1-5+7单纯形法的矩阵描述及应用举例

~ 1 其中 Pj B Pj
当前 x j 对应的系数列
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
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CB
XB B b cj zj
当前基解
1
CB XB I 0
CN 0 XN Xs 1 -1 B N B 1 1 C N CB B N CB B
当前检验数
XB
x3 x4
b
12 16
x1
2 4
x2
2 0
x3
1 0
x4
0 1
x5
0 0
0
x5
cj - Zj x3
15
0
2
5*
3 0
0
0 1
0
0 0
1
0 -2/5
0
6
2*
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0
3
x4
x2 cj - Zj x1 x4 x2 cj - Zj
16
3
4
0 2
0
1 0 0 0 1 0
0
0 0 1/2 -2 0 -1
3月
300
300
200
100
0
400
300
0
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k
表1-22 单位产品成本Vkj
j
单位：元/件
III
40 38 42
I
50 55 58
II
46 45 47
IV
28 32 36
1月 2月 3月
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上述设备在1-3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车 床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨 床安排在3月份维修.各设备每月工作22天,每天2班,每班 8h,每次维修占用半个月时间.又生产出来的产品当月销售 不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每 件每月储存费5元.并规定每个月底各种产品储存量均不得 超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存 50件.试安排该厂各月的生产计划,使总利润为最大。
x2
4 3
cj z j
最优解为(3,3,0,4,0)，最大值为Z = 15
应用举例
一个经济、管理问题要满足下列条件，才能 归结为线性规划模型： (一) 要求解的问题的目标能用某种效益指标度 量大小程度,并能用线性函数描述目标的要求 (二) 为达到这个目标存在多种方案 (三) 要达到的目标是在一定约束条件下实现的, 这些条件可用线性等式或不等式描述
1 0 0 0 0 1 I 0 0
0
0 1 0
cj z j
例10单纯形表
cj
2 0 3 0 0 0
CB
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2 0 3
XB b x1 3
x4
x1 x4 x2
1 0 0 0 0 I1 0 0 0 0 1 0
x3 x4 x5
1/2 -2 0 -1 0 -1/5 1-1 4/5 B 0 1/5 0 -1/5
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例3 生产、库存与设备维修综合计划的安排
红光厂有2台车床、1台钻床、1台磨床,承担4种产 品的生产任务.已知生产各种产品所需的设备工时及 生产单位产品的售价如表1-20所示。对各产品今后三 个月的市场最大需求(小于最大需求量时可全部销出) 及个产品在今后三个月的生产成本分别如表1-21和表 1-22所示。 表1-20 单位产品所需工时aij值
1-23
解：设 x1 和 x2 分别表示于10:00-18:00及12:00-20:00上班的全日制 工人数, y1 , y2, y3 为分别于11:00-16:00,13:00-18:00及15:00-20:00上 班的非全日制工人数. 则可建立问题的数学模型为：
第五、七节 单纯形法的进一步讨 论和应用举例
继续
----单纯形法的矩阵描述 及应用举例
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矩阵单纯形法计算的描述 P41
线性规划问题 max z CX AX b s.t. X 0 解：化为标准型，引入松弛变量 X s

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max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0
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该分拣部每天从早8:00-19:00对外营业,快件的分拣由工人操作机器进 行,每台机器由一名工人操作,分拣率为500件/h,共有11台机器,分拣部 内一部分为全日制工人,上班时间分别为10:00-18:00和12:00-20:00, 每人每天工资150元;另一部分为非全日制工人,分三批上班：11:0016:00,13:00-18:00,15:00-20:00,每人每天工资80元.考虑到快件的时 间性强,快递公司承诺,每天12:00前到达的快件于14:00前分拣完寄 出;12:00-15:00之前到达的快件于17:00前分拣完寄出;这之后到达的, 均在当天20:00前分拣完并发送出去.问该分拣部各雇佣多少全日制非 全日制工人,并如何安排班次,使总的工资支出为最少.
