(完整版)解三角形专题题型归纳

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t h

e 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）

1．正弦定理及其变形

2(sin sin sin a b c

R R A B C

===为三角形外接圆半径）

变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）

2sin ,sin ,sin 222a b c

A B C R R R

===

（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C =

（）sin sin sin (4)

,,sin sin sin a A a A b B

b B

c C c C

===

2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.

3．余弦定理及其推论

2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

=+-=+-=+-222

222

222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab

+-=

+-=

+-=

4．余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.

注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.

5．常用的三角形面积公式（1）；高底⨯⨯=

∆21

ABC S （2）

（两边夹一角）；

()111=sin sin sin 2224abc

S ab C ac B bc A R ABC R

===∆为外接圆半径

6．三角形中常用结论

（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）

（3）在中，，所以 ①；②；

ABC ∆A B C π++=()sin sin A B C +=()cos cos A B C +=-③；④⑤()tan tan A B C +=-sin

cos ,22A B C +=cos sin 22

A B C

+=7．实际问题中的常用角

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，

而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）

如： ①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；

α

α

②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.

45︒（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）

1．在中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝3，则AC ＝ ( )

ABC V 2A ．4

B ．2

C ．

D ．3333

2

2．在中，，则等于( )

ABC V 222a b c =+A ∠A ．60° B ．45°

C ．120°

D ．150°

3．设的内角所对的边分别为, 若, 则的

ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos sin b C c B a A +=ABC V 形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

4．若△ABC 的三个内角满足，则△ABC ( )7:5:3sin :sin :sin =C B A A ．一定是锐角三角形

B ．一定是直角三角形

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h

C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5．在中，若＝，则△ABC是( )

ABC

∆

cos A

cos

B

b

a

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

6．在中，,,，则面积为( )

ABC

∆AB=1

AC=30

A︒

∠=ABC

∆

A B C D

7．已知的三边长，则的面积为( )

ABC

∆3,5,6

a b c

===ABC

∆

A B．C D．

8．在锐角中ABC

∆,角,A B所对的边长分别为,a b.若2sin,

a B A

=则角等于( )

A．

12

π

B．

6

π

C．

4

π

D．

3

π

9．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )

A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定

10．在ABC

∆,内角,,

A B C所对的边长分别为,,.

a b c

1

sin cos sin cos,

2

a B C c B A b

+=且a b

>,则B

∠= ( )

A．

6

π

B．

3

π

C．

2

3

π

D．

5

6

π

11．如图：A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B

(53+45︒点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的60︒60︒

救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D点需要多长时间？

三、高考真题赏析

1．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知