初中数学思想方法专题复习共62页
数学中考复习数学思想方法专题
数学思想方法专题一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是数与形之间的相互转化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及常见函数图象的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义.例1 如图1，数轴上的A ，B ，C ，D 四点所表示的数分别为a ，b ，c ，d ，且O 为原点．根据图中各点位置，判断与|a －c|的值不同的是（ ）A ． |a|+|b|+|c|B ． |a-b|+|c-b|C ． |a-d|-|d-c|D ． |a|+|d|-|c-d|分析：根据绝对值的性质计算出各绝对值表示的线段长，与|a-c|的长进行比较即可． 解：由题意，知|a-c|=AC.∵|a|+|b|+|c|=AO+BO+CO ≠AC ，故A 选项正确；∵|a －b|+|c －b|=AB+BC=AC ，故B 选项错误；∵|a －d|－|d －c|=AD －CD=AC ，故C 选项错误；∵|a|+|d|－|c －d|=AO+DO －CD=AC ，故D 选项错误.所以选A ．点评：本题考查了实数与数轴，知道绝对值的意义是解题的关键．例2 （2012年河南省）如图2，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x<ax+4的解集为（ ）A. x<23 B. x<3 C. x>23 D. x>3 分析：由于两条直线交于点A ，结合函数表达式y=2x 确定点A的横坐标．注意在交点左边和右边y 值的变化情况，根据图象信息直接确定不等式的解集.解：把A （m ，3）代入y=2x ，得m=23.所以A （23，3）. 由图象可知，不等式2x ＜ax+4的解集为x ＜23． 故选A.点评：本题主要考查对一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练运用性质进行解题，并通过图象判断不等式的关系是解题的关键.二、分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不明确的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的描述时，按可能出现的所有情况来分别进行讨论，得出各种情况下相互独立的结论.分类的原则是：①分类的每一部分是相互独立的；②一次分类必须依据同一个标准；③分类必须是逐次进行的.例3 （2012年湘潭市）已知一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的表达式．分析：根据点（0，2）以及图象与两坐标轴围成的三角形面积确定图象与x 轴的交点坐标，注意分交点位于原点左侧和原点右侧两种情况讨论，根据两个点的坐标即可确定一次函数的表达式．解：∵一次函数y=kx ＋b （k ≠0）的图象过点（0，2），∴b=2.令y=0，则x=－k2. ∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2， ∴21×2×k2-=2，即k 2=2. 当k ＞0时，k2=2.解得k=1； 当k ＜0时，-k 2=2.解得k=-1． 故此一次函数的表达式为y=x+2或y=-x+2．点评：确定一次函数的表达式，关键是确定图象与坐标轴的另一交点坐标.由于题目中没有明确指出图象与x 轴交于正半轴还是负半轴，故需要分两种情况进行讨论.例4 （2012年龙东市）等腰三角形的一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为________． 分析：结合题意“一边上的高”将问题分为底上的高与腰上的高两种情况，等腰三角形腰上的高又分为高在三角形内（锐角三角形）与高在三角形外（钝角三角形）两种情况，运用勾股定理，分别求解.解：（1）若高是该等腰三角形底边上的高，如图3，此时，AB=AC=5，AD=3.由勾股定理，得BD=22BD AB -=2235-=4.所以底边BC=8.（2）若高是该等腰三角形腰上的高.①当等腰三角形为锐角三角形时，如图4，此时AB=AC=5，BD=3.由勾股定理，得AD=22BD AB -=2235-=4.故CD=1.在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC=22CD BD +=2213+=10；②当等腰三角形为钝角三角形时，如图5.此时AB=AC=5，CD=3.由勾股定理，得AD=22CD AC -=2235-=4.故BD=9.在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC=22CD BD +=2213+=310.综上，底边长为8或10或310.点评：题目没有图形，仅仅已知腰长以及一边上的高，答案不唯一，可以分高是底边上的高和是腰上的高两种情况讨论，其中腰上的高又分两种情况，高位于等腰三角形内和高位于等腰三角形外进行分类讨论，避免漏解或重解．