不等式证明练习题.doc
不等式及其性质练习题
不等式及其性质练习题一、填空题1. 若 a > b，则 a + 3 与 b 2 的大小关系是______。
2. 若 x 5 < 0，则 x 的取值范围是______。
3. 若 |x| > 5，则 x 的取值范围是______。
4. 若 a < b < 0，则a² 与b² 的大小关系是______。
5. 若 |x 1| = |x + 3|，则 x 的值为______。
二、选择题1. 下列不等式中，正确的是（）A. a² > b²B. a + b > aC. (a + b)²= a² + b²D. |a| = a2. 若 a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a < bC. a² < b²D. a/b < 13. 若x² 5x + 6 < 0，则 x 的取值范围是（）A. x < 2 或 x > 3B. 2 < x < 3C. x < 2 且 x > 3D. x ≠ 2 且x ≠ 3三、解答题1. 已知 a > b，证明：a² > ab。
2. 设 x 为实数，证明：若x² 3x + 2 > 0，则 x < 1 或 x > 2。
3. 已知 |x 1| + |x + 2| = 5，求 x 的值。
4. 若 a、b、c 为实数，且 a < b < c，证明：a + c < 2b。
5. 设 a、b 为正数，证明：若 a/b < 1/2，则 2a < b。
四、应用题1. 某商店举行优惠活动，满 100 元减 20 元，满 200 元减 50 元，满 300 元减 80 元。
小明购物满 300 元，实际支付了 220 元，求小明原价购物金额。
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
不等式练习题及讲解高中答案
不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一：若 \( a, b, c \) 均为正数，证明不等式 \( a + b\geq 2\sqrt{ab} \) 成立。
2. 题目二：已知 \( x \) 和 \( y \) 均为实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求证 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
3. 题目三：若 \( a, b \) 均为正整数，证明 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。
4. 题目四：对于任意实数 \( x \)，证明 \( \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 \)。
5. 题目五：若 \( x, y, z \) 均为正数，证明 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} \)。
#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解：利用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \)，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
题目二讲解：由于 \( x^2 + y^2 = 1 \)，我们有 \( (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 \)，从而 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
题目三讲解：同样使用AM-GM不等式：\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 \( a = b \) 时，等号成立。
题目四讲解：利用AM-GM不等式：\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 \( x^2 = 1 \)，即 \( x = \pm 1 \)。
不等式练习题及答案
不等式练习题及答案一、单项选择题1. 若 x > -3，下列不等式成立的是：A) x > 2 B) x < -2 C) x < 3 D) x > -1答案：D) x > -12. 若 2x + 5 < 13，下列不等式成立的是：A) x < 4 B) x < 3 C) x < 6 D) x < -4答案：C) x < 63. 若 -2x + 3 > -7，下列不等式成立的是：A) x > 2 B) x < -2 C) x > 5 D) x < -3答案：A) x > 2二、填空题1. 若 -4x + 5 < -3，解得 x > ______。
答案：-2/32. 若 2x - 7 > 13，解得 x > _______。
答案：103. 若 3x + 2 < -4，解得 x < _______。
答案：-2三、证明题证明：对于任意实数 x，都成立 x + 7 > x + 3。
解答：假设 x 为任意实数。
我们需要证明当 x + 7 > x + 3。
首先，将 x + 7 和 x + 3 分别展开，得到：x + 7 > x + 3由于两边都有 x，我们可以将其消去，得到：7 > 3由于 7 大于 3，所以原不等式成立。
证毕。
四、应用题若某数与它的倒数的和大于5/2，求这个数的取值范围。
解答：假设该数为 x。
根据题意，我们有不等式：x + 1/x > 5/2为了处理分式，我们可以先将不等式转化为二次方程的形式，即：2x^2 + 2 - 5x > 0化简后得到：2x^2 - 5x + 2 > 0为了求解该二次不等式，我们需要找到其根的位置。
通过求解 x 的二次方程 2x^2 - 5x + 2 = 0，得到两个根 x = 1/2 和 x = 2。
不等式的基本性质练习题
不等式的基本性质一、选择题(本大题共13小题，共52分)1.若a＞b，则下列式子正确的是（）A.-0.5a＞-0.5bB.0.5a＞0.5bC.a+c＜b+cD.a-c＜b-c2.若a＞b，则下列不等式中错误的是（）A.-a5＜−b5B.-2a＞-2bC.a-2＞b-2D.-（-a）＞-（-b）3.下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）-ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）ab＞1，一定能推出a＞b的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知a＜b，c是有理数，下列各式中正确的是（）A.ac2＜bc2B.c-a＜c-bC.a-3c＜b-3cD.ac ＜bc5.若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A.a-b＜0B.a3＜b3C.1-a＜1-bD.-1+a＜-1+b6.若a＞b，那么下面关系一定成立的是（）A.ac＞bcB.ac2＞bc2C.a-c＞b-cD.a|c|＞b|c|7.若a＜b，则下列不等式变形错误的是（）A.a+x＜b+xB.3-a＜3-bC.2a-1＜2b-1D.a2-b2＜08.下列变形中不正确的是（）A.由a＞b，得b＜aB.由-a＜-b，得b＜aC.由-3x＞a，得x＞-a3D.由-x3＞y，得x＜-3y9.若x＜y，则下列不等式中成立的是（）A.2+x＞2+yB.2x＞2yC.2-x＞2-yD.-2x＜-2y10.若∣a|a=-1，则a只能是（）A.a≤-1B.a＜0C.a≥-1D.a≤011.如果a、b表示两个负数，且a＜b，则（）A.a b ＞1B.ab＜1 C.1a＜1bD.ab＜112.若-a2＜-a3，则a一定满足是（）A.a＞0B.a＜0C.a≥0D.a≤013.当0＜x＜1时，x2、x、1x的大小顺序是（）A.x2＜x＜1x B.1x＜x＜x2 C.1x＜x2＜x D.x＜x2＜1x二、填空题(本大题共7小题，共21分)14.当x ＜a ＜0时，x 2 ______ ax （填＞，＜，=）15.已知：x ≤1，含x 的代数式A=3-2x ，那么A 的值的范围是 ______ ．16.若a ＞b ，则2-13a ______ 2-13b （填“＜”或“＞”）．17.如果7x ＜4时，那么7x -3 ______ 1．（填“＞”，“=”，或“＜”）．18.若a ＜b ＜0；则|a | ______ |b |，-a ______ -b ．19.用不等号填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：（1）若x +2＞5，则x ______ 3，根据不等式的性质 ______ ；（2）若−34x ＜-1，则x ______ 43，根据不等式的性质 ______ ．20.若a ＜b ，用“＞”号或“＜”号填空：-1+2a ______ -1+2b ，6-a ______ 6-b ．三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)21.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式．（1）x -1＜5．（2）4x -1≥3．（3）−12x +1≥4．（4）-4x ＜-10．四、解答题(本大题共2小题，共21分)22.根据不等式的性质，将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式．（1）10x -1＞7x ；（2）-12x ＞-1．23.【提出问题】已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y 取表示另一个量如x ，然后根据题中已知量x 的取值范围，构建另一量y 的不等式，从而确定该量y 的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x -y =2，∴x =y +2．又∵x ＞1，∴y +2＞1，∴y ＞-1．又∵y ＜0，∴-1＜y ＜0，…①同理得1＜x ＜2…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2．∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2．【尝试应用】已知x-y=-3，且x＜-1，y＞1，求x+y的取值范围．。
(完整版)不等式练习及答案汇总
一．选择题（共2小题）1．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（）A．b﹣a＜0 B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a2．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34 B．22 C．﹣3 D．0二．填空题（共2小题）3．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是．4．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道．三．解答题（共9小题）5．解不等式或不等式组：（1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1（2）1﹣≥x+2（3）（4）．6．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数．7．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B 种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案．8．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？9．某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．10．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）15 35售价（元/件）20 45（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．11．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？12．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？13．随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台18000元第二周4台10台31000元（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A 种型号的净水器最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2010春•邹城市校级期末）若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（）A．