1-5+7单纯形法的矩阵描述及应用举例
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单纯形法及应用举例
❖ 力求总运费最省
34
cij xij d13 d13 2950
i1 j1
❖ 目标函数为：
min z P1d 4 P2d 5 P3(d6 d 7 d 8 d 9)
P4d
10
P5
d
11
P6 (d
12
d
12)
P7d
13
17
第4节 应用举例
2x1 x2 xs
11
x1
x2 d1 d1 0
满足约束条件：
x1 2x2 d2 d2 10
8x1 10x2 d3 d3 56
x1, x2, xs , di, di 0, i 1,2,3
3
第3节 解目标规划的单纯形法
x12+x22+x32+d2− − d2+=100
x13+x23+x33+d3− − d3+=450
x14+x24+x34+d4− − d4+=250
❖ A3向B1提供的产品量不少于100
x31+d5−− d5+=100
15
第4节 应用举例
❖ 每个销地的供应量不小于其需要量的80%
x11+x21+x31+d6−−d6+=200×0.8 x12+x22+x32+d7− − d7+=100×0.8 x13+x23+x33+d8− − d8+=450×0.8 x14+x24+x34+d9− − d9+=250×0.8 ❖ 调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10%
单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
单纯形法基本原理和实例演示
单纯形法求解—动态演示
在求解LP问题时,有人给出了图解法,但对 多维变量时,却无能为力,于是
美国数学家G·B·Dantgig(丹捷格)发明了 一种“单纯形法”的代数算法，尤其是 方便于计算机运算。这是运筹学史上最 辉煌的阶段。
一、关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题标准型的矩阵形式：
Max Z = CX
如果CN- CB B-1N小于0，无论XN取任何大于0值，只会让Z变 小，因此我们可以通过CN- CB B-1N来判断Z取得是不是最大 值。
如果存在一个CN- CB B-1N大于0，则说明Z的值会随着XN增 大而增大，说明Z有调整的余地。
定理一：若某个基本可行解所对应的检验向量CN- CB B-1N <=0,则这个基本可行解就是最优解。
C向量
x1
x2
max z 50
100
0
0
0
s1
s2
CB
CN
s3
每个非基
XB
变量的检
验值
XN j c j z j
Zj=CBNj
s.t.
x1
1 2 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
迭代 基变 次数 量
CB
S1 0 S2 0
x1 X2 s1
50 100 0 111 210
s2 S3
比值
b bi
00
ai 2
0
0
300
300 1
1
0
400
400 1
2 x2
0 ①1 0 0 1 250 250
在求解LP问题时,有人给出了图解法,但对 多维变量时,却无能为力,于是
美国数学家G·B·Dantgig(丹捷格)发明了 一种“单纯形法”的代数算法，尤其是 方便于计算机运算。这是运筹学史上最 辉煌的阶段。
一、关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题标准型的矩阵形式：
Max Z = CX
如果CN- CB B-1N小于0，无论XN取任何大于0值，只会让Z变 小，因此我们可以通过CN- CB B-1N来判断Z取得是不是最大 值。
如果存在一个CN- CB B-1N大于0，则说明Z的值会随着XN增 大而增大，说明Z有调整的余地。
定理一：若某个基本可行解所对应的检验向量CN- CB B-1N <=0,则这个基本可行解就是最优解。
C向量
x1
x2
max z 50
100
0
0
0
s1
s2
CB
CN
s3
每个非基
XB
变量的检
验值
XN j c j z j
Zj=CBNj
s.t.