三、转化思想转化思想常用的解题策略是：（1）已知与未知的转化：分析已知条件的内涵，挖掘其隐含条件，使得已知条件朝着明朗化的方面转化；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或者是从结论入手进行转化；（2）数与形的转化：把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使许多概念直观而形象，有利于发现解题途径；（3）一般与特殊的转化：比如探究规律问题，从简单的某些属性，按照某种不变的规律向一般图形具有的性质进行探究等；（4）复杂与简单的转化：把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解答.例5 （2012年湛江市）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题.例：解一元二次不等式x2－4＞0.解：∵x2－4=（x ＋2）（x －2），∴x2－4＞0可化为（x ＋2）（x －2）＞0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①⎩⎨⎧-+0202 x x ，或②⎩⎨⎧-+0202 x x . 解不等式组①，得x ＞2；解不等式组②，得x ＜－2.∴（x ＋2）（x －2）＞0的解集为x ＞2或x ＜－2.即一元二次不等式x2－4＞0的解集为x ＞2或x ＜－2.（1）一元二次不等式x2－16＞0的解集为_______；（2）分式不等式31+-x x ＞0的解集为____________； （3）解一元二次不等式2x 2－3x ＜0.分析：（1）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解：（1）x ＞4或x ＜－4.（2）x ＞3或x ＜1.（3）∵2x 2－3x=x （2x －3），∴2x 2－3x ＜0可化为x （2x －3）＜0.由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①⎩⎨⎧-0320 x x 或②⎩⎨⎧-0320 x x .解不等式组①，无解；解不等式组②，得0＜x ＜23. ∴x （2x －3）＜0的解集为0＜x ＜23. 即一元二次不等式2x2－3x ＜0的解集为0＜x ＜23. 点评：这是一道方法渗透性阅读理解题，解题的关键是认真阅读材料，并运用材料中提供的方法解答新的问题，这里渗透了转化思想．例6 （2012年日照市）如图6-①，正方形OCDE 的边长为1，阴影部分的面积记作S 1；如图6-②，最大圆的半径r=1，阴影部分的面积记作S 2，则S 1_______S 2（用“>”、“<”或“=”填空）.分析：观察图①可知，阴影部分的面积等于矩形CAFD 的面积，观察图②可知，阴影部分的面积等于最大圆面积的41，分别求出矩形CAFD 的面积、最大圆面积的41后作比较即可． 解：连接OD ，如图6-①.∵四边形OCDE 为正方形，OE=1，∴由勾股定理，得OD=22DE OE +=2211+=2.∴AO=2.∴AC=AO-CO=2－1.∴S 1=S 矩形CAFD =（2－1）×1=2－1.∵S 大圆=πr2=π，∴S 2=41π． ∵2<49，即2<23， ∴ 2－1＜23-1，即2－1＜41. 又21<43<41π， ∴2－1＜41π. ∴S 1＜S 2．点评：对不规则图形面积的考查是近几年中考的热点问题，主要是通过转化，将不规则图形转化为规则图形，再利用和或差进行计算．四、整体思想整体思想就是从问题的整体出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的联系，进行有目的、有意识的整体处理.例7 （2012年南通市）无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，则（2m－n＋3）2的值等于________．分析：根据无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，确定函数的表达式，再把x=m，y=n代入函数表达式，求出2m－n的值，最后整体代入．解：因为2a－3=2（a－1）－1，而无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，所以直线l的表达式是y=2x－1.又Q（m，n）是直线l上的点，所以n=2m－1，即2m－n=1.所以（2m－n＋3）2=（1＋3）2=16．点评：如果已知以含有字母的代数式为坐标的点在某直线上，可以通过研究点的横、纵坐标之间的关系来确定函数表达式.用整体代入的方法求代数式的值是一种常用的方法．例8 （2012年内江市）如图7，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，则阴影部分图形的周长为（）A. 15B. 20C. 25D. 30分析：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，运用轴对称的性质，找到阴影部分的周长与原矩形边长的关系.解：因为在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，所以CD=AB=10，AD=BC=5.