4第四章 运输问题(第3-5节)

优解的影响分析可知：最优解是否改变，只需要判
断最终单纯形表中的检验数即可。
第33页
利用位势法求模型的检验数
min z ( c1 cn ) X s.t . AX b X 0
ij cij (ui v j ) 0
第34页
利用位势法求模型的检验数
min z (cmax c1 cmax cn ) X s.t . AX b X 0
（1）Am+1 地的产量为 am 1 b j ai
j 1 i 1
n
m
（2）cm+1,j =0，j=1,…,n。（原因：产地 Am+1 实际上 并不存在，因而由产地 Am+1 运出的物资实际上就是
各销地 Bj 所需物资的欠缺额。）
第7页
从而问题的模型变为：
m i nz
m 1 n
即证明下面两个线性规划问题的最优解一样。
min z ( c1 cn ) X s.t . AX b X 0
min z (cmax c1 cmax cn ) X s.t . AX b X 0
第32页
上述两个线性规划问题的差别只存在于目标函数系
统中，根据灵敏度分析中的目标函数系统变化对最
u1 v j1 cmax ci1 j1 i ... us v js cmax ci s js i
u，v j i
1 u cmax ui i 2 1 v cmax v j j 2
第37页
ij c ( u v j ) ij i (cmax cmax cmax cij ) ( ui vj) 2 2
IV
10
不能由 D 调运 运价 M
I V
50
可以由 D 调运 运价 0
50
70
30
60
第23页
从而建立新的运输平衡表：
销地 产地
I
16
I
16
II
13
III
22
IV
17
I V
17
产量
A
50
14
B
14
13
19
15
15
60
19
C
19
20
23
M
M
50
M
D
最高需求
0
M
0
M
0
50
30
cij ( ui v j ) ij 0
仍然为问题的最优解。
第38页
第四节 有转运的运输问题
物资调运的方式主要包括如下两种：
直接运输方式：将物资由产地直接运送到销地。
转运运输方式：将物资由产地运到某个中间转运站， 然后再转运到销地。
第39页
一、有转运运输问题的表述
20
70
30
10
50
第24页
利用表上作业法求得问题的最优解如下：
销地 产地
I
16
I
16
50
II
13
III
22
IV
17
I V
17
产量
A
50
14
B
14 20
13
19
15 10 30
M
15
60
19
C
19
20 0
23
M
50
30 M
20
0
M 30
0
M 20
0
50
D
最高需求
30
20
70
30
10
a b
i 1 i j 1
m
n
j
m inz cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai , i 1,....,m j 1 m xij b j , j 1,...,n i 1 xij 0
第2页
为了能够使用表上作业法对问题进行求解，可增加
地单位物资存储费用分别为5，4，3。又假定产地 2 的物资至少运出 38 个单位，产地 3 的物资至少运出
27 个单位，试求解此运输问题的最优解。
第10页
销地
产地
1
A 1
B 2
C 2
产量
20 1 4 5 40 2 3 3 30 30 20 20
第11页
2
3 销量
解：总产量 = 90 > 总销量 = 70 故需增加虚拟销地 D，其销量为 90 – 70 = 20
m i nz
c
i 1 j 1
m
n1
ij
x ij
n1 x ij a i , i 1,....,m j 1 m x ij b j , j 1,...,n 1 i 1 x ij 0
该模型为产销平衡问题模型，从而建立运输表如下 所示：
用数学语言对上述问题进行描述： 1. 有 m 个生产地 Ai ：i= 1, 2, … , m ；供应量分别为：
ai ，i = 1, 2, … , m ；
2. 有 n 个消费地 Bj ：j = 1, 2, … , n ；需求量分别为： bj，j = 1, 2, … , n ； 3. 有 q 个中转站 Tk：k = 1, 2, … , q 。
ij c (u vj )，c cmax cij ij i ij
第35页
下面来讨论 ij 的符号
c cmax cij ij
ij 的符号主要取决于u 和vj 的取值 i
第36页
ui1 v j1 ci1 j1 ... ui s v js ci s js
c
i 1 j 1
ij
x ij
n x ij a i , i 1,....,m 1 j 1 m 1 x ij b j , j 1,...,n i 1 x ij 0
该模型为产销平衡问题模型，从而建立运输表如下 所示：
16
4
8
9
1000
2000
C
销售量
12
1500
10
1500
1
1500
2000
又知丙百货商店拒绝进 A 种玩具。
求满足上述条件下使总盈利额为最大的供销分配方
案。
第27页
解：从盈利额中选取最大的数 16 ，用 16 减去表中的数据， 从而将原问题转化为运输问题。
销地 供给产品 A 16 0 B 12 4
一个假想销地 Bn+1 ： （1）Bn+1 地的销量为 b a b i j n 1
i 1 j 1 m n
（2）ci,n+1 =0，i=1,…,m。（原因：销地 Bn+1 实际上
并不存在，因而运往销地 Bn+1 的物资实际上就是在 产地 Ai 存储起来。）
第3页
从而问题的模型变为：
3’’
销 量 30
3
3
20
20
20
第13页
销地 产地
A
B
C
D
产量
1 2’
1 1
30 8
2
2
2
18
5 M 4
2
20
4 4
5 5
38
2’’
1
2
3’
2
12
3
15
3
3
3
M
27
3’’
销 量 30
2
3
3
3
20
20
20
第14页
运输费用为：
2×2 + 30×1 + 8×4 + 12×3 + 15×3 + 3×3 = 156 存储费用为：
甲 5 11
乙 4 12
丙 16 0
供给量
1000
8
9 7 2000
6 10
5 11
C
需求量 1500 1500 1500
2000
第28页
解：总供给量 = 1000 + 2000 + 2000 = 5000
总需求量 = 1500 + 1500 + 1500 = 4500
总供给量 > 总需求量
故需增加虚拟销售商店丁，其销售量 = 500
拟产地 D ：
销地
产地
I 16 A 14 B 19
II 13
III 22
IV 17
产量
50 13 19 15 60 20 23 -
C
50
D
最高需求 50
?
