最新高考数学数学归纳法解题思路
高考数学解题思路的总结
高考数学解题思路的总结数学是高考中的一门重要科目，也是很多学生感到头疼的科目之一。
高考数学的解题思路非常关键，合理的解题思路可以帮助学生更好地解决数学问题，提高解题效率和准确性。
下面我将对高考数学解题思路进行总结，希望对学生们有所帮助。
一、了解考点和题型在高考数学中，有一些基本的考点和题型是每年必考的。
首先，考生要熟悉每个考点的知识点和相关的解题方法。
其次，要了解每个题型所要求的解题步骤和思路。
掌握这些基本知识对于解题思路的形成非常重要。
二、审题准确在解题过程中，首先要认真仔细地看题目，理解题目中的条件和问题的要求。
只有确切地理解了题目，才能确定解题的方向和步骤。
三、分析问题在理解题目的基础上，要进行问题的分析。
对于一个问题，可以从各个角度进行分析，确定问题解决的核心点和关键步骤。
通过分析问题，可以更好地理解问题的本质，为下一步的解题提供依据。
四、选择合适的解题方法对于不同的题目，有不同的解题方法。
在解题过程中，要根据题目的特点和解题方法的优势，选择合适的解题方法。
常用的解题方法包括列方程、变量代换、作图等。
选择合适的解题方法可以简化解题过程，提高解题效率。
五、化复杂为简单对于一些复杂的问题，要善于化复杂为简单。
可以通过化简、合并、消元等方法，将复杂的问题简化为简单的问题。
这样可以减少解题过程中的失误和计算量，提高解题的准确性。
六、合理使用辅助工具在解题过程中，可以合理使用辅助工具，如草稿纸、计算器等。
草稿纸可以方便学生进行计算和演算，计算器可以提高解题效率。
但是需要注意的是，辅助工具只能在必要时使用，并不能完全依赖辅助工具。
七、反复验证结果在解题的最后一步，要对结果进行反复验证。
可以通过代入验证、逆向推理等方法，验证所得结果是否符合问题的要求。
只有经过反复验证的结果才是可靠的。
八、总结解题思路在解题过程中，要总结解题的思路和方法。
可以将相似的题目归纳为一个问题类型，总结出解题的一般步骤和方法。
高中数学数学归纳法的使用技巧
高中数学数学归纳法的使用技巧在高中数学中，数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明一些关于自然数的命题。
它的基本思想是通过证明命题在某个特定条件下成立，并且在该条件下，命题在下一个自然数也成立，从而推导出该命题对于所有自然数都成立。
数学归纳法的使用技巧对于高中数学学习者来说至关重要，本文将从基本原理、典型例题以及解题技巧三个方面进行论述。
一、基本原理数学归纳法的基本原理可以概括为以下两点：1. 基础步骤：证明当n等于某个特定值时，命题成立。
2. 归纳步骤：假设当n等于k时，命题成立，然后证明当n等于k+1时，命题也成立。
基于这两个原理，我们可以使用数学归纳法证明一些关于自然数的命题。
接下来，我们通过几个典型例题来说明数学归纳法的具体应用。
二、典型例题例题1：证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
解析：首先，在n=1时，等式左边为1，右边也为1，等式成立。
接下来，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
根据归纳步骤，我们可以得到：1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)= (k^2 + k + 2k + 2) / 2= (k^2 + 3k + 2) / 2= (k+1)(k+2) / 2由此可见，当n=k+1时，等式也成立。
因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
例题2：证明2^n > n^2，其中n为正整数且n≥4。
解析：首先，在n=4时，等式左边为16，右边为16，等式成立。
接下来，假设当n=k时，等式成立，即2^k > k^2。
我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
根据归纳步骤，我们可以得到：2^(k+1) = 2^k * 2> k^2 * 2= 2k^2由于k≥4，所以2k^2 > (k+1)^2。
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路数学归纳法是一种重要的证明方法，常常被应用于数学领域中。
它的基本思想是通过证明某个命题在n=1时成立，并假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
在解题中，数学归纳法有许多常见的技巧和思路，本文将介绍其中的一些。
一、确定归纳假设在使用数学归纳法时，首先需要确定一个归纳假设。
归纳假设是指假设当n=k时，命题成立。
通常我们可以通过观察前几项的情况，找到一个与k有关的表达式或性质，作为归纳假设。
这个归纳假设可以是一个等式、不等式、性质等。
例如，我们想要证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
我们观察前几项的和的情况，可以发现1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立时，对于n+1也成立。
因此，我们可以假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
二、验证基础情形接下来，我们需要验证基础情形，即n=1时命题是否成立。
如果命题在n=1时成立，那么作为归纳假设的基础，我们就可以使用归纳法进一步证明命题成立。
对于上述例子，当n=1时，1=1(1+1)/2成立。
因此，我们可以使用数学归纳法来证明该命题。
三、进行归纳步骤在归纳步骤中，我们假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时命题也成立。
对于上述例子，假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。
根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
所以，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。
