概率论与数理统计第一章补充题与答案

概率论与数理统计补充习题

第一章 随机事件与概率

一、思考题

1、概率研究的对象是什么？

2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？

3、概率是刻画什么的指标？

4、概率的公理化定义的意义是什么？

5、第一章的主要内容是什么？

二、填空题

1、填出下列事件的关系

（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 . （2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 . （3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 . 2、某人用步枪射击目标5次，i A =（第i 次击中目标 ），i B =（5次射击中击中目标i 次）（i =0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系. （1）、

5

1

=i i A 为 .

5

1=i i

B

为 .

51=i i

A 与 5

1

=i i

B

的关系为 .

（2）、

5

2

=i i A 为 .

5

2=i i

B

为 .

52=i i

A 与 5

2=i i

B

的关系为 .

（3）、

2

1

=i i

A 与 5

3

=i i

A 的关系为 .

（4）、

21

=i i B 与 5

3

=i i

B

的关系为 .

三、选择题

1、下列各式中正确的有（ ）. （A ）、A ∪B =（A-AB ）∪B

（B ）、若A ∪C=B ∪C 则A=B

（C ）、若P （A ）≥P （B ）则A ?B

2、若事件A 和B 互斥，且P （A ）≠0，P （B ）≠0，则（ ）. （A ）、A 和B 互斥

（B ）、A 和B 不互斥

（C ）、P （A-B ）=P （A ） （D ）、P （A-B ）=P （A ）-P （B ） 3、若当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）. （A ）、P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1 （B ）、P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1 （C ）、P （C ）=P （AB ）

（D ）、P （C ）=P （A +B ）

4、设0

（A ）、互斥

（B ）、对立

（C ）、独立

（D ）、不独立

5、设0

（A ）、P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B ) （B ）、P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B ) （C ）、P (A 1∪A 2)=P (A 1|B )+P (A 2|B ) （D ）、P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)

6、设事件A 和B 满足P （B |A ）=1，则（ ）.

（A ）、A ?B

（B ）、A ?B

（C ）、P （B |A ）=0

（D ）、P （AB ）=P （A ）

7、对于任意二事件A 和B ，则（ ）.

（A ）、若Φ≠AB ，则A 、B 一定独立 （B ）、若Φ≠AB ，则A 、B 有可能独立 （C ）、若Φ=AB ，则A 、B 一定独立 （D ）、若Φ=AB ，则A 、B 一定不独立 8、将一枚硬币独立的掷两次，引进事件如下： =1A {第一次出现正面} =2A {第二次出现正面}

=3A {正反各出现一次} =4A {正面出现两次} 则事件（ ）. （A ）、1A 、2A 、3A 相互独立 （B ）、 2A 、3A 、4A 相互独立 （C ）、1A 、2A 、3A 两两独立 （D ）、 2A 、3A 、4A 两两独立

四、计算题

1、P (A )=0.5，P (B )=0.3

（1）、若B ?A ，求P (A ∪B )、P (A |A ∪B ) （2）、若A 、B 互斥，求P (A B )

（3）、若A 与B 互相独立，求P (A -B )、P (A -B |B )

2、设事件A和B相互独立，P(A)=0.5，P(A∪B)=0.8，

计算：（1）、P(A B) （2）、P(A∪B).

3、P(A)=0.4，P(A∪B)=0.8，求P(B|A).

4、设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是次品，求另

一件是合格品的概率.

5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.65，现已知目标被命中，

求甲命中目标的概率.

6、把4个球随机放入4个盒子中，求空盒子数分别为0，1，2，3的概率.

7、甲、乙、丙分别有球为甲：3白2红、乙：全红、丙：红白各半，三人各随意拿出一球，

然后甲从取出的球中随意取回一个，求甲的红球数增加的概率.

8、在所有五位随机整数中（含以0开头的数字），任取一个整数，求下列事件的概率.

（1）、恰有一个数字出现两次；

（2）、最大的数字为6；

（3）、五个数字恰好严格单增.

9、从1，2，…，9这9个数字中，有放回地取三次，每次取一个，求下列事件的概率：（1）、A1：3个数字全不同；

（2）、A2：3个数字没有偶数；

（3）、A3：3个数字中最大数字为6；

（4）、A4：3个数字形成一个单调（严格）数列；

（5）、A5：3个数字之乘积能被10整除.

10、每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果

检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收.假设由于检验有误，一件正品被误检为次品的概率为2%，而一件次品被误检为正品的概率为5%.求一箱产品通过验收的概率.

11、一个枪室里有10支枪，其中6支经过校正，命中率可达0.8，另外4支尚未校正，命

中率仅为0.5.

（1）、从枪室里任取一支枪，独立射击三次.求三次均命中目标的概率；

（2）、从枪室里任取一支枪，射击一次，然后放回，如此连续三次，结果三次均命中目标，求取出的三支枪中有二支是校正过的概率.

