,2+λ),若a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角,则a ⋅(a +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)>0,解得:λ>−53,当λ=0时,a +λb ⃗ =a ,此时a 与a +λb ⃗ 的夹角为0,不符合题意,所以λ≠0,所以λ的取值范围是(−53,0)∪(0,+∞),故选项C 不正确;对于D :在△ABC 中,取AC 的中点D ,由BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故BD 垂直平分AC ,所以△ABC 为等腰三角形,故选项D 正确. 故选:AC .13、有下列说法,其中错误的说法为 A .若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ,则a //cB .若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S ΔAOC ,S ΔABC 分别表示ΔAOC ,ΔABC 的面积,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6 C .两个非零向量a ,b ⃗ ,若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |,则a 与b ⃗ 共线且反向D .若a //b ⃗ ,则存在唯一实数λ使得a =λb ⃗ 答案:AD分析:对每一个选项逐一分析判断得解.A. 若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ,则a //c ,如果a ,c 都是非零向量,b ⃗ =0⃗ ,显然满足已知条件,但是结论不一定成立,所以该选项是错误的;B. 如图,D,E 分别是AC,BC 的中点,2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,∴2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ,∴4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以OD =16AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的;C. 两个非零向量a ,b ⃗ ,若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |,则a 与b ⃗ 共线且反向,所以该选项是正确的;D. 若a //b ⃗ ,如果a 是非零向量,b ⃗ =0⃗ ,则不存在实数λ使得a =λb ⃗ ,所以该选项是错误的. 故选A,D小提示:本题主要考查平面向量的运算,考查向量的平行及性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题. 填空题14、已知P ,Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,且a ,b ⃗ 是不共线的向量,则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案:−12a −12b⃗ 分析:取AB 的中点E ,连接PE,QE ,然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图,取AB 的中点E ,连接PE,QE ,因为P ,Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ , 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −12b⃗ .所以答案是:−12a−12b⃗15、在△ABC中,若a=2,c=2√3,cosC=−12,M是BC的中点,则AM的长为____________.答案:√7分析:在△ABC中,由余弦定理求出b=2,进而,在△AMC中,由余弦定理可得AM.在△ABC中,由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0,又b>0,所以b=2.在△AMC中,CA=b=2,CM=a2=1,由余弦定理得AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−12)=7,所以AM=√7.所以答案是:√7.16、在△ABC中,cos∠BAC=−13,AC=2,D是边BC上的点,且BD=2DC,AD=DC,则AB等于 ___.答案:3分析:运用余弦定理,通过解方程组进行求解即可.设DC=x,AB=y,因为BD=2DC,AD=DC,所以BC=3x,AD=DC=x,在△ADC中,由余弦定理可知:cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅DC =4+x2−x24x=1x,在△ABC中,由余弦定理可知:cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x,于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1),在△ABC中,由余弦定理可知:cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13,⇒27x2−3y2−4y=12(2),把(1)代入(2)中得,y=3,所以答案是:3解答题17、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A).(1)若A=2B,求C;(2)证明:2a2=b2+c2答案:(1)5π8;(2)证明见解析.分析:(1)根据题意可得,sinC=sin(C−A),再结合三角形内角和定理即可解出;(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA),再根据正弦定理,余弦定理化简即可证出.(1)由A=2B,sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得,sinCsinB=sinBsin(C−A),而0<B<π2,所以sinB∈(0,1),即有sinC=sin(C−A)>0,而0<C<π,0<C−A<π,显然C≠C−A,所以,C+C−A=π,而A=2B,A+B+C=π,所以C=5π8.(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得,sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA),再由正弦定理可得,accosB−bccosA=bccosA−abcosC,然后根据余弦定理可知,1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2),化简得:2a2=b2+c2,故原等式成立.18、如图,有一景区的平面图是一个半圆形,其中O为圆心,直径AB的长为2km,C,D两点在半圆弧上,且BC=CD,设∠COB=θ;(1)当θ=π12时,求四边形ABCD的面积.(2)若要在景区内铺设一条由线段AB,BC,CD和DA组成的观光道路,则当θ为何值时,观光道路的总长l 最长,并求出l的最大值.答案:(1)√6−√24+14;(2)5分析:(1)把四边形ABCD分解为三个等腰三角形:△COB,△COD,△DOA,利用三角形的面积公式即得解;(2)利用θ表示(1)中三个等腰三角形的顶角,利用正弦定理分别表示BC,CD和DA,令t=sinθ2,转化为二次函数的最值问题,即得解.(1)连结,则∠COD=π12,∠AOD=5π6∴四边形ABCD的面积为2×12×1×1×sinπ12+12×1×1×sin5π6=√6−√24+14(2)由题意,在△BOC中,∠OBC=π−θ2,由正弦定理BC sinθ=OBsin(π−θ2)=1cosθ2∴BC=CD=sinθcosθ2=2sinθ2同理在△AOD中,∠OAD=θ,∠DOA=π−2θ,由正弦定理DAsin(π−2θ)=ODsinθ∴DA=sin2θsinθ=2cosθ∴l=2+4sin θ2+2cosθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2OD令t =sin θ2(0<t <√22) ∴l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12)2+5 ∴t =12时,即θ=π3,l 的最大值为5 小提示:本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题,考查了学生综合分析,数学建模,转化划归,数学运算能力,属于较难题。
高中数学平面向量(有难度含答案)
AM 2 .设 OA x , 0 x 2
OAOB OAOC OA OB OC 2OAOM
2 OA OM 2x 2 x 2 x2 2x
2 x
2 2
2
1
所以当 x
2
,即
OA
2 时,原式取得最小值为 1.
2
2
故选:C. 【点睛】
方法点睛:(1)向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的 2 倍; (2)利用向量三点共线,可以将向量的数量积转化为长度的乘积; (3)根据向量之间模的关系,二元换一元,转化为二次函数求最值即可. 11.B 【分析】
示 在 上的射影. 解:∵△ABC 是等腰三角形,CP 是∠ACB 的角平分线, ∴CP⊥AB,AP=BP= =3.
∵M 在 PC 上,∴ 在 上的射影为 BP=3.
即 BMBA =3. BA
故选 C.
考点:平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义.
10.C
【分析】
根据向量求和的平行四边形法则可以得出 OA OB OA OC 2OA OM ,再利用向量的
点,且满足 = +λ(
+
)(λ>0),则 BMBA 的值为( )
BA
A.1 B.2 C.3 D.4
10. ABC 中, AB AC , M 是 BC 中点, O 是线段 AM 上任意一点,且
AB
AC
2
,则
OAOB
OAOC
的最小值为(
)
A.-2
B.2
C.-1
D.1
11.如图是由等边△ AIE 和等边△ KGC 构成的六角星,图中的 B , D , F , H , J ,
以点 O 为坐标原点, OD 为 x 轴, OA 为 y 轴建立平面直角坐标系,设等边三角形的边长为
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a=(2,1),b=(0,-1).若(a+λb)⊥a,则实数λ=.【答案】5【解析】因为(a+λb)⊥a,所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-6x+5=0,点A,B在圆C上,且AB=2,则的最大值是.【答案】8【解析】设AB中点为M,则.因为圆C:,AB=2,所以,因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,∴P为AC的中点,∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量,那么下列结论正确的是()A.=B.•=0C.•<1D.2=2【答案】D【解析】A不正确,、的方向不确定.B不正确,当、垂直时,.C不正确,尽管、的长度都是1,但它们的方向不确定,,当两向量的方向相同时,.由于单位向量的模都等于1,但它们的方向不确定,故一定有,从而2=2,故D正确.故选 D.5.设,是平面内两个不共线的向量,=(a﹣1)+,=b﹣2(a>0,b>0),若A,B,C三点共线,则+的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】∵A,B,C三点共线,∴,共线,∴存在实数λ,使得可解得,b=2﹣2a∵a>0,b>0∴0<a<1∴==当a=时,取最小值为4故选:B.6.已知直角△ABC中,AB=2,AC=1,D为斜边BC的中点,则向量在上的投影为。
【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是________.【答案】【解析】因为++=,所以+++=0,即=2,所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点,故.8.如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=1,AB=2,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆上或圆内移动,设=λ+μ (λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是 ().A.(1,2)B.(0,3)C.[1,2]D.[1,2)【答案】C【解析】以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,1),C(1,1),设P(x,y),则(x,y)=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),即令z=λ+μ=+y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y=-+z与圆C有公共点,所以,解得1≤z≤2.9.设向量,,若满足,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,所以, ,解得:,故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点,点,向量,若,则实数的值为()A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】由已知得,又,所以存在实数,使,即,解得,所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a,若向量与垂直,则的值为()A.B.7C.D.【答案】A【解析】由已知得,,又这两个向量垂直,所以,解得,所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点,点是抛物线准线上的一点,记,其中为抛物线的顶点.(1)当与平行时,________;(2)给出下列命题:①,不是等边三角形;②且,使得与垂直;③无论点在准线上如何运动,总成立.其中,所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知,焦点,准线为。
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3,n= 2 +2 3
12、已知向量a与b, 3a + b = 6,a − 3b = 8,若则a ⊥ b,则 + 的值是( )
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中,AC=CD,AB=2BC,点 E 在 PA 上,H 在 PD 上,F 是 EH 的中
点,G 是 PC 与 EH 的交点,则 =(
3 23
2
解得:a=2b
已知 C 是 AD 的中点,设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得:
= 2tb
+(1-t) b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等,2tb = 2 (1 − t) b = 2
( + )·( + )=0 ------------------------⑨
由⑦,⑧,⑨,得:
cos( + , + )= ( + )·(3 + )
+ ∙3 +
=0 所以:向量 + , + 的夹角为 90°
故答案为:C
第 18 题 解: 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方,得: 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2, · =3 代入上式, 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得: = 3
则
=
。
=(3,2)
8、已知向量 , 满足 = 3 , ⊥(2 + 3 ),则向量 与 的夹角
(完整版)平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一.填空题。
1.AC DB CD BA 等于________.2.若向量a=( 3,2), b=(0,-1),则向量2b-a的坐标是________.3.平面上有三个点A( 1,3),B( 2,2),C( 7,x),若∠ ABC =90°,则 x 的值为 ________.4.向量 a、b 知足 |a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________.5.已知向量 a=( 1, 2), b=( 3, 1),那么向量 2a-1b 的坐标是 _________.26.已知 A(- 1, 2),B( 2, 4), C(4,- 3), D ( x,1),若AB与CD共线,则 | BD |的值等于 ________.7.将点 A( 2, 4)按向量 a=(- 5,- 2)平移后,所获得的对应点A′的坐标是 ______.8.已知 a=(1, -2), b =(1,x), 若 a⊥b,则 x 等于 ______9.已知向量 a, b 的夹角为120,且 |a|=2,| b |=5,则( 2a- b)· a=______10.设 a=(2, - 3), b =(x,2x), 且 3a· b =4, 则 x 等于 _____11.已知 AB( 6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥DA,则x+2y的值为_ ____12.已知向量a+3 b, a-4 b 分别与 7a-5 b,7a-2 b 垂直,且 |a|≠ 0,| b |≠ 0,则 a 与 b 的夹角为 ____uuur uuur uuur13.在△ ABC中, O 为中线 AM 上的一个动点,若AM=2 ,则OA OB OC 的最小值是.14.将圆x2y 2 2 按向量v=(2,1)平移后,与直线 x y0 相切,则λ的值为.二.解答题。
15.设平面三点A( 1, 0), B( 0,1), C( 2, 5).(1)试求向量 2 AB+AC的模;(2)试求向量AB 与 AC 的夹角;(3)试求与BC垂直的单位向量的坐标.16.已知向量a=( sin,cos)(R ),b=(3,3 )(1)当为什么值时,向量a、b 不可以作为平面向量的一组基底1(2)求 |a -b|的取值范围17.已知向量 a 、 b 是两个非零向量,当 a+tb(t ∈R)的模取最小值时,(1)求 t 的值(2)已知 a 、 b 共线同向时,求证b 与 a+tb 垂直18. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ,向量 OC 垂直于向量 OB ,向量 BC 平行于 OA ,试求 OD OA OC 时,OD 的坐标 .19.将函数 y= - x 2 进行平移, 使获得的图形与函数 y=x 2- x - 2 的图象的两个交点对于原点 对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数分析式 .20.已知平面向量 a( 3, 1), b (1, 3).若存在不一样时为零的实数k 和 t,使2 2x a (t 23)b, y ka t b, 且 x y.( 1)试求函数关系式 k=f ( t )( 2)求使 f ( t )>0 的 t 的取值范围 .21 11. 02.(- 3,- 4)3.74.90°5.( 2 , 3 2 ).6.73 . 7.(- 3, 2).8.- 29.12110. 311.012. 90 ° 13.214.1或 515. ( 1)∵AB =( 0- 1, 1-0)=(- 1, 1), AC =( 2- 1, 5- 0)=( 1,5).∴ 2 AB + AC = 2(- 1, 1)+( 1, 5)=(- 1, 7).∴ |2AB + AC |= ( 1)2 72 = 50.(2)∵ | AB |=( 1)212= 2 .|AC |= 12 52 = 26 ,AB ·AC =(- 1)× 1+ 1×5= 4.AB AC4 2 13∴ cos = | AB | | AC | = 226= 13 .(3)设所求向量为m =( x , y ),则 x 2+ y 2= 1. ①又 BC =( 2- 0, 5- 1)=( 2,4),由 BC ⊥ m ,得 2 x + 4 y = 0.②x 2 5x -2555y5 . y5 .2 55 2 555 55)或(- 55)即由①、②,得 5 或 ∴ ( ,-,为所求.16.【解】(1)要使向量 a 、 b 不可以作为平面向量的一组基底,则向量 a 、 b 共线3sin3 cos30 tan∴3k(k Z ) k(kZ ) 故6,即当6基底时,向量 a 、b 不可以作为平面向量的一组(2) | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin3cos )而 2 33 sin3cos2 3∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1317.【解】(1)由 ( a tb) 2| b |2 t 22a bt| a |2t2a b| a |cos(是a与b的夹角)当2 | b |2| b |时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值| a |t(2)当 a、 b共线同向时,则0,此时| b |∴ b (a tb) b a tb2b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0∴b⊥ (a+tb)18.解:设OC(x, y),OC OB OCOB 0 2 y x0①又BC // OA,BC(x1, y2)3( y 2)( x 1) 0即:3y x7②x14,联立①、②得y710分OC(14,7),于是 OD OC OA(11,6) .19.解法一:设平移公式为x x hy y k 代入 y x2,获得y k( x h) 2 .即 y x22hx h 2k ,把它与 y x 2x2联立,y x 22hx h 2k得yx 2x 2设图形的交点为(x1, y1),( x2, y2),由已知它们对于原点对称,x1x2即有:y1y2 由方程组消去y得:2x2(12h) x 2 h 2k 0.4x 1 x 21 2h且x 1x 20得h1 . 由22又将(x 1, y1 ),( x 2, y 2 )分别代入①②两式并相加,得: y 1 y 2x 12 x 22 2hx 1 x 2 h 2 k 2.0 (x 2x 1 )( x 2x 1 ) (x 1x 2 ) 1 k 2k9.a ( 1 , 9)4. 解得42 4 .xx12y y9x2得: yx 2平移公式为:4 代入 yx2 .解法二:由题意和平移后的图形与y x 2x2交点对于原点对称,可知该图形上全部点都能够找到对于原点的对称点在另一图形上,所以只需找到特点点即可.y x2x2的极点为(1, 9)1 , 924 ,它对于原点的对称点为 ( 2 4 ),即是新图形的极点 .因为新图形由 yx 2h1 0 1, k 99平移获得, 所以平移向量为22 44 以下同解法一 .20.解:( 1)xy, x y 0.即[( at 2 3)b]( k a tb)0.a b0, a 221,4k t(t23) 0,即k1t(t 23).4,b1t (t 24( 2)由 f(t)>0, 得3) 0,即t (t3)(t3)0,则3t 0或t3.45。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=(2,4),b=(-1,-3),则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°,a=(3,4),|b | =1,则|a+5b | = 。
3、已知点A(1,2),B(2,1),若→AP=(3,4),则→BP= 。
4、已知A(-1,2),B(1,3),C(2,0),D(x,1),若AB与CD共线,则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a,b满足|a+b|= 10,|a-b|= 6 ,则a·b=。
7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是。
8、在△ABC中,D为AB边上一点,→AD =12→DB,→CD =23→CA + m→CB,则m= 。
9、已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,a⊥(2a+b),则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中,已知A(-3,1),B(4,-2),点P(1,-1)在中线AD上,且→AP= 2→PD,则点C的坐标是()。
二、选择题1、设向量→OA=(6,2),→OB=(-2,4),向量→OC垂直于向量→OB,向量→BC平行于→OA,若→OD +→OA=→OC,则→OD坐标=()。
A、(11,6)B、(22,12)C、(28,14)D、(14,7)2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A',则点A'的坐标()A、(4 , 2)B、(3,1)C、(2,1)D、(1,0)3、已知向量a,b,若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则(2a+ b)⊥(a-2b),则向量a与b的夹角是()。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°,| a|= 2,b=(-1,0),则| 2a-3b|=()A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|2·→0C +→CD|=4,则,|→BC+→CD|=______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a=(3,4),向量b=(2,1),则a在b方向上的投影为________.A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则→AE·→BD=.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,求→AB·→AC的值。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中,()A.B.C.D.【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A.B.C.0D.1【答案】B【解析】略3.已知中,点是的中点,过点的直线分别交直线于两点,若,,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】,因为,三点共线,所以,.【考点】1.平面向量基本定理;2.三点共线;3.基本不等式求最值.4.(本小题满分10分)已知向量,,且,(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-,求λ的值.【答案】(1),;(2)【解析】(1)首先根据向量积的坐标表示,然后再根据两角和的余弦公式进行化简,求向量的模,根据公式,展开公式,然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简;(2),第一步先按二倍角公式展开,转化为关于的二次函数求最值,第二步,进行换元,配方,所以讨论,,三种情况,得到最小值,确定参数的取值.试题解析:(1),(2分)|,因为所以.(2)令因为,.∴原函数可化为①当,,即(不合题意,舍去).②当时,,即或(不合题意,舍去).③当时,矛盾.综上所述.【考点】1.向量数量积的坐标表示;2.三角函数的化简;3.二次函数求最值.5.已知平面向量,且,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】,故选B.【考点】(1)平面向量共线(平行)的坐标表示;(2)平面向量的坐标运算.6.已知屏幕上三点满足,则的形状是()A.等腰三角形B.对边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为,则,为等腰三角形.故选A.【考点】(1)三角形的形状判断;(2)平面向量数量积的运算.7.在中,设,若点满足,则A.B.C.D.【答案】A【解析】由得,,答案选A.【考点】向量的线性运算8.已知,,若与垂直,则等于()A.1B.C.2D.4【答案】C【解析】,因为与垂直,则,【考点】(1)平面向量的数量积(2)向量的模9.如图,已知点,是单位圆上一动点,且点是线段的中点.(1)若点在轴的正半轴上,求;(2)若,求点到直线的距离.【答案】(1);(2);【解析】(1)根据中点坐标公式求出B点坐标,再利用向量数量积坐标式表示出即可;(2)结合已知图形,求出B点坐标,再求出C点坐标,然后写出OC所在直线方程,最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离.试题解析:(1)点在轴正半轴上,,又点是线段的中点,,,;(2),,由点是线段的中点,,直线的方程为,即,点到直线的距离.【考点】1.中点坐标公式;2.向量数量积的坐标式;3.点到直线距离;10.(本小题10分)已知向量.(Ⅰ)若向量与平行,求的值;(Ⅱ)若向量与的夹角为锐角,求的取值范围【答案】(1)(2)且【解析】(1)本题考察的是两向量的平行,可以先根据条件写出两个向量与的坐标,利用平行向量的条件,即可求出的值.(2)因为向量与的夹角为锐角,则向量的数量积大于0且不共线,根据条件代入公式即可求出的取值范围.试题解析:(Ⅰ)依题意得-------2分∵向量与平行∴,解得(Ⅱ)由(2)得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若,则向量的夹角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,设与的夹角为,,则,故选C.【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量,,若,则代数式的值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为向量,,,所以,解得,而=,故选择C【考点】1.共线向量的坐标表示;2.同角函数基本关系式13.如图,在正方形中,,点为的中点,点在边上.若,则.【答案】【解析】以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴建立直角坐标系,则,可得,即,所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量,,若⊥,则实数的值为()A.B.C.-D.2【答案】A【解析】两向量垂直,所以数量积为0,代入公式,解得,故选A.【考点】向量数量积的坐标表示15.(本小题满分12分)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ),(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值.【答案】(1)2 (2)【解析】(1)由两向量垂直得到数量积为零,代入向量的坐标可得到关于的关系式,将其整理可得到的值;(2)将转化为用角的三角函数表示,求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题,求解时要注意正余弦值的范围试题解析:(1)b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),又a与b-2c垂直,∴4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,即4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=0,∴4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,得tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),∴|b+c|=当sin2β=-1时,|b+c|==4.max【考点】1.