通过化简，可得1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
因此，当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2成立。
四、总结归纳法的应用技巧和思路在使用数学归纳法解题时，有几个常见的技巧和思路可供参考。
高中数学中的数学归纳法解题技巧
高中数学中的数学归纳法解题技巧数学归纳法是一种常用的解题思路，特别适用于高中数学中的证明、递推问题以及数列等内容。
通过观察题目的特点，我们可以灵活运用数学归纳法的解题技巧，快速解决问题。
本文将从数学归纳法的基本概念、应用场景以及解题策略三个方面，介绍高中数学中的数学归纳法解题技巧。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种数学推理方法，常用于证明命题对于所有自然数都成立。
其基本思想是：先证明当n为某个自然数时命题成立，然后证明如果n为某个自然数时，命题对于n+1也成立。
根据这个思路，如果命题对于n=1成立，并且对于n=k成立时，可以推出对于n=k+1也成立，那么我们可以断定命题对于所有自然数都成立。
二、数学归纳法的应用场景数学归纳法的应用场景广泛，特别适用于证明与递推问题。
在高中数学中，常见的应用场景包括：1. 证明等式和不等式成立。
2. 证明数列的通项公式。
3. 证明递推关系式成立。
4. 证明集合中的元素具有某种性质。
三、数学归纳法解题策略在应用数学归纳法解题时，我们可以按照以下策略进行操作：1. 确定基本情况：首先证明当n为某个具体的数时命题成立。
通常选择n=1或n=0作为基本情况。
2. 假设归纳成立：假设命题对于n=k成立，即假设命题在n=k时是成立的。
3. 证明归纳成立：利用假设的前提，证明对于n=k+1时命题也成立。
可以通过计算、推导、代入等方法进行证明。
4. 总结归纳：由于基本情况成立并且归纳步骤推导成立，我们可以得出结论，命题对于所有的自然数n成立。
通过上述解题策略，我们可以快速有效地运用数学归纳法解决涉及证明、递推、数列等问题。
需要注意的是，在解题过程中，我们要保证每一步的推导都是准确无误的，以确保最终结论的可靠性。
总结数学归纳法是高中数学中常用的解题思路，它能够帮助我们理清问题的思路，快速解决证明、递推、数列等类型的问题。
在运用数学归纳法时，我们要注意确定基本情况，假设归纳成立，证明归纳成立以及总结归纳的步骤。
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路,清华学长告诉你如何拿高分
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路，清华学长告诉你如何拿高分2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路，清华学长告知你如何拿高分把握数学解题思想是解答数学题时不行缺少的一步，建议同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，把握解题技巧，并将做过的题目加以划分，最终几天集中复习。
2023高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路六种解题技巧一、三角函数题留意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很简单由于马虎，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最终下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最终一问证明不等式成立时，假如一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;假如两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，肯定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时肯定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简洁(所以要有构造函数的意识)。
三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简洁;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、留意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
四、概率问题1、搞清随机试验包含的全部基本领件和所求大事包含的基本领件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(依据p1+p2+...+pn=1);5、留意计数时利用列举、树图等基本方法;6、留意放回抽样，不放回抽样;7、留意“零散的”的学问点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8、留意条件概率公式;9、留意平均分组、不完全平均分组问题。
高考数学一轮复习方法指导：数学归纳法
高考数学一轮复习方法指导：数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范畴内成立，下面是小编整理2021年高考数学一轮复习方法指导：数学归纳法，期望对您高考复习有所关心.(一)第一数学归纳法一样地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于一样数列取值为1，但也有专门情形，(2)假设当n=k(k≥[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n= k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k +1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(>n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)关于无穷多个自然数命题P(n)成立，一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