12.、设有来自三个地区的各10名，15名和25名的报名表.其中女生的报名表分别为3份，

7份和5份.随机的取一个地区的报名表，从中先后抽出两份, 抽到哪个地区的报名表的可能性相等.

求：（1）、先抽到的一份是女生表的概率p .

（2）、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .

第一章 补充习题答案

一、思考

1、答：随机现象的统计规律性.

2、答：不然.随机现象具有不确定性，即试验之前不能确定哪一个事件发生.随机现象也具

有确定性，即在相同条件下，随着试验的次数增多，事件A 发生的频率越来越接近一个常数p ，随机现象的这一性质，称为频率稳定性，也称统计规律性. 正是随机现象这一确定性，说明了一次试验时随机事件A 发生的可能性大小——概率，是一定值.因此才有《概率论》.

3、答：概率是测度随机事件发生的可能性大小的指标.

4、答：其给出了一个指标是否有资格作为概率的评价标准.

5、答：第一章首先给出了描述随机现象结果的术语：随机事件，介绍随机事件的关系与运

算，使得复杂事件可以通过简单事件来描述，并为概率计算提供方便.

给出了概率定义以及概率的基本关系式（性质、条件概率、乘法公式、全概与逆概公式），为概率计算打下基础.

介绍了古典概型.其本身具有应用价值，也为掌握事件关系与练习概率计算搭了舞台.

二、填空

1、（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 互斥 . （2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 对立 . （3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 后者包含前者 .

2、（1）、

5

1

=i i A 为 至少击中一次 . 5

1

=i i

B

为至少击中一次 .

5

1

=i i A 与 5

1

=i i

B

的关系为 相

等 . （2）、

5

2=i i A 为 后四次中至少击中一次 . 5

2

=i i

B

为 至少击中两次 .

5

2

=i i A 与 5

2

=i i

B

的关系为 不相等 .

（3）、

21=i i

A 与 5

3=i i

A 的关系为 没有必然联系 .

（4）、

2

1

=i i B 与 5

3

=i i

B

的关系为 互斥 .

三、选择题

1、（A ）

2、（C ）证明 ()()()()()P A B P A AB P A P AB P A -=-=-=

反例：

（B ）

即B =A A =B ，A 、B 互斥、A 与B 仍互斥.

（A ）

A 与

B 非互斥

（D ）P （B ）≠0，显然不成立. 3、（B ）证明 AB C ?， P (AB )≤P (C )

P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )≤1; P (AB )≥P (A )+P (B )-1，所以P (C )≥P (A )+P (B )-1。

4、（C ）证明 P (A |B )=1-P (A |B )=P (A |B )∴A 、B 相互独立（注：此结论课上证过）.

5、（B ）证明 P [(A 1+A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B )

又 P [(A 1+A 2)|B ]= P (A 1|B )+P (A 2|B )-P (A 1A 2|B ) P (A 1A 2|B )=0，P (A 1A 2B )=0

所以 P (A 1B +A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )-P (A 1A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B ) 反例 设几何概型，

S

A 1

A 2 =

可分析（A ）、（C ）（D ）均不成立. 6、（D ）证明 由1)

()

()|(==

A P A

B P A B P ，所以 P （AB ）=P （A ）。

反例

A 为阴影区域及点C ，则A 不包含

B ，B 也不包含A ，

又P （B |A ）≠0，有P （B |A ）=1（注：几何概型中P （C ）=0，一点面积为0） 7、（B ）

（A ） 反例 古典概型 S ＝{1，2，3} A ＝{1，2} B ={2,3} AB ={2}≠Ф P(AB )=1/3

P(A )=P(B )=2/3 P(A )P(B )=4/9 显然A ,B 不独立.

(B) A ,B 互斥否与A ,B 独立否没有必然联系，所以“有可能”是对的. （C ） 有结论 当P(A )≠0, P(B )≠0 又AB ＝Ф 则A,B 一定不独立. (D) 当A=Ф 则AB=Ф 而A ,B 相互独立. 8、（C ）

独立是用概率定义的，故应找到事件的概率 P(A 1)=1/2 P(A 2)=1/2

P(A 3)=1/2 (古典数样本是 S={正正，正反，反正，反反} 2/4) P(A 4)=1/4 P(A 1A 2)=1/4 P(A 1A 3)=1/4 P(A 2A 3)=1/4

若是单选，此题已经得出了结果. A 1,A 2,A 3两两相互独立 选（C ） P(A 1A 2A 3)=0 显然非A 1,A 2,A 3相互独立 P(A 2A 3)=1/4 P(A 2A 4)=1/4 P(A 3A 4)=0 则A 2,A 3,A 4 非两两相互独立 也非相互独立

四、计算题

1、 （1）、B A ? ()()0.7P A B P B ?== 7

2

)|(=

+B A A P （2）、()()1()1()()()0.2P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+=

（3）、0.35，

2

1 2、 ∵8.0)()(1)(1)(1)(=-=?-=?-=?B P A P B A P B A P B A P

4.05

.02

.0)(==

B P ∴P（B ）=0.6 2.0)B ()()B (=?=P A P A P

7.02.04.05.0)()()()()(=-+=-+=?B P A P B P A P B A P 3、()()()()()()P A

B P A P B P AB P A P AB =+-=+ ∴P （AB ）=0.8-0.6=0.2

5.0)|(=A B P

4、设A =（至少有一件次品） B =（至少有一件合格品）

4530

32)(210241614==+?=C C C C A P ， 4524)(2

10

1614==C C C AB P 5

4)()()|(==

A P A

B P A B P .