向量的坐标运算;2.向量的模;3.三角函数化简16.设为所在平面内一点,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】,.故A正确.【考点】平面向量的加减法.17.已知向量,且∥,则的最小值等于A.B.C.D.【答案】B【解析】由知,即,则.【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值.18.已知的夹角为,则【答案】【解析】.【考点】1.向量的模;2.向量的内积.19.平面向量与的夹角为60°,=(2,0),=1,则|+2|等于()A.B.C.4D.12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.(本小题满分12分)已知平面向量,.(1)若,求的值;(2)若,求|-|.【答案】(1)(2)【解析】(1)由得到坐标关系式,代入相应坐标即可得到的值;(2)由直线平行得到坐标满足的的关系式,求得x值后,将向量用坐标表示,利用坐标求向量的模试题解析:(1)即(2)即当时,当时,【考点】1.向量平行垂直的判定;2.向量的模21.(本题满分15分)已知,,是同一平面上不共线的三点,且.(1)求证:;(2)若,求,两点之间的距离.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】(1)将条件当中的式子变形,利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可;(2)根据(1)中所证再结合等腰三角形的性质,可将转化为与有关的方程,从而求解.试题解析:(1)由得,设为的中点,则,从而有,即,由于为的中点,且,因此由“三线合一”性质可知;(2)由(1)可知,,故,即,两点之间的距离为.【考点】1.等腰三角形的性质;2.平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.22.已知为非零向量,且,,则下列说法正确的个数为()(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则.A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】(1)因为,,,均为非零向量,且,所以,必不共线,则,表示以是,为邻边的平行四边形的两条对角线,且该平行四边形为菱形,所以,,故(1)正确;(2),所以,故(2)正确;(3)若,则必不共线,所以以为邻边的平行四边形是矩形,所以,故(3)正确;(4)若非零向量满足,即,则以为邻边的平行四边形是矩形,所以,故(4)正确.【考点】向量加法、减法的几何意义,数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.(2015秋•大兴安岭校级期末)已知向量=(1,2),=(2,2).(1)求(2﹣)•(2+);(2)设=(﹣3,λ),若与夹角为钝角,求λ的值.【答案】(1)12;(2)λ>﹣,且λ≠6.【解析】(1)向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可,(2)若与夹角为钝角,则则•<0,问题得以解决.解:(1)∵=(1,2),=(2,2),∴2﹣=(2﹣2,4﹣2)=(0,2),2+=(2+2,4+2)=(4,6),∴(2﹣)•(2+)=0×4+2×6=12;(2)若与夹角为钝角,则•<0,•=(﹣3,λ)•(1,﹣2)=﹣3﹣2λ<0,即λ>﹣,且与不能方向,即﹣3×(﹣2)﹣λ≠0,解得λ≠6,故λ的范围为λ>﹣,且λ≠6.【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算.24.如图所示,是的边上的中点,则向量= (填写正确的序号).①,②,③,④【答案】①【解析】.故选A.【考点】向量的线性运算.【名师】在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.25.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【答案】C【解析】,所以设与的夹角为.,,.故C正确.【考点】1向量的数量积;2向量的模长.【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题,难度一般.先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值,由余弦值可求得角的大小.但应注意两向量的夹角范围为,若忽略角的范围容易出错.26. O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若(﹣)•(+﹣2)=0,则△ABC是()A.以AB为底边的等腰三角形B.以AB为斜边的直角三角形C.以AC为底边的等腰三角形D.以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简,两边同时加上,根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案.解:∵(﹣)•(+﹣2)=0,∴+﹣2=+﹣2.即﹣2=﹣2.两边同时加,得()2=()2,即AB2=BC2.∴AB=BC.∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形.故选:C.【考点】平面向量数量积的运算.27.已知,,,且与垂直,则实数λ的值为()A.B.C.D.1【答案】C【解析】由,所以,然后根据与垂直,展开后由其数量积等于0可求解λ的值.解:因为,所以,又,,且与垂直,所以==12λ﹣18=0,所以.故选C.【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.28.(2015秋•嘉兴期末)已知向量是同一平面内的三个向量,其中.(1)若,且向量与向量反向,求的坐标;(2)若,且,求与的夹角θ.【答案】(1).(2).【解析】(1)令,根据模长关系列方程解出λ;(2)将展开求出,代入夹角公式计算.解:(1)设∵∴,∴.(2)∵||=,,∴2=5,2=.∵,∴22+3﹣22=+3=,∴.∴,∴.【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算.29.已知向量.(1)若点A,B,C能构成三角形,求x,y应满足的条件;(2)若△ABC为等腰直角三角形,且∠B为直角,求x,y的值.【答案】(1)3y﹣x≠1(2)或【解析】(1)点A,B,C能构成三角形,即三点不共线,再由向量不共线的条件得到关于x,y的不等式,即所求的x,y应满足的条件;(2)△ABC为等腰直角三角形,且∠B为直角,可得AB⊥BC且,|AB|=|BC|,转化为坐标表示,得到方程求出x,y的值解:(1)若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,∵∴=(3,1),=(2﹣x,1﹣y),又与不共线∴3(1﹣y)≠2﹣x,∴x,y满足的条件为3y﹣x≠1(2)∵=(3,1),=(﹣x﹣1,﹣y),若∠B为直角,则AB⊥BC,∴3(﹣x﹣1)﹣y=0,又|AB|=|BC|,∴(x+1)2+y2=10,再由3(﹣x﹣1)﹣y=0,解得或.【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示.30.已知||=||=1,与夹角是90°,=2+3,=k﹣4,与垂直,k的值为()A.﹣6B.6C.3D.﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件,得到数量积等于0,求变量K的值,展开运算时,用到|a|=|b|=1,a与b夹角是90°代入求解.解:∵×=(2+3)×(k﹣4)=2k+(3k﹣8)×﹣12=0,又∵×=0.∴2k﹣12=0,k=6.故选B【考点】平面向量数量积的运算;数量积判断两个平面向量的垂直关系.31.已知.(1)若,求的坐标;(2)设,若,求点的坐标.【答案】(1);(2).【解析】(1)由可求得的坐标,再利用向量的运算用表示出,从而求得的坐标;(2)可假设,能求的的坐标,由可得关系式,,将此关系式转化成关于的方程,求出,从而得到点的坐标.试题解析:(1)(2)设则,,解得因此,点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中,,,,下列推导不正确的是()A.若,则为钝角三角形B.,则ΔABC为直角三角形C.,则为等腰三角形D.,则为正三角形【答案】D【解析】A中,由可知,,得为钝角三角形;B中,由可知,,得为直角三角形;C中,由知得,,,,则为等腰三角形;D中,,总是成立,不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上,且满足,则△ABP的面积与△BCP的面积之比为()A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4【答案】B【解析】由,可得=2,即点P为线段AC的靠近点A的三等分点,即可得出.解:∵,∴==,∴=2,即点P为线段AC的靠近点A的三等分点,∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==,故选:B.【考点】向量的加法及其几何意义.34.如图,已知:,为的中点,为以为直径的圆上一动点,则的最大值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】以直线为轴,圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,则,所以,,设,则,,其中(,),所以的最大值为.故选A.【考点】平面向量的线性运算,平面向量的数量积.【名师】本题考查平面向量的数量积,解题的关键是建立适当的直角坐标系,把向量用坐标表示出来.本题中建立如解析中所示的坐标系后,可以把表示出来了,引入圆的参数方程表示法,可以把向量用参数表示,这样就可两向量的数量积表示为的函数:,由三角函数的性质可求得最大值.35.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于 ( ) A.B.C.-D.-【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以,故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点,为平面上任意一点,则= A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知得,,,,,而,,所以.故选D.【考点】平面向量的加法;相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点,若,若实数满足,则()A.B.3C.-1D.2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为,所以,故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中,设且,,则四边形的形状是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】B【解析】,,故四边形为平行四边形,又因为,,,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量,,,若∥,则= .【答案】 5;【解析】由题:,, ,∥,则:【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、,且,,,则一定共线的三点是()A.、B.、C.、、D.、【答案】A【解析】根据三点共线的性质,、;、、皆不可能共线,只有、,、有可能共线,假设、共线,,令,可求得,、共线成立,假设、共线,,令,无解,假设不成立,故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种,有向量法,因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线,而由共线向量的性质可知,当两向量共线时(两向量均不为零向量),其对应坐标成比例或者满足,以此来判断三点是否共线;也可建立坐标系,由其中两点确定一条直线,再将第三点代入直线方程,看其是否在直线上;三点钟任意连接两点,可形成三个向量,通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知,点是线段上的点,,则点的坐标为()A.B.C.D.【答案】D【解析】假设,则有,所以有,可求得,故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量,夹角是,试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,由和是两个单位向量,夹角是,我们易得,,进而我们可以求出,,,然后代入,即可求出答案.试题解析:,,,.,,故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点,,,,则向量在方向上的投影为【答案】【解析】,,则向量在方向上的投影为.【考点】向量数量积的几何意义.44.下列四个式子中可以化简为的是()①②③④A.①④B.①②C.②③D.③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确,由向量减法的三角形法则可知④正确,故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足:(1)求向量与的夹角(2)求【答案】(1)(2)【解析】(1)设向量的夹角为θ,求出,展开,代入后求得θ值;(2)利用,展开后求得答案试题解析:(1)设向量与的夹角为,,,得,(2)【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中,若,则等于()A.2B.-2C.D.与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中,若,由,【考点】向量的运算及几何意义.47.已知是两个单位向量.(1)若,试求的值;(2)若的夹角为,试求向量与的夹角【答案】(1)(2)【解析】(1)由题为单位向量,且,可利用向量乘法运算的性质;,化为向量的乘法运算,求出,进而可求得(2)由的夹角为,可利用向量乘法的性质,分别先求出的值,再利用可得.试题解析:(1),是两个单位向量,,又,,即.(2),,,夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量,若,则.【答案】【解析】由题//,可得:【考点】向量平行的性质.49.已知向量=(3,x),=(﹣2,2)(1)若向量⊥,求实数x的值;(2)若向量﹣与3+2共线,求实数x的值.【答案】(1)x=3(2)x=﹣3【解析】解:(1)∵⊥,∴•=﹣6+2x=0,解得x=3.(2)﹣=(﹣5,2﹣x),3+2=(7,3x+2).∵﹣与3+2共线,∴7(2﹣x)+5(3x+2)=0,解得x=﹣3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.50.若,且,则向量与的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】由,则;,得:与的夹角为120°。
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .AD 与AE 相等D .AD 与BD 相等2.下列命题正确的是( ). A .向量AB 与BA 是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =bC .若AB =DC ,则A ,B ,C ,D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC =α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ).A .3x +2y -11=0B .(x -1)2+(y -1)2=5C .2x -y =0D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A .6πB .3π C .23π D .56π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则AP =( ). A .λ(AB +AD ),λ∈(0,1) B .λ(AB +BC ),λ∈(0,22) C .λ(AB -AD ),λ∈(0,1)D .λ(AB -BC ),λ∈(0,22) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则DF =( ). A .EF +EDB .EF -DEC .EF +ADD .EF +AF7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ).(第1题)A.2 B.4 C.6 D.128.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB =OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的().A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点9.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,DC=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为().A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形10.如图,梯形ABCD中,|AD|=|BC|,EF∥AB∥CD则相等向量是().A.AD与BC B.OA与OBC.AC与BD D.EO与OF(第10题)二、填空题11.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=.12.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与MN相等,其中M(-1,3),N(1,3),则x =.13.已知平面上三点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.14.给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1),且(a+m b)⊥(a-b),则实数m等于.15.已知A,B,C三点不共线,O是△ABC内的一点,若OA+OB+OC=0,则O 是△ABC的.16.设平面内有四边形ABCD和点O,OA=a,OB=b,OC=c, OD=d,若a+c =b+d,则四边形ABCD的形状是.三、解答题17.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若点P满足AP=AB+λAC(λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内?18.如图,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于F,求DF.(第18题)19.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证:AF⊥DE(利用向量证明).(第19题) 20.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值.参考答案一、选择题 1.B解析:如图,AB 与AC ,AD 与AE 不平行,AD 与BD 共线反向.2.A解析:两个单位向量可能方向不同,故B 不对.若AB =DC ,可能A ,B ,C ,D 四点共线,故C 不对.两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故D 也不对.3.D解析:提示:设OC =(x ,y ),OA =(3,1),OB =(-1,3),α OA =(3α,α),β OB =(-β,3β),又αOA +β OB =(3α-β,α+3β),∴ (x ,y )=(3α-β,α+3β),∴⎩⎨⎧βαβα33+=-=y x ,又α+β=1,由此得到答案为D .4.B解析:∵(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,∴(a -2b )·a =a 2-2a ·b =0,(b -2a )·b =b 2-2a ·b =0,∴ a 2=b 2,即|a |=|b |.∴|a |2=2|a ||b |cos θ=2|a |2cos θ.解得cos θ=21. ∴ a 与b 的夹角是3π. 5.A解析:由平行四边形法则,AB +AD =AC ,又AB +BC =AC ,由 λ的范围和向量数乘的长度,λ∈(0,1).6.D解析:如图,∵AF =DE , ∴ DF =DE +EF =EF +AF .(第6题)(第1题)7.C解析:由(a +2b )·(a -3b )=-72,得a 2-a ·b -6b 2=-72. 而|b |=4,a ·b =|a ||b |cos 60°=2|a |, ∴ |a |2-2|a |-96=-72,解得|a |=6. 8.D解析:由 OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,得OA ·OB =OC ·OA , 即OA ·(OC -OB )=0,故BC ·OA =0,BC ⊥OA ,同理可证AC ⊥OB , ∴ O 是△ABC 的三条高的交点. 9.C解析:∵AD =AB +BC +D C =-8a -2b =2BC ,∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |. ∴ 四边形ABCD 为梯形. 10.D解析:AD 与BC ,AC 与BD ,OA 与OB 方向都不相同,不是相等向量. 二、填空题 11.-32. 解析:A ,B ,C 三点共线等价于AB ,BC 共线,AB =OB -OA =(4,5)-(k ,12)=(4-k ,-7),BC =OC -OB =(-k ,10)-(4,5)=(-k -4,5),又 A ,B ,C 三点共线,∴ 5(4-k )=-7(-k -4),∴ k =-32. 12.-1.解析:∵ M (-1,3),N (1,3), ∴ MN =(2,0),又a =MN ,∴ ⎩⎨⎧0=4-3-2=3+2x x x 解得⎩⎨⎧4=1=-1=-x x x 或∴ x =-1. 13.-25.解析:思路1:∵ AB =3,BC =4,CA =5,∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC =90°,即AB ⊥BC ,∴AB ·BC =0, ∴ AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =BC ·CA +CA ·AB =CA ·(BC +AB ) =-(CA )2 =-2CA =-25.思路2:∵ AB =3,BC =4,CA =5,∴∠ABC =90°, ∴ cos ∠CAB =CA AB=53,cos ∠BCA =CABC=54.根据数积定义,结合图(右图)知AB ·BC =0, BC ·CA =BC ·CA cos ∠ACE =4×5×(-54)=-16, CA ·AB =CA ·AB cos ∠BAD =3×5×(-53)=-9. ∴ AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =0―16―9=-25. 14.323. 解析:a +m b =(3+2m ,4-m ),a -b =(1,5). ∵ (a +m b )⊥(a -b ),∴ (a +m b )·(a -b )=(3+2m )×1+(4-m )×5=0 m =323. 15.答案:重心.解析:如图,以OA ,OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ,则OF =OA +OC ,又 OA +OC =-OB ,∴ OF =2OE =-OB .O 是△ABC 的重心. 16.答案:平行四边形.解析:∵ a +c =b +d ,∴ a -b =d -c ,∴BA =CD . ∴ 四边形ABCD 为平行四边形. 三、解答题 17.λ<-1.解析:设点P 的坐标为(x ,y ),则AP =(x ,y )-(2,3)=(x -2,y -3). AB +λAC =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7) =(3+5λ,1+7λ).∵ AP =AB +λAC ,∴ (x -2,y -3)=(3+5λ,1+7λ). ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内,只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ<-1.18.DF =(47,2). 解析:∵ A (7,8),B (3,5),C (4,3), AB =(-4,-3),AC =(-3,-5).又 D 是BC 的中点, ∴ AD =21(AB +AC )=21(-4-3,-3-5) =21(-7,-8)=(-27,-4). 又 M ,N 分别是AB ,AC 的中点, ∴ F 是AD 的中点, ∴ DF =-FD =-21AD =-21(-27,-4)=(47,2). (第18题)19.证明:设AB =a ,AD =b ,则AF =a +21b ,ED =b -21a . ∴ AF ·ED =(a +21b )·(b -21a )=21b 2-21a 2+43a ·b . 又AB ⊥AD ,且AB =AD ,∴ a 2=b 2,a ·b =0. ∴ AF ·ED =0,∴AF ⊥ED .本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.20.分析:思路1:2a -b =(2cos θ-3,2sin θ+1),∴ |2a -b |2=(2cos θ-3)2+(2sin θ+1)2=8+4sin θ-43cos θ. 又4sin θ-43cos θ=8(sin θcos3π-cos θsin 3π)=8sin (θ-3π),最大值为8, ∴ |2a -b |2的最大值为16,∴|2a -b |的最大值为4.思路2:将向量2a ,b 平移,使它们的起点与原点重合,则|2a -b |表示2a ,b 终点间的距离.|2a |=2,所以2a 的终点是以原点为圆心,2为半径的圆上的动点P ,b 的终点是该圆上的一个定点Q ,由圆的知识可知,|PQ |的最大值为直径的长为4.(第19题)。
高中数学必修二 6 1 平面向量的概念(精练)(含答案)
6.1 平面向量的概念(精练)【题组一向量与数量的区别】1.(2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一月考)给出下列量:①角度;①温度;①海拔;①弹力;①风速;①加速度.其中是向量的有( )A.2个B.2个C.4个D.5个【答案】B【解析】根据题意,在①角度、①温度、①海拔、①弹力、①风速、①加速度中,是向量的有①弹力、①风速、①加速度,有3个,故选:B.2.(2021·浙江·高一课时练习)下列各量中是向量的是( )A.时间B.速度C.面积D.长度【答案】B【解析】既有大小,又有方向的量叫做向量;时间、面积、长度只有大小没有方向,因此不是向量.而速度既有大小,又有方向,因此速度是向量.故选:B.3.(2021·全国·高一课时练习)给出下列物理量:①密度;①路程;①速度;①质量;①功;①位移.下列说法正确的是A.①①①是数量,①①①是向量B.①①①是数量,①①①是向量C.①①是数量,①①①①是向量D.①①①①是数量,①①是向量【答案】D【解析】由物理知识可知,密度,路程,质量,功只有大小,没有方向,因此是数量而速度,位移既有大小又有方向,因此是向量.故选:D4.(2021·上海·高一课时练习)下列各量中,哪些是向量(即矢量),哪些是数量(即标量)?(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度向量:__________;数量:____________.(填写相应编号).【答案】(4)(6) (1)(2)(3)(5)【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量,是数量;推进力、加速度是既有大小又有方向的量,是向量.故答案为:(4)(6);(1)(2)(3)(5).【题组二 向量的几何表示】1.(2021·全国·高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米,逆时针方向转变α度,继续按直线向前行进1米,再逆时针方向转变α度,按直线向前行进1米,按此方法继续操作下去.(1)按1①100比例作图说明当α=45°时,操作几次时赛车的位移为零;(2)按此法操作使赛车能回到出发点,α应满足什么条件?【答案】见解析.【解析】(1)如图所示,操作8次后,赛车的位移为零;(2)要使赛车能回到出发点,只需赛车的位移为零.按(1)的方式作图,则所作图形是内角为180α︒-的正多边形,由多边形的内角和定理可得(180)(2)180n n α︒-=-⋅︒, 解得360nα︒=,且3,*n n N ≥∈.故α应满足的条件为360nα︒=,且3,*n n N≥∈.2.(2021·全国·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B.点C为小正方形的顶点,且5AC=.(1)画出所有的向量AC;(2)求BC的最大值与最小值.【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)画出所有的向量AC,如图所示:(2)由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,|BC|①当点C位于点C5或C6时,|BC|所以|BC|3(2021·全国·高一课时练习)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上,已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b,使=b a;(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.【解析】(1)根据相等向量的定义,所作向量b应与a同向,且长度相等,如下图所示.(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c,所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心,2为半径的圆,如下图所示.4.(2021·江苏·高一课时练习)在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b,使b a=;c=,并说出向量c的终点的轨迹是什么?(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使5【答案】(1)作图见解析;(2)向量c的终点的轨迹是以A.【解析】(1)由题意,B为起点画一个向量b,使b a=,如图所示.c=,则向量c的终点表示以A(2)因为5【题组三向量相关概念的辨析】1.(2021·湖南·武广实验高级中学高一期末)下列四个命题正确的是( )A.两个单位向量一定相等B.若a与b不共线,则a与b都是非零向量C.共线的单位向量必相等D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】两个单位向量一定相等错误,可能方向不同;若a与b不共线,则a与b都是非零向量正确,原因是零向量与任意向量共线;共线的单位向量必相等错误,可能是相反向量;两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误,原因是向量可以平移.故选:B.2.(2021·全国·高一课时练习)下列关于向量的描述正确的是A .若向量a ,b 都是单位向量,则a b =B .若向量a ,b 都是单位向量,则1a b ⋅=C .任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D .