单纯形法求解过程
运筹学课件1-4单纯形法计算步骤
b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
单纯形法的计算步骤
变量作为换出变量。
L
min
bi
aik
a ik
0
单纯形法旳计算环节
Page 4
③ 用换入变量xk替代基变量中旳换出变量，得到一种新旳基。 相应新旳基能够找出一种新旳基可行解，并相应地能够画出 一种新旳单纯形表。
④ 5）反复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法旳计算环节
将3化为1
换入列
j
乘
,
x2
,
x3
,
x4
0
Page 1
单纯形法旳计算环节
Page 2
2）求出线性规划旳初始基可行解，列出初始单纯形表。
j
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法旳计算环节
Page 3
3）进行最优性检验
假如表中全部检验数 止。不然继续下一步。
，j 则表0中旳基可行解就是问题旳最优解，计算停
单纯形法旳计算环节
例1.8 用单纯形法求下列线性规划旳最优解
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为原则型，加入松驰变量x3、x4则原则型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
x1
3x2
x4
30
x1
以
1/3 后
j
得
到
j
30 5/3 0 10 1/3 1
5/3 0
18 1
0
40
1
0
0
Page 5
bi /ai2，ai2>0
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
单纯形法(第三章线性规划2)
-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
单纯形法求解原理过程
单纯形法需要解决的问题：如何确定初始基本可行解；如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降；如何判断一个基本可行解是否为最优解。
min f(X)=-60x1-120x2s.t. 9x1+4x2+x3=3603x1+10x2+x4=3004x1+5x2+x5=200x i≥0 (i=1,2,3,4,5)(1) 初始基本可行解的求法。
当用添加松弛变量的方法把不等式约束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为初始基本可行解中的一部分基本变量。
例如：x1-x2+x3≤5x1+2x2+x3≤10x i≥0引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式x1-x2+x3+x4=5x1+2x2+x3+x5=10x i≥0 (i=1,2,3,4,5)令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵中可以看出其中有个标准基，即与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成X3=360-9x1-4x2x4=300-3x1-10x2x5=200-4x1-5x2若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0X0=[0,0,360,300,200] T判别初始基本可行解是否是最优解。
此时可将上式代入到目标函数中，得：F(X)=-60x1-120x2对应的函数值为f(X0)=0。
由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。
因此所得的解不是最优解。
(2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否为最优解。
从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为两步进行：第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量；第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。
选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
单纯形法表的解题步骤
单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下：j c →对应变量的价值系数i θB Cb Xb1x 2x 3x " j x基变量的价值系数基变量 资源列θ规则求的值j σ检验数①一般形式若线性规划问题标准形式如下：123451231425max 23000284164120,1,2,5j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩"取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。
这样就得到初始可行基解：()()00,0,8,16,12TX =。
将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12TX =j c →2 3 0 0 0i θB C b X b1x 2x 3x 4x 5x0 3x 8 1 2 1 0 0 4 04x16 4 0 0 1 0 -5x12 0 [4] 0 0 1 3j σ2 3 0 0 0若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。
选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。
修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。
修改后的单纯形表如表1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0TX =检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0TX =表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：表 1-4 ()()34,2,0,0,4TX =检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：()()3*4,2,0,0,4TX X ==*14z =②带人工变量现有线性规划问题：12312312313123min 321142321,,0z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨−++=⎪⎪≥=⎩"其中，M 是一个任意大的正数。
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种用于求解线性规划问题的迭代算法。
它是由美国数学家George Dantzig在1947年提出的。
单纯形法的目标是通过不断地沿着一些方向逼近最优解，最终找到使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。
单纯形法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.标准化问题：将线性规划问题转化为标准化形式。
