数学分析公式定理111章
【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备
数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
数学常用公式定理
数学常用公式定理在数学中，有许多常用的公式和定理，它们对于解决各种问题和提供数学证明都非常有用。
以下是一些常见的数学公式和定理：一、代数公式和定理：1. 二次方程的求解公式（根据ax^2+bx+c=0，求得 x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)）；2. 因式分解公式（a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)，a³+ b³ = (a+b)(a² - ab + b²)）；3.二项式定理（(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n）；4.贝叶斯定理（P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)）；5. 范围定理（对于集合 A = {1, 2, 3, ..., n}，A 中的第 k 小的数是⌊kn/n⌋+1，其中⌊x⌋表示不大于 x 的最大整数）。
二、几何公式和定理：1.勾股定理（a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边）；2.相似三角形定理（如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似）；3. 正弦定理（a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R，其中 a、b、c 为三角形的边长，A、B、C 为相应的角，R 为三角形外接圆的半径）；4. 余弦定理（c² = a² + b² - 2ab cos C，其中 c 为三角形的边长，A、B、C 为相应的角）；5.海伦公式（S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的边长，p为半周长）；6. 平行四边形面积公式（S = ab s in θ，其中 a、b 为平行四边形的两条邻边，θ 为它们之间的夹角）。
三、微积分公式和定理：1. 导数的四则运算法则（(f+g)' = f' + g'，(fg)' = f'g + fg'，(f/g)' = (f'g - fg')/g^2）；2.泰勒级数展开公式（函数f(x)的n阶导数在x=a处的泰勒级数展开为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!）；3. 积分的基本公式（∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，C 为常数）；4.拉格朗日中值定理（对于区间[a,b]上的连续函数f(x)，存在一个c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)）；5. 微积分基本定理（定积分∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x) 是 f(x) 的一个原函数）；6. 平均值定理（对于区间 [a, b] 上的连续函数 f(x)，存在一个 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = (1/(b-a))∫_a^b f(x)dx）。
数学分析知识点总结(定积分)
第一篇 分析基础 1.1收敛序列（收敛序列的定义）定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有ε<-a x n那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。
定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件N n z y x n n n ∈∀≤≤,如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有a y n =lim定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价（1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得,1,2,.n n x a a n =+=（收敛序列性质）定理4：收敛序列}{n x 是有界的。
定理5：（1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。
（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim(。
（3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。
（4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则ax n 11lim=。
（5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim limlim n n n n y y b x x a==。
（收敛序列与不等式）定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有n n x y <定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足0,,n n x y n N ≤∀>那么lim lim n n x y ≤1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（１）若实数序列}{n x 满足1,,n n x x n N +≤∀∈则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为{}.n x ↑（２）若实数序列{}n y 满足1,,n n y y n N +≥∀∈则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为{}n y ↓（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。