b﹣a＜0 B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a【分析】根据不等式的基本性质分别判断，再选择．【解答】解：A、不等式的两边同时减去a，不等号的方向不变，则0＜b﹣a，即b﹣a＜0成立；B、不等式的两边同时乘以c，因为c的符号不确定，所以不等号的方向也不确定，故ac＜bc不成立；C、不等式的两边同时除以b，因为b的符号不确定，所以不等号的方向也不确定，故不成立；D、不等式的两边同时乘以﹣1，不等号的方向改变变，则﹣a＜﹣b，则﹣b＜﹣a不成立．故选A．2．（2013春•蚌埠期中）若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34 B．22 C．﹣3 D．0【分析】先解不等式≥4x+6，得出用a表示出来的x的取值范围，再根据解集是x ≤﹣4，列出方程﹣=﹣4，即可求出a的值．【解答】解：∵≥4x+6，∴x≤﹣，∵x≤﹣4，∴﹣=﹣4，解得：a=22．故选B．二．填空题（共2小题）3．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是m＞4．【分析】解关于x的方程得x=，由方程的解为负数得到关于m的不等式，解不等式即可．【解答】解：解方程mx+13=4x+11得：x=，∵方程的解为负数，∴＜0，即4﹣m＜0，解得：m＞4，故答案为：m＞4．4．（2016春•谷城县期末）某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对13道．【分析】根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分≤90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．【解答】解：设应答对x道，则10x﹣5（20﹣x）＞90解得x＞12∴x=13三．解答题（共9小题）5．解不等式或不等式组：（1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1（2）1﹣≥x+2（3）（4）．【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（3）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可；（4）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）去括号得：3x﹣6﹣4+4x＜1，3x+4x＜1+6+4，7x＜11，x＜；（2）去分母得：6﹣2x+1≥6x+12，﹣2x﹣6x≥12﹣6﹣1，﹣8x≥5，x≤﹣；（3）∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1；（4）∵解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞7，∴不等式组无解．6．（2016春•房山区期中）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数．【分析】根据题意设安排住宿的房间为x间，并用含x的代数式表示学生人数，根据“每间住4人，则还余20人无宿舍住和；每间住8人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答．【解答】解：设安排住宿的房间为x间，则学生有（4x+20）人，根据题意，得解之得5.25≤x≤6.25又∵x只能取正整数，∴x=6∴当x=6，4x+20=44．（人）答：住宿生有44人，安排住宿的房间6间．7．（2012春•东城区校级期中）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案．【分析】本题首先找出题中的不等关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．【解答】解：设安排生产A种产品x件，则安排生产B种产品（50﹣x）件．依题意得解得30≤x≤32∵x为正整数，∴x=30，31，32，∴有三种方案：（1）安排生产A种产品30件，B种产品20件；（2）安排生产A种产品31件，B种产品19件；（3）安排生产A种产品32件，B种产品18件．8．（2015•黔东南州）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【分析】（1）关系式为：饮用水件数+蔬菜件数=320；（2）关系式为：40×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥200；10×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥120；（3）分别计算出相应方案，比较即可．【解答】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．x+（x﹣80）=320，解这个方程，得x=200．∴x﹣80=120．答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．得：，解这个不等式组，得2≤m≤4．∵m为正整数，∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：①2×400+6×360=2960（元）；②3×400+5×360=3000（元）；③4×400+4×360=3040（元）；∴方案①运费最少，最少运费是2960元．答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．9．（2013•云南）某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．【分析】（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据单价之间的关系和340元两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买榕树a棵，则香樟树为（150﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．【解答】解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，根据题意得，，解得，答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，根据题意得，，解不等式①得，a≥58，解不等式②得，a≤60，所以，不等式组的解集是58≤a≤60，∵a只能取正整数，∴a=58、59、60，因此有3种购买方案：方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．10．（2015•淄博模拟）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）15 35售价（元/件）20 45（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100．（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．根据题意得：．解得：．答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．根据题意得．解不等式组，得65＜a＜68．∵a为非负整数，∴a取66，67．∴160﹣a相应取94，93．方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．11．（2012•绥化）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？【分析】（1）等量关系为：改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元；（2）关系式为：地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770．【解答】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，则，解得．答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍所需资金130万元．（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8﹣a）所．则，解得由①的a≤3，由②得a≥1，∴1≤a≤3，即a=1，2，3．答：有3种改造方案．方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所．12．（2014•绥化）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？【分析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解．（2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价．【解答】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意得化简得，解之得．答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．（2）由于第二次A商品购进400件，获利为（1380﹣1200）×400=72000（元）从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元）设B商品每件售价为z元，则120（z﹣1000）≥9600解之得z≥1080所以B种商品最低售价为每件1080元．13．（2016•宿州二模）随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台18000元第二周4台10台31000元（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A 种型号的净水器最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【分析】（1）设A、B两种型号净水器的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的净水器收入18000元，4台A型号10台B型号的净水器收入31000元，列方程组求解；（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种型号净水器（30﹣a）台，根据金额不多余54000元，列不等式求解；（3）设利润为12800元，列方程求出a的值为8，符合（2）的条件，可知能实现目标．【解答】解：（1）设A、B两种净水器的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：．答：A、B两种净水器的销售单价分别为2500元、2100元．（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种净水器（30﹣a）台．依题意得：2000a+1700（30﹣a）≤54000，解得：a≤10．故超市最多采购A种型号净水器10台时，采购金额不多于54000元．（3）依题意得：（2500﹣2000）a+（2100﹣1700）（30﹣a）=12800，解得：a=8，故采购A种型号净水器8台，采购B种型号净水器22台，公司能实现利润12800元的目标．。
三角形三边关系不等式的证明题
三角形边角不等式关系练习题一、边的不等关系证明1、如图1，在△ABC 的边AB 上截取AD=AC ，连结CD ， （1）说明2AD ＞CD 的理由（填空）；解：∵AD+AC ＞CD （ ） 又∵AD=AC （ ） ∴AD+AD＞CD（ ） ∴2AD ＞CD（2）说明BD ＜BC 的理由。
解：∵_______＜BC （ ）又∵AD=AC （ ）∴AB –AD ＜BC （ ） 而AB –AD=BD∴BD ＜BC （ ）2、如图2，△ABC 中，AB=BC ，D 是AB 延长线上的点，说明AD ＞DC 的理由。
