四川大学线性代数课件第二章第二节 行列式的性质

a2 a j a a 21 a 2 i j 2k a 2 j 2 n a 2 n






a ak a a n1 a ni nj nj a nj nn a nn
证明：
a 11 a s1 D a t1 a n1
性质1 行列式与它的转置行列式相等
a11 det A a 21 a n1 a11 det A
T
a12 a 22 an 2 a 21 a 22 a2n

a1n a2n a nn a n1 an 2 a nn
T
的转置行列式记作

a12 a1n
则 det A det A
性质2 互换行列式的两行(列), 行列式变号
以ri表示行列式的第i行, 以ci表示行列式的第i列, 交换i,j两行记作rirj, 交换i,j两列记作ci cj. 第二列
例
1 2 2 2 3 1
第一列第一行
c
1 3 2 1 c1 c2 1 + 3 3 1 2
2
c
1
r
1
1 r r 2 1 3 1 2 3 1
1
4

r5 4 r4
0 0 0 0
a b
b a b b
b b b a
b b a b

b b b a
例2 计算n 阶行列式
D b b
解 将第 2 , 3 , , n 都加到第一列得
a a
n 1 b n 1 b
a2 b 0 0
a3 0 b 0

an 0 0 b
[( a 1 a 2 a n ) b ]( b )
n1
例5
计算
a x1 Dn a a a a x2 a a a a xn .
解
依第 n 列把 D n 拆成两个行列式之和



( 1)
( j1 j 2 j n )
b1 j b 2 j b nj
1 2
n
j1 j 2 j n
( 1)
j1 j 2 j n
( j1 j 2 j n )
a j 1a j 2 a j
1 2
nn
D
说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。

a s 2 ka at2 an2


t2
tn
a 11 a s1 a t1 a n1
a 12 as2 at2 an2
a1n a sn a tn a nn
a 11 ka t 1 a t1 a n1
=
rik
a11
a12 a 22 an 2

a1n a2 n a nn
k a 21
a n1
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面.
第i行(或列)提出公因子k, 记作rik(或cik)
例 2 5 3 4 10 1
÷ ÷ 2 2 ÷ ÷ 5 6 r 2 5
s行 t行
由行列式定义可知，D中任一项可以写成
( 1)
因为
( j1 j s j t j n )
a 1 j a sj a tj a nj
1 s t
n
（1）
a 1 j a sj a tj a nj a 1 j a tj a sj a nj （2）
1 s t n 1 t s n
显然这是 D 1 中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且 （2）式右端的n个元素是按它们在 D 1 中所处的行标为自然顺序 排好的。因此
( 1)
( j1 j t j s j n )
a 1 j a tj a sj a nj
1 t s
（3）
a 12 as2 at2 an2

a1n a sn a tn a nn
作 rs kr t
a 11
a 12
t1

t2
a1n a sn ka a tn a nn
a1n ka a tn a nn
tn
得
D1
a s 1 ka a t1 a n1
a 12 ka at2 an2

D 0 D
计算行列式的技巧和方法:
1. 首先尽量寻找行与列的公因子, 将其提到 行列式外面. 2. 如果发现行列式有两行或者两列成比例, 则行列式的值为0. 3. 然后利用性质6总能将行列式变换成上三 角或者下三角行列式, 再计算其对角线上 的乘积.
b a b b b
b b a b
b
b b b a
ab
0
ab
a ( n 1 ) b ( a b )
n1
.
0
例3： 1
1 D 1 1
1 2 0 0
1 0 3 0

1
1 0 0 n
a 11
目标：把第一列化为 成三角形行列式
r3 3 r1
r4 4 r1
0 0 0 0
r 2 r4
0 0 0 0

1
1 2 0 0 0
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2
1 3 2 2 2
r3 r2
0 0 0 0

1
r4 r 3
1 2 0 0 0
2 1 1 0 2
3 5 1 1 2
1 3 2 2 0 2
应用举例
例1
D 1 3 2 3 4 1 3 0 5 4 2 7 4 7 10 3 9 2 14 10 1 5 1 6 2
1 3
1 3 0 5 4
2 7 4 7 10
3 9 2 14 10
1 5 1 6 2
3