高考数学中的数学归纳法及应用
高考数学中的数学归纳法及应用在高考数学中，数学归纳法是一个重要的概念，它被广泛应用于各种数学问题的解决和证明，特别是那些与自然数和整数相关的问题。
在本文中，我们将主要讨论高考数学中的数学归纳法及其应用。
1. 数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种数学推理方法，通过一个已知的命题的真实性，证明其对于所有的自然数都成立。
数学归纳法的基本步骤包括以下三个部分：第一步，证明基本情况，即证明所要证明的命题在某个整数上成立。
这个整数一般是0或1，有时也可以是其他的整数。
第二步，证明归纳步骤，即证明如果命题在某个整数上成立，那么它在下一个整数上也会成立。
第三步，结论，即由前两步推出所要证明的命题对所有的自然数都成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用：2.1. 计算等差数列的和等差数列的和问题，就可以用数学归纳法来推导出通用公式。
具体步骤如下：首先，我们用初中阶段所学的方法，求出等差数列前n项和的通式Sn。
S1 = a1 (n=1时，Sn=a1)S2 = a1 + a2 (n=2时，Sn=a1+a2)S3 = a1 + a2 + a3 (n=3时，Sn=a1+a2+a3)……Sn = a1 + a2 + …… + an我们通过数学归纳法来推导出通用公式：证明基本情况，当n=1 时，Sn=a1 成立。
证明归纳步骤：假设当n = k（k≥1）时，Sn = a1 + a2 + …… + ak 成立。
即证明当n=k+1 时，Sn=a1+a2+……+ak+ak+1 成立。
即结论：对于所有的自然数n，等差数列的前n项和为Sn = n[a1 + an] / 2。
2.2. 证明不等式数学归纳法也可以用于证明不等式的真实性。
如果某个命题的成立可以从另一个命题的成立推导出来，而这两个命题都可以用数学归纳法进行证明，那么我们可以通过这两个命题的联合证明，来证明原来的不等式。
例如，我们可以用数学归纳法证明n ≥ 3 时，2^n > n^2。
高中数学中的数学归纳法应用解题技巧
高中数学中的数学归纳法应用解题技巧数学归纳法是高中数学中常见的一种解题方法，它通常用于证明数学结论或者计算数列等。
但是，并不是所有的数学归纳法都适用于所有的数学问题，在实际解题中，我们需要根据具体问题具体分析，选择合适的数学归纳法作为解题方法。
本文将详细介绍在高中数学中，如何应用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明方法，它基于如下原理：如果能够证明一个命题对于某一个正整数成立，同时能够证明它对于任何一个大于该正整数的正整数也成立，那么可以证明这个命题对所有正整数都成立。
数学归纳法的证明分为两步：第一步是证明当$n=1$时命题成立；第二步是假设$n=k$时命题成立，证明$n=k+1$时命题也成立。
这样证明完了这两步之后，便可以得出结论：这个命题对于所有正整数都成立。
二、数学归纳法的应用技巧1. 注意命题的表述方式在应用数学归纳法解题时，需要注意命题的表述方式。
一般来说，命题的表述应该是对于所有正整数$n$，某一个性质成立，而不是只对于某一个正整数成立。
比如说，我们要证明所有的正整数的平方都大于该正整数本身，那么命题的表述应该是对于所有正整数$n$，$n^2>n$ 成立，而不是只对于某一个正整数成立。
2. 确定归纳假设在利用数学归纳法证明某一结论时，需要先确定归纳假设。
归纳假设是指我们假设当$n=k$时命题成立，然后尝试证明当$n=k+1$时命题也成立。
归纳假设的选择很关键，一般来说，需要根据命题的特点和数学归纳法的思想，选择合适的归纳假设。
3. 找到证明方法在确定归纳假设之后，需要找到一个证明方法，证明当$n=k+1$时命题也成立。
这个证明方法可以直接由归纳假设推导得到，或者是通过某些算术变形、代数运算等得到。
需要注意的是，证明方法必须是正确的，不能有逻辑漏洞或者不严谨的地方。
三、数学归纳法的实例下面通过两个实例来说明如何应用数学归纳法解题。
实例1：证明$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$解：首先进行基本步骤的证明，当$n=1$时，显然，$1=1^2$，公式成立。
数学归纳法在解题中的技巧
数学归纳法在解题中的技巧1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体内容转变方法存有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段探讨法：适用于于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于于存有显著几何意义的情况。
2、因式分解根据项数挑选方法和按照通常步骤就是顺利进行因式分解的关键技巧。
因式分解的通常步骤就是：提取公因式；选择用公式；十字相乘法；分组分解法；拆项添项法；3、分体式方法。
利用全然平方公式把一个式子或部分化成全然平方式就是分体式方法，它就是数学中的关键方法和技巧。
分体式方法的主要根据存有：4、换元法。
解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、未定系数法。
未定系数法就是在未知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于于求点的座标、函数解析式、曲线方程等关键问题的化解。
其解题步骤就是：①设立②列于③求解④写下6、复杂代数等式。
复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最了不起的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)谋值域范围的思路列于欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式。
