数学分析

海南师范学院数学系数学与应用数学、信息与计算科学专业课程教学大纲

数学分析

1概述

课程类别：必修课（专业主干课）。

教材：《数学分析简明教程》上、下册（邓东皋、尹小玲编著）。这套教材是教育部”面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材。

学时：300。

授课对象：本科生。

专业：数学与应用数学、信息与计算科学

年级：一至二年级。

2主要参考书目

[1]《数学分析》（面向21世纪课程教材）上、下册，陈纪修、於崇华、金路编著，高等教育出版社。

[2]《数学分析新讲》（面向21世纪课程教材）上、中、下册，张筑生编著，北京大学出版社。

[3]《数学分析》（第二版），上下册，华东师大数学系编，高等教育出版社。

[4]《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文，高等教育出版社。

[5]《数学分析内容、方法与技巧》上、下册，孙昊，华中科技出版社。

[6]数学分析原理》上、下册，W.Rudin，人民教育出版社。

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3课程目的与教学基本要求

数学分析是高等师范院校数学系各专业专业（数学与应用数学、信息与计算科学、统计学）的一门主干基础核心课，本课程的目的是使学生掌握微分学和积分学的基本内容，并为后继课程（微分方程、复变函数、实变函数、概率论等）提供必要的基础知识，同时本课程也为培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法，提高学生的思维能力提供了一个很重要的训练场所。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。

本课程的基本内容包括极限论、一元微积分学、级数论和多元微积分等基本内容，并用”连续量的演算体系及其数学理论”的观点统率整个体系。在教学上要求学生掌握其基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧，并通过揭示本课程中的数学思想和辩证思维方法，培养和提高学生的数学综合能力。

4课程内容与学时分配

数学分析是数学系数学与应用数学和信息与计算科学专业本科二年的课程，总教学时数为300学时（其中讲课216学时，习题课84学时），四个学期的教学时数分配如下：

第一学期：周学时3.5/1.5，按13周计算，共计66学时；

第二学期：周学时3.5/1.5，按18周计算，共计90学时；

第三学期：周学时3/1，按18周计算，共计72学时。

第四学期：周学时3/1，按18周计算，共计72学时。

注：由于总学时数比较紧，具体授课时，有时可适当调整授课和习题课的学时。

第一学期

第一章绪论（3学时）

重点：实数基本定理（戴德金实数连续性定理）。

§1绪论（1学时）

§2实数连续统（2学时）

第二章函数(6学时)

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重点：函数概念，函数无界，复合函数和反函数，初等函数的图形。§1函数概念（2学时）

§2复合函数和反函数(2学时)

§3初等函数（2学时）

第三章极限与函数的连续性(26学时)

重点：数列极限、函数极限和函数的连续性。

§1极限问题的提出

§2数列的极限（10学时）

§3函数的极限（7学时）

§4函数的连续性（6学时）

§5无穷小量与无穷大量的比较（3学时）

第四章微商与微分(16学时)

重点：微商（导数）和微分的概念，求导法。

§1微商概念及其计算（6学时）

§2微分概念及其计算（4学时）

§3隐函数与参数方程微分法（3学时）

§4高阶微商与高阶微分（3学时）

第五章微分中值定理及其应用(14学时)

重点：中值定理。

§1微分中值定理（4学时）

§2洛必达法则（3学时）

§3函数的升降、凸性和函数作图（4学时）

§4函数的最大值最小值问题（4学时）

第二学期

第六章不定积分(12学时)

重点：不定积分概念，积分法则。

§1不定积分的概念（1学时）

§2换元积分法与分部积分法（11学时）

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第七章定积分(14学时)

重点：定积分概念和微积分学基本定理。

§1定积分的概念（1学时）

§2定积分的基本性质（4学时）

§3微积分基本定理（4学时）

§4定积分的计算3学时

§5定积分在物理中的应用（2学时）

*§6定积分的近似计算

第八章微积分的进一步应用（18学时）

重点：泰勒公式，把实际问题转化为积分问题。

§1泰勒公式（6学时）

§2微积分在几何与物理中的应用（8学时）

§3微分方程初步（1学时）

§4开普勒三定律与万有引力定律（2学时）

第九章再论实数系(20学时)

重点：实数系的基本性质及闭区间连续函数的性质，函数的可积性。§1实数连续性的等价描述（3学时）

§2实数闭区间的紧致性（4学时）

§3实数的完备性（3学时）

§4再论闭区间上连续函数的性质（6学时）

§5可积性（4学时）

第十章数项级数(20学时)

重点：级数收敛性概念，级数敛散性的判别。

§1级数问题的提出（1学时）

§2数项级数的收敛性及其基本性质（3学时）2

§3正项级数（6学时）42

§4一般项级数（6学时）41

§5无穷级数与代数运算（4学时）2

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学期总复习（6学时）

第三学期

第十一章广义积分(8学时)

重点：广义积分的敛散性判别。

§1无穷限广义积分（6学时）

§2瑕积分（2学时）

第十二章函数项级数（12学时）

重点：一致收敛性。

§1函数序列的一致收敛概念（3学时）

§2函数项级数的一致收敛性及其判别法（6学时）

§3和函数的分析性质（3学时）

第十三章幂级数（8学时）

重点：幂级数的（一致）收敛区间，函数的幂级数展开。§1幂级数的收敛半径与收敛区域（2学时）

§2幂级数的性质（3学时）

§3函数的幂级数展开（3学时）

第十四章傅里叶级数(12学时)

重点：函数的傅里叶级数展开。

§1三角级数与傅里叶级数(2学时)

§2傅里叶级数的收敛性（6学时）

§3任意区间上的傅里叶级数（4学时）

*§4傅里叶级数的平均收敛性

第十五章多元函数的极限与连续（12学时）

重点：二元函数的极限和连续性。

§1平面点集（5学时）

§2多元函数的极限与连续性（7学时）

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