解
D
2 3 4
1 0 r2 3 r1 2 3 4

b a b b
b b a b
D a n 1 b
a
计算行列式的常 用技巧： 如果每一列（行） 的和都相同，就 把后面的列（行） 全加到第一列 （行）上，然后 将公因子提出来。
n 1 b
1 1 a ( n 1 ) b 1 1 1 a ( n 1 ) b b ab
证明： 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D＝0
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.
第i行(或列)乘以k, 记作rik (或cik).
a11 a12 a1n a 21k a 22k k a 2 n a n1 an 2 a nn
1 0 0 5 4
2 1 4 7 10
3 0 2 14 10
1 2 1 6 2
1 0 r2 3 r1 2 3 4
1 0 0 5 4
2 1 4 7 10
3 0 2 14 10
1 2 2 1 6 2

4
r2 2 r1
a11 a1i a1 j a2 j a1n a2n a 21 a 2 i
第 j 列的各元素 k
a1 j k a2 j k a nj k
a n1 a ni
a11
a nj
a nn
a1n
a1 a k j a1i j 1 j a1a1n
a11 a21 an1
a1n a2 n ann
a1i a2 i ani a1n a2 n ann
,
则D等于下列两个行列式之和:
a11 D a21 an1 a1n a2 n ann
例
3 5 2 1 1 1 0 5 1 3 1 3 2 4 1 3

0 0 0 0
1
r5 2 r 3
1 2 0 0 0
1 2 0 0 0
2 1 1 0 0
2 1 1 0 0
3 5 1 1 4
3 5 1 1 0
1 3 2 0 6
1 3 2 2 1 6 12 . 0 6
0 0 0 0
a3 0 b 0
a3 a3 a3 b a3


an 0 0 b
an an an an b
r2 r1 r3 r1 rn r1
b 0 0
c1 c 2 c n
(a1 a 2 a n ) b 0 0 0
r2 5
1
5 210 5 1 4
÷ 2 ÷ 1 5
3
2 2 1
3 1 4
推论2： 行列式中有 一行（列）全为0，则行列式的值为0
推论3： det(kA)=kndetA
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成 比例, 则此行列式为零.
例
1 2 4 3 2 1 1 2 3 6 12 9 2 0 3 1
-1+0 1+2 0+1 1+2
2 4 1 3 3 5 2 1 1 1 0 5 0 2 1 2 2 4 1 3
3 5
1 1 0 5
1 1 0 1
=
2 1
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式 的值不变(记作ci+kcj或ri+krj)
证明：
det A
a 11 a 21 a n1
a 12 a 22 an2

a1n a 2n a nn
b11 设 det A
T
b12 b 22 bn 2

b1 n b2n b nn

b 21 b n1
则 b ij a ji 由行列式定义
D
T
( i , j 1,2 , , n )
1，3两列元 素成比例， 比例系数是3
=0
性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两 数之和, 如第i列的元素都是两数之和:
a11 D a21 an1
a1i a2 i ani
a1i a1i a2 i a2 i ani ani


源自文库
a x1 a D
n
a a x2 a a a a x2 a a

a a a x n1 a a a a x n1 a
a a a a 0 0 . 0 xn

a a a x1 a
2 2 1
3 1 1
第三行r3
由－变＋ 由＋变－
证明： a
11
a 12 as2 at2 an2

a1n a sn a tn a nn D1
a s1
设
D
a t1 a n1
交换s、t 两行，得
a 11 a t1 a s1 a n1 a 12 at2 a s2 an2 a1n a tn a sn a nn
n
是
D1
中的一项。
因为，排列 j1 j s j t j n 与排列 j1 j t j s j n 的 奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明 了D的任一项的反号是 D 1 中的项，同样可以证明 D 1 中的 任一项的反号也是D中的项。 因此，D1＝－D
推论： 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。
1 0
1 0 2 5 4
2 1 0 7 10
3 0 4 14 10
1 2 1 6 2
3

0 3 4

1
1 0 2 2 0
1 1 2 2 0 0
2 1 0 1 2
2 1 0 1 2
3 0 4 5 2
3 5 4 0 2
1 2 1 3 2
1 3 1 2 2
0 0

0 0 0
n
1 i
1 2 0 0
1 0 3 0

1 0 0 n ! (1 n
c1
1 2
c2
1 3
c3
1 n
i2
cn

n
1 i
)
i2
例4：
D
a1 b a1 a1 a1
a1 b b b b a2
a2 a2 b a2 a2