基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法存有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)特别注意：当表达式的代数式就是字母的“等距式”时，通常可以化成字母“和与内积”的形式，从而用“和内积代入法”表达式。
11、解含参方程。
方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型解(2)根据需要讨论(3)分类写下结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任一x都设立关于x的方程ax+b=0存有无数个求解a=0且b=0。
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题数学归纳法是一种常见且重要的数学技巧，在高考数学中经常被用于解决一些复杂的问题。
通过合理运用数学归纳法，可以简化问题的复杂性，从而更好地解决数学题。
本文将探讨高考数学中如何利用数学归纳法解决问题的技巧和方法，并通过一些例题进行说明。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它的基本原理是：设n为一个正整数，如果能证明当n取某个值时命题成立，而且如果在命题成立的情况下可以推导得到n+1的情况也成立，那么就可以得出结论：当n为任意正整数时，命题都成立。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法主要包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
1.基础步骤：首先需要证明当n取某个值时命题成立。
这个值通常是最小的正整数，可以是1或任意不为0的正整数。
2.归纳假设：假设当n取k（其中k为正整数）时命题成立，即假设命题P(k)为真。
3.归纳步骤：在已知P(k)为真的情况下，利用此假设证明P(k+1)为真。
通过推理和运算，将P(k+1)的真实性转化为某个已知条件的真实性，即从P(k)推导得到P(k+1)。
三、利用数学归纳法解决高考数学问题的技巧1.明确问题类型：在高考数学中利用数学归纳法解题，首先要明确问题的类型。
常见的问题类型包括数列、方程、不等式、集合等。
2.观察规律：利用数学归纳法解题的关键在于观察规律。
通过对问题的分析和计算，观察数列、方程等中数值、系数的变化规律，总结出规律的特点。
3.列出基础步骤：根据观察所得的规律，找到问题中的基础步骤。
基础步骤通常是证明当n取某个值时命题成立。
4.假设并证明：在观察到的规律的基础上，假设命题P(k)为真，并通过计算和推理证明该命题成立。
5.归纳得出结论：在已知P(k)为真的情况下，运用数学归纳法的归纳步骤，将P(k+1)的真实性转化为已知条件的真实性，进而得出结论。
四、数学归纳法解题的例子【例题】已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则证明：a_n=n^2。
高考数学如何正确运用数学归纳法解决概率问题
高考数学如何正确运用数学归纳法解决概率问题在高考数学中，概率问题是一个常见且重要的考点。
要正确解决概率问题，数学归纳法是一种非常有效的方法。
本文将讨论如何正确运用数学归纳法解决高考数学中的概率问题。
一、概率基础知识回顾在运用数学归纳法解决概率问题之前，首先需要回顾概率的基础知识。
概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，常用于计算事件发生的概率大小。
在概率问题中，一般存在一个样本空间，即所有可能结果的集合，以及一个事件，即我们所关注的事情发生的集合。
概率的计算可以通过数学归纳法来进行。
二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它的基本原理是：当证明一个命题在某个条件下成立时，首先证明它在某个基本情形下成立，然后假设它在某个特定情况下成立，再证明在这个假设下它在下一特定情况下成立，从而推断出它在所有特定情况下成立。
在概率问题中，数学归纳法的步骤如下：步骤一：确定基本情形。
首先考虑最简单的情况，即概率最容易计算的情况，通常是样本空间中只有一个元素的情况。
步骤二：作出假设。
在基本情形下，假设某个事件成立。
步骤三：推导证明。
根据假设，推导出该事件在下一特定情形下成立。
步骤四：总结归纳。
根据步骤三的结果，归纳出该事件在所有特定情形下成立。
三、数学归纳法在概率问题中的应用下面通过几个具体的例子，来说明数学归纳法在解决概率问题中的应用。
例子一：硬币投掷问题假设有一枚硬币，将其投掷n次，问出现正面n次的概率是多少？解题思路：步骤一：确定基本情形。
当n=1时，样本空间为{正面，反面}，只有一种情况，所以概率为1/2。
步骤二：作出假设。
假设当n=k时，出现正面k次的概率为p。
步骤三：推导证明。
当n=k+1时，有两种情况：正面出现k次，然后再出现一次正面；正面出现k次，然后再出现一次反面。
根据假设，出现正面k次的概率为p，所以第一种情况的概率为p*1/2；根据假设，出现正面k次的概率为p，所以第二种情况的概率为p*1/2。
高考数学中的数学归纳法与数学归纳法证明
高考数学中的数学归纳法与数学归纳法证明数学归纳法是现代数学中一个重要的证明方法，也是高中数学中常见的方法之一。
在高考中，数学归纳法常常出现在数列、不等式等知识点中。
本文将重点探讨在高考数学中，如何应用数学归纳法及其证明方法。
一、数学归纳法的概念数学归纳法是一种证明命题的通用的方法，它是建立在自然数基础上的。
数学归纳法的基本思想是：先证明命题对于自然数 1的真实性，然后证明对于任意正整数 n，若命题对于正整数 n 成立，则命题对于正整数 n+1 成立。
根据这一思想，只要证明命题对于自然数 1 成立，且对于任意正整数 n 的情况也成立，即可得出命题在自然数范围内成立的结论。
二、应用数学归纳法的例题1、数列问题数列是高考中比较常见的数学知识点，其中数学归纳法的应用很多。
例如：证明：对于正整数 n，恒有1+2+3+……+n=n(n+1)/2。