根据轴对称的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长是：（A1E＋EM＋MD1＋A1D1）＋（MB＋MF＋FC＋CB）=AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB=（AE＋EM＋MB）＋（MD1＋MF＋FC）＋AD＋CB=AB＋（FD1＋FC）＋5＋5=10＋（FD＋FC）＋10=20＋DC=20＋10=30.故选D.点评：灵活运用轴对称的性质是解决此类问题的关键，正确找出折叠前后的对应边和对应角，运用整体代换有助于解决问题.五、建模思想建模思想就是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种思想方法．例９某地上年度电价为０．８元/度，年用电量为１亿度，本年度计划将电价调至０．５５至０．７５元之间．经测算，若电价调至ｘ元，则本年度新增用电量ｙ亿度与ｘ－０．４成反比例，又当ｘ＝０．６５元时，ｙ＝０．８．（１）求ｙ与ｘ的函数关系式.（２）若每度电的成本价为０．３元，则电价调至０．６元时，本年度电力部门的收益是多少？［收益＝用电量×（实际电价－成本价）］分析：本题ｙ与ｘ虽不是反比例函数，但根据题意ｙ与ｘ－０．４成反比例，根据反比例的特点列出关系式ｙ＝4.0-x k ，用待定系数法就可确定函数关系式．用电量与实际电价减去成本价，二者乘积即为收益．根据题意列出方程解之即可得到结果．解：（１）∵ ｙ与ｘ－０．４成反比例，∴设ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝4.0-x k （ｋ≠０），把ｘ＝０．６５，ｙ＝０．８代入，可以求出ｋ＝０．２．∴ ｙ＝4.02.0-x =251-x ． （２）根据题意，收益为1+251-x ·（ｘ－０．３）亿元．将ｘ＝０．６代入，得收益为０．６亿元．所以当电价调至０．６元时，本年度电力部门的收益是０．６亿元．点评：函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一．很多实际问题都可以归结为函数问题．根据题意，找出变量之间的关系，建立适当的数学模型是解题的关键．六、方程思想方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解.一般方法是认真分析题中的各个量以及相互关系，用一个或者几个等量关系描述题目中所有的相等关系，建立方程（组）模型，进而确定未知数的值，使问题获得解答.例10 （2012年济宁市）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？分析：设该校共购买了x 棵树苗.由题意，得x ［120－0.5（x －60）］=8800，解方程即可．解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元，7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了x 棵树苗.由题意，得x ［120－0.5（x －60）］=8800.解得x1=220，x2=80．当x1=220时，120－0.5×（220－60）=40＜100，∴x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，120－0.5×（80－60）=110＞100，∴该校共购买了80棵树苗．点评：根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”列出方程是解题关键.例11 （2012年潍坊市）为了援助失学儿童，九年级学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内的存款一并汇出（汇款手续费不计）．已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元．（1）在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？（2）为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t 元（t 为整数），求t 的最小值．分析：（1）根据题目中的两个相等关系：①储蓄盒内原有存款+2个月的存款=80元；②储蓄盒内原有存款+5个月的存款=125元，列方程组求解即可.（2）首先计算出2012年共有的存款数，再由题意可得从2013年1月份开始，每月存款为（15+t ）元；从2013年1月到2015年6月共有30个月，共存款30×（15+t ），再加上2012年共有的存款总数超过1000元，由此构造不等式取符合条件的最小整数值即可．解：（1）设李明每月存款x 元，储蓄盒内原有存款y 元.依题意，得2x+y=80和5x+y=125. 解得x=15，y=50.所以储蓄盒内原有存款50元．（2）由（1），得李明2012年共有存款12×15＋50=230（元），2013年1月份后每月存入（15＋t ）元，2013年1月到2015年6月共有30个月.依题意，得230＋30（15＋t ）＞1000.解得t ＞1032.所以t 的最小值是11． 点评：建立方程模型应从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等，求出结果并结合题意讨论结果的意义，得出符合题意的解．七、函数思想函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题.