随机变量及其分布期末练习题及答案

随机变量及其分布期末练习题及答案

1．在事件A 发生的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发生时的试验的次数，求

ξ的分布。

[解] {}

发生次试验次而第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ

)

,1,(,)

1()1(1

1

1

11 +=-=⋅-=-------r r k p p C

p p p

C r

k r r k r k r r k

小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。

2．设随机变量X 的分布函数为

⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤≤<=.1,1;10.0,1)(2x x Ax x x F

求（1）A 的值；（2）X 落在)21

,1(-及)2,3

1(内的概率；（3）X 的概率密度函数。 [解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A （2）由分布函数的性质知，4

1)1()21())21,1((=

--=-∈F F X P ；

98311)31()2())2,31((2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=-∈F F X P ；

（3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取

⎩

⎨⎧≤≤><=.10,2;

10,0)(x x x x x f 或

则0)(≥x f ，且对一切x 有⎰

∞

-=

x

dt t f x F )()(，从而)(x f 为随机变量X 的密度函数。

3．设),2(~2

σN X ，且3.0)42(=<

⎫

⎝⎛Φ=<<=σX P 所以 8.05.03.02=+=⎪⎭

⎫

⎝⎛Φσ

于是 2.0212202)0(=⎪⎭

⎫

⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫

⎝⎛-<-=<σσσσX P X P

4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克）

)5,55(~21N X ，一般品种蛋重)5,45(~22N X 。

（1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于

50克的概率。

[解] （1）设A ：任取一蛋其重量大于50克。

1B ：任取一蛋为优良品种 2B ：任取一蛋为一般品种

则21,B B 互斥，且S B B =21 ，3

1)(,32)(21==

B P B P 8413.0555501)50()(11=⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ-=>=X P B A P

1587.0545501)50()(22=⎪⎭

⎫

⎝⎛-Φ-=>=X P B A P

由全概率公式得

)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=

6138.01587.03

1

8413.032=⨯+⨯=

（2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率6138.0=p ，小于50克的概率

6138.011-=-=p q

设任取2个，有Y 个大于50克，则),2(~p B Y 于是所求概率为

1492.0)6138.01()0(2

2

2=-===q p C Y P

问题与思考

1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？ 2．非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗？

3．设X 为连续型随机变量，而)(x g 为连续函数，)(X g Y =还是连续型随机变量吗？ 4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗？ 5．连续型随机变量的密度函数连续吗？

练习与答案

1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。

2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为)10(<

p q -=1，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。

3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。 4．已知某元件使用寿命T 服从参数10000

1

=

λ的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元

件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数X 的分布律

5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间)8,40(~2

N X ；若采用乙工艺条件，则完成时间)4,50(~2

N X 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？

6．设某批零件的长度服从),(~2

σμN X ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于μ的概率。 7．设X 分别为服从⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-

2,2ππU ，[]π,0U ，[]π2,0U 的随机变量，求X Y sin =的概率密度函数

8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。，超过7的水要溢出，求水库存水量Y 的分布函数 参考答案：

1．分布列 X 0 1 2 3

Y 75.0 204.0 041.0 05.0 2．)4,3,2(11

=+--n qp pq

n n

3．956.0)1()0(1)2(==-=-=≥X P X P X P

4．（1）61.0；（2）10,,3,2,1,0,)

1()(1021

2

1

10 =-==--

-k e e

C k X P k

k

5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好

6．3125.02121)2(3

225=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P

7．（1）1,11

)(2

1<-=

x x

x f π；（2）10,12

)(2

2<<-=

x x

x f π；（3）

1,11

)(2

3<-=

x x

x f π；