数学分析小抄公式
若函数f在（x0,y0）处可微，则曲面在点P（x0，y0,z0）处切平面方程为z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0);通过的P的发现方程(x-x0)/fx(x0,y0)=(y-y0)/fy(x0,y0)=(z-z0)/-1;求近似值：f(x,y)≈f(x0,y0)+A(x-x0)+B(y-y0);（arctanx）’=1/(1+x^2);(arcsinx)’=1/根（1-x^2）;莱布尼茨判别法；交错级数收敛1、单调减2、趋向于0阿贝尔判别法：若{an}单调游街；级数bn收敛，则级数anbn收敛狄利克雷判别法：若{an}单调递减；且趋向于0；级数bn的部分和有解则收敛；1/2+级coskx=sin(n+1/2)x/2sinx/2sinαsinβ=[-c os（α+β）+cos（α-β）]/2函数列收敛：n>N(ε，x)；有|fn(x)-f(x)|< ε判断级数一致收敛：1、M判别法；2、lim sup|fn(x)-f(x)|=0;3、不连续则必不一致收敛；对{unvn}阿贝尔判别法1un在I上一致收敛；2、对vn在I上单调且一致有界；狄利克雷判别法：1、un的部分和数列一致有界2、vn在I上单调一致趋于0幂级数展开式e^x=1+x+1/2!)x^2+…+1/n!)x^nsinx=x-x^3/3!+x^5/5!+…+(-1)^(n+1)x^(2n-1)/(2n-1)!cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+…+(-1)^(n)x^(2n)/(2n)!+..ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3-….+(-1)^(n-1)x^n/n1/(1+x)=1-x+x^2+…+(-1)^nx^n (-1,1)1/gen(1+x)=1-1/2x+1*3/2*4)x^2+…+ (-1,1]。
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
广西考研数学复习资料数学分析重要定理总结
广西考研数学复习资料数学分析重要定理总结广西考研数学复习资料：数学分析重要定理总结数学分析作为考研数学中的重要组成部分，涵盖了多个重要定理。
本文将对广西考研数学分析部分的重要定理进行总结，以供考生参考。
1. 极限理论1.1 数列极限- 唯一性定理：如果数列${a_n}$和数列${b_n}$都收敛于同一极限，那么数列${a_n}={b_n}$。
- 子数列收敛定理：如果数列${a_n}$收敛于$a$，那么它的任何子数列也收敛于$a$。
- 夹逼定理：如果数列${a_n}$、${b_n}$、${c_n}$满足$a_n\leqb_n\leq c_n$，并且${a_n}$和${c_n}$的极限都为$a$，那么数列${b_n}$的极限也为$a$。
1.2 函数极限- 函数极限的局部有界性：如果函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有界，且$\lim_{{x\to x_0}}{g(x)}=A$，则$\lim_{{x\to x_0}}{(f(x)\cdotg(x))}=A\cdot f(x_0)$。
- 柯西收敛准则：函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内满足$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，对于任意正数$\varepsilon$，则$f(x)$在$x_0$连续。
- 函数极限和函数连续的关系：如果函数$f(x)$在$x_0$处连续，那么$\lim_{{x\to x_0}}{f(x)}=f(x_0)$。
2. 级数理论2.1 敛散性判别- 比较判别法：如果级数$\sum_{{n=1}}^{\infty}a_n$和$\sum_{{n=1}}^{\infty}b_n$满足$0\leq a_n\leq b_n$，且$\sum_{{n=1}}^{\infty}b_n$收敛，则$\sum_{{n=1}}^{\infty}a_n$收敛；如果$\sum_{{n=1}}^{\infty}a_n$发散，则$\sum_{{n=1}}^{\infty}b_n$发散。
数学公式定律概念总结大全
数学公式定律概念总结大全数学公式、定律和概念是数学领域的基础，也是数学知识体系的重要组成部分。
本文将给出数学公式、定律和概念的总结，供读者参考。
下面是数学公式、定律和概念的详细解释。
一、数学公式1.傅里叶级数公式：用正弦和余弦函数的级数来表示一个周期函数。
傅里叶级数公式的一般表达式如下：f(x) = a₀ + Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))其中a₀，aₙ，bₙ为待定系数。
2.二项式定理：用于计算二项式的展开式。
二项式定理的表达式如下：(a+b)ⁿ=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k,其中C(n,k)为二项式系数。
3.欧拉公式：描述了复数与三角函数之间的关系。
欧拉公式的表达式如下：e^(ix) = cos(x) + isin(x),其中e为自然对数的底，i为单位虚数单位。
4.洛必达法则：一种求解不定型的极限问题的方法。
洛必达法则表达式如下：lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)(f'(x)/g'(x)),其中f(x)和g(x)为函数，a为常数。
5.泰勒展开式：将函数表示为无穷级数的形式，用于近似计算复杂函数的值。
泰勒展开式的表达式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...,其中f(x)为函数，a为常数。
二、数学定律1.皮亚诺定理：描述了整数被除数除以整数除数的商和余数之间的关系。
皮亚诺定理的表述如下：对于任意的整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
2.贝祖定理：描述了两个整数的最大公约数与其线性表示之间的关系。
贝祖定理的表述如下：对于任意的整数a、b和它们的最大公约数d，存在整数x和y，使得ax + by = d。