x1
1 2 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
迭代 基变 次数 量
CB
S1 0 S2 0
x1 X2 s1
50 100 0 111 210
s2 S3
比值
b bi
00
ai 2
0
0
300
300 1
1
0
400
400 1
2 x2
0 ①1 0 0 1 250 250
单纯形法的矩阵描述
1
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
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初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
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初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
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XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
3.1单纯形法的矩阵描述
故所有检验数可表示 C C B B1 A与 C B B1
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
单纯形法的一般描述和求解步骤课件
单纯形法的一般描述和求解步骤：一般的线性规划问题的求解有以下几个步骤。
(1)确定初始基本可行解。
为了确定初始可行解，首先要找出初始可行基。
设一线性规划问题为⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑∑==nj xj b x P x c Z n j j j nj jj ,,2,1,0max 11（1-14）可分两种情况讨论。
1.若),,2,1(n j P j =中存在一个单位基，则将其作为初始可行基：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==100010001),,,(21m P P P B 2.若),,2,1(n j P j =中不存在一个单位基，则人为的构造一个单位初始基。
关于这个方法将在下面提到。
(2)检验最优解。
得到初始基本可行解后，要检验该解是否最优解。
如果是最优解，则停止运算；否则转入（3）基变换。
下面给出最优性判定定理。
一般情况下，经过迭代后可以得到以非基变量表示基变量的表达式∑+=='-'=nm j j iji i m i x ab x 1),,2,1(,(1-15)将式（1-15）代入式（1-14）的目标函数，整理后得j nm i ni ij i jmi i i x a c cb c Z ∑∑∑+==='-'+'=111)(max令∑='=m i i i b c Z 10,∑=+==mi ji i j n m j a c Z 1),,1(,于是j nm j j j x Z c Z Z ∑+=-+=10)(max再令),,1(,n m j Z c j j j +=-=σ则得到以非基变量表示的目标函数的表达式jnm j jx Z Z ∑+=+=10max σ由以上推导可得出下列最优解的判定定理。
(1)最优解的判定定理：若T m b b b X )0,,0,,,,(21)0( '''=为对应于基B 的一个基本可行解，且对于一切n m j ,,1 +=有0≤j σ，则)0(X 是最优解，称j σ为检验数。
第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
C B
X Bb B cj zj
1
X B I 0
X X N s 1 BN B 1 1 C C B N C N B BB
当前基解
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ , P b , P , , 每次迭代关键求出 B k k j i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣 ）被称为DEA有效，它用数学规划模型计 算比较决策单元之间的相对效率，为评价对 象作出评价。
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
157单纯形法的矩阵描述及应用举例课案
14:00-15:00 15:00-16:00
到达快件数 3000 4000
1-23
11:00-12:00
2500
16:00-17:00
4500
12:00-13:00
4500
17:00-18:00
3500
13:00-14:00
2500
18:00-19:00
3000
该分拣部每天从早8:00-19:00对外营业,快件的分拣由工人操作机器进
(2)只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额 的150%，但此类投资限额不超过15万元；
(3)允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额 的160%，但限额投资20万元；
(4)允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10 万元.
试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案.
返回
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解：用 xkj 表示第 j 种产品在第 k 个月的生产量， Skj 表示第 j 种产品 在第k个月的销售量，Ikj 表示第 j 种产品在第k个月的库存量， Rkj 表 示第 j 种产品在第k个月的最大需求量， Cki 表示第 i种设备在第 k 个 月的生产能力， Pj 表示单位 j 种产品的售价， Vkj 为单位 j 种产品第 k 个月的生产成本， aij 为单位 j 种产品所需 i 设备工时，则可建立问 题的数学模型为：
x12
150000
下页
x23
200000
返回
x34 100000
x11,L , x34 0
上页 下页 返回
例3 生产、库存与设备维修综合计划的安排
单纯形法
为了方便讨论，我们将选择线性规划问题的如下形 式为标准形式： Maximize Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn =bm x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0.
巨斯特石油公司混合问题
巨斯特石油公司要生产两种汽油产品, 一种是 一般的汽油, 另一种是特殊的汽油, 公司炼油 厂希望通过合成4类石油成份来生产这两种汽 油产品; 这些汽油的售价不同,4种石油成份成 本也不同; 公司希望确定一种混合这4类石油 成份以生产两种汽油产品的方案来获取最大 的利润.
巨斯特石油公司混合问题
单纯形法
例红星重型机械厂的产品组合问题的线性规 划问题引入松弛变量化为如下标准形式：
max
Z 4 x1 3 x2
x3 6 x1 2 x2 x4 8 s.t 2 x1 3 x2 x5 18 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
线性规划在不同领域的应用
线性规划在很多领域都有应用, 除前面的经典 应用模型外, 本章继续举例研究一些较为复杂 应用案例: 如航线安排问题P80, 水力发电问题P82, 用来 进一步说明线性规划建模技术与用Excel求解 方法. 这里不再一一列举.
基阵（ P1 P2 P4,）基本可行解(6,2,0,4,0)对应可行区域顶点B(6,2) 基阵（ P1 P3, P4,）, 基本解(9,0,-3,8,0)对应顶点A(9,0) ………………. 另外，A的另外两个m=3阶子矩阵（ P2,P4,P5 ）和（ P1,P3,P5 ）不可逆， 不能构成基阵.
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn =bm x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0.