平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A :向量包括长度和方向,单位向量的长度相同均为1,方向不定,故向量a 和b 不一定相同,故选项A 错误;对于选项B :因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=,由[]cos 1,1θ∈-知,1a b ⋅=不一定成立,故选项B 错误; 对于选项C :任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量,故选项C 错误;对于选项D :因为所有单位向量的模为1,且共起点,所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上,故选项D 正确;故选:D.3.(2021·广西·田东中学)下列命题中,正确的个数是( ) ①单位向量都相等;①模相等的两个平行向量是相等向量;①若a →,b →满足a b →→>且a →与b →同向,则a b →→>; ①若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;①若a →①,b b →→①c →,则b →①c →.A .0个B .1个C .2个D .3个 【答案】A【解析】对于①,单位向量的模长相等,但方向不一定相同,故①错误;对于①,模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故①错误;对于①,向量是有方向的量,不能比较大小,故①错误;对于①,向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故①错误;对于①,0b →→=时,若a b b c →→→→∥,∥,则a →与c →不一定平行.综上,以上正确的命题个数是0.故选:A.4.(2021·全国·高一课时练习)下列说法中,正确的个数是( )①时间、摩擦力、重力都是向量;①向量的模是一个正实数;①相等向量一定是平行向量;①向量a→与b→不共线,则a→与b→都是非零向量( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①时间没有方向,不是向量,摩擦力,重力都是向量,故①错误;①零向量的模为零,故①错;①相等向量的方向相同,模相等,所以一定是平行向量,故①正确;①零向量与任意向量都共线,因此若向量a→与b→不共线,则a→与b→都是非零向量,即①正确.故选:B.5.(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段①零向量是没有方向的向量①零向量的方向是任意的①任何向量的模都是正实数A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式,但不能把两者等同起来,故①错;零向量有方向,其方向是任意的,故①错,①正确;零向量的模等于0,故①错.故选:B.6.(2021·江苏·高一)下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;①向量的大小与方向有关;①任意两个零向量方向相同;①模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;①向量不能比较大小,故①错误;①由零向量方向的任意性知①错误;①向量相等是向量模相等,且方向相同,故①错误.故选:A.7.(2021·全国·高一课时练习)下列说法中,正确的是( )①长度为0的向量都是零向量;①零向量的方向都是相同的;①单位向量都是同方向;①任意向量与零向量都共线.A.①①B.①①C.①①D.①①【答案】D【解析】①长度为0的向量都是零向量,正确;①零向量的方向任意,故错误;①单位向量只是模长都为1的向量,方向不一定相同,故错误;①任意向量与零向量都共线,正确;故选:D8.(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数有( )①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;①单位向量都相等;①任一向量与它的相反向量不相等;①共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.A.0B.1C.2D.3【答案】AAB CD,或A,B,C,D在同条直线上,故①错误;【解析】对于①,若向向量AB与CD是共线向量,则//对于①,因为单位向量的模相等,但是它们的方向不一定相同,所以单位向量不一定相等,故①错误;对于①,相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量,而零向量的相反向量是零向量,因为零向量的方向是不确定的,可以是任意方向,所以相等,故①错误;对于①,比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同,则终点相同,故①错误.故选:A.【题组四相等向量与平行向量】1.(2021·全国·高一课时练习)下图中与向量a相等的向量是( )A.b,c,e,f B.c,f C.f D.c【答案】D【解析】由相等向量的定义可知:两个向量的长度要相等,方向要相同,结合图形可知c满足条件,故选:D2.(2021·全国·高一课时练习)如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,图中与CA共线的向量有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】由图可知,根据正六边形的性质,与CA共线的有AC,DF,FD,共3个,故选:C.3.(2021·全国·高一课时练习)如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:①AE AB AD CD CB DE,,,,,都是单位向量;①AB①DE DE,①DC①与AB相等的向量有3个;①与AE共线的向量有3个;①与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE CD BA,,.其中正确的是____.(填序号)【答案】①①①①【解析】①由两菱形的边长都为1,故①正确;①正确;①与AB 相等的向量是ED DC ,,故①错误;①与AE 共线的向量是EA BD DB ,,,故①正确;①正确.故答案为:①①①①4.(2021·上海·高一课时练习)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3AB =,2AD =,11AA =,以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有______个;(2)______;(3)与AB 相等的向量有______;(4)1AA 的相反向量有______.【答案】8 1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB 11A B 、DC 、11DC 1A A 、1B B 、1C C 、1D D【解析】(1)由图可知,11111AA BB CC DD ====,所以单位向量有428⨯=个;(2)由图可知,1111A D AD BC BC ====1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ;(3)由图可知,1111AB DC A B D C ===,所以与AB 相等的向量有:11A B 、DC 、11DC ;(4)由图可知,11111AA BB CC DD ====,所以1AA 的相反向量有:1A A 、1B B 、1C C 、1D D ; 故答案为:8;1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ;11A B 、DC 、11DC ;1A A 、1B B 、1C C 、1D D .5.(2021·全国·高一课时练习)O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED ,OCFB 都是正方形,在如图所示的向量中:(1)分别找出与AO ,BO 相等的向量;(2)找出与AO 共线的向量;(3)找出与AO 模相等的向量;(4)向量AO 与CO 是否相等?【答案】(1)AO BF =,BO AE =;(2)BF ,CO ,DE ;(3)CO ,DO ,BO ,BF ,CF ,CO ,DE ;(4)不相等.【解析】因为O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED ,OCFB 都是正方形, 所以OA AE OD DE OC CF BF BO =======,AB CD BC AD ===;(1)由题中图形可得:AO BF =,BO AE =;(2)由图形可得,与AO 共线的向量有:BF ,CO ,DE ;(3)与AO 模相等的向量有:CO ,DO ,BO ,BF ,CF ,CO ,DE ;(4)向量AO 与CO 不相等,因为它们的方向不相同.6.(2021·全国·高一课时练习)如图所示,O 是正六边形ABCDEF 的中心,且OA =a ,OB =b ,OC =c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些?(2)与a 共线的向量有哪些?(3)请一一列出与a ,b ,c .相等的向量.【答案】(1)OD ,BC ,AO ,FE .(2)EF ,BC ,OD ,FE ,CB ,DO ,AO ,DA ,AD .(3)与a 相等的向量有EF ,DO ,CB ;与b 相等的向量有DC ,EO ,FA ;与c 相等的向量有FO ,ED ,AB .【解析】(1)因为正六边形中各线段长度都相等,且方向相反的有:OD,BC,AO,FE.(2)由共线向量定理得:EF,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD.与a共线.(3)由相等向量的定义得:与a相等的向量有EF,DO,CB;与b相等的向量有DC,EO,FA;与c 相等的向量有FO,ED,AB.。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是;【答案】【解析】略2.已知平面向量,且∥,则()A.-3B.-9C.9D.1【答案】B【解析】由两向量平行坐标间的关系可知【考点】向量平行的性质3.(12分)已知向量,令且的周期为.(1)求函数的解析式;(2)若时,求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【解析】(1)本题考察的是求函数解析式,本题中根据平面向量的数量积,再结合辅助角公式进行化简,又的周期为,可以求出从而求出的解析式.(2)本题考察的是求参数的取值范围问题,本题中根据所给的定义域求出的值域,再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围.试题解析:(1)∵的周期为∴(2),则【考点】(1)辅助角公式(2)三角函数的值域4.在边长为的正三角形中,设,,若,则的值为A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知可得:D为BC中点,,又因为在边长为的正三角形中,所以,故解得,故选择D【考点】平面向量的线性运算5.若向量满足:,,,则 .【答案】【解析】【考点】向量垂直与向量的坐标运算6.设,向量,,且,∥,则______________.【答案】【解析】因为,∥,所以有即,,所以【考点】向量坐标运算7.向量a=,b=,则A.a∥bB.C.a与b的夹角为60°D.a与b的夹角为30°【答案】B【解析】根据两向量平行坐标表示公式“”可得A错误;根据两向量垂直的坐标表示公式“”可得B正确;根据B可知两向量夹角为,所以C,D错误,故选择B【考点】向量线性关系8.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,故选择A【考点】向量的加减法运算9.设是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【答案】D【解析】,,,,则动点的轨迹一定通过的垂心.故C正确.【考点】1向量的加减法;2数量积;3向量垂直.10.已知向量则x=【答案】6【解析】由题意可得,解得.【考点】向量共线.11.(2015秋•友谊县校级期末)已知△ABC和点M满足+=﹣,若存在实数m使得m+m=成立,则m等于()A.B.2C.D.3【答案】C【解析】作出图象,由向量加法的平行四边形法则可知M是△ABC的重心,故,代入m+m=可解出m.解:以MB,MC为邻边作平行四边形MBEC,连结ME交BC于D,如图.则,∵+=﹣,∴M在线段AD上,且|MA|=2|MD|,∵D是BC中点,∴=2=3,∵m+m=,∴3m=,∴m=.故选C.【考点】平面向量的基本定理及其意义.12.已知点(1)求证:恒为锐角;(2)若四边形为菱形,求的值【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】(1)只需证明且三点不在一条直线上即可;(2)利用菱形的定义可求得坐标,进而求出所求的值.试题解析:(1)∵点∴∴.若A,P,B三点在一条直线上,则,得到,此方程无解,∴∴∠APB恒为锐角.(2)∵四边形ABPQ为菱形,∴,即,化简得到解得设Q(a,b),∵,∴,∴【考点】平面向量数量积的运算13.如图所示,是的边上的中点,则向量= (填写正确的序号).①,②,③,④【答案】①【解析】.故选A.【考点】向量的线性运算.【名师】在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.14. O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若(﹣)•(+﹣2)=0,则△ABC是()A.以AB为底边的等腰三角形B.以AB为斜边的直角三角形C.以AC为底边的等腰三角形D.以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简,两边同时加上,根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案.解:∵(﹣)•(+﹣2)=0,∴+﹣2=+﹣2.即﹣2=﹣2.两边同时加,得()2=()2,即AB2=BC2.∴AB=BC.∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形.故选:C.【考点】平面向量数量积的运算.15.已知,,,则=()A.﹣8B.﹣10C.10D.8【答案】B【解析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出.解:,,,∴=+|+2=16+25+2=21,∴=﹣10,故选:B.【考点】平面向量数量积的运算.16.已知||=1,||=2,∠AOB=150°,点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°,设=m+n,则=()A.B.2C.D.1【答案】B【解析】可画出图形,由可得到,根据条件进行数量积的运算便可得到,从而便可得出关于m,n的等式,从而可以求出.解:如图,由的两边分别乘以得:;∴;∴得:;∴;∴.故选:B.【考点】向量在几何中的应用.17.已知正方形的边长为2,点是边上的中点,则的值为()A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】以为原点,所在直线为轴建立直角坐标系,则,.【考点】向量数量积的坐标表示.18.=(2,3),=(﹣3,5),则在方向上的投影为.【答案】【解析】由已知向量的坐标求出与,代入投影公式得答案.解:∵=(2,3),=(﹣3,5),∴,,则=.故答案为:.【考点】平面向量数量积的运算.19.已知向量,满足||=1,||=2,与的夹角为120°.(1) 求及+;(2)设向量+与-的夹角为θ,求cosθ的值.【答案】(1);;(2).【解析】(1)根据向量的数量积的运算公式;以及;(2)根据公式,根据数量积公式,再根据公式试题解析:解析:(1)=||||cos 120°θ=1×2×(-)=-1,所以|+|2=(+)2=2+2+2=12+22+2×(-1)=3.所以|+|=(2)同理可求得|-|=.因为(+)(-)=2-2=12-22=-3,所以cosθ===-.所以向量+与-的夹角的余弦值为-.【考点】向量数量积20.(1)在直角坐标系中,已知三点,当为何值时,向量与共线?(2)在直角坐标系中,已知为坐标原点,,,当为何值时,向量与垂直?【答案】(1);(2).【解析】首先根据向量减法的线性运算得到向量与的坐标,当与共线时坐标交叉积的差等于零,当与垂直是数量积等于零,从而列出的方程,即可求得满足条件的的值.试题解析:(1)∵,又向量与共线,∴,解得(2),当向量与垂直时,,即,解得【考点】向量的线性运算及平行与垂直的坐标表示.21.已知a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则一定有()A.a=b B.a∥b,且a,b方向相同C.a=-b D.a∥b,且a,b方向相反【答案】B【解析】根据向量加法的几何意义, a,b方向相同,方向相同即是共线向量.【考点】向量加法的几何意义.22.已知向量.(1)若点三点共线,求的值;(2)若为直角三角形,且为直角,求的值.【答案】(Ⅰ)-19;(Ⅱ)1.【解析】(Ⅰ)根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得;(Ⅱ)根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.试题解析:解:(Ⅰ)∴,.(Ⅱ),则,∴,【考点】向量的减法运算;向量平行和垂直的充要条件.23.平面内有一个和一点,线段的中点分别为的中点分别为,设.(1)试用表示向量;(2)证明线段交于一点且互相平分.【答案】(1),,;(2)证明见解析.【解析】(1)根据向量的加法、数乘的几何意义,以及向量加法的平行四边形法则,并进行向量的数乘运算便可得到,从而同理可以用分别表示出;(2)设线段、的中点分别为,用分别表示出,从而可得,即证得线段交于一点且互相平分.试题解析:(1),.(2)证明:设线段的中点为,则,设中点分别为,同理:,,∴,即其交于一点且互相平分.【考点】1、向量的三角形法则;2、向量的线性运算.【方法点睛】本题考查向量加法、数乘的几何意义,向量加法的平行四边形法则,以及向量的数乘运算,三角形中位线的性质,平行四边形的判定,平行四边形的对角线相交于一点且互相平分,考查学生逻辑推理能力,属于中档题.另一种解法:(1);同理,;(2)证明:如图,连接,则,且,,且,∴,且,∴四边形为平行四边形,∴线段交于一点且互相平分,同理,线段交于一点且互相平分,∴线段交于一点且互相平分.24.已知是两个非零向量,当的模取最小值时.①求的值;②已知与共线且同向,求证:与垂直.【答案】①;②证明见解析.【解析】(1)设出两个向量的夹角,表示出两个向量的模长,对于模长形式,通常两边平方,得到与已知条件有关的运算,整理成平方形式,当底数为零时,结果最小;(2)本题要证明两个向量垂直,这种问题一般通过向量的数量积为零来证明,求两个向量数量积,根据上一问做出的结果,代入数量积的式子,合并同类项,得到数量积为零.得到垂直.试题解析:①令,则.当时,.②证明:与共线且同向,,,,.【考点】(1)向量的模;(2)数量积判断两个向量的垂直关系.【方法点晴】本题主要考查模长形式,通常两边平方以及证明两个向量垂直,这种问题一般通过向量的数量积为零来证明,因为在本题中主要是数学符号的运算,所以对学生的运算能力要求较高,属于难题.启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质.25.已知,在方向上的投影为,则()A.3B.C.2D.【答案】B【解析】由在方向上的投影为,则,所以,故选B.【考点】向量的数量积及向量的投影的应用.26.给出下列命题:(1)若,则;(2)向量不可以比较大小;(3)若则;(4).其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由题意得,(1)中,例如,此时,但,所以不正确;(2)中,向量是既有大小又有方向的量,所示向量不能比较大小,所以(2)是正确的;(3)中,根据相等向量的概念,可得“若则”是正确的;(4)中,由,则是成立的,但由,则与是相等向量或相反向量,所以不正确,综上所述,正确命题的个数为个,故选B.【考点】向量的基本概念.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本的概念——向量的模、相等向量、向量的概念、共线向量及相反向量的概念,其中牢记平面向量的基本概念是判断此类问题的关键,试题很容易出错,属于易错题,本题的解答中,(4)中,,容易忽视相反向量的概念,造成错解,应牢记向量是既有大小又有方向的量这一基本概念,防止出错.27.已知向量,若,则=()A.B.C.D.【答案】A【解析】,.故选A.【考点】数量积的坐标运算.28.已知向量,.(1)若四边形ABCD是平行四边形,求的值;(2)若为等腰直角三角形,且为直角,求的值.【答案】(1);(2)或.【解析】(1)根据四边形为平行四边形,利用,即可求解的值;(2)利用为等腰直角三角形,且为直角,则且,列出方程,即可求解的值.试题解析:(1),,由得x=-2,y=-5.(2),若为直角,则,∴,又,∴,再由,解得或.【考点】向量的运算及向量的垂直关系的应用.29.(1)已知,,且与的夹角为60°,求的值;(2)在矩形中,,点为的中点,点在边上,若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用向量模的平方等于向量的平方,即可化简,即可求解的值;(2)设,利用,求得的值,又由,,即可运算的值.试题解析:(1) =169,得;(2)矩形ABCD中,∵点F在边CD上,∴设,,本小题也可建坐标系,用平面向量坐标运算解决.【考点】向量的模的计算及向量数量积的运算.30.已知三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为,若,则 =()A.B.C.D.【答案】C【解析】【考点】向量的坐标运算31.已知向量与的夹角为,||=2,||=3,记,(1)若,求实数k的值。
高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)
高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)一.单选题(共10小题,每题5分,共50分)1.设,是两个非零向量,下列说法正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则存在实数,使得D.若存在实数,使得,则2.如图,在平行四边形中,分别是的中点,则图中所示的向量中与平行的有()A.个B.个C.个D.个3.下列说法中正确的是()A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的4.数轴上点分别对应则向量的长度是()A. B. C. D.5.已知向量与的方向相反,且,若点的坐标为,则点的坐标为()A. B. C., D.6.已知为两个单位向量,则下列叙述正确的是()A.B.若,则C.或D.若,,则7.已知点,,,,则与向量同向的单位向量为()A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为,准线为是上一点是直线与抛物线的一个交点,若,则()A. B. C. D.9.下列结论中正确的是()若且,则;若,则且;若与方向相同且,则;若,则与方向相反且.A. B. C. D.10.已知直线经过点和点,则直线的单位方向向量为()A.,B.C.D.二.填空题(共10小题,每题5分,共50分)11.已知向量,,若与方向相反,则等于.12.若向量满足,则.13.等腰直角中,点是斜边边上一点,若,则的面积为.14.在中,,是的中点,,则,.15.在中,内角所对的边分别为则.16.在中,内角的对边分别是若则.17.在中,,是中点,,试用表示为,若,则的最大值为.18.如图,已知在矩形中设则.19.已知向量满足则.20.已知向量与的夹角为则.三.解答题(共5小题,每题10分,共50分)21.已知与的夹角为.(1)若求;(2)若与垂直,求.22.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系是曲线:上任一点,点满足.设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)已知曲线向上平移个单位后得到曲线设曲线与直线:为参数)相交于两点,求的值.23.已知向量向量函数.(1)当时,求函数的最小正周期和单调递减区间;(2)若函数在区间的最大值为,求函数在的最小值.24.已知的内角满足.(1)求角;(2)若的外接圆半径为求的面积的最大值.25.在中,内角的对边分别为且.(1)求角的大小;(2)若且外接圆的半参考答案一、选择题第1题第2题故选C第3题单位向量的方向是任意的,所以当两个单位向量的起点相同时,其终点在以起点为圆心的单位圆上,终点不一定相同,所以选项A不正确;向量与向量方向相反,长度相等,所以选项B正确;向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线段,所以选项C不正确;规定零向量的方向任意,而不是没有方向,所以选项D不正确.故选B.第4题第5题故选A 第6题故选D第7题故选A第8题故选B第9题选B第10题二、填空题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第18题第20题三、解答题第21题第23题第24题第25题。
高三数学平面向量试题答案及解析
高三数学平面向量试题答案及解析1.已知点为的外接圆的圆心,且,则的内角等于( ) A.B.C.D.【答案】A【解析】由得,所以四边形为菱形,因此,即.【考点】1.向量运算;2.三角形外心.2.已知是单位向量,.若向量满足()A.B.C.D.【答案】A;【解析】因为,,做出图形可知,当且仅当与方向相反且时,取到最大值;最大值为;当且仅当与方向相同且时,取到最小值;最小值为.3.已知向量,,则向量在上的正射影的数量为()A.B.C.D.【答案】D【解析】向量在上的正射影的数量为选D.【考点】向量正投影4.设向量,,则向量在向量上的投影为.【答案】-1【解析】由已知向量,,向量在向量上的投影为.【考点】向量的投影.5.已知向量,,若与垂直,则()A.B.C.2D.4【答案】C【解析】因为两向量垂直,所以,即,代入坐标运算:,解得:,所以.【考点】向量数量积的坐标运算6.已知向量满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别是,则对任意,的最小值是.【答案】【解析】设,则,设OA中点为D,则,因此四点A,D,B,C共圆,圆心为AB中点M,直径为AB,从而的最大值和最小值分别是因此【考点】向量几何意义7.已知向量满足,则在方向上的投影为.【答案】【解析】根据,求得,根据投影公式可得在方向上的投影为.【考点】向量在另一个向量方向上的投影.8.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC一定是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】根据题意有,即,从而得到,所以三角形为直角三角形,故选B.【考点】向量的加减运算,向量垂直的条件,三角形形状的判断.9.已知、是不共线的向量,,那么三点共线的充要条件为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为三点共线,所以,所以,故选B.【考点】向量共线的充要条件.10.已知是内的一点,且,,若,和的面积分别为、、,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】利用向量的数量积的运算求得bc的值,利用三角形的面积公式求得x+y的值,进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可.因为,,所以故选B.【考点】平面向量;均值不等式11.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,则a 与b的数量积等于()A.-B.-C.D.【答案】D【解析】由已知可得,因为与平行,所以可得,解得.即..故D正确.【考点】1向量共线;2数量积公式.12.在中,已知,,分别是边上的三等分点,则的值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为、分别是边上的三等分点所以,所以又所以得所以故答案选【考点】1.向量的线性关系;2.向量的数量积.13.如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连结AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F.设,记,则函数的值域是;当面积最大时,.【答案】,【解析】如图,作,交延长线于,则,易证得,所以设,则所以所以由题知,所以故的值域是因为,所以当面积最大时,,即则在中,所以【考点】1.向量的数量积;2.二次函数的最值.14.边长为2的正三角形内(包括三边)有点,,求的取值范围.【答案】.【解析】如下图所示,建立平面直角坐标系,∴,,,,,∴,即点P的轨迹为圆夹在三角形ABC内及其边界的一段圆弧,在中,有,又∵,即的取值范围是.【考点】平面向量数量积.【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查,在解题时运用向量的运算,数量积的几何意义,同时,需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件,常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化,一般会与函数,不等式等几个知识点交汇,或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势.15.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上变动(如图所示).若,其中的取值范围是.【答案】【解析】建立如下图所示直角坐标系,则,,,,,所以,,又因为点在以为圆心、为半径的圆上,且在第一象限,所以点的坐标为,,所以,所以.,,由三角函数的性质可知,函数的值域为,所以的取值范围为.【考点】1.向量的坐标运算;2.圆的参数方程;3.三角函数的性质.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算、圆的参数方程的应用、三角函数的性质、数形结合思想,属难题.平面向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,应先求出向量的坐标,解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)求解进行,并注意方程思想与转化思想的应用.16.已知向量,,若与平行,则的值是 _.【答案】【解析】由题意与平行,则可得到【考点】共线向量17.在中,,D是边BC上一点,(1)求的值;(2)求的值【答案】(1)(2)【解析】(1)在中,已知三边求一角,故应用余弦定理:,解得,(2)因为,而,因此只需求边AB,这可由正弦定理解得:试题解析:在中,由余弦定理得:.把,,代入上式得.因为,所以.在中,由正弦定理得:.故.所以.【考点】正余弦定理【名师】1.正弦定理可以处理①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角.余弦定理可以处理①已知三边,求各角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.其中已知两边及其一边的对角,既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化,从而达到知三求三的目的.18.已知向量,其中,则向量的夹角是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由于,则,即,则,则有,所以向量的夹角是.【考点】平面向量的数量积的运算.19.(2015秋•上海月考)已知||=2,||=1,的夹角为,则= .【答案】1【解析】代入向量数量级定义式计算.解:=||•||cos=2×1×=1.故答案为:1.【考点】平面向量数量积的运算.20.(2015•河南模拟)已知向量=(2,1),=(0,﹣1).若(+λ)⊥,则实数λ=.【答案】5【解析】本题先将向量坐标化,利用两向量垂直得到它们的数量积为零,求出λ的值,得到本题答案.