2、如图3，已知P 是△ABC 内任意一点，则有AB+AC ＞PB+PC.3. 如图所示，在△ABC 中，D 是BA 上一点，则AB+2CD>AC+BC 成立吗？•说明你的理由．4.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 的延长线上．求证：BD －BC ＜AD －AB ．AB CDAB C D图3 图2图15．如图，△ABC 中，D 是AB 上一点．求证：（1）AB ＋BC ＋CA ＞2CD ；（2）AB ＋2CD ＞AC ＋BC ．6.在右图中，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：AB+AE+12BC>AD+AC 证明：∵AD ⊥BC( )∴AB ＞AD( ) 在△AEC 中，AE+EC>AC( )又∵AE 为中线( )∴EC=12BC( )即AE+12BC>AC( ) ∴AB+AE+12BC ＞AD+AC7.已知如图：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE. 参考答案2.解：延长BP 交AC 于E ，在△PEC 中，PE+EC ＞PC∴BP+EP+EC ＞BP+PC 即BE+EC ＞BP+PC.在△ABE 中，AE+AB ＞BE ∴AE+EC+AB ＞BE+EC ， 即AC+AB ＞BE+EC ，∴AB+AC ＞PB+PC4.AD －AB ＝AC ＋CD －AB ＝CD ，∵ BD －BC ＜CD ，∴ BD －BC ＜AD －AB ．5.（1）AC ＋AD ＞CD ，BC ＋BD ＞CD ，两式相加：AB ＋BC ＋CA ＞2CD ．ACEP B（2）AD＋CD＞AC，BD＋CD＞BC，两式相加：AB＋2CD＞AC＋BC．7.（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
高一不等式练习题(打印版)
高一不等式练习题（打印版）# 高一不等式练习题## 一、选择题1. 若不等式\( a + b > c \)成立，且\( a > 0 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( b > -a \)B. \( b > c - a \)C. \( b > c \)D. \( b > a \)2. 对于任意实数\( x \)，下列不等式中哪个是恒成立的？A. \( x^2 \geq 0 \)B. \( x^2 + 1 \geq 1 \)C. \( x^2 + 1 \geq x \)D. \( x^2 - 1 \geq 0 \)## 二、填空题1. 若\( x \)是正数，那么\( \frac{1}{x} \)的取值范围是\_\_\_\_\_。
2. 若\( a \)和\( b \)是两个不同的正数，且\( a + b = 1 \)，则\( ab \)的最大值是 \_\_\_\_\_。
## 三、解答题1. 已知不等式\( 2x - 3 > x + 1 \)，求\( x \)的取值范围。
2. 已知不等式\( |x - 2| < 3 \)，求\( x \)的取值范围，并说明\( x \)的最小值和最大值。
## 四、证明题1. 证明不等式\( a^2 + b^2 \geq 2ab \)对任意实数\( a \)和\( b \)都成立。
2. 若\( a, b, c \)是正数，且\( a + b + c = 1 \)，证明\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \)。
## 五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为\( C(x) = 100 + 30x \)，销售价格为\( P(x) = 200 - 5x \)，其中\( x \)表示产品数量。
求利润最大时的产品数量。
2. 一个班级有50名学生，每个学生至少参加一项课外活动。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
高中不等式证明练习题及参考答案
高中不等式证明练习题及参考答案高中不等式证明练习题及参考答案不等式证明是可以作文练习题经常出现的，这类的练习题是的呢?下面就是店铺给大家整理的不等式证明练习题内容，希望大家喜欢。
不等式证明练习题解答(1/a+2/b+4/c)*1=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)展开，得=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b基本不等式，得>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2=11+6√2≥18楼上的，用基本不等式要考虑等号时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z则原不等式等价于：x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0含有绝对值的不等式练习。
1.实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是[0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是(0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
证明不等式的基本方法练习题(基础、经典、好用)
证明不等式的基本方法一、选择题1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( )A ．s ≥tB ．s >tC ．s ≤tD ．s <t2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．无法判断3．设a 、b ∈(0，＋∞)，且ab －a －b ＝1，则有( )A ．a ＋b ≥2(2＋1)B ．a ＋b ≤2＋1C ．a ＋b ＜2＋1D ．a ＋b ＞2(2＋1)4．已知a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( )A ．5B ．7C ．9D ．115．(2012·湖北高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z 等于( ) A.14 B.13C.12D.34 二、填空题6．设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 与n 的大小关系是________．7．以下三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23，其中正确命题的序号是________．8．若x ＋y ＋z ＝1，且x ，y ，z ∈R ，则x 2＋y 2＋z 2与13的大小关系为________．三、解答题9．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.10．(2013·深圳调研)已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝（1－x ）2x ＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值．11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .【答案】 A2．【解析】 ∵0<x <1，∴1＋x >2x ＝4x >2x ， ∴只需比较1＋x 与11－x的大小， ∵1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x<0， ∴1＋x <11－x. 因此c ＝11－x 最大． 【答案】 C3．【解析】 ∵ab －a －b ＝1，∴1＋a ＋b ＝ab ≤(a ＋b 2)2.令a ＋b ＝t (t ＞0)，则1＋t ≤t 24(t ＞0)．解得t ≥2(2＋1)，则a ＋b ≥2(2＋1)．【答案】 A4．【解析】 把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.【答案】 C5．【解析】 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ， 又a 2＋b 2＋c 2＝10相加可得(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10，所以不妨令⎩⎨⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c (或⎩⎨⎧x －a ＝b ，y －b ＝c ，z －c ＝a)， 则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 【答案】 C二、填空题6．【解析】 ∵a ＞b ＞0，∴m ＝a －b ＞0，n ＝a －b ＞0.∵m 2－n 2＝(a ＋b －2ab )－(a －b )＝2b －2ab ＝2b (b －a )＜0，∴m 2＜n 2，从而m ＜n .【答案】 m ＜n7．【解析】 ①|a |－|b |≤|a －b |＜1，所以|a |＜|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |＜2，|y |＞3，所以1|y |＜13，因此|x ||y |＜23.∴①②③均正确．【答案】 ①②③8．【解析】 ∵(x ＋y ＋z )2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝1，又2(xy ＋yz ＋zx )≤2(x 2＋y 2＋z 2)，∴3(x 2＋y 2＋z 2)≥1，则x 2＋y 2＋z 2≥13.【答案】 x 2＋y 2＋z 2≥13三、解答题9．【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴2ab ≤a ＋b ＝1.因此ab≤12，1ab≥4.则1a＋1b＋1ab＝(a＋b)(1a＋1b)＋1ab≥2ab·2 1ab＋4＝8.故1a＋1b＋1ab≥8成立．10．【解】(1)证明∵a2b＋b2a－(a＋b)＝a3＋b3－a2b－ab2ab＝a2（a－b）－b2（a－b）ab＝（a－b）2（a＋b）ab.又∵a＞0，b＞0，∴（a－b）2（a＋b）ab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴a2b＋b2a≥a＋b.(2)∵0＜x＜1，∴1－x＞0，由(1)的结论，函数y＝（1－x）2x＋x21－x≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝12时等号成立．∴函数y＝（1－x）2x＋x21－x(0＜x＜1)的最小值为1.11．【证明】(1)由于x≥1，y≥1，则x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，将上式中右式减左式得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，由x≥1，y≥1易知(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，即原不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数换底公式得log c a＝1xy，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy，则所证不等式可化为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，由1≤a≤b≤c知x＝log a b≥1，y＝log b c≥1，由(1)知所证不等式成立．。
高中数学联赛不等式专题练习(带答案详解,word精校版)