巨斯特石油公司混合问题
巨斯特石油公司要生产两种汽油产品, 一种是 一般的汽油, 另一种是特殊的汽油, 公司炼油 厂希望通过合成4类石油成份来生产这两种汽 油产品; 这些汽油的售价不同,4种石油成份成 本也不同; 公司希望确定一种混合这4类石油 成份以生产两种汽油产品的方案来获取最大 的利润.
巨斯特石油公司混合问题
单纯形法
例红星重型机械厂的产品组合问题的线性规 划问题引入松弛变量化为如下标准形式：
max
Z 4 x1 3 x2
x3 6 x1 2 x2 x4 8 s.t 2 x1 3 x2 x5 18 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
线性规划在不同领域的应用
线性规划在很多领域都有应用, 除前面的经典 应用模型外, 本章继续举例研究一些较为复杂 应用案例: 如航线安排问题P80, 水力发电问题P82, 用来 进一步说明线性规划建模技术与用Excel求解 方法. 这里不再一一列举.
基阵（ P1 P2 P4,）基本可行解(6,2,0,4,0)对应可行区域顶点B(6,2) 基阵（ P1 P3, P4,）, 基本解(9,0,-3,8,0)对应顶点A(9,0) ………………. 另外，A的另外两个m=3阶子矩阵（ P2,P4,P5 ）和（ P1,P3,P5 ）不可逆， 不能构成基阵.
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)
影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价 格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则 企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价 格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
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记忆方法： 极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。 注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小 于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质 （1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。 （3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问 题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
因为p1,…,pm,是一个基，其他向量pj可以这个基 的线性组合表示：
p j aij pi
i 1
m
单纯形法基本原理
m
( p j aij pi ) 0
i 1
m
p j aij pi 相减，然后乘上一个正数θ ,加上
i 1
p x
i 1
m
( 0)
i i
b 经过整理得到：
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X 成为这两个点连线上的一个点
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
( 0)
( x , x2 ,...xm , o,...o)
n j 1
0 1
0x j
n Pj x j b s.t. j 1 x j 0( j 1,2,3...n)
代入约束条件有
px
i 1
m
0
i i
b
单纯形法基本原理
系数矩阵的增广矩阵
bb列正好就是基变量的取值因此称列正好就是基变量的取值因此称bb列列为为解答列解答列单纯形法基本原理单纯形法基本原理令非基变量取非基变量取00基变量对应基变量对应bbii一起构一起构成初始基可行解成初始基可行解单纯形法基本原理单纯形法基本原理lplp单纯形法基本原理单纯形法基本原理在约束条件中的变量系数矩阵中总会有一个单位矩阵在约束条件中的变量系数矩阵中总会有一个单位矩阵初始可行基初始可行基当线性规划的约束条件均为其松弛变量的系数矩阵为单位矩阵
运筹学5-单纯形法
Max Z C B B 1b C N C B B 1 N X N X B B 1 NX N B 1b s .t X B 0 , X N 0
令 x3 0 x4 0
6 x1 2 x2 24
15 3 X 0 0 4 4
T
为基本可行解，B12为可行基
则
3 1 对于基阵 B13 6 0 3x1 x3 15
令 x2 0 x4 0
为基本可行解，B13为可行基
6 x1 24
X1
X(1)
单纯形法小结： 单纯形法是这样一种迭代算法——如下图… 当Zk中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基本可 行解Xk即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
X1
保持可行性
X2
保持可行性
X3
保持可行性 ...
保持可行性
Xk
保持单调增
保持单调增
保持单调增
保持单调增 ...