解：首先证明当 n=1 时，命题成立，1=1(1+1)/2。
假设命题对于正整数 k 成立，即1+2+3+……+k=k(k+1)/2。
那么当 n=k+1 时，有：1+2+3+……+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=[(k+1)(k+2)]/2。
因此，当 n=k+1 时，命题也成立。
由此可知，命题对于任意正整数 n 成立。
2、不等式问题在不等式问题中，数学归纳法的应用也相当广泛。
例如：证明：对于正整数 n，有 2^n>n。
解：首先证明当 n=1 时，命题成立，2^1>1。
假设命题对于正整数 k 成立，即 2^k>k。
那么当 n=k+1 时，有：2^(k+1)=2*2^k>2k>k+1。
因此，当 n=k+1 时，命题也成立。
由此可知，命题对于任意正整数 n 成立。
三、数学归纳法证明的基本步骤数学归纳法的证明分为以下三步：1、证明基本情形。
即证明当 n=1 时，命题成立。
2、归纳假设。
假设命题对于某个正整数 k 成立，即证明在假设成立的前提下，命题对于正整数 k+1 成立。
高三数学应试技巧合理运用数学归纳法
高三数学应试技巧合理运用数学归纳法高三的同学们，咱们今天来聊聊数学归纳法这个神奇的工具，以及如何在应试中巧妙地运用它来为我们的数学成绩添砖加瓦。
先来讲讲我之前遇到的一个事儿。
有一次学校组织模拟考，我在监考的时候发现有个同学在做一道证明题，抓耳挠腮半天也没个头绪。
我当时就想，要是他能想到用数学归纳法，可能早就把这道题拿下了。
数学归纳法呢，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
它的基本步骤就像是上楼梯，先迈出第一步，证明当 n 等于某个初始值（比如 1 ）时命题成立，这就是咱们踏上的第一级台阶。
然后假设当 n 等于 k 时命题成立，再去证明当 n 等于 k ＋ 1 时命题也成立，这就相当于从第 k 级台阶跨到了第 k ＋ 1 级台阶。
只要咱们能保证这两步都稳稳当当的，那就能得出这个命题对于所有的自然数 n 都成立。
比如说，有这么一道题：证明 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n ＝ n(n ＋ 1) ／2 。
咱们先用 n ＝ 1 来验证一下，左边是 1 ，右边是 1×（1 ＋ 1) ／ 2＝ 1 ，等式成立，这第一步就迈出去了。
接下来假设当 n ＝ k 时等式成立，也就是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ k ＝ k(k ＋ 1) ／ 2 。
那么当 n ＝ k ＋1 时，左边就变成了 1 ＋2 ＋3 ＋… ＋ k ＋（k ＋ 1) ，把前面的 1 ＋2 ＋3 ＋… ＋ k 用我们假设的式子替换掉，就得到 k(k ＋ 1) ／ 2 ＋（k ＋ 1) ，经过一番化简，就可以得出（k ＋ 1)（k ＋ 2) ／ 2 ，正好等于右边，这第二步也就跨过去了，从而就证明了这个命题对所有的自然数 n 都成立。
在考试的时候，数学归纳法能帮咱们解决很多看起来很复杂的问题。
但要注意，每一步都要写清楚，逻辑要严密，可不能马虎。
有一次我批改作业，有个同学步骤写得乱七八糟，自己都把自己绕晕了，最后当然没得分。
再比如说，证明 2^n ＞ n 对于所有大于等于 1 的自然数 n 都成立。
高考数学如何合理运用数学归纳法解决证明题目
高考数学如何合理运用数学归纳法解决证明题目数学归纳法是一种常用的证明方法，在解决高考数学证明题目时尤为重要。
这种方法通过在数值上的归纳来证明某个命题在所有情况下都成立。
本文将重点介绍高考数学中如何合理运用数学归纳法解决证明题目。
首先，我们需要明确数学归纳法的基本思想。
数学归纳法的核心思想是：从某个特定的初始情况出发，假设某个命题在第k个情况下成立，再利用这个假设来证明在第k+1个情况下命题也成立。
具体而言，数学归纳法可以分为三个步骤：1. 验证初始条件；2. 假设命题在第k个情况下成立；3. 根据假设证明在第k+1个情况下命题也成立。
其次，我们需要了解如何运用数学归纳法的具体步骤解决高考数学证明题目。
首先，确定证明命题的适用范围，即找到一个整数n使得命题在n的情况下成立。
接着，验证当n取初始值时命题是否成立。
如果初始条件满足，就可以进行数学归纳的步骤。
然后，假设命题在n=k的情况下成立，即假设P(k)成立。
最后，利用数学归纳法的步骤推导出命题在n=k+1的情况下成立，即要证明P(k+1)成立。
通过整理、推导等方式，我们可以得到P(k+1)与P(k)之间的关系，并验证P(k+1)成立。
当我们成功验证得出P(k+1)成立后，数学归纳法证明完成。
在运用数学归纳法解决高考数学证明题目时，还需要特别注意以下几个问题。
首先，要清楚命题的具体要求和所给条件，确保理解无误。
其次，要善于归纳总结，找到规律性的东西，从而建立起数学归纳的基础。
同时，要注意逻辑推理的准确性，每个步骤的推导都需要逻辑严密，确保推导过程的正确性。
最后，要注意归纳步骤的连贯性，确保从第一个情况推导到最后一个情况的过程连贯无误。
综上所述，高考数学中合理运用数学归纳法可以解决证明题目。
通过明确数学归纳法的基本思想和具体步骤，我们可以更加有条理地进行证明的推导。
同时，我们需要注意问题的适用范围、命题要求和所给条件，保证归纳步骤的连贯性和逻辑推理的准确性。
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题数列与数学归纳法是高考数学中的重要难点之一。
很多学生在这部分内容上遇到困难，对于数列的特征与公式推导、数学归纳法的运用不太熟悉。
然而，只要我们掌握一些解题技巧和方法，就能轻松应对高考中的数列与数学归纳法难题。
本文将介绍几个解题的思路和策略，帮助考生更好地应对高考中的数学难题。
第一部分：数列的特征与公式推导数列是指按照一定规律排列的一组数。
在考试中，我们常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
解决数列问题的关键是要发现数列之间的规律，并根据规律进行推导。
首先，我们来看等差数列。
等差数列的特点是首项与公差确定，任意一项与项数之间的关系可以通过公式推导得出。