也是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，一般方法是认真分析题意，恰当设变量，寻找题目中相关量之间的相等关系，构造方程（组），确定函数的表达式，再结合题意进行有关探究、计算.例12 （2012年温州市）如图8，在△ABC 中，∠C=90°，M 是AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B ．已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接MP ，MQ ，PQ ．在整个运动过程中，△MPQ面积的变化情况是（ ）A ． 一直增大B ． 一直减小C ． 先减小后增大D ． 先增大后减少分析：思路1，找出几个特殊情况时△MPQ 的面积大小情况：①当P ，Q 两点刚开始运动时，△MPQ 的面积；②当P ，Q 两点同时运动到三角形所在边的中点时，△MPQ 的面积；③当P ，Q 两点运动到接近终点时，△MPQ 的面积．然后比较求解．思路2，把△MPQ 的面积用运动时间t 的函数表示出来，根据函数性质解答．解法一（合情推理）：当点P 从点A 出发时，△MPQ 的面积等于△ACM 的面积，即等于△ABC 面积的21； 当点P 运动到边AC 的中点时，点Q 也相应地运动到BC 边的中点，此时△MPQ 是△ABC 的中点三角形，△MPQ ∽△CBA ，其相似比为21. ∴△MPQ 的面积等于△ABC 面积的41； 当点P 接近点C ，点Q 接近点B 时，△MPQ 的面积接近于△BCM 的面积，即约等于△ABC面积的21. 综上可知，△MPQ 的面积大小变化情况是先减小后增大．故选C ．解法二（建立面积的函数模型）：设点P 从A 到C 运动的总时间为t ，从A 到P 运动的时间为m ，从P 到C 运动的时间为n ，则m ＋n=t ，记AC=b ，BC=a ，则△APM 中，AP=nm m +b ，AP 边上的高为21a ，所以 S △ＡＰＭ＝21·n m m +b ·21a=41·nm m +·ab. 同理得到S △BQM ＝21·n m n +a ·21b=41·n m n +·ab ； S △ＰＣＱ＝21·n m m +b ·n m n +a=21·()2n m m n +·ab ； S △ＡＢＣ＝21ab. ∴S △MPQ =S △ＡＢＣ-S △ＡPM -S △BQM -S △PCQ ＝21ab-41·n m m +·ab －41·n m n +·ab －21·()2n m m n +·ab =21ab-21·()2n m m n +·ab =21ab ·１－()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+22-1n m mn ＝41ab ·()222n m n m ++ ＝24t ab［m 2+（t-m ）2］ ＝22tab （m 2-tm+21t 2） ＝22tab （m-21t ）2＋81ab. ∵22t ab >0且81ab 是一个常数， ∴当m=21t 时，△MPQ 的面积取最小值81ab ； 当m<21t 时，即点P 到达AC 中点前，△MPQ 的面积逐渐减小； 当m>21t 时，即点P 过AC 中点后，△MPQ 的面积逐渐增大．故选C．点评：在解答运动变化的选择题时，过程不一定需要很严谨，利用特殊位置确定一些特殊值，然后结合变化过程运用合情推理找到正确答案即可．如果从变化的数量上描述变化的规律，可以建立函数模型，运用函数的性质加以分析，最终得出变化的规律.例13 （2012年绵阳市）某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择.方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的,则超过3千克的部分种子价格打7折.（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）和付款金额y（元）之间的函数表达式.（2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？请说明理由.解析：（1）方案一：y=4x；方案二：()()⎩⎨⎧+≤=35.45.335xyxxx（2）设购买x千克的种子.当x≤3时，选择方案一.当x>3时：当4x=3.5x+4.5时，x=9；当4x>3.5x+4.5时，x>9；当4x<3.5x+4.5时，x<9.所以当购买种子的质量少于９千克时，应选择方案一；当购买种子的质量为９千克时，选择两种方案均可；当购买种子的质量超过９千克时，应选择方案二.。
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例3 抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数
y=-bx-4ac+b2与反比例函数y= a b c在同一坐标系内
的图象大致为( )
x
【解析】 从抛物线的图象可知：开口向上,∴a＞0, 当x＝1时，抛物线的图象在x轴的下方， ∴∴a由+ab++bc+＜c0＜,又0，由得x＝反比2a例b ＞函0数及ya=＞a0可bx 得c 的b图＜象0，在第二、 四象限，由b＜0即-b＞0可知一次函数y=-bx-4ac+b2的图 象过第一、三象限，综上就应选D.