Z1
Z2
Z3
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的 基本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
第五章 单纯形法
1. 线性规划问题的解 2 单纯形法 3 求初始基的人工变量法
1.线性规划问题的解
Max
(1) 解的基本概念
Z CX AX b X 0
1 2 3
s.t
定义 在线性规划问题中，约束方程组(2)的系 m m 数矩阵A(假定 m n )的任意一个 阶的非奇异(可逆)的子方阵B(即 )， B 0 称为线性规划问题的一个基阵或基。
XB Z CX C B C N X CB X B CN X N N C B B 1b B 1 NX N C N X N
线性规划
x2 x2
x1 唯一最优解 无穷多最优解
x1
无可行解 无界解
通过图解法，可以得出以下结论：
1.线性规划问题解的类型有：唯一最优解、无穷多 最优解、无界解、无可行解四种； 2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域一定是
凸集； 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优 解之一一定能够在可行域的顶点找到； 4.解题思路：先找出凸集的任一顶点，计算出在顶 点处的目标函数值。比较相邻顶点处的目标函数 值是否比这个更优，如果为否，则该顶点就是最 优解的点或最优解的点之一；否则转化到比这个 点目标函数值更优的另一顶点，重复上述过程， 直到找出目标函数值达到最优的顶点为止。
3.5 最优性检验和解的判别
（1）如果单纯形表最后一行中的σj都满足 σj≥0, 则对应的基本可行解是最优解; 否则就不是最优解。 σj称为变量 xj 的检验数。 证：变形之后的目标函数为 z=z0+σm+1 xm+1+…+ σnxn 若σj≤0，则任意可行解的目标值z≤z0 （2）如果存在某个σk＞0，又向量P'k的所有分量 a'ik≤0, 这时线性规划问题具有无界解。 证：设x(1)的各分量分别为
(1)目标函数求极小值；
(2)由资源引起的约束 条件全为等式；
(3)约束条件右端常数 项bi全为非负值；
(4)变量xj的取值全为非 负。
不符合标准形式的几个方面： ⑴目标函数为 max z=c1x1+c2x2+ …+cnxn 令z=-z ,变为 min z= -c1x1- c2x2- …-cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1 加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+ …+a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2+ …+a1nxn≥b1 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+ …+a1nxn - xn+1=b1
x1 唯一最优解 无穷多最优解
x1
无可行解 无界解
通过图解法，可以得出以下结论：
1.线性规划问题解的类型有：唯一最优解、无穷多 最优解、无界解、无可行解四种； 2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域一定是
凸集； 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优 解之一一定能够在可行域的顶点找到； 4.解题思路：先找出凸集的任一顶点，计算出在顶 点处的目标函数值。比较相邻顶点处的目标函数 值是否比这个更优，如果为否，则该顶点就是最 优解的点或最优解的点之一；否则转化到比这个 点目标函数值更优的另一顶点，重复上述过程， 直到找出目标函数值达到最优的顶点为止。
3.5 最优性检验和解的判别
（1）如果单纯形表最后一行中的σj都满足 σj≥0, 则对应的基本可行解是最优解; 否则就不是最优解。 σj称为变量 xj 的检验数。 证：变形之后的目标函数为 z=z0+σm+1 xm+1+…+ σnxn 若σj≤0，则任意可行解的目标值z≤z0 （2）如果存在某个σk＞0，又向量P'k的所有分量 a'ik≤0, 这时线性规划问题具有无界解。 证：设x(1)的各分量分别为
(1)目标函数求极小值；
(2)由资源引起的约束 条件全为等式；
(3)约束条件右端常数 项bi全为非负值；
(4)变量xj的取值全为非 负。
不符合标准形式的几个方面： ⑴目标函数为 max z=c1x1+c2x2+ …+cnxn 令z=-z ,变为 min z= -c1x1- c2x2- …-cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1 加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+ …+a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2+ …+a1nxn≥b1 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+ …+a1nxn - xn+1=b1
单纯形法定义及应用
3
§1 单纯形法的基本思路和原理
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一
的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到了
1 1 0为 A的一个基，令这个基的
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
在上表中有一个m×m的单位矩阵，对应的基变量为s1,s2,s3；
在 z2=z0j行×中1+填0×入1第+0j×列1与=0cB，列所中在对z应i行的中元的素第相2位乘数相填加入所0得；的值，如
在j cj zj 行中填入cj-zj所得的值，如
； 150050
z表示把初始基本可行解代入目标函数求得的目标函数值，即b列乘以cB列；
i1
cmamj c1,c2,
a1j
,cma2j
amj
c1,c2, ,cmpj
15
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而
经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的
§1 单纯形法的基本思路和原理
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一