标准化的目的是将原问题转化为一个等价问题，使得约束条件全部为等式，且目标函数的系数都为非负数。
2.设置初始解：选择一个初始可行解作为起始点。
起始点可以通过代入法求解出来，或者通过其他启发式算法得到。
初始可行解需要满足所有约束条件，即满足等式以及非负性约束。
3.检验最优性：计算当前解的目标函数值，并检验这个值是否是最优解。
如果当前解是最优解，算法终止；否则，进入下一步。
4.选择进入变量：从目标函数的系数中选择一个可以增大（最大化问题）或减小（最小化问题）目标函数值的变量作为进入变量。
选择进入变量的策略可以有多种，例如最大增益法或者随机选择法。
5.计算离基变量：选择一个出基变量并将其移出基变量集合。
离基变量的选择通常采用最小比率法，即选择使得约束条件最紧张的变量。
6.更新解：通过求解一个新的线性方程组来计算新的解，更新基变量集合和非基变量集合。
由于每次只有一个变量进基，一个变量出基，将保持可行解的性质。
7.转到步骤3：重复步骤3-6，直到找到最优解。
单纯形法的关键在于选择进入变量和离基变量，以及求解线性方程组。
进入变量的选择决定了算法在解空间中的方向，而离基变量的选择决定了算法沿着哪个方向逼近最优解。
在实际应用中，单纯形法往往需要进行大量的迭代计算，因此效率可能不是很高。
为了提高效率，可以采用一些改进的单纯形法，例如双线性法、内点法等。
总结起来，单纯形法是一种基于迭代的算法，通过每次选择一个进入变量和一个离基变量来逐步逼近最优解。
虽然它的计算复杂度较高，但是在实践中仍然是一种很受欢迎的求解线性规划问题的方法。
最优化--单纯形法解例
例1 用单纯形法解下列问题：解：将原问题化成标准形：x 4与添加的松弛变量x 5，x 6在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为X =（0, 0, 0,10, 8, 4）T列出初始单纯形表，见表1。
22x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
242)24,110(m in ===θ 因此确定2为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x 2去置换基变量x 6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 2的系数列(1, -1, 2)T 变换成x 6的系数列(0, 0, 1)T ，变换之后重新计算检验数。
变换结果见表2。
1231234123123min 2..210,248,244,0,1,,4.j x x x s t x x x x x x x x x x x j -++-+=-+≤-+-≤≥=123123412351236max 2..210,248,244,0,1,,6.j x x x s t x x x x x x x x x x x x x j -+-+-+=-++=-+-+=≥=检验数σ3=3>0，当前基可行解仍然不是最优解。
继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量x 3置换基变量x 5。
变换结果见表3。
此时，3个非基变量的检验数都小于0，σ1= -9/4，σ5= -3/2，σ5= -7/4，表明已求得最优解：T)0,0,8,5,12,0(=*X 。
去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：T )8,5,12,0(=*X ,最小值为-19例2 用大M 法求解下列问题：12312312313min 3..211,243,21,0,1,,3.j x x x s t x x x x x x x x x j +--+≤+-≥-=≥=解 引进松弛变量x 4、、剩余变量x 5和人工变量x 6、x 7，解下列问题：1234567123412356137min 300()..211243210,1,2,,7j x x x x x M x x s t x x x x x x x x x x x x x j +-++++-++=+--+=-+=≥=用单纯形法计算如下：由于σ1<σ2< 0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x 1为换入非基变量；以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
求解线性规划的单纯形法(1)
◦ 确定移动的方向 ◦ 确定在何处停下 ◦ 确定新的基本可行解
求解线性规划的单纯形法
例：用单纯形法求解以下线性规划问题
求解线性规划的单纯形法 首先将模型转化成标准形式
求解线性规划的单纯形法
Q1：确定初始的基本可行解
• 选择原点：
– 令决策变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
xx33 = 1 -x2 ≥=0 → x2 ≤ 1/1
x4 = 2 -x2 ≥ 0 → x2 ≤ 2/1
离基（最小比值规则） ：
x2 ≤ min {1/1，2/1 } = 1 x2 = min {1/1，2/1 } = 1
x3为离基变量
X1 = ( 0, 1, 0, 1)T
求解线性规划的单纯形法
3
x1 + 2x2
+ x4 =4
初等数学 变换
新的BF解 x1 =0，x4 =0 x3 =？1 ，x2 =2
新方程
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
非最优解！
• 寻找新的基本可行解：
– 初等数学变换
非基变量 x1的系数 X*=（0, 2, 1, 0） 是正数！
x1 2
x1 2
－
x1 4
初等行变换
x3
0
确定x3为离基变量
Z*=7,X*=(2,1,0,0)
非基变量系 数>0，最优！
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive();其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer();数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++)cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}？}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)delete[] data[i];}if (data!=NULL)delete[] data;}？}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col){for(int i=0;i<rowLen-1;i++){return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count));int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){if(maxItem<=fabs(temp)){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++)temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);pp#include <iostream>#include ""using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(5))//判断是否存在最优解{bool p=();//判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解while(!p){int col=();//确定主元所在的行if(col))//确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=(col);//确定主元所在的行(mainRow,col);//将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<()){if(i!