5、A =（甲命中） B =（乙命中），

(())()0.6

(|)0.6977

()()()()0.60.650.60.65

P A A B P A AB P A A B P A B P A P B P AB =

===+-+-?6、设X 为空盒数 n ：44

44

!

4}0{==X P 424144!3}1{C C X P =

= 41

44}3{C X P == P {X =2}=1-P {X =0}-P {X =1}-P {X =3}

7、设A 1,2,3分别为甲、乙、丙取出红球，B 为甲取回红球

)()()()(31311A B A P BA A P B A P P +==甲红球增加

)|()()|()(31313131A A B P A A P A A B P A A P += )|()()()|()()(31313131A A B P A P A P A A B P A P A P += 10

3

312153322153=??+??=

8、（1）P （恰有一个数字出现两次）=

131095

1

5!210C C ?

（2）P （最大数字为6）=5

5

51067-

（3）P （五个数字恰好严格递增）=5510

10

C

9、 33

919

)(P A P = 33295)(=A P

33

239

91935351)(=?+?+=A P （注 分子各项含义: 1：三个6，5×3：为2个6，52

×3：为1个6）

3

3

949

2

)(?=C A P 33

1

41414259

156

93!334)(=?+?+?=C C C A P （注：42

×3：为两个偶数; !31

414??C C ：为一个偶数，一个5以外的奇数;

31

4?C ：为两个5一个偶数.）

设A =（取到5） B =（取到偶数）

5()()1()1()1[()()()]P A P AB P AB P A B P A P B P AB ==-=-=-+-

33333339

156]949598[1=-+-=

10、设A i =（抽到有i 件次品的箱）B =（抽到正品） C =（验收）

)()()(C B P BC P C P +=

)()|()()|(B P B C P B P B C P += )]()()()[|(210B A P B A P B A P B C P ++=

)]()()()[|(210B A P B A P B A P B C P +++ 887.0102311013103

1

05.0108311093113198.0=???????+?+??+???????+?+??= （注：

)

|()()()|()()(111111A B P A P B A P A B P A P B A P ?=?=其余同理）

11、（1）设A =（三次均命中） B =（取到校正过的枪）

()()()(|)()(|)P A P AB

AB P B P A B P B P A B ==+

3572.005.03072.05.010

4

8.010633=+=?+?=

（2）设A =（三次命中） B i =（取到i 只经过校对的枪）i =0,1,2,3

)()()()()(3210AB P AB P AB P AB P A P +++=

)|()()|()(3300B A P B P B A P B P ++=

2

2

1

333

5.08.01041065.0104????? ????+???

? ??=C

方法1

方法2

33

2223

8.01065.08.0104106???

?

??+?????? ??+C

=0.008+0.0576+0.13824+0.1106 =0.3144

P (2B A )=

22()()()P B P A B P A =3144

.013824

.0=0.4397

12、设A 1,A 2,A 3分别为抽到三个地区的报名表

B 1,B 2分别为第1，2次抽到的女生表

（1） P=P(B 1)=P(A 1B 1∪A 2B 1∪A 3B 1)=

3

1

1

()i i P A B =∑

=1/3·3/10+1/3·7/15＋1/3·5/25=29/90

（2） Q=P(B 1|2B )=

122()

()

P B B P B = =20/61

方法1 P(2B )=P (1212

B B B B )=2/9+41/90=61/90

P(21B B )=P(321221121A B B A B B A B B ++)

=1/3·3/10·7/9·+1/3·7/15·8/14+1/3·5/25·20/24 =7/90+4/45+1/18=(7+8+5)/90=2/9 P )()(32122112121A B B A B B A B B P B B ++= =1/3(7/10·6/9+8/15·7/14+20/25·19/24) =1/3(7/15+4/15+19/30)=61/90

方法 2 ∵107)|(12=

A B P 158)|(22=A B P 25

20)|(32=A B P 注意：这一步的注解很关键.即 10/7)|()|(1211==A B P A B P 抓阄合理 ∴33

22211

17820

()()()(|)()61/903101525i i i

i i P B P A B P A P B A ===

==++=∑∑ ∵121377(|)10930P B B A ==，122784

(|)151415P B B A ==

1235201

(|)25246

P B B A =

= ∴121211*********

()()()1/9330156

P B B P B B A B B A B B A =++=+

+= ∴12122()2/9

(|)20/6161/90()

P B B P B B P B ===。注：两种方法关键再求 2()P B 上，方法2简单