解:∵向量=(2,1),=(0,﹣1),∴.∵(+λ)⊥,∴2×2+1×(1﹣λ)=0,λ=5.故答案为:5.【考点】平面向量数量积的运算.21.已知两定点,,点P在椭圆上,且满足=2,则为()A.-12B.12C.一9D.9【答案】D【解析】由,可得点的轨迹是以两定点,为焦点的双曲线的上支,且∴的轨迹方程为:,由和联立可解得:,则.故选D.【考点】椭圆的简单性质.22.在边长为1的正三角形ABC中,设,则__________.【答案】.【解析】如图:由知点D是BC边的中点,点E是CA边上靠近点C的一个三等分点,.故答案应填:.【考点】向量的数量积.23.在中,则∠C的大小为()A.B.C.D.【答案】B【解析】,解得,所以,故选B.【考点】平面向量数量积的应用.24.已知点P是内一点,且,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】设点M是中点,则点P是一个三等分点,,选C.【考点】向量表示25.知△ABC和点M满足+=-,若存在实数m使得m+m=成立,则m等于()A.B.2C.D.3【答案】C【解析】由,得,知点是的重心,由,由于是的重心,所以,,故选C.【考点】平面向量.26.已知向量,设.(1)求函数的解析式及单调增区间;(2)在中,分别为内角的对边,且,求的面积.【答案】(1),;(2)【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得,由,可解得函数的单调增区间.(Ⅱ)由,可得,结合范围,可得,从而求得,由余弦定理可解得的值,利用三角形面积公式即可得解.试题解析:解:(Ⅰ)由可得所以函数的单调递增区间为,(Ⅱ)由可得【考点】1.余弦定理;2.三角函数中的恒等变换应用.27.在中,,点是线段上的动点,则的最大值为_______.【答案】.【解析】,所以当M,N重合时,,最大,为,又设所以,显然当时,最大为,故的最大值为3.【考点】数量积的应用.28.已知向量若则()A.B.C.2D.4【答案】C【解析】由已知,因为,所以,,所以.故选C.【考点】向量垂直的坐标运算,向量的模.29.已知||=,||=2,若(+)⊥,则与的夹角是.【答案】150°.【解析】根据已知条件即可得到,所以根据进行数量积的运算即可得到3,所以求出cos<>=,从而便求出与的夹角.解:∵;∴=;∴;∴与的夹角为150°.故答案为:150°.【考点】平面向量数量积的运算.30.已知点为内一点,且则________.【答案】【解析】如图,即,又,所以有,则.【考点】向量的运算.【思路点睛】因为有相同的底边,所以只要分别求得顶点的距离或者其比值便可求得面积之比,显然求比值较容易,由三角形相似的性质可知顶点的距离之比等于的比值,所以要结合利用向量的运算求得的比值.31.若非零向量满足,且,则与的夹角为()A.B.C.D.【答案】D【解析】,因为,所以有,其中为与的夹角,将代入前式中,可求得,故本题的正确选项为D.【考点】向量的运算.32.已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立,则m=()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解题时应注意到,则M为△ABC的重心.解:由知,点M为△ABC的重心,设点D为底边BC的中点,则==,所以有,故m=3,故选:B.【考点】向量的加法及其几何意义.33.等腰直角三角形中,是斜边上一点,且,则.【答案】4【解析】因为,而,.所以答案应填:4.【考点】平面向量数量积的运算.【方法点睛】欲求的值的关键是选为一组基底,用表述出,代入数量积进行运算.另一种方法:以为原点,分别以为轴,建立直角坐标系,则,所以,由知,所以.本题考查平面向量的数量积的运算,属于基础题.34.在中,是上的点,若,则实数的值为___________.【答案】【解析】因为,所以,即,所以,又因为三点共线,所以.【考点】1.向量的线性运算;2.向量共线定理.35.如图,在中,为的中点,为上任一点,且,则的最小值为.【答案】9【解析】因为是中点,所以,又在线段上,所以,且,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为9.【考点】平面向量的基本定理,基本不等式.【名师】设点是直线外任一点,,则是三点共线的充要条件.36.在平面直角坐标系中有不共线三点,,.实数满足,则以为起点的向量的终点连线一定过点()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得,,所以.设点在向量的中点连线上,则,所以一点过点,故选C.【考点】向量的坐标运算.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算及平面向量的共线定理的应用,属于中档试题,着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归的思想方法,本题的解答中,根据,设点在向量的中点连线上,利用平面向量的共线定理和平面向量的坐标运算,得到向量的表示,即可到结论.37.四边形中,且,则的最小值为【答案】【解析】通过建立坐标系,设C(a,0),D(0,b),利用数量积的坐标运算得出数量积关于a,b的函数,求出函数的最小值.设AC与BD交点为O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),当时,取得最小值.【考点】平面向量的坐标运算【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.38.已知是两个互相垂直的单位向量,且,则对任意实数,的最小值为____________.【答案】【解析】,建立如图所示的直角坐标系, 取,设.,当且仅当时取等号. 故答案为.【考点】1、向量的几何性质、平面向量的数量积公式;2、利用基本不等式求最值.【易错点晴】本题主要考查向量的几何性质、平面向量的数量积公式以及利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用“或”时等号能否同时成立).39.已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1,(1)求曲线的方程;(2)点的坐标为,若为曲线上的动点,求的最小值(3)设点为轴上异于原点的任意一点,过点作曲线的切线,直线分别与直线及轴交于,以为直径作圆,过点作圆的切线,切点为,试探究:当点在轴上运动(点与原点不重合)时,线段的长度是否发生变化?请证明你的结论【答案】(1);(2)的最小值为2;(3)线段的长度为定值【解析】(1)根据抛物线的定义得出轨迹方程;(2)设,将表示为(或)的函数,根据函数性质求出最小值;(3)设坐标和直线的斜率,根据相切得出的关系,求出坐标得出圆的圆心和半径,利用切线的性质得出的长.试题解析:(1)设为曲线上的任意一点,依题意,点到点的距离与它到直线的距离相等,所以曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,所以曲线的方程为(2)设,则因为,所以当时,有最小值2(3)当点在轴上运动(与原点不重合)时,线段的长度不变,证明如下:依题意,直线的斜率存在且不为0,设,代入得,由得将代入直线的方程得,又,故圆心所以圆的半径为当点在轴上运动(点与原点不重合)时,线段的长度不变,为定值【考点】抛物线的定义及其标准方程,向量的数量积运算,直线与圆锥曲线的关系40.平面向量与的夹角为60°,,则等于()A.B.4C.12D.16【解析】,因此,选A.【考点】向量的模41.已知向量,则a与b夹角的大小为_________.【答案】【解析】两向量夹角为,又两个向量夹角范围是,所以夹角为.【考点】向量数量积与夹角公式【名师】由向量数量积的定义(为,的夹角)可知,数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一,再考虑到数量积还可以用坐标表示,因此又可以借助坐标进行运算.当然,无论怎样变化,其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高,应熟练掌握其解法.42.已知向量,且,则m=A.−8B.−6C.6D.8【答案】D【解析】,由得,解得,故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师】已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2):|a|=|a|=cos θ=cos θ=a·b=0x x+y y=043.在中,点M是边BC的中点.若,则的最小值是____.【答案】【解析】设,由,即有,得,点是的中点,则,.当且仅当取得最小值,且为.则的最小值为,故答案为:.【考点】平面向量数量积的运算.44.已知向量,,则()A.2B.-2C.-3D.4【解析】因,故,应选A。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题1.如图,B 是AC 的中点,2BE OB =,P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点,且(),OP xOA yOB x y R =+∈,则下列结论正确的个数为( )①当0x =时,[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时,12x =-,52y =③若x y +为定值1,则在平面直角坐标系中,点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A .1 B .2C .3D .42.若平面向量与的夹角为,,,则向量的模为( ) A .B .C .D .3.若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量,则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为( ) A .30B .60︒C .90︒D .120︒4.在AOB ∆中,0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上,点E 位于线段OD 上,若34OE EA ⋅=,则向量EA 在向量OD 上的投影为( ) A .12或32B .1C .1或12D .325.已知1a ,2a ,1b ,2b ,()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量,121a a-=,且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅,{}1,2i j a b -∈,则k 最大值为( ) A .3B .4C .5D .66.在矩形ABCD 中,|AB |=6,|AD |=3.若点M 是CD 的中点,点N 是BC 的三等分点,且BN =13BC ,则AM ·MN =( ) A .6B .4C .3D .27.已知正方形ABCD 的边长为2,EF 为该正方形内切圆的直径,P 在ABCD 的四边上运动,则PE PF ⋅的最大值为( )A B .1C .2D .8.已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ,且a 在b ,则实数m =( )A .2±B .2C .5±D 9.已知两个非零向量a ,b 的夹角为23π,且=2a b -,则·ab 的取值范围是( ) A .2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B .[)2,0-C .2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .[)1,0-10.在直角梯形ABCD 中,0AD AB ⋅=,30B ∠=︒,AB =,2BC =,13BE BC =,则( )A .1163AE AB AD =+ B .1263AE AB AD =+ C .5163AE AB AD =+ D .5166AE AB AD =+ 11.已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=,且a b c <<,则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是( ) A .a b ⋅B .a c ⋅C .b c ⋅D .不能确定12.已知ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量(,)m a b b c =++,(,)n c b a =-,若//m n ,则C =( )A .56πB .23π C .3π D .6π 二、填空题13.已知平面向量a ,b ,c ,d 满足1a b ==,2c =,0a b ⋅=,1c d -=,则2a b d ++的取值范围为______.14.已知向量1e ,2e 是平面α内的一组基向量,O 为α内的定点,对于α内任意一点P ,当12OP xe ye =+时,则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标,若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ,对于下列命题: ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭;② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =; ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________(请写出所有真命题的序号)15.如图,在Rt ABC ∆中,2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒,G 是ABC ∆的重心,则GB GC ⋅=__________.16.在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==,2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-,动点,P M 满足1AP PM MC ==,则2BM 的最大值为________.17.如图,设圆M 的半径为2,点C 是圆M 上的定点,A ,B 是圆M 上的两个动点,则CA CB ⋅的最小值是________.18.如图,在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒,E F 、分别是边AB AC 、上的点,且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=,若线段EF BC 、的中点分别为M N 、,则MN 的最小值是_____.19.已知O 为ABC 内一点,且满足305OA OB OC =++,延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=,则λ=_____.20.已知平面向量a ,b 满足3a b +=,3a b -=,则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21.平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. (1)求32a b c +-;(2)求满足a mb nc =+的实数m 和n ; (3)若()(2)a kc b a +⊥-,求实数k . 22.已知向量a 与b 的夹角为3π,且1a =,2b =. (1)求a b +;(2)求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23.已知向量,a b 满足:16,()2a b a b a ==⋅-=,. (1)求向量a 与b 的夹角; (2)求2a b -.24.如图,正六边形ABCDEF 的边长为1.M ,N 分别是BC ,DE 上的动点,且满足BM DN =.(1)若M ,N 分别是BC ,DE 的中点,求AM AN ⋅的值; (2)求AM AN ⋅的取值范围.25.已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26.在ABC 中,D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点,E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点,4DF FE =,设AB m =,BC n =. (1)用m ,n 表示AF ;(2)设G 是线段BC 上一点,且使//EG AF ,求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错,③正确;利用向量的运算法则求出OP ,求出x ,y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时,OP yOB =,则P 在线段BE 上,故13y ≤≤,故①错 当P 是线段CE 的中点时,13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+,故②对x y +为定值1时,A ,B ,P 三点共线,又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点,故P 的轨迹是线段,故③对如图,过P 作//PM AO ,交OE 于M ,作//PN OE ,交AO 的延长线于N , 则:OP ON OM =+;又OP xOA yOB =+;0x ∴≤,1y ≥;由图形看出,当P 与B 重合时:01OP OA OB =⋅+⋅;此时x 取最大值0,y 取最小值1;所以x y -取最大值1-,故④正确 所以选项②③④正确. 故选:C 【点睛】结论点睛:若OC xOA yOB =+,则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2.C解析:C 【解析】,,又,,则,故选3.B解析:B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模,利用数量积公式求之. 【详解】 由已知,1212e e ⋅=,所以(()1212)2e e e e +-+=32,|12e e +3,|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α,则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一:·cos ,ab a b a b=,方法二:设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,θ为向量a 与b 的夹角,则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4.A解析:A 【解析】Rt AOB 中,0OA OB ⋅=,∴2AOB π∠=,∵5OA =,25OB =,∴225AB OA OB += , ∵AB 边上的高线为OD ,点E 位于线段OD 上,建立平面直角坐标系,如图所示; 则)5,0A、(025B ,、设(),D m n ,则OAD BAO ∽,∴OA ADAB OA=, ∴1AD =,∴15AD AB =, 即()(155,255m n =-,,求得45m =, ∴4525D ⎝⎭;则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭;∵34OE EA ⋅=, ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭, 解得34λ=或14λ=;∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭, 当34λ=时,5512ED ⎛== ⎝⎭;当14λ=时,353532ED ==⎝⎭. 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32,故选A.5.D解析:D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化,转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示,设11OA a =,22OA a =,此时121A A =,由题意可知:对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅,{}1,2i j a b -∈, 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2,且2j A B 等于1或2, 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心,半径为1或2的圆上,由图可知共有6个交点满足条件,故k 的最大值为6.故选:D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6.C解析:C 【分析】根据向量的运算法则,求得12AM AD AB =+,2132MN AD AB =-+,再结合向量的数量积的运算公式,即可求解. 【详解】由题意,作出图形,如图所示:由图及题意,根据向量的运算法则,可得12AM AD DM AD AB =+=+, 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+,所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C .【点睛】本题主要考查了向量的运算法则,以及平面向量的数量积的运算,其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键,着重考查推理与运算能力.7.B解析:B 【分析】作出图形,利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-,求得OP 的最大值,由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示:由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1,设该内切圆的圆心为O ,()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-,由图象可知,当点P 为ABCD 的顶点时,2OP 取得最大值2,所以PE PF ⋅的最大值为1.故选:B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算,考查计算能力,属于中等题.8.A解析:A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,结合||cos a θ=,列出等式,即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==,22(0,)a a b b m =+-=,所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,若向量,a b 的夹角为θ,则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=, 所以42516160m m --=,即()()225440m m +-=,解得2m =±. 故选:A . 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是||||cos a b a b θ⋅=,二是1212a b x x y y ⋅=+,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角,cos ||||a ba b θ⋅=⋅(此时a b ⋅往往用坐标形式求解);(2)求投影,a 在b 上的投影是||a bb ⋅;(3),a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb +的模(平方后需求a b ⋅). 9.C解析:C 【分析】对=2a b -两边平方后,结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得:224a b b +⋅+=;由基本不等式可得222a b a b +⋅,于是推出403a b<⋅,再结合平面向量数量积即可得解. 【详解】因为2a b -=,所以 2224a a b b -⋅+=,所以2222cos 43b b a a π-⋅+=,即224a a b b +⋅+=, 由基本不等式的性质可知,222a ba b +⋅,403a b∴<⋅, 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭. 故选:C . 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算,考查利用基本不等式求最值,难度一般.对于平面向量的模长问题,一般采用平方处理,然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可.10.C解析:C 【分析】先根据题意得1AD =,CD =2AB DC =,再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =,CD =所以2AB DC =, 又13BE BC =, 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选:C. 【点睛】本题考查用基底表示向量,考查运算能力,是基础题.11.C解析:C 【分析】由0a b c ++=,可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+,利用||||||a b c <<,即可比较. 【详解】解:由0a b c ++=,可得()c a b =-+,平方可得2222()a b c a b =-+. 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+,||||||a b c <<,∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c . 故选:C . 【点睛】本题考查了向量的数量积运算,属于中档题.12.B解析:B 【分析】由//m n ,可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理,可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-,且//m n ,()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=,整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选:B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理,属于基础题.二、填空题13.【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析:3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解.不妨设()1,0a =,()0,1b =,(),c x y =,则(,)C x y 在圆心在原点,半径为2的圆上,设(),d x y '=',则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上,C 运动后,D 形成的轨迹是圆心在原点,大圆半径为3,小圆半径为1的圆环,2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离,由图形可得最大值和最小值.【详解】令()1,0a =,()0,1b =,(),c x y =,设C 的坐标为(),x y ,C 的轨迹为圆心在原点,半径为2的圆上.设(),d x y '=',D 的坐标为(),x y '',D 的轨迹为圆心在原点,大圆半径为3,小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离,由图可知,故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为:0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义,考查模的最值,解题关键是设()1,0a =,()0,1b =,(),c x y =,(),d x y '=',固定,a b 后得出了,C D 的轨迹,然后由模2a b d ++的几何意义得出最值.14.①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=()=中点的广义坐标为故①正确对于②∵(x2﹣x1)A 两点间的距离为解析:①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ,1112OA x e y e ∴=+,2122OB x e y e =+,利用向量的运算公式分别计算①②③④,得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ,1112OA x e y e ∴=+,2122OB x e y e =+,对于①,线段A 、B 的中点设为M ,根据OM =12(OA OB +)=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②,∵AB =(x 2﹣x 1)()1212e y y e +-,∴A 、B 12e ,故②不一定正确.对于③,向量OA 平行于向量OB ,则t OA OB =,即(11,x y )=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=,故③正确.对于④,向量OA 垂直于向量OB ,则OA OB =0,221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=(),故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.【解析】分析:建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解:建立如图所示的平面直角坐标系则:由中心坐标公式可得:即据此有:结合平面向量数量积的坐标运算法则可得:点睛:求 解析:209-【解析】分析:建立平面直角坐标系,结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解:建立如图所示的平面直角坐标系,则:()0,2A ,()0,0B ,()C ,由中心坐标公式可得:2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭,即23G ⎫⎪⎭, 据此有:233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,4233GC ⎛⎫=-⎪⎭, 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得:222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.16.【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析:494【分析】由DA DB DC ==,可得D 为ABC ∆的外心,又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅,可得D 为ABC ∆的垂心,则D 为ABC ∆的中心,即ABC ∆为正三角形.运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长,以A 为坐标原点,AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ,求得,B C 的坐标,再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<,由中点坐标公式可得M 的坐标,运用两点的距离公式可得BM 的长,运用三角函数的恒等变换公式,结合正弦函数的值域,即可得到最大值. 