高中数学联赛不等式专题练习（带答案详解）一、解答题1．已知a ，b 为正数，且a b2112a b a b+>>>+. 【答案】证明见解析 【分析】如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证. 【详解】=可先构造Rt ABC △，使得2a b BC +=，2a bAC -=，如图所示.此时，AB =再以2a b BC +=为斜边，2a bCD -=为直角边构造Rt BCD ，则BD ===最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2BD BE BC =⋅'得22112BD BE BC a b==='+， 由图形直观得AB BC BD BE >>>，2112a ba b+>>>+.2．已知：0a>，0b>，1a b+=.2≤.【答案】证明见解析.【分析】构造一个直角三角形，图所示）cos)2αα+≤,即得证.【详解】证明：为了使得条件1a b+=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：11222a b⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有222+=.①.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1a b+=.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”，而有不等式.至于这个双联不等式的右边部分，也可由图，并根据直角三角形的边角关系知αα=.cos)24πααα⎛⎫+=+≤⎪⎝⎭∴2≤成立.3．设x，y，0z>1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.【答案】证明见解析. 【详解】等价于已知x ，y ，0z >，1x y z ++=，证：()8445221x y z x y z +≥+∑， 由三元均值不等式有()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()84444622()x y z x y xyz yx ∏+⎛⎫=∏+ ⎪⎝⎭，所以有()()8446653()()xy z x y xyz xyz ++≥∏∏，则可知()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()()()866444444322()893xy x y x xyxyz xxy++≥≥≥+∏∏∑∑∑∏，则有()844522x y z x y z+≥+∑1x y z =++≥∴≥又13，所以()8445221x y z x y z +≥+∑, 所以原不等式成立.4．对每一个正整数2n ≥，求最大的常数n c 使得不等式1nn i i j i i jc a a a =<≤-∑∑对任意满足10nii a==∑的实数12,,,n a a a 成立．【答案】2n【详解】首先，我们证明2n n c ≤；若n 为偶数，设2n k =，取1121,1k k k a a a a a +=======-，此时21,2nii j i i jan a a k =<=-=∑∑．所以2122iji jn nii a ak n c k n a<=-≤===∑∑． 若n 为奇数，设21n k =+，取121221,11k k k ka a a a a k +++=======-+，此时1(1)121ni i k a k k k k ==++⋅=+∑，(1)1(21)1i j i j k a a k k k k k <⎡⎤⎛⎫-=++=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑． 所以1(21)21222iji jn nii a ak k k nc k a<=-++≤===∑∑，所以对n +∈Z 均有2n n c ≤． 下面我们证明2n nc =满足条件，即12ni i j i i jn a a a =<≤-∑∑．又()1112(1)n n ni j i j i j i j i ji j ii j ii j ia a a a a a n a a <=≠=≠=≠-=-≥-=--∑∑∑∑∑∑∑．因为10n i i a ==∑，所以0i j j ia a ≠+=∑．所以112(1)n ni j i i i i j i i a a n a a n a <==-≥-+=∑∑∑，得证．所以n c 的最大值为2n．5．已知正实数12,,,(2)n a a a n >满足121n a a a +++=．证明：23131212121222(1)n nn n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+--．【答案】证明见解析. 【详解】当4n ≥时，由平均值不等式知1111111n nn j i nj i jj j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏．又111i a n -<-，则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以 231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+-()()3311(1)2ni i ia n a n =-≤-+-∑ 33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑．当3n =时，即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a ． 由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭，所以3112131111()(1)4(1)(1)=≤++--∑∑i iia a a a a a()()2131111411a a a a ⎛⎫=+⎪--⎝⎭∑ ()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑，所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a ．命题得证．6．已知12,,,n a a a …为正实数(4)n ≥，且满足(1)j i ia ja i j i j n +≥+≤<≤，求证：()()()()12121n a a a n n +++≥+！．【答案】证明见解析 【详解】设ii a b i =，则有11(1)i j b b j i j i n +≤≥<≤+，命题即证1(1)(1)ni i b n =+≥+∏．（1）若对于所有(1)i i n ≤≤，有1i b i ≥，则11111(1)(1)1n n ni i i i i b n i i ===+⎛⎫+≥+==+ ⎪⎝⎭∏∏∏．（2）若存在某一个(1)i i n ≤≤，有1i b i<.设1i c b i=-，则有111111()j i b b i c j i j j +≥+-++≠=+，则11111(1)(1)11nni i i c i b c j c i==+-+≥⋅++++∏∏. 注意到21111111111(1)111c c i i i c c c i i i+-+-+=⋅≥++++++， 故只需证211111(1)11(1)n ni i n c c j j ==⎛⎫⋅+++=+ ⎪⎝⎭≥+∏∏， 即2111(1)11n i c jc j =⎛⎫++ ⎪ ⎪≥+ ⎪+ ⎪⎝⎭∏．又因为111111211cc c jj j++=+≥+++， 故()421244122111312121122212ni c c c c c c c j C C =⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪≥+≥++ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎭≥++⎝∏ 因此命题成立．7．求所有实数1,1,1x y z ≥≥≥满足：=【答案】22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中0l >． 【详解】记2221,1,1x k y l z m =+=+=+，不妨0k l m ≤≤≤，k l m =++．平方整理得()2221(1)(1)0k lm kl km +-++-=，于是有11,ml m l k=+=， 所以210,,,1ll m k l l l ≠===+相应的222211,11y y yx k z m y y +-=+==+=-． 由x y ≤，即2321(1)(1)0y y y y y +-≤⇔-+≥，符合假设．由x z ≤，即()231(1)210y y y y y +--≤⇔-≥，又1y ≥，符合假设．综上，22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中0l >． 8．已知12,,,0n a a a >，求证：()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++．【答案】证明见解析. 【详解】因为()()()2221232213132a a a a a a a a a ++=++++ ()222131324a a a a a a ≥+++()()221321222a a a a a a =+++()()122322a a a a =++，所以()()()()()()21232341212231n n a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭()()()()()()()()()1223233411222212231222222nn a a aa a a a a aa a a a a a a a a +++++≥++++， 当且仅当1324,a a a a ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅时等号成立． 以下配对柯西约分： 因为()()()22121212222a a a a a a ++≥=+，()()()22232323222a a a a a a ++≥=+，……，显然柯西不等式等号不成立．所以()()()()()()212323412122312n nn a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭>， 即()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++.9．在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值． 【答案】23【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．10．求常数C 的最大值，使得对于任意实数122020,,x x x ﹐均有20192120201()i i i i x x x Cx +=+≥∑．【答案】20194040- 【详解】定义数列{}n a 满足1110,()4(1)n n a a n a N ++=-∈=．不难用数学归纳法证明1()2n n a n nN +-∈=． 对于正整数i ，由22222111111111(1))04i i i i i i i i i i i i i a x x x a x x x x a x a ++++++++-++=++=≥， 得222111i i i i i i i x x x a x a x ++++≥-.上式两边对i 从1到2019求和，得2019201922222111202020002020112019()()4040ii i i i i i i i x x x a x a x a x x +++==+≥-=-=-∑∑． 另一方面，取11111,1,2,,201(9)2n n n n x n x x x n a n +++==-=-⋅=⋅⋅，可得20194040C ≤-． 故常数C 的最大值为20194040-． 11．设正整数2n ≥，非负实数12,,,n a a a ，满足11ni i a ==∑，求2211n n i i i i a i a i ==⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑的最大值.【答案】23224(1)27(1)n n n n +++ 【详解】注意到，对任意的1i n ≤≤，都有22(1)1n n n i n i++++≤， (这是因为上式等价于(1)()(1)0i n i n i i--++≥） 于是由均值不等式，()222222111114()()()(1)2nnnn i i i i i i i i n n a i a i a a i n n i ====+⎛⎫⋅=⋅ ⎪+⎝⎭∑∑∑∑ 32122(1)4(1)3n i i n n i a i n n =⎡+⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥≤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 32232222414(1)(1)327(1)n n n n n n n n ⎛⎫++++≤= ⎪++⎝⎭等号成立当且仅当2111(1),12n nni i i i i i n n i a a a i ===+==∑∑∑及2310n a a a -====，即1231212,,03(1)3(1)n n n n a a a a a n n -++======++时.综上，原式的最大值为23224(1)27(1)n n n n +++. 12．设正实数1299,,,a a a 满足对任意199i j ≤≤≤有i j ja ia i j +≥+，求证：()()()12991299100a a a +++≥!．【答案】证明见解析 【详解】 令(199)ii a b i i=≤≤，条件转化为对任意199i j ≤<≤有11i j b b i j +≥+．要证不等式即()()()1299111100b b b +++≥．若对任意199i ≤≤均有1i b i ≥，则左式99111100i i=⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭∏．否则恰存在一个i 使得1i b i <，记1i c b i=-，则对任意j i ≠，有1j b c j ≥+．于是左式9919911111111111j j j ic i c c c i j j c i≤≤=≠-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++∏∏． 即只需证：991121100111j c c j c i =⎛⎫ ⎪⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-+⎝⎭∏． ① 由Bernoulli 不等式知 ①式左端9999999911111110011001111j j j j j j j j c c c j j j j ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+⋅≥+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏． 