单纯形法求解过程

单纯形法求解过程
单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞
士等人在1947年提出的。

该方法的基本思想是，通过在单纯
形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。

单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。

单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：
1. 将线性规划问题转化为标准形式
线性规划问题的标准形式为：
$ \max_{x} \ \ c^T x $
$s.t. \ Ax=b$
$x\geq 0$
其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。

2. 初始化单纯形表
因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。

单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。

例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：
CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS
----|-----|-----|-----|-----|----
0 | a11| a12| a13| 0 | b1
0 | a21| a22| a23| 0 | b2
0 | a31| a32| a33| 0 | b3
1 | z1 | z
2 | z
3 | 0 | 0
其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。

a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵
b中的元素。

3. 选择进入变量和离开变量
在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。

在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。

这里以X1为例，
X1为进入变量。

接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个
使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数
最小的一个变量离开。

假设选择的离开变量为X3。

4. 更新单纯形表
通过高斯-约旦消元法来更新单纯形表的变量，即通过对第
$X3$行做初等变换来消去X1的系数，然后对其他行做类似的
操作，使得单纯形表重新转化为增广矩阵的形式。

CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS
----|-----|-----|-----|-----|----
0 | 0 | a12'| a13'|a14' |b1'
0 | a21'| a22'| a23'|a24' |b2'
0 | a31'| a32'| a33'|a34' |b3'
1 | z1' | z2' | z3'| z4' | 0
5. 终止条件的判断
如果单纯形表中所有的CB都是非负数，那么就得到了最优解；如果存在某些CB是负数，则继续回到第3步，直到达到终止
条件。

以上就是单纯形法的求解过程。

通过单纯性表的变换，找到最大化目标函数的最优解。

单纯形法计算速度较快，而且在求解过程中有很好的可视化效果，能够帮助人们更好地理解线性规划问题。