【详解】解: 由DA DB DC ==,可得D 为ABC ∆的外心, 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅,可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=,即0DB AC DC AB ⋅=⋅=, 即有,DB AC DC AB ⊥⊥,可得D 为ABC ∆的垂心, 则D 为ABC ∆的中心,即ABC ∆为正三角形, 由2DA DB ⋅=-,即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-, 解得||2DA =,ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点,AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy , 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-, 由||1AP =,可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<,由PM MC =,可得M 为PC 中点,即有3cos 3sin (2M θθ++,则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=,当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭,即23πθ=时,取得最大值,且为494.故答案为:494.【点睛】本题考查向量的定义和性质,以及模的最值的求法,注意运用坐标法,转化为三角函数的最值的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.17.【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析:2-【分析】延长BC,作圆M的切线,设切点为A1,切线与BD的交点D,结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时,CA在CB上的投影最小,设CP x=,将结果表示为关于x的二次函数,求出最值即可.【详解】如图,延长BC,作圆M的切线,设切点为A1,切线与BD的交点D,由数量积的几何意义,CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积,当点A运动到A1时,CA在CB上的投影最小;设BC中点P,连MP,MA1,则四边形MPDA1为矩形;设CP=x,则CD=2-x,CB=2x,CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--,[]02x∈,,所以当1x =时,CA CB ⋅最小,最小值为2-, 故答案为:2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义,考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力,属于中档题.18.【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析:77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19.【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为:【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析:53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+,结合BD DC λ=,得到111AD AB AC λλλ=+++,设AO k AD =,列出关于,k λ的方程组,由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++,所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=,所以935AO AB AC =+,即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=,即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++, 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++,所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,解得53λ=.故答案为:53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理,考查平面向量的线性运算,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.20.【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为:【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析:0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知,得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①,由+①②,得226a b+=,由不等式可知3a b ≤,再由-①②,得32a b⋅=,最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=,3a b-=,得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩,即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②,得226a b+=,即226a b+=由-①②,得32a b⋅=由222a b a b +≥,得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以,0,3a b π≤≤.故答案为:0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算,考查了向量的夹角公式和基本不等式,考查了计算能力,属于中档题.三、解答题21.(1)6;(2)58,99m n ==;(3)1118k =-.【分析】(1)利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=,再求模长即可;(2)先写mb nc +的坐标,再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组,解方程组即得结果;(3)利用向量垂直则数量积为零,再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解:(1)由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=,得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=,∴23206a b c +-=+=;(2)()(),2,4,mb m m nc n n =-=, ∴()4,2mb nc n m m n +=-+,a mb nc =+,∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+,故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩,解得58,99m n ==;(3)(3,2),(4,)a kc k k ==,∴()34,2a kc k k +=++,(3,2),2(2,4)a b ==-,∴()25,2b a -=-,()()2a kc b a +⊥-,∴()()20a kc b a +⋅-=,即()()534220k k -+++=,解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛:若()()1122,,,a x y b x y == ,则//a b 等价于12210x y x y -=;a b ⊥等价于12120x x y y +=.22.(1;(2. 【分析】(1)由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=,平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值.(2)结合(1),根据已知条件,由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】(1)向量a 与b 的夹角为3π,且||1a =,||2b =, ∴||||cos a b a b a ⋅=<,112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=.222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=.(2)设向量a b +与向量a 的夹角θ,22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯. 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式,向量夹角的余弦公式,属于中档题.23.(1)π3;(2) 【分析】(1)设向量a 与b 的夹角θ,利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=,可得向量的夹角;(2)利用向量的模长公式:2a a =,代入计算可得. 【详解】 (1)设向量a 与b 的夹角θ, ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=,解得1cos 2θ=, 又[]0πθ∈,,π3θ∴= (2)由向量的模长公式可得:()222a b a b -=-==. 【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用,向量模长的计算,求向量的模长需要熟记公式2a a =,考查学生的逻辑推理与计算能力,属于基础题.24.(1)118;(2)31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 (1)首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系.求AM ,AN 的坐标,再求数量积;(2)首先利用BM DN =,设BM DN t ==,表示向量AM ,AN ,利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】 (1)如图,以AB 所在直线为x 轴,以A 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为ABCDEF 是边长为1的正六边形,且M ,N 分别是BC ,DE 的中点, 所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,132N ⎛ ⎝, 所以5311848AM AN ⋅=+=. (2)设BM DN t ==,则[]0,1t ∈.所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,(13N t -. 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭. 当0t =时,AM AN ⋅取得最小值1;当1t =时,AM AN ⋅取得最大值32. 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查数量积的坐标表示,重点考查计算能力,属于基础题型.25.(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅,利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到,()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ,再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减,将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象,根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈,求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ,1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π, ∴22T π=, ∴2(0)2ππωω=>, ∴ω=1, 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意,()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 令2,2ππ=+∈x k k Z ,则,42ππ=+∈k x k Z , ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下,依题意,函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点,则112m ≤<, 令2,62x k k Z πππ-=+∈,则,32k x k Z ππ=+∈, ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=,则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数,三角函数的图象和性质及其应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.26.(1)1135AF m n =+(2)310CG CB = 【分析】(1)依题意可得23AD AB =、14AE AC =,再根据DE AE AD =-,AF AD DF =+计算可得;(2)设存在实数λ,使得(01)CG CB λλ=<<,由因为//EG AF ,所以存在实数μ, 使AF EG μ=,再根据向量相等的充要条件得到方程组,解得即可;【详解】解:(1)因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点,所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点,所以14AE AC =, 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =,所以4185515DF DE AC AB ==-, 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =,BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. (2)因为G 是线段BC 上一点,所以存在实数λ,使得(01)CG CB λλ=<<, 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ,所以存在实数μ,使AF EG μ=,即1133[()]3544m n m n μλ+=+-, 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=, 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用,属于中档题.。
平面向量经典练习题(含答案)
平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4),b=(-1,-3),则向量3a-2b的坐标是(8,22)。
2、已知向量a与b的夹角为60°,a=(3,4),|b|=1,则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2),B(2,1),若AP=(3,4),则BP=(-1,-1)。
4、已知A(-1,2),B(1,3),C(2,0),D(x,1),若AB与CD共线,则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为30°。
6、设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是60°。
8、在△ABC中,D为AB边上一点,AD=2DB,CD=3CA+mCB,则m=1.9、已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,a⊥(2a+b),则a与b的夹角是53.13°。
10、在三角形ABC中,已知A(-3,1),B(4,-2),点P(1,-1)在中线AD上,且AP=2PD,则点C的坐标是(6,-3)。
二、选择题1、设向量OA=(6,2),OB=(-2,4),向量OC垂直于向量OB,向量BC平行于OA,若OD+OA=OC,则OD坐标=(11,6)。
2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A',则点A'的坐标(4,2)。
3、已知向量a,b,若a为单位向量,且|a|=|2b|,则(2a+b)⊥(a-2b),则向量a与b的夹角是30°。
4、已知向量ab的夹角60°,|a|=2,b=(-1,√3),则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|2·0C+CD|=4,则|BC+CD|=2.6、略。
7、略。
8、若向量a=(3,4),向量b=(2,1),则a在b方向上的投影为2.9、略。
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题(精)
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题(精)含解析高中数学《平面向量》专题训练30题(精)1.已知向量.(1)若,求x的值;(2)记,求函数y=f(x)的最大值和最小值及对应的x的值.【答案】(1)(2)时,取到最大值3;时,取到最小值.【解析】【分析】(1)根据,利用向量平行的充要条件建立等式,即可求x的值.(2)根据求解求函数y=f(x)解析式,化简,结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值.【详解】解:(1)∵向量.由,可得:,即,∵x∈[0,π]∴.(2)由∵x∈[0,π],∴∴当时,即x=0时f(x)max=3;当,即时.【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.2.已知中,点在线段上,且,延长到,使.设.(1)用表示向量;(2)若向量与共线,求的值.【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)由向量的线性运算,即可得出结果;(2)先由(1)得,再由与共线,设,列出方程组求解即可.【详解】解:(1)为BC的中点,,可得,而(2)由(1)得,与共线,设即,根据平面向量基本定理,得解之得,.【点睛】本题主要考查向量的线性运算,以及平面向量的基本定理,熟记定理即可,属于常考题型.3.(1)已知平面向量、,其中,若,且,求向量的坐标表示;(2)已知平面向量、满足,,与的夹角为,且(+)(),求的值.【答案】(1)或;(2)【解析】【分析】(1)设,根据题意可得出关于实数、的方程组,可求得这两个未知数的值,由此可得出平面向量的坐标;(2)利用向量数量积为零表示向量垂直,化简并代入求值,可解得的值.【详解】(1)设,由,可得,由题意可得,解得或.因此,或;(2),化简得,即,解得4.已知向量,向量.(1)求向量的坐标;(2)当为何值时,向量与向量共线.【答案】(1)(2)【解析】【详解】试题分析:(1)根据向量坐标运算公式计算;(2)求出的坐标,根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析:(1)(2),∵与共线,∴∴5.已知向量与的夹角,且,.(1)求,;(2)求与的夹角的余弦值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)利用平面向量数量积的定义可计算得出的值,利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值;(2)计算出的值,利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值.【详解】(1)由已知,得,;(2)设与的夹角为,则,因此,与的夹角的余弦值为.6.设向量,,记(1)求函数的单调递减区间;(2)求函数在上的值域.【答案】(1);(2).【解析】【详解】分析:(1)利用向量的数量积的坐标运算式,求得函数解析式,利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间;(2)结合题中所给的自变量的取值范围,求得整体角的取值范围,结合三角函数的性质求得结果.详解:(1)依题意,得.由,解得故函数的单调递减区间是.(2)由(1)知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为.点睛:该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式,三角函数的单调区间,三角函数在给定区间上的值域问题,在解题的过程中一是需要正确使用公式,二是用到整体角思维.7.在中,内角,,的对边分别是,,,已知,点是的中点.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求中线的最大值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(1)由正弦定理,已知条件等式化边为角,结合两角和的正弦公式,可求解;(2)根据余弦定理求出边的不等量关系,再用余弦定理把用表示,即可求解;或用向量关系把用表示,转化为求的最值.【详解】(Ⅰ)由已知及正弦定理得.又,且,∴,即.(Ⅱ)方法一:在中,由余弦定理得,∵,当且仅当时取等号,∴.∵是边上的中线,∴在和中,由余弦定理得,,①.②由①②,得,当且仅当时,取最大值.方法二:在中,由余弦定理得,∵,当且仅当时取等号,∴.∵是边上的中线,∴,两边平方得,∴,当且仅当时,取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用,考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用,是一道综合题.8.已知平面向量,.(1)若,求的值;(2)若,与共线,求实数m的值.【答案】(1);(2)4.【解析】(1)求出,即可由坐标计算出模;(2)求出,再由共线列出式子即可计算.【详解】(1),所以;(2),因为与共线,所以,解得m=4.9.已知向量.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)若,求向量与夹角的大小.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)首先求出的坐标,再根据,可得,即可求出,再根据向量模的坐标表示计算可得;(Ⅱ)首先求出的坐标,再根据计算可得;【详解】解:(Ⅰ)因为,所以,由,可得,即,解得,即,所以;(Ⅱ)依题意,可得,即,所以,因为,所以与的夹角大小是.10.如图,在中,,,,,.(1)求的长;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)将用和表示,利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值,即可得出的长;(2)将利用和表示,然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值.【详解】(1),,,,,,.;(2),,,.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算,解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来,考查计算能力,属于中等题.11.如图所示,在中,,,,分别为线段,上一点,且,,和相交于点.(1)用向量,表示;(2)假设,用向量,表示并求出的值.【答案】(1);(2),.【解析】【分析】(1)把放在中,利用向量加法的三角形法则即可;(2)把,作为基底,表示出,利用求出.【详解】解:由题意得,,所以,(1)因为,,所以.(2)由(1)知,而而因为与不共线,由平面向量基本定理得解得所以,即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则;(2)树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算.12.已知向量与的夹角为,且,.(1)若与共线,求k;(2)求,;(3)求与的夹角的余弦值【答案】(1);(2),;(3).【解析】【分析】(1)利用向量共线定理即可求解.(2)利用向量数量积的定义:可得数量积,再将平方可求模.(3)利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】(1)若与共线,则存在,使得即,又因为向量与不共线,所以,解得,所以.(2),,(3).13.已知.(1)当为何值时,与共线(2)当为何值时,与垂直?(3)当为何值时,与的夹角为锐角?【答案】(1);(2);(3)且.【解析】【分析】(1)利用向量共线的坐标表示:即可求解.(2)利用向量垂直的坐标表示:即可求解.(3)利用向量数量积的坐标表示,只需且不共线即可求解.【详解】解:(1).与平行,,解得.(2)与垂直,,即,(3)由题意可得且不共线,解得且.14.如图,在菱形ABCD中,,.(1)若,求的值;(2)若,,求.(3)若菱形ABCD的边长为6,求的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)由向量线性运算即可求得值;(2)先化,再结合(1)中关系即可求解;(3)由于,,即可得,根据余弦值范围即可求得结果.【详解】解:(1)因为,,所以,所以,,故.(2)∵,∴∵ABCD为菱形∴∴,即.(3)因为,所以∴的取值范围:.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算;(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.15.已知,,与夹角是.(1)求的值及的值;(2)当为何值时,?【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用数量积定义及其向量的运算性质,即可求解;(2)由于,可得,利用向量的数量积的运算公式,即可求解.【详解】(1)由向量的数量积的运算公式,可得,.(2)因为,所以,整理得,解得.即当值时,.【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,以及向量垂直的坐标运算是解答的关键,着重考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.设向量(I)若(II)设函数【答案】(I)(II)【解析】【详解】(1)由=(sinx)2+(sinx)2=4sin2x,=(cosx)2+(sinx)2=1,及,得4sin2x=1.又x∈,从而sinx=,所以x=.(2)sinx·cosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,当x∈时,-≤2x-≤π,∴当2x-=时,即x=时,sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17.化简.(1).(2).【答案】(1);(2).【解析】(1)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果;(2)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】(1);(2).18.已知点,,,是原点.(1)若点三点共线,求与满足的关系式;(2)若的面积等于3,且,求向量.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可;(2)由题意首先求得n的值,然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】(1),,由点A,B,C三点共线,知∥,所以,即;(2)由△AOC的面积是3,得,,由,得,所以,即,当时,,?解得或,当时,,方程没有实数根,所以或.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图,在直角梯形中,为上靠近B的三等分点,交于为线段上的一个动点.(1)用和表示;(2)求;(3)设,求的取值范围.【答案】(1);(2)3;(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形,利用平面向量的线性运算求解而得;(2)选定一组基向量,将由这一组基向量的唯一表示出而得解;(3)由动点P设出,结合平面向量基本定理,建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意,,,;(2)因交于D,由(1)知,由共起点的三向量终点共线的充要条件知,,则,,;(3)由已知,因P是线段BC上动点,则令,,又不共线,则有,,在上递增,所以,故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底,用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.20.设向量满足,且.(1)求与的夹角;(2)求的大小.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由已知得,展开求得,结合夹角公式即可求解;(2)由化简即可求解.【详解】(1)设与的夹角为θ由已知得,即,因此,得,于是,故θ=,即与的夹角为;(2)由.21.已知,,(t∈R),O是坐标原点.(1)若点A,B,M三点共线,求t的值;(2)当t取何值时,取到最小值?并求出最小值.【答案】(1)t;(2)当t时,?的最小值为.【解析】【分析】(1)求出向量的坐标,由三点共线知与共线,即可求解t的值.(2)运用坐标求数量积,转化为函数求最值.【详解】(1),,∵A,B,M三点共线,∴与共线,即,∴,解得:t.(2),,,∴当t时,?取得最小值.【点睛】关键点点睛:(1)由三点共线,则由它们中任意两点构成的向量都共线,求参数值.(2)利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数,即可求最值及对应参数值.22.设向量,,.(1)求;(2)若,,求的值;(3)若,,,求证:A,,三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求,进而求;(2)列出方程组,求出,进而求出;(3)求出,从而得到,得到结果.(1),;(2),所以,解得:,所以;(3)因为,所以,所以A,,三点共线.23.在平面直角坐标系中,已知,.(Ⅰ)若,求实数的值;(Ⅱ)若,求实数的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)求出向量和的坐标,然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程,解出即可;(Ⅱ)由得出,利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程,解出即可.【详解】(Ⅰ),,,,,,解得;(Ⅱ),,,解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查利用共线向量和向量垂直求参数,考查计算能力,属于基础题.24.在中,,,,点,在边上且,.(1)若,求的长;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先设,,根据题意,求出,,再由向量模的计算公式,即可得出结果;(2)先由题意,得到,,再由向量数量积的运算法则,以及题中条件,得到,即可求出结果.【详解】(1)设,,则,,因此,所以,,(2)因为,所以,同理可得,,所以,∴,即,同除以可得,.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长,考查由向量数量积求参数,熟记平面向量基本定理,以及向量数量积的运算法则即可,属于常考题型.25.已知向量,,,且.(1)求,;(2)求与的夹角及与的夹角.【答案】(1),;(2),.【解析】【分析】(1)由、,结合平面向量数量积的运算即可得解;(2)记与的夹角为,与的夹角为,由平面向量数量积的定义可得、,即可得解.【详解】(1)因为向量,,,且,所以,所以,又,所以;(2)记与的夹角为,与的夹角为,则,所以.,所以.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用,考查了运算求解能力,属于基础题.26.平面内给定三个向量,,.(1)求满足的实数,;(2)若,求实数的值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)依题意求出的坐标,再根据向量相等得到方程组,解得即可;(2)首先求出与的坐标,再根据向量共线的坐标表示计算可得;【详解】解:(1)因为,,,且,,,,.,解得,.(2),,,.,,,.,解得.27.如图,已知中,为的中点,,交于点,设,.(1)用分别表示向量,;(2)若,求实数t的值.【答案】(1),;(2).【解析】(1)根据向量线性运算,结合线段关系,即可用分别表示向量,;(2)用分别表示向量,,由平面向量共线基本定理,即可求得t的值.【详解】(1)由题意,为的中点,,可得,,.∵,∴,∴(2)∵,∴∵,,共线,由平面向量共线基本定理可知满足,解得.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,平面向量共线基本定理的应用,属于基础题.28.已知,向量,.(1)若向量与平行,求k的值;(2)若向量与的夹角为钝角,求k的取值范围【答案】(1)或;(2).【解析】(1)利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果;(2)利用,且不共线,列式计算即得结果.【详解】解:(1)依题意,,,又,得,即解得或;(2)与的夹角为钝角,则,即,即,解得或.由(1)知,当时,与平行,舍去,所以.【点睛】思路点睛:两向量夹角为锐角(或钝角)的等价条件:(1)两向量夹角为锐角,等价于,且不共线;(2)两向量夹角为钝角,等价于,且不共线.29.已知.(1)若,求的值;(2)若,求向量在向量方向上的投影.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先得到,根据可得,即可求出m;(2)根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】;;;;;;;在向量方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算,向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式,属于中档题.30.平面内给定三个向量.(1)求;(2)求满足的实数m和n;(3)若,求实数k.【答案】(1)6;(2);(3).【解析】(1)利用向量加法的坐标运算得到,再求模长即可;(2)先写的坐标,再根据使对应横纵坐标相等列方程组,解方程组即得结果;(3)利用向量垂直则数量积为零,再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解:(1)由,得,;(2),,,,故,解得;(3),,,,,,即,解得.【点睛】结论点睛:若,则等价于;等价于.试卷第1页,共3页试卷第1页,共3页。