当我们遇到一个等差数列时，可以先求出公差，然后根据公式求出所需项数，这样就能轻松解决问题。
接下来是等比数列。
等比数列的特点是首项与公比确定，任意一项与项数之间的关系同样可以通过公式推导得出。
与等差数列类似，我们可以先求出公比，再根据公式求出所需项数，进而解决问题。
第二部分：数学归纳法的运用数学归纳法是解决一类问题的一种常用的证明方法。
在高考数学中，数学归纳法常常用于证明数学命题和不等式。
在解决数列问题时，数学归纳法也是一种重要的推理和证明工具。
数学归纳法的基本思想是：先证明当n=k时某个命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
通过不断地递推，最终我们就能证明当n为任意自然数时命题都成立。
在解决数列问题中，数学归纳法通常用于证明某个数列的通项公式。
我们可以先通过观察和猜测，找出数列的规律，然后利用数学归纳法证明这个规律对所有项都成立。
这样，我们就能快速确定数列的通项公式，从而方便地求解题目。
综上所述，要解决高考数学中的数列与数学归纳法难题，关键是要发现数列之间的规律，并通过公式推导或数学归纳法证明这个规律的正确性。
在备考过程中，我们可以通过大量的练习和题目分析来提高解题的能力和水平。
高考数学归纳与推理的技巧
高考数学归纳与推理的技巧高考数学是每位考生必须面对的一项重要科目，其中的归纳与推理是不可避免的知识点。
本文就从高考数学归纳与推理的技巧上入手，希望能为广大考生提供帮助。
一、归纳归纳是通过具体事例的总结，以推出普遍规律和类型的方法，其实就是从特殊到一般的概括过程。
在数学中，归纳是目前研究自然数的数学归纳法，数学归纳法首先通过基础步骤给出一些基础结论，然后通过归纳步骤推广到更复杂的结论。
具体来说，数学归纳法分为以下三个步骤：1、证明基础步骤：证明当$n=1$时结论成立，即$P(1)$成立。
2、证明归纳步骤：证明当$n=k$时结论成立，则对于$n=k+1$也成立，即$P(k) \Rightarrow P(k+1)$。
3、总结成一定的结论：根据数学归纳法得出结论，即当$n$为任意自然数时结论$P(n)$成立。
由此可见，数学归纳法是一种非常基础的、经典的证明方法，而且其适用范围非常广。
二、推理推理是通过已知真实事实或命题来确定另一个结论或命题的方法。
推理过程包括条件、原因和结论三个部分，只有在以上三部分都符合正逻辑的情况下，推理才是有效的。
在数学中，推理是证明定理、问题解决中最常用的求解方法。
在高考数学中，推理题大概可以分为以下三类。
1、逻辑推理：这类题目主要考察思维能力，需要筛选条件，排除干扰项。
例如：“如果$p$是偶数，则$2p$也是偶数。
”“句子”、“正误关系”等题型，考生需要通过一定的推理能力，根据已有的条件得出正确的结论。
2、数学推理：这类题目一般都是要求证明某个定理或结论，需要考生灵活运用已知知识，根据题目条件进行思考，推导证明过程。
例如，证明等式：$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
3、实际问题的推理：这类题目主要考察考生的实际问题解决能力，通过数学方法将现实问题定量，进行求解。
例如农民甲与乙两人竞抢同一块土地时，他们的耕作效益与耕种的面积的关系是怎样的等。
三、技巧对于高考数学归纳与推理的技巧，主要有以下几个方面。
高考数学总复习：数学归纳法(讲义+解题技巧+真题+详细解答)
1.证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确； 2.假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立. 根据步骤 1，2 可以断定命题对于一切从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证 据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。 注意： （1）不要弄错起始 n0：n0 不一定恒为 1，也可能为其它自然数（即起点问题）． （2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误 （即跨度问题）． （3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过
由归纳假设，凸
k
边形
A1A2A3…Ak
的对角线的条数为
1 2
k(k－3)；对角线
A1Ak
是一条；而顶点 Ak+1 与另外（k－2）个顶点 A2、A3、…、Ak－1 可画出（k－2）条对角线，
所以凸（k+1）边形的对角线的条数是： 1 k(k－3)+1+(k－2)= 1 (k+1)(k－2)= 1
2
2
2.原理 数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有
效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法 想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你 可以：
① 证明第一张骨牌会倒。 ② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 ③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
【解析】
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目数列与数学归纳法是高考数学中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解决这类题目的方法和技巧至关重要。
本文将介绍一些解决高考数学中的数列与数学归纳法题目的策略和步骤。
一、数列题目解决策略对于数列题目，首先需要明确题目给出的条件以及需要求解的内容。
然后可以按照以下步骤进行解决：1. 找出数列的通项公式：通过观察数列中元素之间的规律，可以尝试找出数列的通项公式。
常见的数列有等差数列、等比数列和递推数列等，可以根据数列的性质来确定通项公式。
2. 确定数列的首项和公差（或公比）：根据数列的通项公式，可以确定数列的首项和公差（或公比）。