3.矩阵行列式性质定理：描述了行列式的性质和计算方法。
矩阵行列式性质定理的表述如下：-行列式互换两行（列），行列式变号。
数学分析公式
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学公式定理(全)
高等数学公式定理(全)·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tan β)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tan β)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cos α·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sin α·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cos α·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
(完整版)数值分析重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2)迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3)单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设()x ϕ满足:①[],x a b ∈时,[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛,且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三:设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠（Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法:1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理:设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②:[]'()0,,f x x a b ≠∈； ③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <； 则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：12P +=7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r,1'()()i i i i f x x x rf x +=-(平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=,α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
解析数学分析掌握数学分析的基本定理和方法
解析数学分析掌握数学分析的基本定理和方法解析数学分析是数学学科中的重要分支，主要研究数学对象的极限、连续性、可微性、可积性等性质。
掌握数学分析的基本定理和方法对于深入理解和应用数学具有重要作用。
本文将从极限、连续性、可微性和可积性等方面来解析数学分析的基本定理和方法。
一、极限的基本定理和方法极限作为数学分析的基本概念，在数学分析中扮演着重要的角色。
我们首先来看极限的基本定理和方法。
1.1 极限的定义极限是数列和函数的基本概念，它描述了数列或函数在某个点或无穷远处的趋势。
在数学分析中，极限的定义是：对于实数数列{an}和数列的收敛性，称常数A是该数列的极限，记作lim(an) = A。
当且仅当对于任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n > N时，有|an - A| < ε成立。
1.2 常见的极限定理数学分析中常见的极限定理有很多，其中包括极限的四则运算、夹逼准则、单调有界数列的极限等。
这些定理对于求解极限问题非常有帮助，能够简化计算过程，提高解题效率。
1.3 应用举例以求解极限问题为例，我们可以通过极限的基本定理和方法来解决一些常见的数学问题。
如求解函数f(x) = sinx / x在x趋向于0时的极限，可以通过夹逼定理和极限的四则运算得到lim(x→0) sinx / x = 1这一结果。
二、连续性的基本定理和方法连续性是数学分析中研究函数性质的重要概念之一，它描述了函数在某一点附近的无间断性。
接下来我们将介绍连续性的基本定理和方法。
2.1 连续函数的定义数学分析中，连续函数的定义是：对于函数f(x)，如果对于任意给定的实数ε > 0，总存在实数δ > 0，使得对于x满足0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - f(x0)| < ε成立，则称函数f(x)在点x0处连续。
2.2 常见的连续性定理在数学分析中，有一些常见的连续性定理可以帮助我们研究函数的连续性。
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
数学分析113
0（ 1 x）3 1 x
dx
的敛散性如何？
1 1 x (1 x)3
例5
判别瑕积分
1 0
1 xp
sin
1 x
dx
的敛散性.
解
1 t
1 0
1 xp
sin
1 x
dx
x
1
t
p
sin
t
(
1 t2
)dt
1
t p2 sin tdt
1
sin t t 2 p dt
则 b f ( x)g( x)dx收敛。 a
阿贝尔（Abel）判别法：
设f 定义于(a,b], a为瑕点，且在任何区间包 含于(a,b]的区间[u,b]上可积，如果：
若(1) b f ( x)dx收敛， a (2) g( x)在(a,b]上单调有界，
则 b f ( x)g( x)dx收敛。 a
x0 (1 p)
0.
故
1
lim
x0
x
|
x
p
ln
x
|
lim
x0
x p1
1 | ln
x
|
.
从而瑕积分发散。
（3）当 p=1
1 e 0
dx x ln x
lim u0
ln
|
ln
x
||1u/ e
.
从而瑕积分发散。
例4
判别瑕积分 1 0
dx 1 x (1 x)3
的敛散性.