高三数学平面向量试题答案及解析
高三数学平面向量试题答案及解析1.已知,若共线,则实数x=A.B.C.1D.2【答案】B【解析】此题考查向量共线的条件;由已知得到,又因为共线,所以。
选B2.已知向量的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】故选C3.已知向量、的夹角为,且,,则向量与向量+2的夹角等于()A.150°B.90°C.60°D.30°【答案】D【解析】设量与向量+2的夹角为故选D4.设向量,是两个相互垂直的单位向量,一直角三角形两条边所对应的向量分别为,,,则的值可能是()A.或B.或C.或D.或【答案】C【解析】若则;若则若则无解;故选C5.已知,则实数k的值是。
【答案】-1【解析】略6.已知:(1)求关于x的表达式,并求的最小正周期;(2)若时,的最小值为5,求m的值.【答案】(1)(2)3【解析】7.已知向量,则实数k的值为()A.B.0C.3D.【答案】C【解析】,又,,即,解得【考点】平面向量的坐标运算。
8.已知平面向量,,,,,,若,则实数()A.4B.-4C.8D.-8【答案】D.【解析】∵,,∴,故选D【考点】平面向量共线的坐标表示.9.若向量,,则=()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为向量,,所以.故选B.【考点】向量减法的坐标的运算.10.已知向量,满足,,则夹角的余弦值为( ) A.B.C.D.【答案】D【解析】,,则的夹角余弦值为.故选D.【考点】向量的基本运算.11.已知向量若与平行,则实数的值是()A.-2B.0C.2D.1【答案】C【解析】,根据题意有,解得,故选C.【考点】向量的运算,向量共线的坐标表示.12.(本小题满分12分)已知向量,函数.(1)若,求的值;(2)若,求函数的值域.【答案】(1);(2).【解析】本题主要考查平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换的应用、两角和与差的正弦公式、倍角公式、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式以及二倍角的余弦公式,即可得到结论;第二问,由,则可以得到,运用正弦函数的图象和性质,即可得到函数的值域.试题解析:(1)向量,则函数,,则,;(2)由,则,,则.则的值域为.【考点】平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质.13.设,,若,则= .【答案】【解析】因为,所以,解得,所以=.【考点】1、平面向量垂直的充要条件;2、平面向量的模.14.己知向量,满足||=||=2且,则向量与的夹角为.【答案】【解析】因为||=||=2,所以由数量积的运算律可将化为,即,所以,故向量与的夹角为.【考点】①向量数量积的运算律;②向量夹角计算公式.15.在△ABC中,若点D满足,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】由于,因此.【考点】向量的加法法则.16.设向量,,且,则的值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由得,即,解得,故选C.【考点】向量垂直的条件,向量数量积坐标运算公式.17.已知,,,且与垂直,则实数的值为.【答案】.【解析】本题考查两个向量垂直,向量的数量积的计算,难度简单.由得.由得,所以.【考点】向量垂直,向量的数量积.18.设直角的三个顶点都在单位圆上,点M,则的最大值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意,,当且仅当共线同向时,取等号,即取得最大值,最大值是,故选:C.【考点】1.点与圆的位置关系;2.平面向量及应用.【思路点睛】由题意,,当且仅当共线同向时,取等号,即可求出的最大值.19.已知为同一平面内的四个点,若,则向量等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】由得,即,故选C.【考点】向量的回头法运算及几何意义.20.已知点,,点在轴上,当取最小值时,点的坐标是()A.B.C.D.【答案】D【解析】设,则,所以,由二次函数的性质得,当时有最小值,所以点的坐标是.【考点】1.向量的运算;2.二次函数.21.已知向量,,,若向量与共线,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得,,故由与共线得,解得,故D项正确.【考点】平面向量的运算及共线定理.22.设是所在平面内一点,且,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】,又,所以,即.故选D.【考点】向量的线性运算.23.已知向量的夹角为,,向量,的夹角为,,则与的夹角正弦值为,.【答案】,或【解析】作,则,向量,由题意可得为边长为的等边三角形,向量的夹角为,可得,由,可得四点共圆,在中,,由正弦定理可得,在中,,由余弦定理可得,解得,当在中,同理可得.【考点】平面向量的数量积的运算.24.设向量与的夹角为,且,则等于()A.B.C.D.6【答案】B【解析】,故选B.【考点】平面向量数量积的定义.25.已知向量,,则当时,的取值范围是___________.【答案】.【解析】根据向量的差的几何意义,表示向量终点到终点的距离,当时,该距离取得最小值为1,当时,根据余弦定理,可算得该距离取得最大值为,即的取值范围是,故填:.【考点】平面向量的线性运算.26.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,.若=-3,则=.【答案】【解析】因为,所以【考点】向量数量积27.如图,中,,为的中点,以为圆心,为半径的半圆与交于点,为半圆上任意一点,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】以为坐标原点,所在直线为轴建立直角坐标系,所以,设且,所以,令,则,其中.所以当时有最小值.故选D.【考点】1、平面向量的数量积公式;2、圆的参数方程的应用.28.梯形中,,则()A.B.C.D.不能确定【答案】C【解析】由梯形易得:,所以,又,所以,由于,所以,可得,故选C.【考点】1、平面向量基本定理;2、向量的平行.29.设向量,若向量与向量垂直,则的值为()A.3B.1C.D.-1【答案】D【解析】因为向量,向量与向量垂直,所以,故选D.考点 1、向量的坐标表示;2、平面向量的数量积公式 .30.边长为的等边三角形中心为,是边上的动点,则()A.有最大值B.有最小值C.是定值D.与的位置有关【答案】C【解析】设是中点,则.故选C.【考点】向量的数量积.【名师】本题是求平面向量的数量积的问题,解题时要把动点与定点结合起来,如果能化动为静,则问题易解.为此可选取两个向量作为基底,其他向量都用它们表示,然后求解,在求数量积时,垂直的向量是我们要着重考虑的,因为垂直的数量积为0,计算时比较方便,易于求解.31.如图,四边形是三个全等的菱形,,设,,已知点在各菱形边上运动,且,,则的最大值为 .【答案】4【解析】根据条件知,G,O,C三点共线,连接OE,则OE⊥GC;∴分别以OC,OE所在直线为x轴,y轴,建立如图所示平面直角坐标系,设棱形的边长为2,则;设,则;∴;∴;∴;设,则,表示在y轴上的截距;当截距最大时,取到最大值;由图形可以看出当直线经过点时截距最大;∴;即x+y的最大值为4.【考点】向量的线性运算.【名师】考查向量的线性运算,通过建立平面直角坐标系,利用向量坐标解决向量问题的方法,能确定平面上点的坐标,以及向量坐标的加法和数乘运算,直线的点斜式方程,线性规划的运用.这是一道综合题,有一定的难度,对学生分析问题解决问题的能力要求较高.32.若向量,,则=()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意,向量,故选B.【考点】向量的运算.33.设是圆上不同的三个点,且,若存在实数,使得,则实数的关系为()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵,两边平方得:,∵,∴,故选A.【考点】(1)直线与圆的方程的应用;(2)向量共线定理;(3)平面向量的垂直.【思路点晴】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算,还考查了向量与实数的转化.在向量的加,减,数乘和数量积运算中,数量积的结果是实数,所以考查应用较多.由是圆上不同的三个点,可得,又,所以对两边平方即可得到结论.34.如图,正方形中,为的中点,若,则的值为()A.B.C.1D.-1【答案】A【解析】,又,所以,又,那么.故本题选A.【考点】1.平面向量的线性运算;2.平面向量的基本定理.35.已知角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴,终边落在第二象限,是其终边上的一点,向量,若,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】设与轴正向的夹角为,则,因为角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴,终边落在第二象限且,所以,.故应选D.【考点】1、向量垂直的性质;2、两角和的正切公式.36.已知非零向量且对任意的实数都有,则有()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为非零向量且对任意的实数都有,所以,,,即,,故选C.【考点】1、平面向量数量积公式;2、一元二次方程根与系数的关系.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及一元二次方程根与系数的关系,属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个:一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答(本题属于这种类型);二是未知量在区间上的题型,一般采取列不等式组(主要考虑判别式、对称轴、的符号)的方法解答.37.已知向量,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,所以A错;因为,所以B错;因为,所以,所以,所以C正确,故选C.【考点】向量平行与垂直的充要条件.38.如图所示,矩形的对角线相交于点,的中点为,若(为实数),则()A.1B.C.D.【答案】C【解析】,,所以,故选C.【考点】平面向量基本定理39.已知向量=(-1,1),向量=(3,t),若∥(+),则t=________.【答案】-3【解析】,由∥(+)得,.【考点】向量平行.40.已知向量,若,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】因,故代入可得,故应选C.【考点】向量坐标形式及运算.41.已知向量满足,那么向量的夹角为()A.30°B.60°C.150°D.120°【答案】D【解析】.【考点】向量运算.42.已知非零向量满足,且,则与的夹角为()A.B.C.D.【答案】D【解析】若,则,即有,由,可得,即有,,由,可得与夹角的大小为.故选:D.【考点】向量的夹角.43.等腰直角三角形中,,,点分别是中点,点是(含边界)内任意一点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】以为坐标原点,边所在直线为轴,建立直角坐标系,则,,设,则且,,,令,结合线性规划知识,则,当直线经过点时,有最小值,将代入得,当直线经过点时,有最大值,将代入得,故答案为A.【考点】(1)平面向量数量积的运算;(2)简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划,处理的关键是建立恰当的坐标系,求出各点、向量的坐标,利用平面向量的数量积公式,将其转化为线性规划问题,再利用“角点法”解决问题.选择合适的原点建立坐标系,分别给出动点(含参数)和定点的坐标,结合向量内积计算公式进行求解.44.设向量,且,则的值是()A.2B.C.8D.【答案】C【解析】由已知得,∴.【考点】平面向量坐标运算.45.边长为的正三角形,其内切圆与切于点为内切圆上任意一点,则的取值范围为__________.【答案】【解析】以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点,,内切圆的方程为,设点,则.【考点】向量的坐标运算;向量的数量积.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算、平面向量的数量接的运算等知识点的应用,解答中,以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,确定点的坐标,利用内切圆得出的坐标,利用向量的数量积的公式和坐标运算,即可求解的取值范围,着重考查了学生的推理与运算能力,属于中档试题.46.平面向量与的夹角为30°,已知,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】因,故,故应选D.【考点】向量的有关运算.47.已知非零向量的夹角为,且,则()A.B.1C.D.2【答案】A【解析】由得,,解得,故选A.【考点】向量的数量积.48.在等腰梯形中,已知,点和点分别在线段和上,且,则的值为_____________.【答案】【解析】以为坐标原点,为轴的正方向建立平面直角坐标系,则,所以.【考点】向量的数量积、向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量的数量积、向量运算,利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.对向量与几何图形的综合问题,可通过向量的数量积运算把向量问题转化为代数问题来求解.49.已知是单位圆上的两点(为圆心),,点是线段上不与重合的动点.是圆的一条直径,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】,点是线段上,,故选A.【考点】向量及其运算.50.设是单位向量,且,则的最小值为()A.-2B.C.-1D.【答案】D【解析】当时,,故选D.【考点】向量及其基本计算.51.在平行四边形中,为一条对角线,,,则=()A.(2,4)B.(3,5)C.(1,1)D.(-1,-1)【解析】,故选C.【考点】平面向量的线性运算.52.已知在内有一点,满足,过点作直线分别交、于、,若,,则的最小值为A.B.C.D.【答案】A【解析】由知P是的重心,则,所以,∵共线,∴,∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选A.【考点】平面向量基本定理,三点共线定理.【名师】设上直线外一点,,则三点共线的条件是.利用此共线定理可以解决平面向量中的共线点问题,通过它把几何问题代数化.53.已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定通过的()A.重心B.垂心C.内心D.外心【答案】A【解析】由正弦定理得,所以,而,所以表示与共线的向量,而点是的中点,即的轨迹一定是通过三角形的重心,故选A.【考点】平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义,考查了解三角形正弦定理,考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法,往往要借助几何图形的特征,灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时,应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是:内心、外心、重心和垂心.54.已知向量,,且,则.【答案】【解析】因为,所以,所以.【考点】向量运算.55.已知菱形的对角线,则()A.1B.C.2D.【解析】在菱形中,,设相交于点,由向量数量积的几何意义可知,故选C.【考点】向量数量积的几何意义.56.已知向量,向量,则_____________.【答案】【解析】,所以.【考点】向量的坐标运算.57.已知向量满足,且,则___________.【答案】【解析】由于,两边平方得,因为.【考点】向量运算.58.已知向量,满足,,且(),则.【答案】【解析】设,则,又因为,即,所以,解得,即,解得.【考点】向量的坐标运算.59.已知向量_________.【答案】【解析】,解得,,那么,故填:.【考点】向量数量积的坐标表示60.已知向量,,且,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为所以所以所以故答案选A【考点】向量的数量积;向量的模.61.设向量.若,则实数等于()A.-1B.1C.-2D.2【解析】,∴,得.故选C.【考点】向量的基本运算.62.已知向量,,若,则实数__________.【答案】【解析】因为向量,,所以有 , 若,则有,解得.63.已知,分别是椭圆的左、右焦点.(1)若点是第一象限内椭圆上的一点,,求点的坐标;(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)首先得到焦点的坐标,点满足两个条件,一个是点在椭圆上,满足椭圆方程,另一个是将 ,转化为坐标表示,这样两个方程两个未知数,解方程组;(2)首项设过点的直线为,与方程联立,得到根与系数的关系,和,以及,根据向量的数量积可知,为锐角,即,这样代入根与系数的关系,以及,共同求出的取值范围.试题解析:(1)易知.,设,则,又.联立,解得,故.(2)显然不满足题设条件,可设的方程为,设,联立由,得.①又为锐角,又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题,这类问题,要将几何关系转化为代数不等式的运算,必然会考查转化与化归的能力,将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系,转化为解不等式的问题,同时不要忽略.64.若向量,且∥,则实数_________.【答案】【解析】依题设,,由∥得,,解得.65.已知向量,若,则__________.【答案】11【解析】由题意可知,因为,所以∙=0,解得m=11.66.已知函数的部分图象如图所示,点,是该图象与轴的交点,过点的直线与该图象交于,两点,则的值为()A.B.C.D.2【答案】D【解析】解:∵函数的周期,则,即C点是一个对称中心,根据向量的平行四边形法则可知: ,则: .本题选择D选项.67.已知向量,若向量与向量共线,则实数__________.【答案】【解析】因为,又因为向量与向量共线,所以,所以.68.(理科)已知平面上共线的三点和与这三点不共线的定点,若等差数列满足:,则数列的前38项之和为__________.【答案】19【解析】三点共线,,,,故答案为.69.已知向量满足,若,的最大值和最小值分别为,则等于()A.B.2C.D.【答案】C【解析】因为所以;因为,所以的最大值与最小值之和为,选C.70.已知向量,,且,则向量和的夹角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】,则,,则向量和的夹角为,选C.【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算,借助向量的模方和模,求向量的夹角,本题属于基础题.解决向量问题有两种方法,第一种是借助向量的几何意义,利用加法、减法、数乘、数量积运算,借助线性运算解题,另一种方法是建立适当的平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解题.71.在中,,,,,是线段的三等分点,则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】,,则【点睛】向量的运算有两种方法,一种是线性运算,如本题以为基底,把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来,然后利用数量积运算计算出结果,另一种方法是建立直角坐标系,把相关点得坐标写出来,然后利用坐标运算公式计算出结果.72.在为所在平面内一点,且,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题可知.故本题选.点睛:本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合.在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.73.已知,,则的最大值是__________.【答案】3【解析】,所以的最大值是3.74.设向量,.则与垂直的向量可以是A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知:,本题选择A选项.75.已知的外接圆圆心为,且,若,则的最大值为__________.【答案】【解析】设三个角所对的边分别为,由于,,,所以,解得,.76.若向量,且,则的最大值是A.1B.C.D.3【答案】D【解析】× ,选D.77.设,向量且,若不等式恒成立,则实数k的最大值为____.【答案】【解析】由向量平行的充要条件有:,据此可得:,其中整理可得:,当时满足题意,否则:当时,由对称轴处的函数值可得恒成立,综上可得实数k的最大值为.78.已知向量,若与垂直,则实数的值是_________.【解析】,79.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( ) A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意,知,直线的方程为.设,则,.由,得,即①.设直线的方程为,代入抛物线方程消去,得,所以②.联立①②,得或(舍去),所以.因为=,将的值代入解得,所以直线的方程为,故选A.点睛:本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和平面向量的坐标运算.求解与向量交汇的圆锥曲线问题,通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化,然后再利用解析几何的知识求解.80.(20分)已知为的外心,以线段为邻边作平行四边形,第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为.(1)若,试用表示;(2)证明:;(3)若的外接圆的半径为,用表示.【答案】解:(1)由平行四边形法则可得:即(2)O是的外心,∣∣=∣∣=∣∣,即∣∣=∣∣=∣∣,而,=∣∣-∣∣=0,(3)在中,O是外心A=,B=于是∣∣2=(=+2+2=(),【解析】略81.已知向量a=(cosθ,sinθ),θ∈[0,π],向量b=(,-1).(1)若a⊥b,求θ的值;(2)若|2a-b|<m恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)(4,+∞)【解析】解:(1)∵a⊥b,∴cosθ-sinθ=0,得tanθ=,又θ∈[0,π],∴θ=.(2)∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1),∴|2a-b|2=(2cosθ-)2+(2sinθ+1)2=8+8(sinθ-cosθ)=8+8sin(θ-),又θ∈[0,π],∴θ-∈[-,],∴sin(θ-)∈[-,1],∴|2a-b|2的最大值为16,∴|2a-b|的最大值为4,又|2a-b|<m恒成立,∴m>4.故m的取值范围为(4,+∞).82. [2014·牡丹江模拟]设e1,e2是两个不共线的向量,且a=e1+λe2与b=-e2-e1共线,则实数λ=()A.-1B.3C.-D.【答案】D【解析】∵a=e1+λe2与b=-e2-e1共线,∴存在实数t,使得b=ta,即-e2-e1=t(e1+λe2),- e2-e1=te1+tλe2,由题意,e1,e2不共线,∴t=-1,tλ=-,即λ=,故选D.83.已知,若,则__________.【答案】1【解析】因为,所以,,解得。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用,两力大小都为5N,则两个力的合力的大小为()A.10N B.0NC.5N D.N【答案】C【解析】根据向量加法的平行四边形法则,合力f的大小为×5=5 (N).2.河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为()A.10m/s B.2m/sC.4m/s D.12m/s【答案】B【解析】设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1.∴v2=v-v1,v·v1=0,∴|v2|====2.3.在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由++=,得+++=0,即=2,所以点P是CA边上的三等分点,如图所示.故==.4..已知向量a,e满足:a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则()A.a⊥e B.a⊥(a-e)C.e⊥(a-e)D.(a+e)⊥(a-e)【答案】C【解析】由条件可知|a-te|2≥|a-e|2对t∈R恒成立,又∵|e|=1,∴t2-2a·e·t+2a·e-1≥0对t∈R恒成立,即Δ=4(a·e)2-8a·e+4≤0恒成立.∴(a·e-1)2≤0恒成立,而(a·e-1)2≥0,∴a·e-1=0.即a·e=1=e2,∴e·(a-e)=0,即e⊥(a-e).5.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且=2,=2,=2,则++与 ()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】++=++++-=++---= (-)+=+=-,故选A.6.在▱ABCD中,=a,=b,=4,P为AD的中点,则=()A.a+b B.a+bC.-a-b D.-a-b【答案】C【解析】如图,=-=-=- (+)=b- (a+b)=-a-b.7.已知△ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s的值是() A.B.C.-3D.0【答案】D【解析】∵=-,=-.∴=--=--.∴=-,∴=-.又=r+s,∴r=,s=-,∴r+s=0.8.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=()A.150°B.120°C.60°D.30°【答案】B【解析】∵|a|=|b|=|c|≠0,且a+b=c∴如图所示就是符合题设条件的向量,易知OACB是菱形,△OBC和△OAC都是等边三角形.∴〈a,b〉=120°.9.如右图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是()A.·B.·C.·D.·【答案】A【解析】设正六边形的边长是1,则·=1××cos30°=;·=1×2×cos60°=1;·=1××cos90°=0;·=1×1×cos120°=-.10. (2010·湖南理,4)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于()A.-16B.-8C.8D.16【答案】D【解析】因为∠C=90°,所以·=0,所以·=(+)·=||2+·=AC2=16.11.已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】根据向量数量积的意义,a·b=|a|·|b|·cosθ=4cosθ=2及0≤θ≤π,可得θ=,选C.12. (09·天津文)若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=______________.【答案】-2【解析】∵=+,∴=-=-,=-=-.∴·=- 2- 2+·=-×12-×12+×12×=-2.13.已知|a|=,|b|=3,a与b夹角为45°,求使a+λb与λa+b的夹角为钝角时,λ的取值范围.【答案】<λ<且λ≠-1.【解析】由条件知,cos45°=,∴a·b=3,设a+λb与λa+b的夹角为θ,则θ为钝角,∴cosθ=<0,∴(a+λb)(λa+b)<0.λa2+λb2+(1+λ2)a·b<0,∴2λ+9λ+3(1+λ2)<0,∴3λ2+11λ+3<0,∴<λ<.若θ=180°时,a+λb与λa+b共线且方向相反,∴存在k<0,使a+λb=k(λa+b),∵a,b不共线,∴,∴k=λ=-1,∴<λ<且λ≠-1.本题易忽视θ=180°时,也有a·b<0,忘掉考虑夹角不是钝角而致误.14. (2010·烟台市诊断)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x的值是()A.6B.