=mainRow){(i,mainRow,col);//处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}elsei++;}}}for(int i=0;i<();i++)//输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<();j++){cout<<(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=();}();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。
单纯形法基本原理及实例演示
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
运筹学1-4单纯型法的计算步骤
2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3
1.4单纯形法的计算步骤
−z
x1
x2
L xm
xm+1
L xn L L a1n a2n M
0 1 0 L 0 a1,m+1 1 L 0 a2,m+1 0 0 M M M M 0 0 0 L 1 am,m+1 cm+1 1 c1 c2 L cm … -z+c1x1+c2x2+…+cmxm+cm+1xm+1+ +c
基变量 0
-z
3.确定主元素 3.确定主元素 确定 1.计算检验数， 1.计算检验数，由它 计算检验数 确定为换入变量
计算θ 2. 计算θ，由它确定为 换出变量
（2）以[4]为主元素进行旋转运算或迭代运算， [4]为主元素进行旋转运算或迭代运算， 为主元素进行旋转运算或迭代运算
c j→ CB 0 0 3 -z XB x3 x4 x2 b 2 16 3 -9 2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 0 1/4 -3/4 θ 2 4 -
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -1/2 2 1/4 1/4
0 X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 1 0 0
θ 4 12
c j→ CB 2 0 3 -z XB x1 x5 x2
0 x5 0 θ
表 1-5
-3/2
(4) 表1-6最后一行的所有检验数都已为负或零。 最后一行的所有检验数都已为负或零。 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解
x1 x2
+ a1m+1xm+1 +L+ a1nxn = b1 + a2m+1xm+1 +L+ a2nxn = b2 O xm + amm+1xm+1 +L+ amnxn = bm
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单纯形法求解过程
单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞
士等人在1947年提出的。
该方法的基本思想是，通过在单纯
形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。
单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。
单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：
1. 将线性规划问题转化为标准形式
线性规划问题的标准形式为：
$ \max_{x} \ \ c^T x $
$s.t. \ Ax=b$
$x\geq 0$
其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。
2. 初始化单纯形表
因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。
单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。
例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：
CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS
----|-----|-----|-----|-----|----
0 | a11| a12| a13| 0 | b1
0 | a21| a22| a23| 0 | b2
0 | a31| a32| a33| 0 | b3
1 | z1 | z
2 | z
3 | 0 | 0
其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。
a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵
b中的元素。
3. 选择进入变量和离开变量
在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。
在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。
这里以X1为例，
X1为进入变量。
接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个
使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数
最小的一个变量离开。
假设选择的离开变量为X3。
4. 更新单纯形表
通过高斯-约旦消元法来更新单纯形表的变量，即通过对第
$X3$行做初等变换来消去X1的系数，然后对其他行做类似的
操作，使得单纯形表重新转化为增广矩阵的形式。
CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS
----|-----|-----|-----|-----|----
0 | 0 | a12'| a13'|a14' |b1'
0 | a21'| a22'| a23'|a24' |b2'
0 | a31'| a32'| a33'|a34' |b3'
1 | z1' | z2' | z3'| z4' | 0
5. 终止条件的判断
如果单纯形表中所有的CB都是非负数，那么就得到了最优解；如果存在某些CB是负数，则继续回到第3步，直到达到终止
条件。
以上就是单纯形法的求解过程。
通过单纯性表的变换，找到最大化目标函数的最优解。
单纯形法计算速度较快，而且在求解过程中有很好的可视化效果，能够帮助人们更好地理解线性规划问题。