解 x=1是瑕点。
lim
x1
1 x
1
高等数学(数学分析)
第一章函数、极限、连续一、极限1.1数列极限的定义：∀ε>0，存在自然数N，使得当n＞N时，就有|x n−a|<ε，那么称数列{x n}收敛于a，记为limn→∞x n=a.称a为此数列的极限；极限不存在的数列称为发散数列.1.2函数极限的定义：设f(x)在a的某个去心领域有定义，A是一个实数。
如果对任一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x−a|<δ时，就有|f(x)−A|<ε，那么称f(x)在a处有极限A，记为limx→af(x)=A或f(x)→A(x→a).海涅定理：limx→af(x)=A的充分必要条件是，对任一满足x n→a(∀n,x n≠a)的数列，均有f(x n)→A.定理：limx→af(x)≠A成立的充分必要条件是，存在一个常数ε0>0，使得在a的任何去心邻域，都可以找到一点，满足|f(x)−A|≫ε0.1.3极限的性质及运算定理：如果f(x)在λ处极限存在，则f(x)比在λ的某去心邻域上有界。
定理：函数的极限若存在，则必唯一。
定理：若limx→λf(x)=A，limx→λf(x)=B，且A>B，则存在λ的某个去心邻域N̂λ(δ)，使得在N̂λ(δ)上，f(x)>g(x)成立。
（反之，也成立。
）定理（夹逼准则）：若f(x)≪ℎ(x)≪g(x)在λ的某个去心邻域上成立，且limx→λf(x)=limx→λg(x)=A，则limx→λℎ(x)=A。
注:（1） limx→af(x)=∞(±∞),函数f(x)为无穷大量；limx→af(x)=0，函数f(x)为无穷小量.（2）若函数极限存在，则函数的极限运算符合四则运算法则。
（3）limx→a f(x)=∞(±∞)，则limx→a1f(x)=0；lim x→af (x )=0，limx→a 1f (x )=∞(±∞).（4）若f (x )在λ的某个去心邻域上有界，g (x )当x →λ时为无穷小量，则f(x)g (x )当x →λ时也为无穷小量。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章
第十一章 Euclid 空间上的极限和连续
习题 11.1 Euclid 空间上的基本定理
{
z 。 x + y2
2
}
解
因为
所以
案
网
x3 1 ⎛ y⎞ ， = f ⎜ ⎟= 2 3 2 3/ 2 ⎝ x ⎠ (x + y ) 2 2 ⎡ ⎛ y⎞ ⎤ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝x⎠ ⎦ ⎥ ⎣
f ( x) = (1 +
3．
若函数
后 答
且当 y = 4 时 z = x + 1 ，求 f ( x) 和 z ( x, y ) 。 解 由 z ( x, 4) = 4 + f ( x − 1) = x + 1 ，可得
（1）S = ⎨(−1) k
⎧
解 (1) S' = {± 1} 。 (2) S' = ∅ 。
以x为极限，产生矛盾。 7. 设 U 是 R 2 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 R 2 中 的闭集又如何呢？ 解 开集 U 中的每个点 x 一定是它的内点，所以 x 的任意邻域都有 U 中的无限个点，所以 x 一定是 U 的聚点。 由于 S = {(0, 0)} 是 R 2 上的闭集，而 S 只有一个点，所以无聚点， 即闭集中的点不一定是它的聚点。 8. 证明 S ⊂ R n 的所有内点组成的点集 S 必是开集。 证 假 设 x ∈ S ， 则 ∃δ > 0 ， O ( x , δ ) ⊂ S 。 而 ∀y ∈ O ( x , δ ) ， 由 于
山东省考研数学复习资料数学分析常用公式整理
山东省考研数学复习资料数学分析常用公式整理数学分析是数学的重要分支，作为考研数学的一部分，掌握数学分析的相关知识与技巧是非常必要的。
在数学分析的学习过程中，熟悉并掌握各种常用公式是关键。
本文将为大家整理一些山东省考研数学复习资料中常用的数学分析公式，希望对大家的复习提供帮助。
一、导数与微分1. 导数定义：若函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，当极限存在时，称此极限为f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即：f'(x0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/(Δx)〗2. 常用导数公式：(1) 常数函数导数：(c为常数)(d/dx)(c) = 0(2) 幂函数导数：(a为常数)(d/dx)(xⁿ) = n*x^(n-1)(3) 自然对数函数导数：(d/dx)(lnx) = 1/x(4) 三角函数导数：(d/dx)(sinx) = cosx(d/dx)(cosx) = -sinx(d/dx)(tanx) = sec^2x(5) 反三角函数导数：(d/dx)(arc sinx) = 1/√(1-x^2 )(d/dx)(arccosx) = -1/√(1-x^2 )(d/dx)(arctanx) = 1/(1+x^2 )3. 高阶导数：f'(x)的导数记作f''(x)，即二阶导数，也可记作d^2y/dx^2。
同理，f''(x)的导数即三阶导数，记作f'''(x)，也可记作d^3y/dx^3，以此类推。
4. 微分定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，则称函数f(x)在x0处可微分，记作df，其微分df满足：df = f'(x0)dx二、积分与定积分1. 不定积分：若函数f(x)在区间[a, b]上有原函数F(x)，即F'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)在[a, b]上的一个不定积分，也可记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C 为常数。
数学分析知识点总结(定积分)
第一篇 分析基础 1.1收敛序列（收敛序列的定义）定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有ε<-a x n那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。
定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件N n z y x n n n ∈∀≤≤,如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有a y n =lim定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价（1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得,1,2,.n n x a a n =+=（收敛序列性质）定理4：收敛序列}{n x 是有界的。
定理5：（1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。
（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim (。