-6C.9D.12【答案】A【解析】∵a∥b,∴=,∴x=6.15. (2010·湖南长沙)已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.垂心C.内心D.重心【答案】D【解析】设+=,则可知四边形BACD是平行四边形,而=λ表明A、P、D三点共线.又D在BC的中线所在直线上,于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心.16.(09·广东文)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b()A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线【答案】C【解析】a+b=(0,1+x2),由1+x2≠0及向量的性质可知,C正确.17.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________.【答案】或【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.由⇒.又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,所以B或.18.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α、β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为()A.(x-1)2+(y-2)2=5B.3x+2y-11=0C.2x-y=0D.x+2y-5=0【答案】D【解析】解法1:设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=α+β得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).于是由(3)得β=1-α代入(1)(2)消去β得,.再消去α得x+2y=5,即x+2y-5=0.∴选D.解法2:由平面向量共线定理,当=α+β,α+β=1时,A、B、C三点共线.因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得=,即x+2y-5=0.∴选D.19.已知平面向量a=(1,-1),b=(-1,2),c=(3,-5),则用a,b表示向量c为() A.2a-b B.-a+2bC.a-2b D.a+2b【答案】C【解析】设c=xa+yb,∴(3,-5)=(x-y,-x+2y),∴,解之得,∴c=a-2b,故选C.20.已知=(2,-1),=(-4,1),则的坐标为________.【答案】(-6,2)【解析】=-=(-6,2).21.已知G是△ABC的重心,直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F,=α,=β,则+的值为________.【答案】3【解析】连结AG并延长交BC于D,∵G是△ABC的重心,∴== (+),设=λ,∴-=λ(-),∴=+,∴+=+,∵与不共线,∴,∴,∴+=3.22.已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于点F,求.【答案】(1.75,2).【解析】因为A(7,8),B(3,5)C(4,3)所以=(-4,-3),AC=(-3,-5).又因为D是BC的中点,有= (+)=(-3.5,-4),而M、N分别为AB、AC的中点,所以F为AD的中点,故有==-=(1.75,2).[点评]注意向量表示的中点公式,M是A、B的中点,O是任一点,则=(+).23.如图所示,在▱ABCD中,已知=,=.求证:B、F、E三点共线.【答案】略【解析】设=a,=b.则=+=a+b.∵=b-a,∴==(b-a).∴=+=a+ (b-a)=a+b-a=a+b=.∴=.∴向量与向量共线,它们有公共点B.∴B、F、E三点共线.24.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且=2,求点N的轨迹方程.【答案】所求的轨迹方程为x2+y2=1.【解析】设M(x0,y),N(x,y),由=2,得(1-x0,1-y)=2(x-1,y-1),所以,又∵M(x0,y)在圆C上,把x0、y代入方程(x-3)2+(y-3)2=4,整理得x2+y2=1,所以所求的轨迹方程为x2+y2=1.25.下列说法正确的是()①向量与是平行向量,则A、B、C、D四点一定不在同一直线上②向量a与b平行,且|a|=|b|≠0,则a+b=0或a-b=0③向量的长度与向量的长度相等④单位向量都相等A.①③B.②④C.①④D.②③【答案】D【解析】对于①,向量平行时,表示向量的有向线段所在直线可以是重合的,故①错.对于②,由于|a|=|b|≠0,∴a,b都是非零向量,∵a∥b,∴a与b方向相同或相反,∴a+b=0或a-b=0.对于③,向量与向量方向相反,但长度相等.对于④,单位向量不仅仅长度为1,还有方向,而向量相等需要长度相等而且方向相同.选D. 26.给出下列各命题:(1)零向量没有方向;(2)若|a|=|b|,则a=b;(3)单位向量都相等;(4)向量就是有向线段;(5)两相等向量若其起点相同,则终点也相同;(6)若a=b,b=c,则a=c;(7)若a∥b,b∥c,则a∥c;(8)若四边形ABCD是平行四边形,则=,=.其中正确命题的序号是________.【答案】(5)(6)【解析】(1)该命题不正确,零向量不是没有方向,只是方向不定;(2)该命题不正确,|a|=|b|只是说明这两向量的模相等,但其方向未必相同;(3)该命题不正确,单位向量只是模为单位长度1,而对方向没要求;(4)该命题不正确,有向线段只是向量的一种表示形式,但不能把两者等同起来;(5)该命题正确,因两相等向量的模相等,方向相同,故当它们的起点相同时,其终点必重合;(6)该命题正确.由向量相等的定义知,a与b的模相等,b与c的模相等,从而a与c的模相等;又a与b的方向相同,b与c的方向相同,从而a与c的方向也必相同,故a=c;(7)该命题不正确.因若b=0,则对两不共线的向量a与c,也有a∥0,0∥c,但a∥\ c;(8)该命题不正确.如图所示,显然有≠,≠.27.已知A、B、C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=________.【解析】∵A、B、C不共线,∴与不共线,又∵m与、都共线,∴m=0.28.如图所示,已知▱ABCD,▱AOBE,▱ACFB,▱ACGD,▱ACDH,点O是▱ABCD的对角线交点,且=a,=b,=c.(1)写出图中与a相等的向量;(2)写出图中与b相等的向量;(3)写出图中与c相等的向量.【答案】略【解析】(1)在▱OAEB中,==a;在▱ABCD中,==a,所以a==.(2)在▱ABCD中,==b;在▱AOBE中,==b,所以b==.(3)在▱ABCD中,==c;在▱ACGD中,==c,所以c==29.在水流速度大小为10km/h的河中,如果要使船实际以10km/h大小的速度与河岸成直角横渡,求船行驶速度的大小与方向.【答案】船行驶速度为20km/h,方向与水流方向成120°角【解析】如右图所示,OA表示水流方向,表示垂直于对岸横渡的方向,表示船行速度的方向,由=+易知||=||=10,又∠OBC=90°,∴||=20,∴∠BOC=30°,∴∠AOC=120°,即船行驶速度为20km/h,方向与水流方向成120°角.30..如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()A.=B.+=C.-=D.+=0【答案】C【解析】A显然正确.由平行四边形法则知B正确.C中-=,故C错误.D中+=+=0.。
高二数学平面向量试题答案及解析
高二数学平面向量试题答案及解析1.设是单位向量,且,则的值为.【答案】【解析】。
2.已知、是非零向量且满足,,则与的夹角是_______.【答案】【解析】略3.已知点O为直线外任一点,点A、B、C都在直线上,且,则实数【答案】-2【解析】略4.已知矩阵,向量.(1)求矩阵的特征值、和特征向量、;(2)求的值.【答案】解:(1),当时,得,当时,得.(2).【解析】解:(1)矩阵的特征多项式为,令,得,当时,得,当时,得. …………………6分(2)由得,得.∴.……………………14分5.若向量,且与的夹角余弦为,则等于_________________.【答案】【解析】略6.已知则 ,.【答案】;【解析】由三边可知,以向量为邻边的平行四边形是菱形,夹角为,,为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则7.若向量,=(m,m+1),且∥,则实数m的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为两向量平行,所以,所以,故选A.【考点】向量平行的充要条件的坐标表示8.已知向量与的夹角为且,若,且,则实数的值为A.B.1C.2D.【答案】B【解析】因为,所以,所以得.【考点】1.数量积;2.向量垂直.9.已知,,若,,且,则_________.【答案】【解析】因为,所以.【考点】1.数量积;2.向量垂直.10.(本小题满分12分)设平面向量,,函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)求函数的单调递增区间.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)先由向量数量积的定义写出函数,然后应用辅助角公式将函数化成的形式,再由公式求得函数的最小正周期;(Ⅱ)由求得的取值区间即为函数的增区间.试题解析:(Ⅰ)所以,的最小正周期为.(Ⅱ)由得所以,的单调递增区间为.【考点】1.向量的数量积;2.三角恒等变形公式;3.三角函数的性质.11.(本小题共12分)设向量(1)若,求x的值;(2)设函数,求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】主要考察向量数量积的坐标表示的相关问题,(1)首先表示和,令其相等,得到:,然后再解方程;(2)第一步,先利用数量积的坐标表示得到函数,并化简为,第二步,然后根据,求的范围,并算得其最值.试题解析:(1)由及得:又,从而,所以.(2)当时,取得最大值所以函数的最大值是.【考点】1.向量数量积的坐标表示;2.三角函数的化简和性质.12.已知点,曲线C:恒过定点B,P为曲线C上的动点且的最小值为2,则()A.﹣2B.﹣1C.2D.1【答案】D【解析】曲线C:恒过点B,则令,可得,即,又点,设,则,由于在(0,+∞)上有最小值2,且,故是的极值点,即最小值点.,恒成立,在(0,+∞)上是增函数,所以没有最小值;故不符合题意;当a>0,时,,函数在是减函数,在是增函数,所以有最小值为,即,解得;故选D.【考点】平面向量数量积的运算.13.已知平面向量,且,则实数的值为()A.1B.4C.D.【答案】D【解析】因为,所以.故选D.【考点】向量平行的充要条件.14.已知||=2,||=4,⊥(+),则与夹角的度数为.【答案】120【解析】设与夹角为.由⊥(+)得,,解得,所以.【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角.15.(12分)已知向量=(cosωx,1),=(2sin(ωx+),﹣1)(其中≤ω≤),函数f(x)=•,且f(x)图象的一条对称轴为x=.(1)求f(π)的值;(2)若f()=,f(﹣)=,且,求cos(α﹣β)的值.【答案】(1)f()=﹣1;(2)cos(α﹣β)=.【解析】(1)由向量的数量积公式得出函数f(x)的解析式,再由对称轴方程求出,从而得出函数f(x)的解析式,最后将代入解析式求值即可;(2)利用已知条件可求出的正弦、余弦值,然后利用两角差的余弦公式即可求出cos(α﹣β)的值.试题解析:(1)∵向量=(cosωx,1),=(2sin(ωx+),﹣1)=((sinωx+cosωx),﹣1)∴函数f(x)=•=2cosωx(sinωx+cosωx)﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+),∵f(x)图象的一条对称轴为x = .∴2ω×+=+kπ,(k∈Z).又由≤ω≤,∴ω=1,∴f(x)=sin(2x+),∴f()=sin(2×π+)=﹣cos=﹣1,(2)∵f()=,f(﹣)=,∴sinα=,sinβ=,∵,∴cosα=,cosβ=,【考点】由三角函数的性质求其解析式并运用其求三角函数值、利用两角差的余弦公式求值.16.如图,设为内的两点,且,=+,则的面积与的面积之比为()A.B.C.D.【答案】B【解析】设,则,由平行四边形法则知,所以,同理,故.故答案为:B.【考点】平面向量共线.【思路点睛】首先,利用向量的运算法则——平行四边形法则作出P,利用同底的三角形的面积等于高的比求出,然后再平行四边形法则作出Q,同理可求出,再将两个式子相比,即可求出的面积与的面积之比.17.已知点,动点满足条件,则动点的轨迹方程.【答案】【解析】依题意,点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支,又∵.∴,∴所求方程为:.【考点】双曲线的定义.18.设两不同直线的方向向量分别是,平面的法向量是,则下列推理①;②;③;④其中正确的命题序号是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】B【解析】两不同直线的方向向量分别是,平面的法向量是,,故①错,所以答案为B【考点】空间向量.【方法点睛】可根据两条直线的方向向量平行,则两条直线平行,两条直线的方向向量垂直,两条直线也垂直,直线的方向向量与平面的法向量平行,则直线与平面垂直,我们结合空间直线与直线,直线与平面位置关系的判断方法,逐一分析已知中的四个命题,即可得到答案.向量方法证明线、面位置关系,其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系,直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系,两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系,是解答此类问题的关键.19.在各项均为正数的等比数列中,和是方程的两根,向量,若,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】和是方程的两根,由【考点】1.等比数列性质;2.向量的数量积运算20.已知向量,,且与互相垂直,则的值是()A.1B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得,因为与垂直,所以,解得.故D正确.【考点】空间向量垂直问题.21.已知过点且斜率为的直线与圆交于两点.(1)求的取值范围;(2)若,其中O为坐标原点,求.【答案】(1);(2).【解析】(1)由圆心到直线的距离小于半径列出不等式,解之即可求的取值范围;(2)设,联立方程,化简得,由韦达定理写出与的关系,代入向量表达式,可求出的值,从而求出直线方程,即可求的长.试题解析:(1)由题设,可知直线的方程为,因为与交于两点,所以.解得,所以k的取值范围为.(2)设.将代入方程,整理得,所以,,由题设可得,解得,所以的方程为.故圆心在直线上,所以.【考点】1.直线与圆的位置关系;2.向量的坐标运算.【名师】本题主要考查的是直线与圆的位置关系与向量的坐标运算,属于中档题.直线与圆的位置关系的判断可用几何法或代数法:几何法即由圆心到直线的距离来判断,当时,直线与圆相交;当时,直线与圆相切;当时,直线与圆相离;代数法即联立方程组用一元二次方程的判别式来判断,即时,直线与圆相交;时,直线与圆相切;时,直线与圆相离;实际解题时用几何法比代数法简单.22.在直角坐标系中,已知两点,;,是一元二次方程两个不等实根,且、两点都在直线上.(1)求;(2)为何值时与夹角为.【答案】(1);(2)【解析】(1)由判别式大于0求出a的范围,利用根与系数关系结合A、B两点都在直线上求得;(2)求出方程的根,结合A、B两点都在直线上可得x1=y2,x2=y1,求出,再由数量积公式求出,与(1)中的结合得到关于的方程,求解方程得答案试题解析:(1)、是方程两个不等实根,解之,又、两点都在直线上,(2)由题意设,,同理当与夹角为时,解之即为所求.【考点】一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算.【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.主体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积的运算律.23.已知为的外心,以线段为邻边作平行四边形,第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为.(1)若,试用、、表示;(2)证明:;(3)若的,,外接圆的半径为,用表示.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)【解析】(1)利用向量加法的平行四边形法则,用已知向量表示向量(2)要证明向量只要证明利用O是三角形的外心,可得然后用向量然后用向量、、表示(3)利用已知的角,结合向量的数量积把已知的两边平方整理可得外接圆半径试题解析:(1)由平行四边形法则可得:,即;(2) O是的外心,,即,而,,,;(3)在中, 为的外心,,,于是,,【考点】向量的加法的平行四边形法则,两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义.【方法点睛】(1)当向量与是坐标形式给出时,若证明,则只需证明;(2)当是非坐标形式时,要把用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角,从而进行证明;(3)利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.24.已知向量则A.2或3B.-1或6C.6D.2【答案】D【解析】由得【考点】向量的坐标运算25.已知、均为单位向量,它们的夹角为,那么等于()A.B.C.D.4【答案】C【解析】根据已知可得:,故选择C【考点】求向量的模26.已知A点坐标为,B点坐标为,且动点到点的距离是,线段的垂直平分线交线段于点.(1)求动点的轨迹C方程.(2)若P是曲线C上的点,,求的最大值和最小值.【答案】(1);(2),.【解析】(1)根据题意知,所以的轨迹是以为焦点的椭圆,且,所以轨迹的方程为;(2)设点则,根据两点之间的距离公式得:,化简得:,又有椭圆的范围知,求函数的最值.试题解析:(1)∵;又,∴的轨迹是以为焦点的椭圆,∵,∴,所求轨迹方程为.(2)解:设点则【考点】1、椭圆的定义;2、椭圆的标准方程;3、两点间距离;4、二次函数的最值.【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质,两点间距离,二次函数求最值,属于中档题题.求点的轨迹时,可以根据某些曲线的定义先确定轨迹,再求其轨迹方程,在利用二次函数求最值的过程中,一定要分析自变量的取值范围,否则容易产生错误.27.已知为圆上三点,的延长线与线段的延长线交于圆外点。
(完整word版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .AD 与AE 相等D .AD 与BD 相等2.下列命题正确的是( ). A .向量AB 与BA 是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =bC .若AB =DC ,则A ,B ,C ,D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC =α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ).A .3x +2y -11=0B .(x -1)2+(y -1)2=5C .2x -y =0D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A .6πB .3π C .23π D .56π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则AP =( ). A .λ(AB +AD ),λ∈(0,1) B .λ(AB +BC ),λ∈(0,22) C .λ(AB -AD ),λ∈(0,1)D .λ(AB -BC ),λ∈(0,22) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则DF =( ). A .EF +EDB .EF -DEC .EF +ADD .EF +AF7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ).(第1题)A.2 B.4 C.6 D.128.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB =OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的().A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点9.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,DC=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为().A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形10.如图,梯形ABCD中,|AD|=|BC|,EF∥AB∥CD则相等向量是().A.AD与BC B.OA与OBC.AC与BD D.EO与OF(第10题)二、填空题11.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=.12.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与MN相等,其中M(-1,3),N(1,3),则x =.13.已知平面上三点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.14.给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1),且(a+m b)⊥(a-b),则实数m等于.15.已知A,B,C三点不共线,O是△ABC内的一点,若OA+OB+OC=0,则O 是△ABC的.16.设平面内有四边形ABCD和点O,OA=a,OB=b,OC=c, OD=d,若a+c =b+d,则四边形ABCD的形状是.三、解答题17.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若点P满足AP=AB+λAC(λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内?18.如图,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于F,求DF.(第18题)19.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证:AF⊥DE(利用向量证明).(第19题) 20.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值.参考答案一、选择题 1.B解析:如图,AB 与AC ,AD 与AE 不平行,AD 与BD 共线反向.2.A解析:两个单位向量可能方向不同,故B 不对.若AB =DC ,可能A ,B ,C ,D 四点共线,故C 不对.两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故D 也不对.3.D解析:提示:设OC =(x ,y ),OA =(3,1),OB =(-1,3),α OA =(3α,α),β OB =(-β,3β),又αOA +β OB =(3α-β,α+3β),∴ (x ,y )=(3α-β,α+3β),∴⎩⎨⎧βαβα33+=-=y x ,又α+β=1,由此得到答案为D .4.B解析:∵(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,∴(a -2b )·a =a 2-2a ·b =0,(b -2a )·b =b 2-2a ·b =0,∴ a 2=b 2,即|a |=|b |.∴|a |2=2|a ||b |cos θ=2|a |2cos θ.解得cos θ=21. ∴ a 与b 的夹角是3π. 5.A解析:由平行四边形法则,AB +AD =AC ,又AB +BC =AC ,由 λ的范围和向量数乘的长度,λ∈(0,1).6.D解析:如图,∵AF =DE , ∴ DF =DE +EF =EF +AF .(第6题)(第1题)7.C解析:由(a +2b )·(a -3b )=-72,得a 2-a ·b -6b 2=-72. 而|b |=4,a ·b =|a ||b |cos 60°=2|a |, ∴ |a |2-2|a |-96=-72,解得|a |=6. 8.D解析:由 OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,得OA ·OB =OC ·OA , 即OA ·(OC -OB )=0,故BC ·OA =0,BC ⊥OA ,同理可证AC ⊥OB , ∴ O 是△ABC 的三条高的交点. 9.C解析:∵AD =++C =-8a -2b =2BC ,∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |. ∴ 四边形ABCD 为梯形. 10.D解析:AD 与BC ,AC 与BD ,OA 与OB 方向都不相同,不是相等向量. 二、填空题 11.-32. 解析:A ,B ,C 三点共线等价于,共线,Θ=OB -OA =(4,5)-(k ,12)=(4-k ,-7),BC =OC -OB =(-k ,10)-(4,5)=(-k -4,5),又 A ,B ,C 三点共线,∴ 5(4-k )=-7(-k -4),∴ k =-32. 12.-1.解析:∵ M (-1,3),N (1,3), ∴ MN =(2,0),又a =MN ,∴ ⎩⎨⎧0=4-3-2=3+2x x x 解得⎩⎨⎧4=1=-1=-x x x 或∴ x =-1. 13.-25.解析:思路1:∵ AB =3,BC =4,CA =5,∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC =90°,即AB ⊥BC ,∴AB ·BC =0, ∴ AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =BC ·CA +CA ·AB =CA ·(BC +AB ) =-(CA )2 =-2CA =-25.思路2:∵ AB =3,BC =4,CA =5,∴∠ABC =90°, ∴ cos ∠CAB =CA AB=53,cos ∠BCA =CABC=54.根据数积定义,结合图(右图)知AB ·BC =0, BC ·CA =BC ·CA cos ∠ACE =4×5×(-54)=-16, CA ·AB =CA ·AB cos ∠BAD =3×5×(-53)=-9. ∴ AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =0―16―9=-25. 14.323. 解析:a +m b =(3+2m ,4-m ),a -b =(1,5). ∵ (a +m b )⊥(a -b ),∴ (a +m b )·(a -b )=(3+2m )×1+(4-m )×5=0 m =323. 15.答案:重心.解析:如图,以OA ,OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ,则OF =OA +OC ,又 OA +OC =-OB ,∴ OF =2OE =-OB .O 是△ABC 的重心. 16.答案:平行四边形.解析:∵ a +c =b +d ,∴ a -b =d -c ,∴BA =CD . ∴ 四边形ABCD 为平行四边形. 三、解答题 17.λ<-1.解析:设点P 的坐标为(x ,y ),则AP =(x ,y )-(2,3)=(x -2,y -3). AB +λAC =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7) =(3+5λ,1+7λ).∵ AP =AB +λAC ,∴ (x -2,y -3)=(3+5λ,1+7λ). ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内,只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ<-1.18.DF =(47,2). 解析:∵ A (7,8),B (3,5),C (4,3), AB =(-4,-3),AC =(-3,-5).又 D 是BC 的中点, ∴ AD =21(AB +AC )=21(-4-3,-3-5) =21(-7,-8)=(-27,-4). 又 M ,N 分别是AB ,AC 的中点, ∴ F 是AD 的中点, ∴ DF =-FD =-21AD =-21(-27,-4)=(47,2). (第18题)19.证明:设AB =a ,AD =b ,则AF =a +21b ,ED =b -21a . ∴ AF ·ED =(a +21b )·(b -21a )=21b 2-21a 2+43a ·b . 又AB ⊥AD ,且AB =AD ,∴ a 2=b 2,a ·b =0. ∴ AF ·ED =0,∴AF ⊥ED .本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.20.分析:思路1:2a -b =(2cos θ-3,2sin θ+1),∴ |2a -b |2=(2cos θ-3)2+(2sin θ+1)2=8+4sin θ-43cos θ. 又4sin θ-43cos θ=8(sin θcos3π-cos θsin 3π)=8sin (θ-3π),最大值为8, ∴ |2a -b |2的最大值为16,∴|2a -b |的最大值为4.思路2:将向量2a ,b 平移,使它们的起点与原点重合,则|2a -b |表示2a ,b 终点间的距离.|2a |=2,所以2a 的终点是以原点为圆心,2为半径的圆上的动点P ,b 的终点是该圆上的一个定点Q ,由圆的知识可知,|PQ |的最大值为直径的长为4.(第19题)。
平面向量的运算习题 高中数学例题课后习题详解