非基变量 当前基解
基变量
X B b B b
1
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z (CB C N ) X CB X B C N X N N
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CB B 1b C N X N ~ CBb C N X N
令
XN 0
得当前的目标函数值为：
初始单纯形表：
初始解 b cj-zj B σN 非基变量 N 基变量 I 0, …,0
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最终单纯形表：
基可行解 基变量 非基变量
b′
cj-zj
I
0, …,0
N′
σN ′
B-1
-y1, …, -ym
单纯形法的矩阵描述
不妨设基矩阵为
则
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B P1 P2 Pm A ( P1 P2 Pn ) ( B N ) X (XB XN ) C (CB CN )
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解：用 xij 表示第 i 年初投入到第 j 个项目的资金数,则可 建立问题的数学模型为：
max z 1.2 x31 1.6 x23 1.4 x34 x11 x12 =300000 x21 x23 =1.2 x11 x31 x34 1.2 x21 1.5 x12 s.t. x12 150000 x 200000 23 x34 100000 x11 ,, x34 0
例10 用向量矩阵描述下面LP问题的计算
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 12 2x1 2x2 x3 4x x4 16 1 5x2 x5 15 x1,, x5 0
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2 2 1 0 0 系数矩阵 A 4 0 0 1 0 0 5 0 0 1
1 z0 C B b C B B b
当前目标函数值
单纯形法的矩阵描述
检验数
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~ ~ (Cm1 Cn ) CB ( Pm1 Pn ) ~ m1 Cm1 CB Pm1 ~ n Cn CB Pn
当前检验数
~ N C N CB N
A 甲 ≥60% 乙 ≥30% 丙 原料成本 (元/kg) 2.00 每月限制 用量(kg) 2000
B C 加工费(元 /kg)
售价(元 /kg)
1.5 ≤20% 0.50
3.40
2500 1200
≤50% 0.40
2.85
≤60% 0.30
2.25
1
解：用i=1,2,3分别代表原材料A、B、C ，用j= 1,2,3分别代表甲、乙、 丙三种糖果.设xij为第j种糖果中第i种原料的重量,则问题的数学模型为：
例10 用向量矩阵描述下面LP问题的计算
max
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z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
12 2x1 2x2 x3 4x x4 16 1 5x2 x5 15 x1,, x5 0
c j→
2
3
0
0
0
CB
0 0
原料供应限制
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含量要求条件
例2 投资项目的组合问题
兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项 目的投资： (1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其 本利可一起用于下一年的投资； (2)只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额 的150%，但此类投资限额不超过15万元； (3)允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额 的160%，但限额投资20万元； (4)允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10 万元. 试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案.
max z (3.4 0.5)( x11 x21 x31 ) (2.85 0.4)( x12 x22 x32 ) (2.25 0.3)( x13 x23 x33 ) 2.0( x11 x12 x13 ) 1.5( x21 x22 x23 ) 1.0( x31 x32 x33 ) x11 x12 x13 2000 x x x 2500 21 22 23 x31 x32 x33 1200 x11 0.6( x11 x21 x31 ) s.t. x12 0.3( x12 x22 x32 ) x 0.2( x x x ) 11 21 31 31 x32 0.5( x12 x22 x32 ) x33 0.6( x13 x23 x33 ) x11 , , x33 0
解：用 xkj 表示第 j 种产品在第 k 个月的生产量， Skj 表示第 j 种产品 在第k个月的销售量，Ikj 表示第 j 种产品在第k个月的库存量， Rkj 表 示第 j 种产品在第k个月的最大需求量， Cki 表示第 i种设备在第 k 个 月的生产能力， Pj 表示单位 j 种产品的售价， Vkj 为单位 j 种产品第 k 个月的生产成本， aij 为单位 j 种产品所需 i 设备工时，则可建立问 题的数学模型为：
例4 (P53 例16)
迅达快递公司下设一个快件分拣部,处理每天收寄的快件. 时段 到达快件数 时段 表.. 到达快件数 据统计资料 ,每天各时段快件到达数量如 表
10:00前 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 13:00-14:00 5000 4000 2500 4500 2500 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 17:00-18:00 18:00-19:00 3000 4000 4500 3500 3000
1
0 0 0 1 0 0
0
1/5 -3/5 -1/5 4/5 1/5 -1/5
2 0 3
3 4 3
1 0 0 0
初始单纯形表
cj
2 0 3 0 0 0
CB
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0ຫໍສະໝຸດ Baidu0 0
XB x3 x4 x5
b
12 16 15
x1 x4 x2
2 4 0 2 0 1 B 0 0 2 0 5 3
x3 x4 x5
下页
i j I 0.5 0.1 0.2 80 II 0.7 0.2 —— 60 III —— 0.6 0.2 50 IV 0.5 —— 0.6 40
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单位：h
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车床 钻床 磨床 售价(元/件)
表1-21 最大需求量Rkj
k
1月 j I 200 II 300
单位：件
III 200 IV 200
2月
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例1 混合配料问题
某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、 丙.已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的 每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示. 问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大. 试建立这个问题的线性规划的数学模型. 上页 下页 返回
max z Pj Skj Vkj xkj 5 I kj
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k 1 j 1 k 1 j 1 k 1 j 1
3
4
3
4
2
4
4 aij xkj Ckj (i 1, 2,3; k 1, 2,3) j 1 s.t. Skj Rkj (k 1, 2,3; j 1,, 4) I k 1, j xkj Skj I kj (k 1, 2,3; j 1,, 4)