的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到了
1 1 0为 A的一个基，令这个基的
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
在上表中有一个m×m的单位矩阵，对应的基变量为s1,s2,s3；
在 z2=z0j行×中1+填0×入1第+0j×列1与=0cB，列所中在对z应i行的中元的素第相2位乘数相填加入所0得；的值，如
在j cj zj 行中填入cj-zj所得的值，如
； 150050
z表示把初始基本可行解代入目标函数求得的目标函数值，即b列乘以cB列；
i1
cmamj c1,c2,
a1j
,cma2j
amj
c1,c2, ,cmpj
15
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而
经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的
单纯形法
z z0 j x j
j m 1
n(1.2.21)称 j ( j m 1 ,, n ) 为检验数。
定理1.2.1 设（1.2.17）和（1.2.21）是最大
化线性规划问题关于当前基本可行解x*的两个典式。
若关于非基变量的所有检验数σ j≤0成立，则当前
基本可行解x*就是最优解。 将σ j≤0称为最大化问题的最优性准则。显然， 对于最小化问题最优性准则应是σ j≥0。
30x1 + x3 = 160 - 20x2 5x1 = 15 - x2 - x4 （1.2.6） x1 + x5 = 4 进一步分析，用消元法将（1.2.6）中x1的系数列向量 （30,5,1）T 化成(1.2.3)中x4的系数矩阵（0,1,0）T
的形式。得到：
x3 = 70 - 14x2 + 6x4 x1 = 3 - 1/5x2 - 1/5x4
(b'1, b'2, … , b'm ,0 , …, 0)T是当前基本可行解。若有一个非
基变量xm+t的检验数σ
m+t>0，且xm+t对应的系数列向量
P'm+t=(a'1,m+t,a'2,m+t,„，a'm,m+t)中，所有分量a'i,m+t≤0，则该 线性规划问题具有无界解（或称无最优解）。
1.2.2 单纯形表
x2= 5 - 1/14x3 + 3/7x4
x1 = 2 + 1/70x3 - 2/7x4
（1.2.11）
x5 = 2 - 1/70x3+ 2/7x4
将（1.2.11）代入目标函数式，得到用非基变 量x 3
单纯形法
单纯形法
单纯形法的一般原理 表格单纯形法 借助人工变量求初始的基本可行解
1
1947年，Dantzig提出的单纯形法把寻优的目标集 中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一 条达到最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，
对于线性规划问题 minZ=cTX, D= X Rn /AX=b,X 0
若某个基本可行解所对应的检验向量 N =cTN -cTBB-1N 0 ，
则这个基本可行解就是最优解。
Z cBT B-1b+(σm+1,σm+1,
xm+1
σn
)
x m+2
定理2：无穷多最优解判别定理 xn
0
将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值
Z=cT X=(cTB
cNT
)
B1b 0
=cTB
B-1b
其中 cBT =(c1 ,c2 , cm ), cTN =(cm+1 ,cm+2 , cn ) 分别表示基变量和
非基变量所对应的价值系数子向量。
12
要判定 Z=cTBB-1b 是否已经达到最小值，只需将
xm+1
σ
n
)
x
m+2
xn
其中 N =cTN -cTBB-1N=( m+1 , m+1, n ) 称为非基变量ＸN
的检验向量，它的各个分量称为检验数。若σN的每一个检验数均大
单纯形法的一般原理 表格单纯形法 借助人工变量求初始的基本可行解
1
1947年，Dantzig提出的单纯形法把寻优的目标集 中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一 条达到最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，
对于线性规划问题 minZ=cTX, D= X Rn /AX=b,X 0
若某个基本可行解所对应的检验向量 N =cTN -cTBB-1N 0 ，
则这个基本可行解就是最优解。
Z cBT B-1b+(σm+1,σm+1,
xm+1
σn
)
x m+2
定理2：无穷多最优解判别定理 xn
0
将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值
Z=cT X=(cTB
cNT
)
B1b 0
=cTB
B-1b
其中 cBT =(c1 ,c2 , cm ), cTN =(cm+1 ,cm+2 , cn ) 分别表示基变量和
非基变量所对应的价值系数子向量。
12
要判定 Z=cTBB-1b 是否已经达到最小值，只需将
xm+1
σ
n
)
x
m+2
xn
其中 N =cTN -cTBB-1N=( m+1 , m+1, n ) 称为非基变量ＸN
的检验向量，它的各个分量称为检验数。若σN的每一个检验数均大
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原料供应限制
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含量要求条件
例2 投资项目的组合问题
兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项 目的投资： (1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其 本利可一起用于下一年的投资； (2)只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额 的150%，但此类投资限额不超过15万元； (3)允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额 的160%，但限额投资20万元； (4)允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10 万元. 试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案.