显然99122111j j j c i=>>+-+∑，因此①式成立，即证原不等式成立． 13．已知12,,,n a a a R ∈，且满足222121n a a a +++=，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-的最大值.【答案】当n为偶数时，最大值为n 为奇数时，最大值为【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立. （1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112n n ni i i i i i i i a a a a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立. （2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a -----必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn ni i i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122aa a a a-++=，所以：23A 22ni i a a ==+≤≤=∑当且仅当12413110,,11a a a a a n n =======---或12413110,,11a a a a a n n ====-===--时等号成立.14．已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++. 【答案】证明见解析 【详解】()()()()111abc a b ab bc ca c a b ab ⎡⎤⎣⎦++-++=-+⨯-，因为a ，b ，0,2c a b c ≥++=，所以()1,1c a b ab +≤≤. 于是()1abc a b ab bc ca ++≥++，同理()1abc b c ab bc ca ++≥++，()1abc c a ab bc ca ++≥++. 则：1()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++++++++1bc ca abab bc ca ab bc ca ab bc ca≤++=++++++.故题中的不等式成立. 15．设1,2,3,,()k k a b k n =、均为正数，证明：（1）若112212n n n a b a b a b b b b ++⋯+≤++⋯+，则12121n b b bn a a a ≤；（2）若121n b b b +++=…，则1222212121n b b b n n b b b b b b n++≤+≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】设()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞，令1()10f x x'=-=解得1x =. 当01x <<时，()()0,f x f x '>在()0,1内是增函数； 当1x >时，()()0,f x f x <在()1,+∞内是减函数； 故函数()f x 在1x =处取得最大值()10,ln 1f x x =≤-.（1）因为,0k k a b ≥，从而有ln 1k k a a ≤-，得()ln 1,2,k k k k k b a a b b k n ≤-=⋯， 求和得111ln k nnnb kk k k k k k a b b a ===≤-∑∑∑.因为11nnk k k k k a b b ==≤∑∑，所以1n 0l k nbk k a =≤∑，即1212ln()0n b b b n a a a ⋅⋅≤⋅，所以12121n b b bn a a a ⋯≤.（2）①先证12121n n b b b b nb b ≤令1(1,2,,)k k a k n nb ==.则11111nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑，于是由（1）得1212111()()()1nb b b nnb nb nb ≤， 即1212211nn b b b b b b nb n bn b+++≤=，所以12121n n b b b b nb b ≤⋯. ②再证122221212n b bbn n b b b b b b ≤+++.记21nkk S b ==∑，令(1,2,,)kk b a k n S ==，则211111n n nk k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()()1n b b bn b b b S S S≤.即121212nnb b b b b bn b b S S b +++==，所以122221212n b b n n b b b b b b b ⋯≤+++.综合①②，（2）得证. 16．给定整数2n ≥．设1212,,,,,,,0n n a a a b b b >，满足1212n n a a a b b b +++=+++，且对任意,(1)i j i j n ≤<≤，均有i j i j a a b b ≥+．求12n a a a +++的最小值．【答案】最小值为2n ． 【分析】 记1212n n S a a a b b b =+++=+++．由条件知()11(1)i j iji j ni j na ab b n S ≤<≤≤<≤≥+=-∑∑．结合222111122n i ji j i i j ni j ni a a n a a a ≤<≤≤<≤=+-≤=⋅∑∑∑，将2221112n ni i i j i i i j n S a a a a ==≤<≤⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑∑变成不等关系，求得最小值，并验证等号成立条件即可. 【详解】 解：记1212n n S a a a b b b =+++=+++．由条件知()11(1)i j iji j ni j na ab b n S ≤<≤≤<≤≥+=-∑∑．又222111122n i ji j i i j ni j ni a a n a a a ≤<≤≤<≤=+-≤=⋅∑∑∑，于是222111122221n ni i i j i j i i i j n i j n S a a a a a a nS n ==≤<≤≤<≤⎛⎫⎛⎫==+≥+≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑． 注意0S >，故2S n ≥． 另一方面，当2(1,2,,)i i a b i n ===时，条件满足，且2S n =．综上，12n S a a a =+++的最小值为2n ．17．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++ 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明. 【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222x y y z x z x y zxy yz xz +++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立.（Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭， 故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.18．设x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，求证：33311116xy yz zxx y y z z x ++++≥ . 【答案】证明见解析 【分析】由基本不等式+a b ≥. 【详解】因为x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，所以31682xy yz x y x+≥==（当且仅当24x y =，即x z =时取等号），31682yz xz y z y +≥==（当且仅当24y z =，即x y =时取等号），31682xz xy z x z+≥=（当且仅当24z x =，即y z =时取等号）， 所以333161616+++2+2+2xy yz xz yz xz xy x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当x y z ==取等号），所以33311116xy yz zx x y y z z x ++++≥，当且仅当x y z ==取等号. 【点睛】本题考查运用基本不等式证明不等式，关键在于构造基本不等式和满足基本不等式的条件，属于中档题.19．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）记1n n n d a S +=-，证明：1132n d <<【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）先令n=1求出首项，再由前n 项的积的定义表示1111n n na a a ++-=-，进而整理化简，再由等差数列定义得证；（2）由（1）表示数列{}n a 的通项公式，进而由放缩法放缩2n T ，再由裂项相消法求n S ，最后再放缩不等式得证. 【详解】解析：（1）因为1n n T a =-，所以111a a =-，解得112a =. 由题可知11111n n n n nT a a T a +++-==-， 所以11111n n n a a a ++=--，即()1111111n n n a a a ++--=--，则111111n n a a +-=--. 所以11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列，且首项1121a =-. （2）由（1）可知()1121111111n n n nn n a a a n n =+-⋅=+⇒-=⇒=-++，则111n n T a n =-=+. 首先，()()()22111112121n T n n n n n =>=-+++++.所以222111111111123341222n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+>-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又112n n a n ++=+，所以111112222n n n n d a S n n ++=-<+-=++. 其次，()()2221111112113212311422n T n n n n n n ⎛⎫=<=-=- ⎪++⎝⎭++-++. 所以2221111111111222235572123323n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以111112212232322433n n n n n d a S n n n n +++⎛⎫=->-->+-= ⎪++++⎝⎭. 综上所述：1132n d <<.【点睛】本题考查由已知递推关系证明等差数列，还考查了由放缩法证明数列不等式以及裂项相消法求和，属于难题.20．用适当的方法证明下列不等式： （1）若0x >，0y >，证明：22x y xyx y+≥+；（2）设a ，b 是两个不相等的正数，且111a b+=，证明：4a b +>．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）采用分析法证明，当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+，只需证2()4x y xy +≥，再根据重要不等式即可证明；（2）采用综合法证明，由题意得()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++，再根据基本不等式即可证明． 【详解】证明：（1）当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+， 则只需证：2()4x y xy +≥， 即证：2()40x y xy +-≥， 即证：2220x xy y -+≥，∵,x y R ∀∈，2222()0x xy y x y -+=-≥恒成立， ∴22x y xyx y+≥+成立； （2）∵0a >，0b >，111a b+=且ab ，∴()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++24≥+，∵a b ，∴不能取等号，即4a b +>．【点睛】本题主要考查不等式的证明方法，考查分析法与综合法证明不等式，考查基本不等式的应用，属于中档题．。
不等式的性质练习
【解析】
【分析】
利用作差法即可比较大小.