❖例4、已知△ABC内接于⊙ O，∠OBC=400 ， 则∠A=__5_0_或_1_3_0度
A
500
●O
1000
400
C
B
1300
A
❖ 例3、在⊙O中弦AB平行于弦CD，AB=6，
CD=8，圆半径为5，则AB、CD之间的距离是 _____1_或_7_.
A C
E
B
∟
●O D
F
❖ 例题4. 相交两圆的半径分别是8cm和5cm，公共弦长为
专题考点一 整体思想
• 整体思想：整体是与局部相对应的，按常规不易求某一个 或多个未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把 一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
2a-3b=13
a=8.3
【例1】（2020淮北模拟）若方程
的解是
•
3a+5b=30.9
b=1.2
•
2(x+2)-3(y-1)=13
∵b＞0,x＞0，∴2bx＞0.
∴a 2 ＋b 2 ＜c 2.
专题考点三 数形结合思想
中考专题复习数学思想方法
3.映射模型（结构型）；如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米， P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个 水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设 的管道，则铺设的管道最短的是()
（2）数形结合思想
由数想形
1.如图
6，直线 l
:
y
2 3
x
3与直线
y
a
(
a
为常数)的交点在第四象限，则
a 可能在(
)
A.1 a 2
B. 2 a 0
见形C思. 数3 a 2 D. 10 a 4
2.有如图所示的两种广告牌,其中图是由两个等腰直角三角形构成的,
图是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种
【特别提醒】 1.分类中的每一部分是相互独立的. 2.一次分类必须按同一个标准. 3.分类讨论应逐级进行,做到不重、不漏. 4.最后必须归纳小结,综合得出结论.
1. 已知点P到圆的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 多少？ 2.(2015·攀枝花中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩 形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD 为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为________.
（4）数学建模思想
1.函数模型（定义型）；
10.一台印刷机每年印刷的书本数量 y(万册)与它
的使用时间 x(年)成反比例关系，当 x=2 时，y=20，
则 y 与 x 的函数图像大致是(
中考数学第二轮专题数学思想方法(优秀版)word资料
中考数学第二轮专题数学思想方法（优秀版）word资料中考数学第二轮专题复习（二）----数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 （2020 •吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．对应训练1．（2020 •福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
初中数学总复习-数学思想方法
②当k<0时,把x=-3,y=-2;x=6,y=-5代入一次函数的解 析式y=kx+b,
1 3k b 2, k 得 解得 3 , 6k b 5, b 3 ，
1 则这个函数的解析式是y=x-3(-3≤x≤6). 3 故这个函数的解析式是y= 1 x-4(-3≤x≤6)或 3 y=- 1 x-3(-3≤x≤6). 3
与y=ax+b的图象交于点A(-1,n)和点B(-2,1).
(1)求k,a,b的值. (2)直线y=mx与y= k (x<0)的图象交于点P,与y=-x+1的
x
图象交于点Q,当∠PAQ>90°时,直接写出m的取值范围.
【思路点拨】(1)利用待定系数法即可解决问题. (2)利用图象法即可解决问题.
4.相似三角形:如果题目中出现两个三角形相似,需要 讨论各边的对应关系;若出现位似,则要分两个图形在 位似中心的同旁或两旁两种情况讨论.
5.圆:圆的一条弦(直径除外)对着两条弧,常分优弧和 劣弧两种情况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两 弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论.
【示范题1】(2018·资中县期末)如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,点E是BC边上的一个动点(不与点B,C重 合),连接AE,并作EF⊥AE,交CD边于点F,连接AF.设 BE=x,CF=y.
(1)①求证:△ABE∽△ECF; ②当x为何值时,y的值为2. (2)当x为何值时,△ADF也与△ABE相似.
【思路点拨】(1)①先判断出∠BAE=∠CEF,即可得出结 论; ②利用相似三角形得出比例式即可建立x,y的关系式,
代入即可.
