第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算(解析版)

第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算

一、考点梳理

考点1 平面向量基本定理

(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

例1．（1）下面说法中，正确的是( )

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量；

④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．

A ．②④

B ．②③④

C ．①③

D ．①③④

答案 B 解析 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．

（2）如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12

b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.

分析 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.

解 ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，

设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，

则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13

(1－m )a ＋m b ，

OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，

12(1－n )＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝25，n ＝15.∴OP →＝15a ＋25

b . （3）如图所示，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋

μBC →，则λ＋μ的值为( )

A.53

B.－12

C.1

2 D.2

3

答案 D

解析 ∵在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，

∴在△ABD 中，BD ＝1

2AB ＝1.

又BC ＝3，∴BD ＝1

3BC ，

∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →

.

∵M 为AD 的中点，

∴AM →＝12AD →＝12AB →＋16BC →

.

∵AM →＝λAB →＋μBC →，

∴λ＝1

2，μ＝1

6，

∴λ＋μ＝2

3.

【变式训练1】．设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(

)

A ．e 1＋e 2和e 1－e 2

B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2

C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2

D ．e 1和e 1＋e 2

答案 B 解析：在B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，所以(3e 1－4e 2)∥(6e 1－8e 2)．所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．

【变式训练2】．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，

试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

E 、

F 分别是BC 、DC 边上的中点，

∴AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →，

∴BE →＝12AD →＝12b ， CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →＝－12

a . ∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－

b ＋a ＋12b ＝a －12

b . BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12

a . 【变式训练3】．如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12

NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.

解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12

a ， 由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13

λb ＋(1－λ)a . 由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2

a ＋(1－μ)

b .

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15

b . 考点2 平面向量的坐标表示及加减运算

设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )就是向量OA →的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，

即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

若点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，O 为坐标原点，

则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

例2．（1）给出下面几种说法：

①相等向量的坐标相同；

②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；

③一个坐标对应于唯一的一个向量；

④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．

其中正确说法的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 C 解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．

（2）如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB →可以表示为(

) A ．2i ＋3j B ．4i ＋2j

C ．2i －j

D ．－2i ＋j