【详解】
由 ， ，且 均为正数，
则
，
即 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了作差法比较两式的大小，考查了基本运算能力，属于基础题.
10．3
【解析】
【分析】
当 ， 成立，利用不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，可判断 成立；
当 ， 成立，利用不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变，可判断 成立；
①若 ，则 ；②若 ，且 ，则 ；
③若 ，且 ，则 ， ；④若 ，则 .
其中真命题的是（）
A．①③B．②③C．②④D．③④
5．若 ，则下列不等式：① ；② ；③ ；④ ，其中正确不等式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若 ，则下列不等式中不成立的是（）
A． B． C． D．
7．设 ，且 ，则下列各不等式中恒成立的是（）
A． B． C． D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
二、填空题
8．已知a＞0，b＞0，则p＝ ﹣a与q＝b﹣ 的大小关系是_____．
9．已知 ， ，其中 均为正数，则 的大小关系为______.
10．已知三个不等式： ， ， （其中 ， ， ， 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是______.
【详解】
设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为 ，跑步的速度为 ，且
甲所用的时间 ，
乙所用的时间 满足：
则
所以
因为
所以 ，即乙先到教室
高中数学-不等式的证明精选练习(详解)
高中数学-不等式的证明精选练习（详解）1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.(1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a， 所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2.2．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab， 得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，求证：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①必要性：若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)，得a ＋b >c ＋d . ②充分性：若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．4．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.5．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103； 当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解； 当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2. 所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ， 即|ab －1|＞|a －b |.因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．6．(·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M .(1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2. 当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立． 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.7．已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝a 2b ＋a 2＋b 2a ＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋ab (a ＋b )－ab －(a ＋b )－1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋2ab －ab －3(a ＋1)(b ＋1)＝(a ＋b )2－3－ab (a ＋1)(b ＋1)＝1－ab (a ＋1)(b ＋1). ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1.∴1－ab (a ＋1)(b ＋1)≥0. ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 8．设函数f (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|－m ，若∀x ∈R ，1m－4≥f (x )恒成立． (1)求实数m 的取值范围；(2)求证：log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)．解：(1)∵∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立，∴m ＋1m ≥x －|x ＋2|－|x －3|＋4恒成立．令g (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|＋4＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋3，x <－2，x －1，－2≤x ≤3，－x ＋5，x >3.∴函数g (x )在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝2，∴m ＋1m ≥g (x )max ＝2，即m ＋1m －2≥0⇒m 2－2m ＋1m ＝(m －1)2m≥0， ∴m >0，综上，实数m 的取值范围是(0，＋∞)．(2)证明：由m >0，知m ＋3>m ＋2>m ＋1>1，即lg(m ＋3)>lg(m ＋2)>lg(m ＋1)>lg 1＝0.∴要证log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)．只需证lg (m ＋2)lg (m ＋1)>lg (m ＋3)lg (m ＋2)， 即证lg(m ＋1)·lg(m ＋3)<lg 2(m ＋2)，又lg(m ＋1)·lg(m ＋3)< ⎣⎡⎦⎤lg (m ＋1)＋lg (m ＋3)2 2 ＝[lg (m ＋1)(m ＋3)]24<[lg (m 2＋4m ＋4)]24＝lg 2(m ＋2)， ∴log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)成立．。
不等式的基本性质练习题
不等式的基本性质练习题 1.求证：221a b ab a b +≥++- 证明：22()(1)a b ab a b +-++-2222222222211(222222)21[(2)(21)(21)]21[()(1)(1)]02a b ab a b a b ab a b a ab b a a b b a b a b =+---+=+---+=-++-++-+=-+-+-≥ 221a b ab a b ∴+≥++- 2．设2P =，73Q =-，62R =-，则,,P Q R 的大小顺序是（ ）A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >>B 解 22226,262+=>∴>- ，即P R >； 又6372,6273+>+∴->-，即R Q >，所以P R Q >>3．比较大小：36log 4______log 7解．> 设36log 4,log 7a b ==，则34,67a b ==，得7346423a b b b⋅=⋅=⋅⋅ 即4237b a b-⋅=，显然1,22bb >>，则423107b a b a b a b -⋅=>⇒->⇒> 4．已知,,a bc R +∈，比较333a b c ++与222a b b c c a ++的大小。
解：作差基本不等式的练习题 1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+D 解： 20,20,222222xxx x x x --->>∴+≥=2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271xy++的最小值是（ ） A ．339 B ．122+ C ．6 D ．7 解：D 33333123312317xyx y x y +++≥⋅+=+=3．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。
利用导数证明不等式(经典导学案及练习答案详解)
§3.6 利用导数证明不等式题型一 将不等式转化为函数的最值问题例1 已知函数g (x )＝x 3＋ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围；(2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x .(1)解 由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ，若g (x )在[1,3]上单调递增，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≥－32； 若g (x )在[1,3]上单调递减，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立，则a ≤－92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明 由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0，即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ， 令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0，可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x，x >0， 当0<x <1时，u ′(x )<0，函数u (x )单调递减；当x >1时，u ′(x )>0，函数u (x )单调递增．所以u (x )≥u (1)＝1＋a ，因为a >－1，所以u (x )>0，故当a >－1时，对于任意x >0，g (x )>x 2ln x .教师备选已知函数f (x )＝1－ln x x ，g (x )＝a e e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. (1)解 因为f (x )＝1－ln x x，x >0，所以f ′(x )＝ln x －1x 2，f ′(1)＝－1. 因为g (x )＝a e e x ＋1x－bx ， 所以g ′(x )＝－a e e x －1x 2－b . 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直， 所以g (1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g (1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明 由(1)知，g (x )＝－e e x ＋1x＋x ， 则f (x )＋g (x )≥2x ⇔1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0. 