压缩机优化设计技术

压缩机优化设计技术杨旭Email: yangzx@ 办公地点：东3楼甲322Design Optimization of Positive-DisplacementCompressors7 多目标与离散变量优化问题7.1 多目标优化数学模型7.2 多目标优化方法7.3 离散变量优化数学模型7.4 离散变量优化方法定义：多目标优化问题即为在满足相应约束条件下，同时达到两项及两项以上目标函数值的最优解。

【例子】现有现金70元，用于购买苹果和菠萝。

菠萝5元/kg ，苹果3元/kg ，要求总斤数不少于15kg ，菠萝不少于5kg 。

问题：购买多少斤菠萝和苹果，才能满足（1）花钱最少；（2）所买的水果重量最多。

（少花钱，多办事）数学模型：()()21122212121212min =53, max =, .. 5370 15 5 0f x x f x x s t x x x x x x +∈+∈+≤+≥≥≥x x x x ¡¡()1min f x 最优解：考虑[]()()T12=5 105515kgf f ==x x x ，￥()2max f x 最优解：考虑[]()()T12=5 157020kgf f ==x x x ，￥在多目标优化问题中，各分目标函数的最优解往往是相互矛盾的，有时甚至完全对立。

体现了多目标优化问题的复杂性、特殊性。

()()()[]()()T12T211min ,,,,,,.. 0, 1,2,, 0, 1,2,,p n u v f f f x x x D s t g u L h u M n⎡⎤-=⎣⎦=∈⊂≤===<V F(x)x x x x x x L L ?L L ⏹多目标优化问题数学模型一般表达式：向量目标函数⏹另一类多目标优化问题数学模型为：在共同的约束条件下，各目标函数按不同的优先层次先后进行优化，称之为：分层次多目标优化问题。

⏹多目标优化与单目标优化的本质区别：多目标优化是一个失量函数的优化。

①单目标优化中任意两个解都可以比较优劣，完全有序；②多目标优化中任意两个解不一定能进行优劣比较，是半有序的。

多目标优化解的类型①若，对于任意都满足，则称为多目标优化问题的绝对最优解。

②若，存在满足，则称为多目标优化问题的劣解。

③若，不存在满足，则称为多目标优化问题的非劣解（有效解）。

D ∈x ()()*i if f ≤x x *x D ∈x ()()*f f ≥x x *D ∈x *D ∈x *x *D ∈x D ∈x ()()*f f ≥x x *x 多目标优化求得非劣解才有意义，劣解没有意义，获得绝对最优解可能性很小；最终解从非劣解中选出。

劣解非劣解非劣解区间[1,2]劣解区间[0,1]()212f x x x =-()2f x x=-基本思想：抓住主要目标，兼顾其他要求。

选出主要目标，其他目标只需满足一定要求即可，可将这些目标转化成约束条件，使得其他目标不至于太差。

经过处理后，将多目标优化转化成单目标优化。

设有个目标函数，其中，求解时选择一个作为主要目标：l ()()()12,,,l f f f x x x L D ∈x ()(){}()()()()min max min ,|.. 0, 1,2,, 0, 1,2,,k k k i i i u v f D D f f f s t g u L h u M n∈=≤≤≤===<x x x x x x L L基本思想：将多个目标函数，通过线性组合的形式，组合成一个综合目标函数作为该多目标优化的评价函数。

()()()()1min min .. 0, 1,2,, 0, 1,2,,l i i D Di u v F W f s t g u L h u M n∈∈=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤===<∑x x x x x x L L 其中加权系数：⏹反映各目标函数的重要程度⏹反映各目标的不同、折中，应根据具体情况做具体处理[]12,,,l W W W =W L 各个目标函数的因次单位可不同()**1min i ii W f f f ==x 例如：本质：统一量纲处理()()1li i i U W f ==∑x x 评价函数7.2 多目标优化方法——理想点法基本思想：先找出各个目标函数的最优点和最优值，然后构造评价函数使各个目标尽可能接近各自的理想值。

()()2**1*li i i i i f f U f f =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦---∑x x 最优点目标函数值评价函数：无量纲化若要反映各个目标函数在整个优化问题中的重要程度，引入权系数：()()2**1*li i i i i i i f f U W f f W =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦------∑x x 最优点目标函数值权系数评价函数：基本思想：在多目标优化中，各个目标函数要求不尽相同，有的要求极大值，有的要求极小值，有的要求一个合适值。

引入功效函数：()()()()()()(), 011001i i i i i i i c F f c c c c =≤≤=---=---≤≤---x x x x x x 满意不满意取中间值()()()()12m m C c c c =x x x x L 评价函数⏹要求c 值越大越优⏹只要一个c 为0，方案不接受⏹功效函数三种类型：第一类：f i 越大，c i 越大，适用于要求目标函数越大越好。