(2)分两种情况,利用相似三角形的性质得出比例式,建
数学思想方法讲解(初二版)(可编辑修改word版)
数学思想方法专题知识点归纳：常用的数学思想1.整体思想从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易. 整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等2.分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
3.数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
4.函数与方程的思想方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．5.转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
第 1 讲整体思想1．(江苏盐城)已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3 的值是( )A．－1 B．1 C．－5 D．52．(山东济南)化简5(2x－3)＋4(3－2x)结果为( )A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－3 3．(浙江杭州)当x＝－7 时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为．4．(江苏苏州)若a＝2，a＋b＝3，则a2＋ab＝.5.已知Error!且0<x＋y<3，则k 的取值范围是.6.若买铅笔4 支，日记本3 本，圆珠笔2 支，共需10 元；若买铅笔9 支，日记本7 本，圆珠笔5 支，共需25 元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需元．图Z1－37．如图Z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝.8．(浙江丽水)已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2 的值．1 1 2x－14xy－2y9.已知－＝3，求代数式的值．x y x－2xy－y第 2 讲分类讨论思想1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于。
15年中考数学专题复习一数学思想方法(共79张)
为-3,1,若BC=2,则AC等于 ( )
A.3
B.2
C.3或5
D.2或6
【解析】选D.此题画图时会出现两种情况,即点C在线段AB内,点C在线段
AB外,所以要分两种情况计算.
点A,B表示的数分别为-3,1,AB=4.
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第一种情况(qíngkuàng):在AB外,
AC=4+2=6;
第二种情况,在AB内,
专题一 数学(shùxué)思想方法
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考点一 分类讨论思想 分类讨论思想常见的六种类型
1.方程:若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于 0,进条边或给出一角 求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边(dǐ biān),所给出的角是顶角 还是底角分类解决.
x2-12x+k=0有两个相等的实数根,∴(-12)2-4k=0,解得k=36;
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若3是等腰三角形的腰,则3是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的
一个解,
∴32-12×3+k=0,解得k=27. 当k=27时,方程x2-12x+27=0的解是3或9,3,3,9构不成三角形 ,∴k=27不合(bùhé)题意.
∴直角三角形的第三边为5或 7.
42 32 7.
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3.(2014·潍坊中考)等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长
是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值是 ( )
A.27
B.36
C.27或36
D.18
【解析】选B.若3是等腰三角形的底边(dǐ biān),则关于x的一元二次方程
中考数学专题一 数学思想方法问题 (共70张PPT)
【点拨】 如图，作 PE⊥ l1 交 l1 于点 E， 交 l2 于点 F，在 PF 上截取 PC＝ 8，连接 QC 交 l2 于点 B，作 BA⊥ l1 于点 A，此时 PA＋ AB ＋ BQ 最短． 作 QD⊥ PF 于点 D． 在 Rt△ PQD 中 ， ∵∠ D ＝ 90° ， PQ ＝ 4 30 ， PD ＝ 6 ＋ 8 ＋ 4 ＝ 18 ， ∴DQ ＝ PQ2－ PD2＝ 156， CD＝ PD－ PC＝ 18－ 8＝ 10.∵ AB＝ PC＝ 8， AB∥ PC，∴四边形 ABCP 是平行四边形，∴ PA＝ BC，∴ PA＋ BQ ＝ CB＋ BQ＝ QC＝ DQ ＋ CD ＝ 156＋ 10 ＝ 16. 【答案】 16
例 1 (2017· 绥化 )在等腰三角形 ABC 中， AD⊥ BC 交直线 BC 1 于点 D，若 AD＝ BC，则 △ ABC 的顶角的度数为 ____． 2
【点拨】 如图，应分下列三种情况求顶角：(1)若 A 是顶点， 1 如图①， AD＝ BC，则 AD＝ BD，则底角为 45° ，则顶角为 90° ； 2
第二部分 专题一
专题突破
强化训练
数学思想方法问题
初中数学中的主要数学思想方法有分类讨论思想、数形结合 思想、方程与函数思想、转化与化归思想等． 1．分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素， 无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有 情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则： (1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标 准；(3)分类讨论应逐级进行．
2．数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质 研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几 何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结 合起来，以形助数，以数辅形，使抽象问题直观化，复杂问题简 单化，从而使问题得以解决的一种数学思想．
初中数学思想方法大全
一、宏观型思想方法数学思想是数学基础知识、基本技能de本质体现，是形成数学能力、数学意识de桥梁，是灵活应用数学知识、技能de灵魂。
（一）、转化(化归)思想解决数学问题就是一个不断转化de过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。
不是对原来de问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了de问题为止。
通过转化可使原条件中隐含de因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间de距离，找出它们之间内在de联系，以便应用有关方法将问题解决。
“转化”de思想是一种最基本de数学思想。
数学解题过程de实质就是转化过程，具体de说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断de相互转化中使问题得到解决。
可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。
一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解de几何问题。