令h (x )＝1－ln x x －e e x －1x＋x (x ≥1)， 则h (1)＝0，h ′(x )＝－1＋ln x x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝ln x x 2＋e e x＋1. 因为x ≥1，所以h ′(x )＝ln x x 2＋e e x ＋1>0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h (x )≥h (1)＝0，即1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0， 所以当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. 思维升华 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．跟踪训练1 已知函数f (x )＝ln x ＋a x，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a. (1)解 f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减．(2)证明 由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1.要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a， 即证ln a ＋1a－1≥0. 令函数g (a )＝ln a ＋1a－1， 则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a 2(a >0)， 当0<a <1时，g ′(a )<0；当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (a )min ＝g (1)＝0.所以ln a ＋1a－1≥0恒成立， 所以f (x )≥2a －1a. 题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＝x ＋a x. 当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，若x ∈(－a ，＋∞)，则f ′(x )>0；若x ∈(0，－a )，则f ′(x )<0.所以f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．(2)证明 当a ＝1时，要证xf (x )<e x ，即证x 2＋x ln x <e x ，即证1＋ln x x <e x x 2. 令函数g (x )＝1＋ln x x， 则g ′(x )＝1－ln x x 2. 令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)．所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1＋1e， 令函数h (x )＝e xx2， 则h ′(x )＝e x (x －2)x 3. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (2)＝e 24. 因为e 24－⎝⎛⎭⎫1＋1e >0， 所以h (x )min >g (x )max ，即1＋ln x x <e xx2，从而xf (x )<e x 得证． 教师备选(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝e x 2－x ln x ．求证：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e. 证明 要证f (x )<x e x ＋1e， 只需证e x －ln x <e x ＋1e x， 即e x －e x <ln x ＋1e x. 令h (x )＝ln x ＋1e x(x >0)， 则h ′(x )＝e x －1e x2， 易知h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 则h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝0，所以ln x ＋1e x≥0. 再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0.因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x，故原不等式成立． 思维升华 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与e x ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．跟踪训练2 (2022·百校大联考)已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0.(1)解 f ′(x )＝e x－a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②若a >0，则当0<x <e a时，f ′(x )>0； 当x >e a时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，e a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫e a ，＋∞上单调递减． (2)证明 因为x >0，所以只需证f (x )≤e x x－2e ， 当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (1)＝－e.设g (x )＝e x x －2e(x >0)，则g ′(x )＝(x －1)e x x 2， 所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e x x －2e. 故不等式xf (x )－e x ＋2e x ≤0得证．题型三 适当放缩证明不等式例3 已知函数f (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >－2时，求证：f (x )>ln(x ＋2)．(1)解 由f (x )＝e x ，得f (0)＝1，f ′(x )＝e x ，则f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝x －0，所以所求切线方程为x －y ＋1＝0.(2)证明 设g (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x －x －1(x >－2)，则g ′(x )＝e x －1，当－2<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，即g (x )在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x ＝0时，g (x )min ＝g (0)＝0，因此f (x )≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)，令h (x )＝x ＋1－ln(x ＋2)(x >－2)，则h ′(x )＝1－1x ＋2＝x ＋1x ＋2， 则当－2<x <－1时，h ′(x )<0，当x >－1时，h ′(x )>0，即有h (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x ＝－1时，h (x )min ＝h (－1)＝0，因此x ＋1≥ln(x ＋2)(当且仅当x ＝－1时取等号)，所以当x >－2时，f (x )>ln(x ＋2)． 教师备选已知函数f (x )＝x ln x x ＋m，g (x )＝x e x ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为x －2y ＋n ＝0. (1)求m ，n 的值；(2)证明：f (x )>2g (x )－1.(1)解 由已知得，f (1)＝0，∴1－0＋n ＝0，解得n ＝－1.∵f ′(x )＝(ln x ＋1)(x ＋m )－x ln x (x ＋m )2，∴f ′(1)＝m ＋1(1＋m )2＝12， 解得m ＝1.(2)证明 设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －1>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1>1，∴1e x <1x ＋1. 要证f (x )>2g (x )－1，即证x ln x x ＋1>2x e x－1， 只需证x ln x x ＋1≥2x x ＋1－1， 即证x ln x ≥x －1，令m (x )＝x ln x －x ＋1，则m ′(x )＝ln x ，∴当x ∈(0,1)时，m ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，m ′(x )>0，∴m (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴m (x )min ＝m (1)＝0，即m (x )≥0，∴x ln x ≥x －1，则f (x )>2g (x )－1得证．思维升华 导数方法证明不等式中，最常见的是e x 和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号．(2)ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a e x －1－ln x －1.(1)若a ＝1，求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：当a ≥1时，f (x )≥0.(1)解 当a ＝1时，f (x )＝e x －1－ln x －1(x >0)，f ′(x )＝e x －1－1x， k ＝f ′(1)＝0，又f (1)＝0，∴切点为(1,0)．∴切线方程为y －0＝0(x －1)，即y ＝0.(2)证明 ∵a ≥1，∴a e x －1≥e x －1，∴f (x )≥e x －1－ln x －1.方法一 令φ(x )＝e x －1－ln x －1(x >0)，∴φ′(x )＝e x －1－1x， 令h (x )＝e x －1－1x， ∴h ′(x )＝e x －1＋1x 2>0， ∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又φ′(1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，∴φ(x )≥0，∴f (x )≥φ(x )≥0，即f (x )≥0.方法二 令g (x )＝e x －x －1，∴g ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (0)＝0，故e x ≥x ＋1，当且仅当x ＝0时取“＝”．同理可证ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取“＝”．由e x ≥x ＋1⇒e x －1≥x (当且仅当x ＝1时取“＝”)，由x －1≥ln x ⇒x ≥ln x ＋1(当且仅当x ＝1时取“＝”)，∴e x －1≥x ≥ln x ＋1，即e x －1≥ln x ＋1，即e x －1－ln x －1≥0(当且仅当x ＝1时取“＝”)，即f (x )≥0.课时精练1．已知函数f (x )＝ln x x ＋a(a ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝1e . (1)求实数a 的值，并求f (x )的单调区间；(2)求证：当x >0时，f (x )≤x －1.(1)解 ∵f (x )＝ln x x ＋a， ∴f ′(x )＝x ＋a x －ln x (x ＋a )2，∴f ′(e)＝a e (e ＋a )2， 又曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝1e， 则f ′(e)＝0，即a ＝0，∴f ′(x )＝1－ln x x 2， 令f ′(x )>0，得1－ln x >0，即0<x <e ；令f ′(x )<0，得1－ln x <0，即x >e ，∴f (x )的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e ，＋∞)．