（3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。
（4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则ax n 11lim=。
（5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim limlim n n n n y y b x x a==。
（收敛序列与不等式）定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有n n x y <定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足0,,n n x y n N ≤∀>那么lim lim n n x y ≤1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（１）若实数序列}{n x 满足1,,n n x x n N +≤∀∈则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为{}.n x ↑（２）若实数序列{}n y 满足1,,n n y y n N +≥∀∈则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为{}n y ↓（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。
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第一章 变量与函数 §1 函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １．定义１ 设,X Y R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x X ∀∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。
习惯上称x 自变量，y 为因变量。
函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X .{}()|(),f X y y f x x X ==∈。
２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。
例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）。
（2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。
即“函数()y f x =”或“函数f ”。
（3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。
a 称为()f a 的原象。
3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。
2 可用“特殊方法”来表示的函数。
分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。
例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）用语言叙述的函数。
例：１）[]y x =（x 的最大整数部分）２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Ｄirichlet ）三 函数的一些几何特性 1、单调函数 定义2 设f 为定义在X 上的函数，1212,,,x x X x x ∀∈< （１）若12()()f x f x ≤，则称f 为X 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为X 上的严格增函数。
（２）若12()()f x f x ≥，则称f 为X 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为X 上的严格减函数。
例：证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数。
例：讨论函数[]y x =在Ｒ上的单调性。
注：单调性与所讨论的区间有关，区间必须关于原点对称。
2、奇函数和偶函数 定义3 设X 为对称于原点的数集，f 为定义在X 上的函数。
若对每一个x X ∈，有（１）()()f x f x -=-，则称f 为Ｄ上的奇函数；（２）()()f x f x -=，则称f 为X 上的偶函数。
注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（２）奇偶性的前提是定义域对称；（３）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩奇函数偶函数非奇非偶函数既奇又偶函数。
3、周期函数 定义 4. 设f 为定义在数集X 上的函数，若存在0T >，使得对一切x ∈X 有()()f x T f x +=，则称f 为周期函数，T 称为f 的一个周期。
注：（1）若T 是f 的周期，则()nT n N +∈也是f 的周期，所以周期不唯一。
（2）任给一个函数即使存在周期也不一定有最小正周期，如： y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期。
§2 复合函数和反函数一 复合函数 １．引言 先考察一个例子。
例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭. 我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把v 代入f ，即得221()2f v mg t =. 这样得到的函数称为“复合函数”。
2． 定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y u u U u f x x X ϕ=∈=∈，若()f X U ⊂内，则对每一个x X ∈，通过f 对应U 内唯一一个值u ，而u 又通过ϕ对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在X 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f x x X ϕ=∈。
这种函数成为复合函数。
注：两个函数能复合，第一个函数的值域必须包含在第二个函数的定义域中。
3. 例子 讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R =∈能否进行复合。
4 说明 不仅要会复合，更要会分解例：3sin ,1y u u v x ===-→[1,1]y x =∈-.2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===二、反函数 １、 反函数概念|：设函数(),y f x x X =∈。