6.2平面向量的运算习题6.2复习巩固1.如果a 表示“向东走10km ”,b 表示“向西走5km ”,c 表示“向北走10km ”,d表示“向南走5km ”,那么下列向量具有什么意义?(1)a a +;(2)a b + ;(3)a c + ;(4)b d + ;(5)b c b ++ ;(6)d a d ++ .【答案】(1)向东走20km ;(2)向东走5km ;(3)向东北走;(4)向西南走;(5)向西北走;(6)向东南走.【解析】【分析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得.【详解】由题意知:a 表示“向东走10km ”,b表示“向西走5km ”,c 表示“向北走10km ”,d表示“向南走5km ”(1)a a +r r表示“向东走20km ”(2)a b +表示“向东走5km ”(3)a c +表示“向东北走”(4)b d +r u r表示“向西南走”(5)b c b ++表示“向西北走”(6)d a d ++表示“向东南走”【点睛】本题考查向量加法及其几何意义,属于基础题.2.一架飞机向北飞行300km ,然后改变方向向西飞行400km ,求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为700km ;两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km .【解析】【分析】由向量的加减运算,即可得出结论.【详解】由向量的加减运算可知:飞机飞行的路程是700km ;两次位移的合成是向北偏西约53°,方向飞行500km .【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义,考查学生的计算能力,区分路程、位移是关键.3.一艘船垂直于对岸航行,航行速度的大小为16/km h ,同时河水流速的大小为4/km h 求船实际航行的速度的大小与方向(精确到l °).【答案】,方向与水流方向成76°角【解析】【分析】利用向量的加法运算,模的运算,勾股定理,即可得出结论.【详解】设船的航行速度为1v ,水流速度为2v ,船的实际航行速度为v ,v 与2v 的夹角为α,则||416//)v km km h ===由16tan 44α==,得76α︒≈.船实际航行的速度的大小为,方向与水流方向成76°角.【点睛】本题以实际问题为载体,考查向量的加法运算,考查三角函数知识,属于基础题.4.化简:(1)AB BC CA ++ ;(2) ()AB MB BO OM +++;(3)OA OC BO CO +++ ;(4)AB AC BD CD -+- ;(5)OA OD AD -+ ;(6)AB AD DC -- ;(7)NQ QP MN MP ++-.【答案】(1)0 .(2)AB (3)BA .(4)0 (5)0 (6)CB .(7)0【解析】【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则,对每一个小题进行化简计算即可.【详解】解:(1)原式0AC AC =-=.(2)原式AB BO OM MB AB =+++=(3)原式OA OC OB OC BA =+--=.(4)原式0AB BD DC CA =+++= (5)原式0OA AD DO =++=(6)原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.(7)原式0MN NQ QP PM =+++=【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题,属于基础题.5.作图验证:(1)11()()22a b a b a++-= (2)11()()22a b a b b+--=【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】根据向量的平行四边形法则,画图验证即可.【详解】解:如图,在平行四边形ABCD 中,设,AB a AD b ==,则11(),()22AO a b OB a b =+=- .(1)因为AO OB AB += ,所以11()()22a b a b a++-= (2)因为AO OB AO BO AO OD AD -=+=+=,所以11()()22a b a b b+--= 【点睛】本题考查向量的平行四边形法则,属于基础题.6.(1)已知向量a ,b ,求作向量c ,使0a b c ++= .(2)(1)中表示a ,b ,c的有向线段能构成三角形吗?【答案】(1)见解析.(2)当a ,b 共线时,不能构成三角形,当a ,b不共线时能构成三角形.【解析】【分析】作平行四边形OADB ,使得OA a = ,OB b = ,可得a b OD +=,由于0a b c ++= ,可得OD c OC =-=- ,或作ABC ∆,使得AB a = ,BC b = ,CA c =,即可得出.【详解】(1)方法一:如图所示,当向量a ,b两个不共线时,作平行四边形OADB ,使得OA a = ,OB b = ,则a b OD += ,又0a b c ++= ,所以0OD c += ,即OD c OC =-=- ,方法二:利用向量的三角形法则,如下图:作ABC ∆,使得AB a = ,BC b = ,CA c =,则0AB BC CA ++=,即0a b c ++= ,当向量a ,b两个共线时,如下图:使得AB a = ,BC b = ,DE c= 则AB BC a b +=+ ,()DE a b =-+,所以,0AB BC DE ++= ,即0a b c ++=.(2)向量a ,b 两个不共线时,表示a ,b ,c的有向线段能构成三角形,向量a ,b 两个共线时,a ,b ,c的有向线段不能构成三角形.【点睛】本题考查了向量的三角形法则,平行四边形法则、分类讨论方法,考查了作图能力,属于基础题.7.已知a ,b为两个非零向量,(1)求作向量,a b a b +-;(2)当向量a ,b成什么位置关系时,满足a b a b +=- ?(不要求证明)【答案】(1)见解析.(2)a b⊥r r【解析】【分析】根据向量的三角形法则,作出图象即可.【详解】(1)当向量a ,b两个不共线时,作ABC ∆,使得AB a = ,BC b = ,AC c = ,DB d = ,所以a b AC c +== ,a b DB d-==当向量a ,b两个同向且共线时,作AB a = ,BC b = ,AC c = ,所以a b AC c +== ,a b AD d-== 当向量a ,b两个反向且共线时,作AB a = ,BC b = ,AC c = ,所以a b AC c +== ,a b AD d -== ,(2)当a b ⊥时,满足a b a b +=- ,如图,作矩形ABCD ,作AB a = ,AD b = ,所以,AC a b =+ ,DB a b =-.【点睛】本题考查了平面向量的知识,考查了学生的动手能力,解题的关键是掌握三角形法则的应用,掌握数形结合思想的应用,属于基础题.8.化简:(1)()()522423a b b a -+-;(2)()()634a b c a b c -+--+-;(3)()()113256923a b a a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦;(4)()()()()x y a b x y a b -+--- .【答案】(1)22a b -- ;(2)102210a b c -+;(3)132a b + ;(4)2()x y b- 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则,对每一个小题进行计算即可.【详解】(1)()()522423101081222a b b a a b b a a b -+-=-+-=--.(2)()()6346186444102210a b c a b c a b c a b c a b c -+--+-=-++-+=-+ .(3)()()()()1115113256932693232262a b a a b a b a a b a b ⎡⎤-+--=-+--=+⎢⎥⎣⎦.(4)()()()()()()()2x y a b x y a b x y x y a x y x y b x y b -+---=--++-+-=-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用问题,属于基础题.9.11,33AM AB AN AC == .求证13MN BC =.【答案】见解析【解析】【分析】直接由已知结合向量减法的三角形法则可得13MN BC =.【详解】证明:因为MN AN AM =-,而11,33AN AC AM AB == ,所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-= .【点睛】本题考查共线向量基本定理,考查了向量减法的三角形法则,属于基础题.10.填空:(1)若a ,b满足2,3a b == ,则a b + 的最大值为____________,最小值为____________;(2)当非零向量a ,b 满足_____________时,a b +平分a 与b 的夹角.【答案】①.5②.1③.a b= 【解析】【分析】利用a b a b a b -≤+≤+即可得到结论.【详解】(1)235a b a b +≤+=+= ,当且仅当a ,b同向时取等号,max5a b∴+= 又231a b a b +≥-=-= ,当且仅当a ,b反向时取等号,min1a b∴+= .(2)当a b =r r 时,a b + 为以a ,b 为邻边的平行四边形的对角线,此时的平行四边形为菱形,对角线恰好平分a 与b的夹角.答案:(1)5,1;(2)a b=r r【点睛】本题考查向量的数量积的运算及计算公式,属于基础题.11.(1)已知3,4a b == ,且a 与b 的夹角150θ︒=,求()2,a b a b a b ⋅++ ,;(2)已知2,5a b == ,且3a b ⋅=- ,求,a b a b +-.【答案】(1)-;25-2【解析】【分析】(1)根据向量的数量积公式和向量的模即可求出;(2)根据向量的数量积公式和向量的模即可求出.【详解】解:(1)cos150342a b a b ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭;222222a b a a b b a b +=+⋅+=+-223425=+-=-a b +==(2)||a b +=====||a b -=====【点睛】本题考查了向量的模和向量的数量积,考查了运算能力,属于基础题.12.求证:()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅.【答案】见解析【解析】【分析】分0λ=,0λ>,0λ<讨论即可得到结论.【详解】证明:(1)设a ,b的夹角为θ,当0λ=时,0,0,a b λλ== ()00a b b λ⋅=⋅= .()0()0,()00a b a b a b a λλ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= ()()()a b a b a b λλλ∴⋅=⋅=⋅成立.(2)当0λ>时,a λ 与a 同向,b λ 与b 同向,a λ 与b 的夹角为θ,a与b λ 的夹角为θ.()cos ||||cos a b a b a b λλθλθ⋅==,()cos ,()cos cos a b a b a b a b a b λλθλλθλθ⋅=⋅==,()()()a b a b a b λλλ∴⋅=⋅=⋅成立.(3)当0λ<时,a λ 与a 反向,b λ 与b 反向,a λ 与b 的夹角为πθ-,a与b λ 的夹角为πθ-.()cos()(cos )cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=,()cos a b a b λλθ⋅=,()cos()(cos )cos a b a b a b a b λπθλθλθ⋅=-=--=,()()()a b a b a b λλλ∴⋅=⋅=⋅成立.综上可知,原等式成立.【点睛】本题考查向量的数乘运算及运算律,属于基础题.综合运用13.根据下列各小题中的条件,分别判断四边形ABCD 的形状,并给出证明:(1)AD BC = ;(2)13AD BC = ;(3)AB DC =,且AB AD = .【答案】(1)平行四边形.见解析(2)梯形,见解析(3)菱形,见解析【解析】【分析】(1)由AD BC =,可得//AD BC ,AD BC =,即可判断出四边形的形状;(2)由13AD BC =,可得//AD BC ,AD BC ≠,即可判断出四边形的形状;(3)由AB DC =,且||||AB AD = ,可得四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形,即可判断出四边形的形状.【详解】解:(1)四边形ABCD 是平行四边形,证明如下:,//AD BC AD BC =∴ 且||||AD BC = .//AD BC ∴且AD BC =,∴四边形ABCD 是平行四边形.(2)四边形ABCD 是梯形,证明如下:1,//,//3AD BC AD BC AD BC =∴∴.又1||||3AD BC = ,13AD BC ∴=,即AD BC ≠,∴四边形ABCD 是梯形.(3)四边形ABCD 是菱形,证明如下:,//AB DC AB DC =∴ 且||||AB DC = .//AB DC ∴且AB DC =,∴四边形ABCD 是平行四边形.又||||,AB AD AB AD =∴=,∴四边形ABCD 是菱形.【点睛】本题考查了向量相等的意义、特殊四边形的判定,考查了推理能力,属于基础题.14.在ABC ∆中,1,//4AD AB DE BC = ,且与边AC 相交于点E ,ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N .设,AB a AC b == ,用a ,b分别表示向量,,,,,,AE BC DE DB EC DN AN .【答案】()11,,44AE b BC b a DE b a ==-=- ,()331,,448DB a EC b DN b a ===- ()18AN a b =+ .【解析】【分析】直接利用向量共线即可得到结论.【详解】如图()11,,44AE b BC b a DE b a ==-=-,()331,,448DB a EC b DN b a===-()1148AN AM a b ==+ .【点睛】本题考查向量共线的表示,属于基础题.15.如图,在任意四边形ABCD 中,E ,F 分别是AD ,BC 的中点.求证:AB +DC =2EF.【答案】证明详见解析.【解析】【详解】根据平面向量的加法意义,得EF EA AB BF =++ ,EF ED DC CF =++,又∵E ,F 分别为AD ,BC 中点,∴EA ED+=0,BF CF +=0;∴2EF =(EA +AB +BF )+(ED +DC +CF)=(EA +ED )+(AB +DC )+(BF +CF)=AB +DC ,即2EF AB DC =+.16.飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km 到达乙地,再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地,画出飞机飞行的位移示意图,并说明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲地多远?【答案】图见解析,北偏东45°方向,距甲地1400km .【解析】【分析】作出方位示意图,构造等腰三角形,解这个三角形即可得出答案【详解】如图,丙地在甲地的北偏东45°方向,距甲地1400km .设甲地为A ,乙地为B ,丙地为C ,作出示意图,则1400AB BC km ==,15NAB SBA ︒∠=∠=,75SBC ︒∠=,60ABC SBC SBA ︒∴∠=∠-∠=,ABC ∆∴是等边三角形,60BAC ︒∴∠=,1400AC km =,45NAC BAC BAN ︒∴∠=∠-∠=,即丙地在甲地北偏东45︒,丙地距甲地1400km .【点睛】本题考查了解三角形的实际应用,画出草图是关键,属于基础题.17.(1)如图(1),在ABC 中,计算AB BC CA ++;(2)如图(2),在四边形ABCD 中,计算AB BC CD DA +++ ;(3)如图(3),在n 边形123n A A A A 中,12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++= 证明你的结论.【答案】(1)0 (2)0 (3)0,见解析【解析】【分析】根据向量的加法法则直接对各式计算即可.【详解】解:(1)0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-= (2)0AB BC CD DA AC CD DA AD DA AD AD +++=++=+=-=.(3)122334n 110n n A A A A A A A A A A -+++++= .证明如下:12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++ 133411n n n A A A A A A A A -=++++ 1411n n n A A A A A A -=+++ L11110n n n n A A A A A A A A =+=-= 【点睛】本题考查向量加法的运算法则,属于基础题.18.已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+= ,求a 与b的夹角θ.【答案】120 【解析】【分析】根据4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+= 可求出a b ⋅ ,再根据cos a b a b θ⋅=求夹角,即可得出结果.【详解】因为4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+= ,所以2244361a a b b -⋅-=,即6442761a b -⋅-= ,所以6a b ⋅=-,因此1cos 2a b a b θ⋅==- ,所以a 与b的夹角θ为120 .【点睛】本题主要考查求向量的夹角,熟记向量的夹角公式,以及向量数量积的运算法则即可,属于常考题型.19.已知8,10a b == .且16a b += .求a 与b 的夹角θ(精确到1°).(可用计算工具)【答案】55︒【解析】【分析】先利用模的运算得a b ⋅,再利用向量夹角公式即可得到结论.【详解】16a b +=2222222821016,a b a a b b a b ∴+=+⋅+=+⋅+= 46a b ∴⋅=4623cos 81040a b a b θ⋅∴===⨯ ,用计算器算得55θ︒≈.【点睛】本题考查了向量的模,向量夹角公式,属于基础题.20.已知a 是非零向量,b c ≠ ,求证:()a b a c a b c ⋅=⋅⇔⊥-【答案】见解析【解析】【分析】从向量数量积相等入手,移项变形,得到数量积为0即可.【详解】证法1:0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-证法2:设()()()112233,,,,,a x y b x y c x y ===.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇔⊥- 12121313,a b x x y y a c x x y y ⋅=+⋅=+.由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+.即()()1231230x x x y y y -+-=而()2323,b c x x y y -=-- ,所以()0⋅-= a b c 再证()a b c a b a c⊥-⇒⋅=⋅ 由()0⋅-=a b c 得()()1231230x x x y y y -+-=.即12121313x x y y x x y y +=+,因此a b a c ⋅=⋅.【点睛】本题考查了向量的数量积为0的运算,属于基础题.拓广探索21.已知ABC 的外接圆圆心为O ,且2,AO AB AC OA AB =+= ,则向量BA 在向量BC上的投影向量为()A.14BCB.34BC C.14BC-D.34BC-【答案】A【解析】【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到OA OB OC ==,进而得到ABO ∆为正三角形,从而得到结论.【详解】如图,由2AO AB AC =+知O 为BC 的中点,又∵O 为ABC ∆的外接圆圆心,OA OB OC∴==又||||OA AB = AB OB OA OC∴===ABO ∴∆为正三角形,60ABO ︒∠=,BA ∴ 在BC 上的投影向量为1124BO BC =.故选:A.【点睛】本题考查平面向量数量积的含义,解题的关键是熟练掌握向量的运算法则,本题是基本知识与技能考查题,主要考查了向量运算能力,属于基础题.22.如图,O 是平行四边形ABCD 外一点,用,,OA OB OC 表示OD.【答案】OD OA OB OC =-+【解析】【分析】由OD OA AD =+ ,AD BC = ,BC OC OB =-,即可得到结论.【详解】OD OA AD OA BC OA OC OB OA OB OC =+=+=+-=-+.【点睛】本题考查向量加法,向量减法,属于基础题.23.已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点,且向量,,,OA OB OC OD满足等式OA OC OB OD +=+ .(1)作出满足条件的四边形ABCD .(2)四边形ABCD 有什么特点?请证明你的猜想.【答案】(1)见解析(2)平行四边形.见解析【解析】【分析】(1)直接作图即可;(2)结论:四边形ABCD 为平行四边形;将表达式OA OC OB OD +=+变形,利用向量减法运算法则即可得到结论.【详解】(1)作图,通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.(2)四边形ABCD 为平行四边形,证明如下:因为OA OC OB OD +=+ ,所以OA OB OD OC -=-,因为,OA OB BA OD OC CD -=-= .所以BA CD =,即//AB CD ,因此四边形ABCD 为平行四边形.【点睛】本题考查向量减法的运算法则,对表达式的灵活变形是解题的关键,属于基础题.24.如图,在C 中,是不是只需知道C 的半径或弦AB 的长度,就可以求出AB AC ⋅的值?【答案】只与弦AB 的长度有关,与半径无关【解析】【分析】由题意,设C 的半径为r ,AB 的长度为2a ,取AB 的中点D ,连接CD ,根据向量的数量积公式即可求出.【详解】只与弦AB 的长度有关,与半径无关.理由如下:设C 的半径为r ,AB 的长度为2a ,取AB 的中点D ,连接CD ,则CD AB ⊥.在Rt ACD △中,,,cos a AD a AC r CAD r==∠=,22cos 22aAB AC a r CAD ar a r ∴⋅=⋅⋅∠=⋅= .【点睛】本题主要考查了向量的运算,以及三角函数中,角与边的关系,属于基础题.。
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第二章 平面向量一、选择题1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .AD 与AE 相等D .AD 与BD 相等2.下列命题正确的是( ). A .向量AB 与BA 是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =bC .若AB =DC ,则A ,B ,C ,D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC =α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ).A .3x +2y -11=0B .(x -1)2+(y -1)2=5C .2x -y =0D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A .6πB .3π C .23π D .56π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则AP =( ). A .λ(AB +AD ),λ∈(0,1) B .λ(AB +BC ),λ∈(0,22) C .λ(AB -AD ),λ∈(0,1)D .λ(AB -BC ),λ∈(0,22) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则DF =( ). A .EF +EDB .EF -DEC .EF +ADD .EF +AF7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ).(第1题)A.2 B.4 C.6 D.128.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的().A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点9.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,DC=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为().A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形10.如图,梯形ABCD中,|AD|=|BC|,EF∥AB∥CD则相等向量是().A.AD与BC B.OA与OBC.AC与BD D.EO与OF(第10题)二、填空题11.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=.12.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与MN相等,其中M(-1,3),N(1,3),则x =.13.已知平面上三点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.14.给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1),且(a+m b)⊥(a-b),则实数m等于.15.已知A,B,C三点不共线,O是△ABC内的一点,若OA+OB+OC=0,则O 是△ABC的.16.设平面内有四边形ABCD和点O,OA=a,OB=b,OC=c, OD=d,若a+c =b+d,则四边形ABCD的形状是.三、解答题17.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若点P满足AP=AB+λAC(λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内?18.如图,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于F,求DF.(第18题)19.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证:AF⊥DE(利用向量证明).(第19题) 20.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值.参考答案一、选择题 1.B解析:如图,AB 与AC ,AD 与AE 不平行,AD 与BD 共线反向.2.A解析:两个单位向量可能方向不同,故B 不对.若AB =DC ,可能A ,B ,C ,D 四点共线,故C 不对.两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故D 也不对.3.D解析:提示:设OC =(x ,y ),OA =(3,1),OB =(-1,3),α OA =(3α,α),β OB =(-β,3β),又αOA +β OB =(3α-β,α+3β),∴ (x ,y )=(3α-β,α+3β),∴⎩⎨⎧βαβα33+=-=y x ,又α+β=1,由此得到答案为D .4.B解析:∵(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,∴(a -2b )·a =a 2-2a ·b =0,(b -2a )·b =b 2-2a ·b =0,∴ a 2=b 2,即|a |=|b |.∴|a |2=2|a ||b |cos θ=2|a |2cos θ.解得cos θ=21. ∴ a 与b 的夹角是3π. 5.A解析:由平行四边形法则,AB +AD =AC ,又AB +BC =AC ,由 λ的范围和向量数乘的长度,λ∈(0,1).6.D解析:如图,∵AF =DE , ∴ DF =DE +EF =EF +AF .(第6题)(第1题)7.C解析:由(a +2b )·(a -3b )=-72,得a 2-a ·b -6b 2=-72. 而|b |=4,a ·b =|a ||b |cos 60°=2|a |, ∴ |a |2-2|a |-96=-72,解得|a |=6. 8.D解析:由 OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,得OA ·OB =OC ·OA , 即OA ·(OC -OB )=0,故BC ·OA =0,BC ⊥OA ,同理可证AC ⊥OB , ∴ O 是△ABC 的三条高的交点. 9.C解析:∵AD =AB +BC +D C =-8a -2b =2BC ,∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |. ∴ 四边形ABCD 为梯形. 10.D解析:AD 与BC ,AC 与BD ,OA 与OB 方向都不相同,不是相等向量. 二、填空题 11.-32. 解析:A ,B ,C 三点共线等价于AB ,BC 共线,AB =OB -OA =(4,5)-(k ,12)=(4-k ,-7),BC =OC -OB =(-k ,10)-(4,5)=(-k -4,5),又 A ,B ,C 三点共线,∴ 5(4-k )=-7(-k -4),∴ k =-32. 12.-1.解析:∵ M (-1,3),N (1,3), ∴ MN =(2,0),又a =MN ,∴ ⎩⎨⎧0=4-3-2=3+2x x x 解得⎩⎨⎧4=1=-1=-x x x 或∴ x =-1. 13.-25.解析:思路1:∵ AB =3,BC =4,CA =5,∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC =90°,即AB ⊥BC ,∴AB ·BC =0, ∴ AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =BC ·CA +CA ·AB =CA ·(BC +AB ) =-(CA )2 =-2CA =-25.思路2:∵ AB =3,BC =4,CA =5,∴∠ABC =90°, ∴ cos ∠CAB =CA AB=53,cos ∠BCA =CABC=54.根据数积定义,结合图(右图)知AB ·BC =0, BC ·CA =BC ·CA cos ∠ACE =4×5×(-54)=-16, CA ·AB =CA ·AB cos ∠BAD =3×5×(-53)=-9. ∴ AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =0―16―9=-25. 14.323. 解析:a +m b =(3+2m ,4-m ),a -b =(1,5). ∵ (a +m b )⊥(a -b ),∴ (a +m b )·(a -b )=(3+2m )×1+(4-m )×5=0 m =323. 15.答案:重心.解析:如图,以OA ,OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ,则OF =OA +OC ,又 OA +OC =-OB ,∴ OF =2OE =-OB .O 是△ABC 的重心. 16.答案:平行四边形.解析:∵ a +c =b +d ,∴ a -b =d -c ,∴BA =CD . ∴ 四边形ABCD 为平行四边形. 三、解答题 17.λ<-1.解析:设点P 的坐标为(x ,y ),则AP =(x ,y )-(2,3)=(x -2,y -3). AB +λAC =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7) =(3+5λ,1+7λ).∵ AP =AB +λAC ,∴ (x -2,y -3)=(3+5λ,1+7λ). ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内,只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ<-1.18.DF =(47,2). 解析:∵ A (7,8),B (3,5),C (4,3), AB =(-4,-3),AC =(-3,-5).又 D 是BC 的中点, ∴ AD =21(AB +AC )=21(-4-3,-3-5) =21(-7,-8)=(-27,-4). 又 M ,N 分别是AB ,AC 的中点, ∴ F 是AD 的中点, ∴ DF =-FD =-21AD =-21(-27,-4)=(47,2). (第18题)19.证明:设AB =a ,AD =b ,则AF =a +21b ,ED =b -21a . ∴ AF ·ED =(a +21b )·(b -21a )=21b 2-21a 2+43a ·b . 又AB ⊥AD ,且AB =AD ,∴ a 2=b 2,a ·b =0. ∴ AF ·ED =0,∴AF ⊥ED .本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.20.分析:思路1:2a -b =(2cos θ-3,2sin θ+1),∴ |2a -b |2=(2cos θ-3)2+(2sin θ+1)2=8+4sin θ-43cos θ. 又4sin θ-43cos θ=8(sin θcos3π-cos θsin 3π)=8sin (θ-3π),最大值为8, ∴ |2a -b |2的最大值为16,∴|2a -b |的最大值为4.思路2:将向量2a ,b 平移,使它们的起点与原点重合,则|2a -b |表示2a ,b 终点间的距离.|2a |=2,所以2a 的终点是以原点为圆心,2为半径的圆上的动点P ,b 的终点是该圆上的一个定点Q ,由圆的知识可知,|PQ |的最大值为直径的长为4.(第19题)。