任意角的三角函数(第3课时)

思考3：对于不等式 sin
tan
（其中a为锐角），你能用数形结合
思想证明吗？
yT P
O M Ax
三角函数线：用有向线段的数量来表示。
当角a 的终边不在坐标轴上时，我们把OM，MP都看
成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．
y
sina y MP MP (正弦线)
r OP
PT
cosa x OM OM(余弦线) O
小结 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已 知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以 后研究三角函数很有用处．
练习 1 根据下列三角函数值，作角 α 的终边，然后求角的取 值集合： (1)cos α＝12；
解 (1)因为角 α 的余弦值为12，所以 OM＝12，则 在 x 轴上取点12，0，过该点作 x 轴的垂线，交 单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α 的 终边，α 的取值集合为：{α|α＝2kπ±π3，k∈Z}．
当 α 的终边落在 y 轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0， sin2α＋cos2α＝1； 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM. 在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1. 综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
y
3tana 1
3
1
4
-1
k
4
,
k
2
)k
Z
1
O
Ax
k
3
4
, k
3
2
)k
Z
-1 T
4
1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向 线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数 图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦 线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A （1，0）.
r OP
tana y AT AT(正切线)
x OA
MAx
作三角函数线的步骤:
(1) 作出角的终边，画单位圆;
(2) 设a的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则 有向线段MP是正弦线,有向线段OM是余弦线;
y
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，
过点A作x轴的垂线与角a的终边
(或其反向延长线)交于点T，
则有向线段AT是正切线.
O
PT MAx
y a终边 PT
a终边
y
P
O
y
P
M
O
a终边 P
MAx
MO
正弦线
余弦线
y
T 正切线
Ax
O
Ax T
M Ax
PT a终边
注意：1、正弦线、余弦线、正切线解释了正弦 函数、余弦函数、正切函数的几何意义。
2、正弦线的起点在x轴上，正弦线与y轴平行； 余弦线的起点在原点，余弦线在x轴上； 正切线的起点在A（1，0）,正切线与y轴平行.
P2 P
OM
x
x P1 1
(
3
2k
,
32k )kFra bibliotekZ2
在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1sina 1
2
5
6 -1
y
1
6
1
y
1 2
O
x
(2k ,2k 5 )k Z -1
6
6
在单位圆中作出符合条件的角的终边:
2cosa 1
2
y
1
3
-1 O
2k
3
,2k
5
3
k
Z
-1
1
x1 x
2
5
3
思考：在单位圆中作出符合条件的角的终边:
例2 求使 sin a 3 成立的α的取值范围.
2
解 (1)作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB，
则 OA 与 OB 围成的区域即为角 α 的终边的范围，
y
y
3 2
A
PB
故满足条件的角 α 的集合为 α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.
OM
x
例3求函数 f( ) －2cyos －1 的定义域.
3、当正弦线、余弦线、正切线的方向与 x轴或y轴的正方向相同时，对应的三角 函数值为正值；与x轴或y轴的正方向相反 时，对应的三角函数值为负值。
例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝12的角 α 的终边，并求角 α 的取值集合．
解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点纵坐标为12.所以在 y 轴上取点0，12.过 这点作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，则 OP1，OP2 是角 α 的终边， 因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋π6或 α＝2kπ＋56π，k∈Z}．
3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重 要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.
任意角的三角函数
思考1：设a为锐角，你能根据正弦线
和余弦线说明sin a ＋cos a >1吗？
y
P
O M x MP＋OM>OP=1
思考 2：若α为任意角，根据单位圆中正弦线 和余弦线的变化规律探究 sin2α＋cos2α与 1 的关系．
解 当 α 的终边落在 x 轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1， sin2α＋cos2α＝1；