第二类：f i 越大，c i 越小，适用于要求目标函数越小越好。

第三类：当f i 越靠近预先确定的适当值时，c i 越大；否则，c i 就越小。

⏹功效系数法的关键在于如何确定功效函数，确定方法有直线法、折线法和指数法。

功效函数的确定方法——直线法原理：事先定出c=1时的f i 和c i =0时的f i ，在坐标系中连接两点构成直线。

i第一类第二类第三类功效函数的确定方法——折线法原理：事先定出四个目标函数值，在设定各自的功效函数值，构成折线：(1)(2)(3)(2)(1)() 0.7() 0.3() 0() 1i i i i i i i ii f c f c f f c f c ⎧⇒=⎪⇒=⎪⎨⇒=⎪⎪⇒=⎩比较满意的目标函数值可接受和不可接受的目标函数值分界值比较还差0.5~1倍理想的目标函数值第一类第二类第三类功效函数的确定方法——指数法原理：第一类第二类第三类()01=b b f i ei c e-+-(1)1(0)0.370.07i i ei i f c e f c e --⎧=≈⎪⎨=≈⎪⎩某一刚合格的对应设某一刚不合格的对应(1)01(0)0101i i b b f b b f ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩(1)0(0)(1)1(0)(1)1i i i i i f b f f b f f ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩(1)(0)(1)=f f i i f f i i ei c e---⏹功效系数法的优点1.可直接按所要求的性能指标来确定评价函数，直观且试算后调整方便。

2.只要有一个性能指标不能接受，则相应的功效系数为0，从而评价函数为0，方案否决。

符合实际，避免优化计算误入歧途。

3.可以处理目标函数值既不希望太大，又不希望太小，而希望取某一适当值的情况。

（其他方法难以解决的问题）⏹功效系数法的局限事先要求明确目标函数值的取值范围。

对于某些难以确定取值范围的问题，不适用小结⏹多目标优化问题具有复杂性，很难得到绝对最优解。

⏹解的类型：最优解（很难）、非劣解、劣解，优化结果从非劣解中寻找。

⏹优化方法：主要目标法、线性加权法、理想点法、功效系数法。

离散变量定义：离散变量是指在规定的约束条件内，只能从有限个离散值或整数值中取值的一种变量。

齿轮的齿数加强肋的数目冷凝管的数目压缩机列数压缩机级数轴承对数等齿轮模数轴承尺寸气缸直径活塞直径气阀尺寸数据表型整数变量离散变量可分为两种：等间隔离散、非均匀离散⏹约束非线性混合离散变量优化设计问题数学模型：()(),min ,max min .. 0, 1,2,, 1,2,,j i i i f s t g j m x x x i n≤=≤≤=x x L L ()()()T12T12 D C nDDp CC p p n nD Cx x x x x x ++=∈=∈=∈=⨯x x x R x R x R R R R 式中：L L 离散变量子集合连续变量子集合⏹如果为空集——全连续变量型问题；如果为空集——全离散变量型问题；二者均为非空集——混合型问题。

D x C x ⏹解决工程问题离散变量优化的方法需要与处理一般连续变量优化技术不完全相同的理论和方法。

目前对于有约束非线性离散变量优化问题，在理论及算法和程序方面还不成熟，还缺少有效通用算法和系统的理论。

⏹基本思路：按照连续变量方法求得最优解，然后在进一步寻找整型变量和离散变量的最优解。

⏹实施：对于n 维优化问题****12=,,,Tnn x x x R⎡⎤∈⎣⎦x L 实型最优点*i x ⎡⎤⎣⎦整数部分（或偏下一个离散量）*+1i x ⎡⎤⎣⎦整数部分+1（或偏上一个离散量）()*,1,2,,2t ni x t ⎡⎤=⎣⎦L 整型（离散）点群除去不可行点，最好点即为最优解⏹二维例子整型（离散）点群：A 、B 、C 、E 剔除：B 最优解：C局限性：不一定能得到理想结果整型点不在可行域内最优点不在整型点群内最优点圆整满足约束基本思路：按照连续变量方法求得最优解，然后不是简单的圆整法来寻优，而是在最优点附近按一定方法进一步进行搜索求得优化离散解。

①交替查点法（Luns 法）（适合于全整数变量优化问题）先按照连续变量求得*⎡⎤⎣⎦x *x依次执行，其余n-1个点不变，形成新点，从中选取目标函数最小点*1i x ⎡⎤+⎣⎦1*⎡⎤⎣⎦x （）依次执行，其余n-1个点依次执行，最终选取目标函数最小点为整数优化解()1*1i x ⎡⎤+⎣⎦1*1i x ⎡⎤-⎣⎦（）圆整满足约束②离散取整、连续分量优化法（Pappass 法）（适合于混合型离散变量优化问题）先按照连续变量求得*⎡⎤⎣⎦x *x 固定，对其余连续变量进行优化*⎡⎤⎣⎦x 移动，对其余连续变量进行优化*⎡⎤⎣⎦x 新点可行且满足收敛拟离散法基于离散解一定在连续解附近，计算工作量较大。

结束不满足满足7.4 离散变量优化方法——离散复合型法 基本思路：将连续变量优化的复合形法中的顶点用离散点来代替。

n维空间产生2n+1个初始顶点复合形将初始复合型顶点移至附近可行离散点上计算顶点目标函数值并排序除去最坏点的中心计算反射、扩张、收缩新复合形收敛结束找到好点改变最坏点2是是否否211离散复合型法，适用于10~20维度以下的离散变量优化问题。

小结⏹离散变量：整数和离散⏹约束非线性离散变量优化问题⏹优化算法：圆整法、拟离散法、离散复合型法。