初始单纯形表：
初始解 b cj-zj B σN 非基变量 N 基变量 I 0, …,0
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最终单纯形表：
基可行解 基变量 非基变量
b′
cj-zj
I
0, …,0
N′
σN ′
B-1
-y1, …, -ym
单纯形法的矩阵描述
不妨设基矩阵为
则
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B P1 P2 Pm A ( P1 P2 Pn ) ( B N ) X (XB XN ) C (CB CN )
A 甲 ≥60% 乙 ≥30% 丙 原料成本 (元/kg) 2.00 每月限制 用量(kg) 2000
B C 加工费(元 /kg)
售价(元 /kg)
1.5 ≤20% 0.50
3.40
2500 1200
≤50% 0.40
2.85
≤60% 0.30
2.25
1
解：用i=1,2,3分别代表原材料A、B、C ，用j= 1,2,3分别代表甲、乙、 丙三种糖果.设xij为第j种糖果中第i种原料的重量,则问题的数学模型为：
x2
4 3
cj z j
最优解为(3,3,0,4,0)，最大值为Z = 15
应用举例
一个经济、管理问题要满足下列条件，才能 归结为线性规划模型： (一) 要求解的问题的目标能用某种效益指标度 量大小程度,并能用线性函数描述目标的要求 (二) 为达到这个目标存在多种方案 (三) 要达到的目标是在一定约束条件下实现的, 这些条件可用线性等式或不等式描述
1
0 0 0 1 0 0
0
1/5 -3/5 -1/5 4/5 1/5 -1/5
2 0 3
3 4 3
1 0 0 0
初始单纯形表
cj
2 0 3 0 0 0
CB
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0 0 0
XB x3 x4 x5
b
12 16 15
x1 x4 x2
2 4 0 2 0 1 B 0 0 2 0 5 3
x3 x4 x5
1 z0 C B b C B B b
当前目标函数值
单纯形法的矩阵描述
检验数
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~ ~ (Cm1 Cn ) CB ( Pm1 Pn ) ~ m1 Cm1 CB Pm1 ~ n Cn CB Pn
当前检验数
~ N C N CB N
非基变量 当前基解
基变量
X B b B b
1
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z (CB C N ) X CB X B C N X N N
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CB B 1b C N X N ~ CBb C N X N
令
XN 0
得当前的目标函数值为：
例10 用向量矩阵描述下面LP问题的计算
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 12 2x1 2x2 x3 4x x4 16 1 5x2 x5 15 x1,, x5 0
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2 2 1 0 0 系数矩阵 A 4 0 0 1 0 0 5 0 0 1
XB
x3 x4
b
12 16
x1
2 4
x2
2 0
x3
1 0
x4
0 1
x5
0 0
0
x5
cj - Zj x3
15
0
2
5*
3 0
0
0 1
0
0 0
1
0 -2/5
0
6
2*
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0
3
x4
x2 cj - Zj x1 x4 x2 cj - Zj
16
3
4
0 2
0
1 0 0 0 1 0
0
0 0 1/2 -2 0 -1
例10 用向量矩阵描述下面LP问题的计算
max
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z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
12 2x1 2x2 x3 4x x4 16 1 5x2 x5 15 x1,, x5 0
c j→
2
3
0
0
0
CB
0 0
1 0 0 0 0 1 I 0 0
0
0 1 0
cj z j
例10单纯形表
cj
2 0 3 0 0 0
CB
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2 0 3
XB b x1 3
x4
x1 x4 x2
1 0 0 0 0 I1 0 0 0 0 1 0
x3 x4 x5
1/2 -2 0 -1 0 -1/5 1-1 4/5 B 0 1/5 0 -1/5
例4 (P53 例16)
迅达快递公司下设一个快件分拣部,处理每天收寄的快件. 时段 到达快件数 时段 表.. 到达快件数 据统计资料 ,每天各时段快件到达数量如 表
10:00前 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 13:00-14:00 5000 4000 2500 4500 2500 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 17:00-18:00 18:00-19:00 3000 4000 4500 3500 3000
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例1 混合配料问题
某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、 丙.已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的 每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示. 问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大. 试建立这个问题的线性规划的数学模型. 上页 下页 返回
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例3 生产、库存与设备维修综合计划的安排
红光厂有2台车床、1台钻床、1台磨床,承担4种产 品的生产任务.已知生产各种产品所需的设备工时及 生产单位产品的售价如表1-20所示。对各产品今后三 个月的市场最大需求(小于最大需求量时可全部销出) 及个产品在今后三个月的生产成本分别如表1-21和表 1-22所示。 表1-20 单位产品所需工时aij值
解：用 xkj 表示第 j 种产品在第 k 个月的生产量， Skj 表示第 j 种产品 在第k个月的销售量，Ikj 表示第 j 种产品在第k个月的库存量， Rkj 表 示第 j 种产品在第k个月的最大需求量， Cki 表示第 i种设备在第 k 个 月的生产能力， Pj 表示单位 j 种产品的售价， Vkj 为单位 j 种产品第 k 个月的生产成本， aij 为单位 j 种产品所需 i 设备工时，则可建立问 题的数学模型为：
下页
i j I 0.5 0.1 0.2 80 II 0.7 0.2 —— 60 III —— 0.6 0.2 50 IV 0.5 —— 0.6 40