首项即数列中的第一个数，公差即等差数列中相邻两项之间的差值，公比即等比数列中相邻两项之间的比值。
3. 求解问题：根据题目给出的条件和要求，使用所确定的数列通项公式和已知信息，对数列进行计算，得到所需的结果。
需要注意题目中可能涉及到的问题类型，如求和、求极限、求范围等，应选择相应的解决方法。
二、数学归纳法题目解决策略数学归纳法常用于证明一些数学命题的正确性，在高考数学中也经常出现数学归纳法的题目。
解决这类题目时，可以按照以下步骤进行：1. 确定归纳假设：首先需要明确题目给出的命题，并对其进行归纳分析。
通过观察命题中的模式和规律，得出归纳假设，即命题成立的前提条件。
2. 验证归纳基础：归纳基础是证明归纳法的第一步，需要验证命题在某个确定的数值下是否成立。
通常选取最小的自然数或指定的特殊值进行验证，并确保命题在该值下是成立的。
3. 假设归纳成立：假设在某个确定的情况下命题成立，即假设命题对任意给定的自然数n成立。
4. 利用归纳法证明：利用归纳假设和归纳成立的情况，通过数学推理和逻辑推导来证明命题对n+1也成立。
通常需要进行等式转换、代数运算等步骤。
5. 总结归纳法的结果：根据归纳法的步骤和推导过程，总结出命题的结论，确保命题在任意给定的自然数下都成立。
2024高考数学数学归纳法知识点整理
2024高考数学数学归纳法知识点整理数学归纳法是高中数学中的重要概念和解题方法之一。
它是一种推理方法，用于证明一些关于整数或正整数的性质。
在高考数学中，对于数学归纳法的理解和运用都是必备的知识点。
本文将整理归纳了2024年高考数学数学归纳法的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
这样，就可以通过递推的方式证明命题对于所有正整数都成立。
2. 数学归纳法的三个步骤数学归纳法主要包含三个步骤：2.1 基础步骤（或称初始步骤）首先，我们需要证明当n=1时命题成立。
这是数学归纳法的基础，也是推理的起点。
2.2 归纳步骤（或称归纳假设）假设当n=k时命题成立，我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
这是数学归纳法的关键，通过这一步骤我们可以建立起命题成立的递推关系。
2.3 归纳结论在经过归纳步骤后，我们可以得出结论：对于所有大于等于1的正整数n，命题都成立。
这是数学归纳法的最终目标，通过这一步骤我们将命题的正确性扩展到了所有正整数上。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1 证明数列的性质我们可以使用数学归纳法证明某个数列的性质。
以等差数列为例，假设我们已知当n=k时等差数列的某个性质成立，通过归纳步骤可以推导出当n=k+1时该性质也成立。
3.2 证明数学等式数学归纳法也可以用来证明某些数学等式的成立。
例如，我们可以使用数学归纳法证明等式1+2+...+n=n(n+1)/2。
3.3 证明不等式的性质对于一些数学不等式，我们也常常使用数学归纳法进行证明。
例如，证明2^n > n^2对于所有大于等于5的正整数n成立。
4. 数学归纳法的注意事项在使用数学归纳法时，需要注意以下几个方面：4.1 对于基础步骤的证明要充分，不能遗漏。
高考数学如何灵活运用数学归纳法
高考数学如何灵活运用数学归纳法数学归纳法是数学中一种常用且重要的证明方法，它通过证明某个数学命题在某一个特定条件下成立，然后再证明该命题在下一个条件下也成立，以此类推，最终得出该命题对于所有条件成立的结论。
在高考数学中，灵活运用数学归纳法可以帮助我们解决各类问题，提高解题的效率和准确性。
本文将介绍高考数学如何灵活运用数学归纳法。
一、理解数学归纳法的基本思想数学归纳法分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
首先，证明当$n=k$时命题成立，这是基础步骤；然后，假设当$n=k$时命题成立，即归纳假设；最后，证明当$n=k+1$时命题也成立，这是归纳步骤。
通过这三个步骤的推理，我们可以得到所有$n$都满足该命题的结论。
二、在数列、不等式、恒等式等问题中灵活应用数学归纳法1. 数列问题在数列问题中，数学归纳法常用于证明某一规律对于任意项都成立。
以等差数列为例，我们可以根据基础步骤证明首项满足该规律，然后利用归纳假设证明前$k$项满足该规律，最后利用归纳步骤证明前$k+1$项也满足该规律。
通过数学归纳法的灵活运用，我们可以轻松证明数列中的各种性质。
2. 不等式问题在不等式问题中，数学归纳法可以帮助我们证明某个不等式对于任意正整数成立。
首先，证明当$n=1$时不等式成立；然后，假设当$n=k$时不等式成立，即归纳假设；最后，通过归纳步骤证明当$n=k+1$时不等式也成立。
通过这种方法，我们可以快速推导出不等式的成立条件，解决各类不等式问题。
3. 恒等式问题在恒等式问题中，数学归纳法常常用于证明某个等式对于所有整数成立。
通过基础步骤证明当$n=1$时等式成立，然后通过归纳假设证明当$n=k$时等式也成立，最后利用归纳步骤证明当$n=k+1$时等式仍然成立。
这样，我们可以确定该等式对于所有整数都成立。
三、灵活运用数学归纳法提高解题效率和准确性1. 掌握数学归纳法的基本思路要灵活运用数学归纳法，首先要掌握其基本思路，理解三个步骤的含义和推导过程。
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难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2(2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式. 解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32 由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152 同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立 故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21) ∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21) .1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k 由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0. ●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )A.n =1B.n =2C.n =3D.n =4二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________. 4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________. 三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+n b 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论.8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a c b a c b a c b a 于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10) 那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2 =12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］ 也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立.歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除.证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时，f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1(2k +7)·3k=(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2)⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36.答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3.答案：C 二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、103 53=n 三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时，42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3=42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，24131********>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221*********,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］ 而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小. 取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=>取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>> 推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k 则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k 333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立 由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立.于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n+1 8.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29, ∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n+1 两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n (n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时 下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立.可推知n =2k +1也成立.设n =2k 时，a 2k =－21q k ,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k , 所以a 2k +2=－21q k +1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当 S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=2(1+q +q 2+…+q n -1)－21 (q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---= 由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(q q q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52春到四月，如火如荼，若诗似画，美到了极致，美到了令人心醉。