满足：对于值域()f X 中的每一个值y ，X 中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f X 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 1(),()x fy y f X -=∈.2 注：a) 并不是任何函数都有反函数；b) 函数f 与1f-互为反函数，并有:1(()),,ff x x x X -≡∈ 1(()),().f f x y y f X -≡∈则函数f 的反函数1f -通常记为 1(),()y f x x f X -=∈.定理．设(),y f x x X =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f-在其定义域()f X 上也是严格增（减）函数。
§3 基本初等函数一 初等函数 1.．基本初等函数（7类）：常量函数 y C =（Ｃ为常数）；幂函数 ()y x R αα=∈；指数函数(0,1)xy a a a =>≠； 对数函数 log (0,1)a y x a a =>≠； 三角函数 sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====；反三角函数 arcsin ,arccos ,tan ,cot y x y x y ar x y arc x ====。
双曲函数 2x x e e shx --=，2x x e e chx -+=，xx x x e e e e thx --+-=，x x xx e e e e cthx ---+=２．初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与有限次复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：3412sin cos ,l g ,||.a e y x x y o x y x x-=+=+=不是初等函数的函数，称为非初等函数。
如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数。
例：求函数ln |sin |y x =表为基本初等函数的复合。
第二章 极限与连续§2-１ 数列的极限与无穷大量一、 数列极限的定义 １ 数列的定义 定义：若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→ 为数列。
注：记()n f n a =，则数列()f n 就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a 。
例：（1）1111:1,,,,234n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ （3）{}2:1,4,9,16,25,n2、数列极限 （１）．引言 容易看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。
一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。
不具有这种特性的数列就称为发散数列。
据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限。
数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列。
需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说明如何用数学语言把它精确地定义下来。
还有待进一步分析。
以11n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性：随着n 的无限增大，11na n=-无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n -与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n --无限减少→1|11|n--会任意小，只要n 充分大。
如：要使1|11|0.1n--<，只要10n >即可；要使1|11|0.01n --<，只要100n >即可；……任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫--< ⎪⎝⎭。
即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫--< ⎪⎝⎭。
如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可。
这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫--=<< ⎪⎝⎭。
综上所述，数列11n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项11n -随n 的无限增大，11n-无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫--< ⎪⎝⎭。
此即11n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义，记作1lim 11n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭或。
（2）.数列极限的定义 定义1 设为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a, a 称为数列{}n a 的极限, 并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞. 若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。
[问题]：如何表述{}n a 没有极限？（３）举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限例： 证明13(1)lim0n n n +→∞-=. 例： 证明1lim 02nn →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭.例：证明 2321lim 097n n n →∞-=+. 例：证明 224lim 43n n n →∞=-.例：证明 1n =，其中0a >.（４） 关于数列的极限的N ε-定义的几点说明a ）关于ε：① ε的绝对任意性；②ε的暂时固定性；③ε的多值性；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数。
b ）关于Ｎ：① 相应性（对应于给定的ε）；②Ｎ多值性。
c ）数列极限的几何理解： “当n N >时有||n a a ε-<” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(,)O a ε内；而在(,)O a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）。
d ）数列极限的等价定义（邻域定义）：定义1' 任给0ε>，若在(,)O a ε之外数列{}n a 中，只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。