(2)证明 当x >0时，要证f (x )≤x －1，即证ln x －x 2＋x ≤0，令g (x )＝ln x －x 2＋x (x >0)，则g ′(x )＝1x －2x ＋1＝1＋x －2x 2x＝－(x －1)(2x ＋1)x， 当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，即当x >0时，f (x )≤x －1.2．已知f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． (1)解 由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝1e时，f (x )取得极小值， f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，无极大值． (2)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))． 由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到． 设m (x )＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x )＝1－x ex ，由m ′(x )<0，得x >1时，m (x )单调递减；由m ′(x )>0得0<x <1时，m (x )单调递增，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，x ln x ≥－1e ≥x e x －2e ，两个等号不同时取到，所以对一切x ∈(0，＋∞)都有ln x >1e x －2e x成立．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x， 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明 要证e x －e 2ln x >0，即证e x －2>ln x ，令φ(x )＝e x －x －1，∴φ′(x )＝e x －1.令φ′(x)＝0，得x＝0，∴当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即e x－x－1≥0，即e x≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．由e x≥x＋1(当且仅当x＝0时取“＝”)，可得e x－2≥x－1(当且仅当x＝2时取“＝”)，又x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取“＝”，∴e x－2≥x－1≥ln x且两等号不能同时成立，故e x－2>ln x．即证原不等式成立．4．(2022·常德模拟)已知函数f(x)＝x e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>0时，f(x)－ln x≥1.(1)解由题意得f′(x)＝(x＋1)e x－1，设g(x)＝(x＋1)e x，则g′(x)＝(x＋2)e x，当x≤－1时，g(x)≤0，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－1]上单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又因为g(0)＝1，所以当x<0时，g(x)<1，即f′(x)<0，当x>0时，g(x)>1，即f′(x)>0，综上可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明要证f(x)－ln x≥1，即证x e x－x－ln x≥1，即证e x＋ln x－(x＋ln x)≥1，令t＝x＋ln x，易知t∈R，待证不等式转化为e t－t≥1.设u(t)＝e t－t，则u′(t)＝e t－1，当t<0时，u′(t)<0，当t>0时，u′(t)>0，故u(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以u(t)≥u(0)＝1，原命题得证．。
一元二次不等式练习题
一元二次不等式练习题一、选择题1. 已知一元二次不等式x²-4x+3<0，解集为：A. (-∞,1)∪(3,+∞)B. (-∞,1)∪(3,+∞)C. (1,3)D. (-∞,1)∪(3,+∞)2. 一元二次不等式x²-6x+8<0的解集为：A. (-∞,2)∪(4,+∞)B. (-∞,2)∪(4,+∞)C. (2,4)D. (-∞,4)∪(4,+∞)3. 对于一元二次不等式ax²+bx+c>0，若a<0，则解集为：A. (-∞,-b/2a)∪(-b/2a,+∞)B. (-b/2a,+∞)C. (-∞,-b/2a)D. (-∞,-b/2a)∪(-b/2a,+∞)二、填空题1. 一元二次不等式x²-2x+1≤0的解集是______。
2. 若一元二次不等式ax²+bx+c>0的解集为R（实数集），则a______0。
三、解答题1. 解一元二次不等式x²-5x+6<0，并说明其解集。
2. 已知一元二次不等式x²-4x+4≤0，求出其解集，并判断该不等式是否有实数解。
四、证明题1. 证明：对于任意实数x，不等式(x-1)²≥0总是成立。
2. 证明：如果一元二次不等式ax²+bx+c<0的解集不为空，则a>0。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=0.5x²-40x+1000，其中x表示生产量。
求出当生产量在哪个范围内时，成本小于1100元。
2. 某公司计划投资一项新项目，预计该项目的收益函数为R(x)=-2x²+120x-1000，其中x表示投资金额（单位：万元）。
求出该公司投资金额在哪个范围内时，收益大于等于0。
六、综合题1. 已知一元二次不等式ax²+bx+c≤0，其中a>0，b>0，c<0。
求出该不等式的解集，并讨论当a、b、c的值变化时，解集的变化情况。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
高中数学证明不等式的基本方法 同步练习(一)新人教版选修4-5A
证明不等式的基本方法 同步练习(一)一、 选择题（本大题共12小题，每小题6分，共60分） 1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ）A ．B ．1+．6 D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（ ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．若,,x y a R +∈，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．2B ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ ）A ．2B ．．4 D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-7．已知实数x, y 满足2x 2+y 2=6x ，则x 2+y 2+2x 的最大值等于 （A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17 8．若x>1，则函数y=x+x 1+1162+x x的最小值为（A ）16 （B ）8 （C ）4 （D ）非上述情况9．若a>b, m>0，则下列不等式中，恒成立的是（A ）(a+m)2>(b+m)2 （B ）m a m b --<ab（C ）(a －m)3>(b －m)3 （D ）|am|>|bm|10．已知a>0，且a ≠1，p=log a (a 3+1), Q=log a (a 2+1), 则P, Q 的大小关系是 （A ）P>Q （B ）P<Q （C ）P=Q （D ）大小不确定11．已知x, y ∈R ，且x 2－2xy+2y 2=2，则x+y 的取值范围是（A ）R （B ）(－10, 10) （C ）[－10, 10] （D ）[－1, 1] 12．设a, b, c ∈R +，P=a+b －c, Q=b+c －a, R=c+a －b, 则“PQR>0”是“P, Q, R 同时大于零”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。
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不等式证明练习题
不等式证明练习题(1a+2b+4c)*1
=(1a+2b+4c)*(a+b+c)
展开，得
=1+2ab+4ac+ba+2+4bc+ca+2cb+4
=7+2ab+4ac+ba+4bc+ca+2cb
基本不等式，得
=19=18用柯西不等式：(a+b+c)(1a+2b+4c)≥(1+√2+2) =(3+√2)
=11+6√2≥18
楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2ab+4ac+ba+4bc+ca+2cb直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z
则原不等式等价于：
x +y +z =xy+yz+zx
=2(x +y +z )=2(xy+yz+zx)
=(x -2xy+y )+(y -2yz+z )+(z -2zx+x )=0
=(x-y) +(y-z) +(z-x) =0
含有绝对值的不等式练习。
1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7,-1-7x-7,x-2，因此有：-20的解，∵a0，不等式变形为x2+x-0，它与不等式x2+x+0比较系数得：a=-4,b=-9. 函数y=arcsinx的定义域是[-1,1]，值域是，函数y=arccosx的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]，函数y=arctgx的定义域是R，值域是.，函数y=arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
函数公式模型。
一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
(1a+2b+4c)*1
=(1a+2b+4c)*(a+b+c)
展开，得
=1+2ab+4ac+ba+2+4bc+ca+2cb+4
=7+2ab+4ac+ba+4bc+ca+2cb
基本不等式，得
=19=18用柯西不等式：(a+b+c)(1a+2b+4c)≥(1+√2+2) =(3+√2)
=11+6√2≥18
楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2ab+4ac+ba+4bc+ca+2cb直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z
则原不等式等价于：
x +y +z =xy+yz+zx
=2(x +y +z )=2(xy+yz+zx)
=(x -2xy+y )+(y -2yz+z )+(z -2zx+x )=0
=(x-y) +(y-z) +(z-x) =0
含有绝对值的不等式练习。
1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7,-1-7x-7,x-2，因此有：-20的解，∵a0，不等式变形为x2+x-0，它与不等式x2+x+0比较系数得：a=-4,b=-9. 函数y=arcsinx的定义域是[-1,1]，值域是，函数y=arccosx的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]，函数y=arctgx的定义域是R，值域是.，函数y=arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
函数公式模型。
一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
公文范文。