?
?
? 50
Leabharlann Baidu70
30
60
第21页
分析：
因为各地区的需求量包括两部分——最高需求和
最低需求。 最低需求是必须被满足：不能由虚拟产地调运。 最高需求可以不被满足：可以由虚拟产地调运。 由此可知：必须将需求地分开。
50
第25页
例 3 某玩具公司分别生产三种新玩具，每月可供量分 别为 1000 件，2000 件，2000 件，它们分别被送到甲、
乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩 具预期销售量均为 1500 件，由于经营方面原因，各
商店销售不同玩具的盈利额不同（如下表）。
第26页
甲
乙
丙
可供量
A
B
5
第29页
转化为平衡问题，并利用表上作业法求解，可得：
销地
产地
甲
11
乙
12 500 0 8
丙
16
丁
0
供给量
A
500
7 0
1000
B
1500
500 4 6
1500 1500
2000
C 需求量 1500
500 1500
5
0 2000
500
第30页
例 4 请证明：一个最大化运输问题等价于用最大运价 减去各运价所得到的新运输表所形成的最小化运输问 题。 解：上述问题也即证明下面两个线性规划问题最优 解一样。
a b
i 1 i j 1
m
n
j
m inz cij xij n xij ai , i 1,....,m j 1 m xij b j , j 1,...,n i 1 xij 0
第6页
为了能够使用表上作业法对问题进行求解，可增加 一个假想产地 Am+1：
第19页
所以： IV 地最多能分配到 60 万吨化肥。 即 IV 地的最高需求为 60 万吨。
从而运输问题变为：
销地 产地 产量
I
II
III
IV
16
A 14 B 19 C 最高需求 50 70
13
22
17
50
13
19
15 60
20
23
50
30
不限 60
第20页
该问题为产销不平衡问题，且需求量 > 产量，故需增加虚
将产地 2 分为 2’ 和 2’’ ，产量分别为 38 和 2。
将产地 3 分为 3’ 和 3’’ ，产量分别为 27 和 3。
产地 2’ 和 3’ 运出的物资不能发给虚拟销地 D。
第12页
销地 产地
A
B
C
D
产量
1 2’
1 1 1
2 4 4
2 5 5
5 M 4
20
38
2’’
2
3’
2
2
3
3
3
3
M
27
第三节 产销不平衡的运输问题
表上作业法的使用前提：总产量=总销量 在许多的实际运输问题中，总产量≠总销量，该类
问题称为产销不平衡的运输问题。
产销不平衡运输问题的解决方法：将产销不平衡 运输问题转化为产销平衡的运输问题，再利用表 上作业法求解。
第1页
一、总产量 > 总销量的情况
如果总产量 > 总销量，即
第4页
销地 产地
B1
… c11
Bn
Bn+1*（储存） 产量 c1n 0
A1
…
x11
…
…
… …
x1n
…
x1,n+1
… 0 xm,n+1
a1
…
Am 销量
xm1
cm1
xmn
cmn
am
n
b1
…
bn
a b
i 1 i j 1
m
j
第5页
二、总产量 < 总销量的情况
如果总产量 < 总销量，即
m n i 1 j 1
第22页
各地区的需求量包括两部分——最高需求和最低需 求：
地区I 地区II 地区III 地区IV
I
30
不能由 D 调运 运价 M
I
20
可以由 D 调运 运价 0
II
70
不能由 D 调运 运价 M
II
0
可以由 D 调运 运价 0
III
0
不能由 D 调运 运价 M
III
30
可以由 D 调运 运价 0
第8页
销地 产地 A1 … x11
B1 c11
… … x1,n
Bn c1n
产量 a1 … cm,n 0
… cm1 0
…
…
Am
xm1
… …
xm,n xm+1,n
am
Am+1* xm+1,1 （欠缺）
b a
j 1 j i 1
n
m
i
销量
b1
…
bn
第9页
例 1 如下表所示的运输问题中，若产地 i 有一个单 位物资未运出，则将发生存储费用。假定1，2，3产
max z (c1 cn ) X s.t . AX b X 0
min z (cmax c1 cmax cn ) X s.t . AX b X 0
第31页
max z (c1 cn ) X s.t . AX b X 0
min z ( c1 cn ) X s.t . AX b X 0
18×5+2×4 = 98 总费用= 156 + 98 = 254
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例 2 设有三个化肥厂（A、B、C）供应四个地区（I、
II、III、IV）的农用化肥。各化肥厂年产量、各地
区的需求量、单位化肥的运价如下表所示。求运费
最省的调拨方案。
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销地 产地
I
II
III
IV
产量
16
A 14 B 19
13
22
17
50
13
19
15 60
20
23
-
C
最低需求 最高需求 30 50 70 70 0 30 10 不限
50
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解：
总产量 = 50 + 60 + 50 = 160 万吨
最低需求量 = 30 + 70 + 0 + 10 = 110 万吨
最高需求量 = 无限
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因为：
IV 最多能分配到的化肥数量 =总产量 – I 地区最低需求量 – II 地区最低需求量 – III 地区最低需求量 = 160 – 30 – 70 - 0 = 60 万吨