上页
单位：h
返回
车床 钻床 磨床 售价(元/件)
表1-21 最大需求量Rkj
k
1月 j I 200 II 300
单位：件
III 200 IV 200
0
100
0
400
300
0
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k
表1-22 单位产品成本Vkj
j
单位：元/件
III
40 38 42
I
50 55 58
II
46 45 47
IV
28 32 36
1月 2月 3月
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上述设备在1-3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车 床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨 床安排在3月份维修.各设备每月工作22天,每天2班,每班 8h,每次维修占用半个月时间.又生产出来的产品当月销售 不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每 件每月储存费5元.并规定每个月底各种产品储存量均不得 超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存 50件.试安排该厂各月的生产计划,使总利润为最大。
1-23
解：设 x1 和 x2 分别表示于10:00-18:00及12:00-20:00上班的全日制 工人数, y1 , y2, y3 为分别于11:00-16:00,13:00-18:00及15:00-20:00上 班的非全日制工人数. 则可建立问题的数学模型为：
第五、七节 单纯形法的进一步讨 论和应用举例
继续
----单纯形法的矩阵描述 及应用举例
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矩阵单纯形法计算的描述 P41
线性规划问题 max z CX AX b s.t. X 0 解：化为标准型，引入松弛变量 X s
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max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0
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解：用 xij 表示第 i 年初投入到第 j 个项目的资金数,则可 建立问题的数学模型为：
max z 1.2 x31 1.6 x23 1.4 x34 x11 x12 =300000 x21 x23 =1.2 x11 x31 x34 1.2 x21 1.5 x12 s.t. x12 150000 x 200000 23 x34 100000 x11 ,, x34 0
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含量要求条件
例2 投资项目的组合问题
兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项 目的投资： (1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其 本利可一起用于下一年的投资； (2)只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额 的150%，但此类投资限额不超过15万元； (3)允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额 的160%，但限额投资20万元； (4)允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10 万元. 试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案.
初始单纯形表：
初始解 b cj-zj B σN 非基变量 N 基变量 I 0, …,0
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最终单纯形表：
基可行解 基变量 非基变量
b′
cj-zj
I
0, …,0
N′
σN ′
B-1
-y1, …, -ym
单纯形法的矩阵描述
不妨设基矩阵为
则
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B P1 P2 Pm A ( P1 P2 Pn ) ( B N ) X (XB XN ) C (CB CN )
A 甲 ≥60% 乙 ≥30% 丙 原料成本 (元/kg) 2.00 每月限制 用量(kg) 2000
B C 加工费(元 /kg)
售价(元 /kg)
1.5 ≤20% 0.50
3.40
2500 1200
≤50% 0.40
2.85
≤60% 0.30
2.25
1
解：用i=1,2,3分别代表原材料A、B、C ，用j= 1,2,3分别代表甲、乙、 丙三种糖果.设xij为第j种糖果中第i种原料的重量,则问题的数学模型为：
x2
4 3
cj z j
最优解为(3,3,0,4,0)，最大值为Z = 15
应用举例
一个经济、管理问题要满足下列条件，才能 归结为线性规划模型： (一) 要求解的问题的目标能用某种效益指标度 量大小程度,并能用线性函数描述目标的要求 (二) 为达到这个目标存在多种方案 (三) 要达到的目标是在一定约束条件下实现的, 这些条件可用线性等式或不等式描述
1
0 0 0 1 0 0
0
1/5 -3/5 -1/5 4/5 1/5 -1/5
2 0 3
3 4 3
1 0 0 0
初始单纯形表
cj
2 0 3 0 0 0
CB
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0 0 0
XB x3 x4 x5
b
12 16 15
x1 x4 x2
2 4 0 2 0 1 B 0 0 2 0 5 3
x3 x4 x5
1 z0 C B b C B B b
当前目标函数值
单纯形法的矩阵描述
检验数
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~ ~ (Cm1 Cn ) CB ( Pm1 Pn ) ~ m1 Cm1 CB Pm1 ~ n Cn CB Pn
当前检验数
~ N C N CB N
非基变量 当前基解
基变量
X B b B b
1
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z (CB C N ) X CB X B C N X N N
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CB B 1b C N X N ~ CBb C N X N
令
XN 0
得当前的目标函数值为：
例10 用向量矩阵描述下面LP问题的计算
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 12 2x1 2x2 x3 4x x4 16 1 5x2 x5 15 x1,, x5 0
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2 2 1 0 0 系数矩阵 A 4 0 0 1 0 0 5 0 0 1
XB
x3 x4
b
12 16
x1
2 4
x2
2 0
x3
1 0
x4
0 1
x5
0 0
0
x5
cj - Zj x3
15
0
2
5*
3 0
0
0 1
0
0 0
1
0 -2/5
0
6
2*
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0
3
x4
x2 cj - Zj x1 x4 x2 cj - Zj
16
3
4
0 2
0
1 0 0 0 1 0
0
0 0 1/2 -2 0 -1
例10 用向量矩阵描述下面LP问题的计算
max
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z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
12 2x1 2x2 x3 4x x4 16 1 5x2 x5 15 x1,, x5 0
c j→
2
3
0
0
0
CB
0 0
1 0 0 0 0 1 I 0 0
0
0 1 0
cj z j
例10单纯形表
cj
2 0 3 0 0 0
CB
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2 0 3
XB b x1 3
x4
x1 x4 x2
1 0 0 0 0 I1 0 0 0 0 1 0
x3 x4 x5
1/2 -2 0 -1 0 -1/5 1-1 4/5 B 0 1/5 0 -1/5
例4 (P53 例16)
迅达快递公司下设一个快件分拣部,处理每天收寄的快件. 时段 到达快件数 时段 表.. 到达快件数 据统计资料 ,每天各时段快件到达数量如 表
10:00前 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 13:00-14:00 5000 4000 2500 4500 2500 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 17:00-18:00 18:00-19:00 3000 4000 4500 3500 3000
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例1 混合配料问题
某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、 丙.已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的 每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示. 问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大. 试建立这个问题的线性规划的数学模型. 上页 下页 返回
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例3 生产、库存与设备维修综合计划的安排
红光厂有2台车床、1台钻床、1台磨床,承担4种产 品的生产任务.已知生产各种产品所需的设备工时及 生产单位产品的售价如表1-20所示。对各产品今后三 个月的市场最大需求(小于最大需求量时可全部销出) 及个产品在今后三个月的生产成本分别如表1-21和表 1-22所示。 表1-20 单位产品所需工时aij值
解：用 xkj 表示第 j 种产品在第 k 个月的生产量， Skj 表示第 j 种产品 在第k个月的销售量，Ikj 表示第 j 种产品在第k个月的库存量， Rkj 表 示第 j 种产品在第k个月的最大需求量， Cki 表示第 i种设备在第 k 个 月的生产能力， Pj 表示单位 j 种产品的售价， Vkj 为单位 j 种产品第 k 个月的生产成本， aij 为单位 j 种产品所需 i 设备工时，则可建立问 题的数学模型为：
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i j I 0.5 0.1 0.2 80 II 0.7 0.2 —— 60 III —— 0.6 0.2 50 IV 0.5 —— 0.6 40
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单位：h
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车床 钻床 磨床 售价(元/件)
表1-21 最大需求量Rkj
k
1月 j I 200 II 300
单位：件
III 200 IV 200
0
100
0
400
300
0
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k
表1-22 单位产品成本Vkj
j
单位：元/件
III
40 38 42
I
50 55 58
II
46 45 47
IV
28 32 36
1月 2月 3月
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上述设备在1-3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车 床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨 床安排在3月份维修.各设备每月工作22天,每天2班,每班 8h,每次维修占用半个月时间.又生产出来的产品当月销售 不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每 件每月储存费5元.并规定每个月底各种产品储存量均不得 超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存 50件.试安排该厂各月的生产计划,使总利润为最大。
1-23
解：设 x1 和 x2 分别表示于10:00-18:00及12:00-20:00上班的全日制 工人数, y1 , y2, y3 为分别于11:00-16:00,13:00-18:00及15:00-20:00上 班的非全日制工人数. 则可建立问题的数学模型为：
第五、七节 单纯形法的进一步讨 论和应用举例
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----单纯形法的矩阵描述 及应用举例
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矩阵单纯形法计算的描述 P41
线性规划问题 max z CX AX b s.t. X 0 解：化为标准型，引入松弛变量 X s
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max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0
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解：用 xij 表示第 i 年初投入到第 j 个项目的资金数,则可 建立问题的数学模型为：
max z 1.2 x31 1.6 x23 1.4 x34 x11 x12 =300000 x21 x23 =1.2 x11 x31 x34 1.2 x21 1.5 x12 s.t. x12 150000 x 200000 23 x34 100000 x11 ,, x34 0