有些不易解决de几何题通过辅助线转化为代数三角de知识来证明，有些结构比较复杂de问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化de问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路de作用。
把实际问题转化为数学问题。
结合解题进行化归思想方法de训练de做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题；g、化综合为单一；h、化一般为特殊。
有加减法de转化，乘除法de转化，乘方与开方de转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化de具体手段。
因此，首先要认识到常用de很多数学方法实质就是转化de方法应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间de转化；D平面图形间de转化；E空间图形与平面图形de转化；F统计图之间de相互转化。
初中数学思想方法汇总
初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略分析分类讨论思想一、分类讨论思想的意义当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究•通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并增加条件，“分类讨论”，简言就是先分类，后讨论。
阅读大纲和教材会发现，初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则，把“分类讨论思想”分两个层次，即“分类思想”和“讨论思想”。
分类思想在初中数学占有相当要的地位，通过教学应使学生确立类思想，学会分类方法，而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。
分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在试题中占有重要的位置。
二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的全体T确定分类标准，正确进行分类T 逐步进行讨论，获取阶段性结果T归纳小结，综合得出结论。
三、分类讨论思想的分类原则：分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下4大原则：（1）同一性原则⑵互斥性原则（3）相称性原则（4）多层次性原则四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点上册：1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面内的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。
下册：1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面内点的坐标5、P112 第10题6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。
五、典型例题例1. （2011浙江中考）解关于x的不等式组：a（x 2）＞x 3（a x）＞9a+8例2已知直线AB上一点C,且有CA=3AB,则线段CA与线段CB之比为______________________ 或练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm,点N为线段BC的中点，求线段MN的长.例2下列说法正确的是（）A、两条线段相交有且只有一个交点。
初中数学全程复习数学思想方法
(3或约 6
26 4
化归转化思想 【技法点拨】
定义：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难， 通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数 学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己 较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的， 这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”. 化归与转化应遵循的五个基本原则： (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我 们运用熟知的知识、经验和问题来解决.
分类讨论思想
【技法点拨】 定义：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对 各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类 讨论法. 分类原因：分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合 性、探索性， 引起分类讨论的原因主要是以下四个方面： ①问题所涉及的数学概念是分类进行定义的.
(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问 题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示 和依据. (3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合 数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有 利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律. (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解 决. (5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的 反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.
【自主解答】(1)= (2)= 剩余解题过程：在等边三角形ABC 中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC, ∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC, ∴△AEF为等边三角形, ∴AE=AF=EF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF, 又∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°, ∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠FCE, ∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF,∴AE=DB. (3)1或3
中考复习方法专题指导《数学思想方法》教学PPT课件 初中数学公开课课件
于方法的知识”.
,是数学知
识、数学技能的本质体现,是解决数学问题的金钥匙,具有
“四两拨千斤”之效.因此掌握基本的数学思想方法,不仅是学
习数学的基本要求,而且能够使数学能力不断提高,从而在中
考中取得好成绩.
中考中常用到的数学思想方法有:
等.在中考复
分类讨论思想
例3 (2016·淮南模拟)按下列程序进行运算(如图).
规定:程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算.若 x=5,则运算进行 4 次才停止;若运算进行了5次才停 止,则x的取值范围是 2<x≤4 .
【解析】本题为程序信息题,通过转化借用一元一次不等式组求解问题.
(1)x=5,第1次: 5×3-2=13;第2次:13×3-2=37;第3次:37×3-2=109;第4 次:109×3-2=325>244,停止.
才停止,x的取值范围是2<x≤4.
转化思想
例4：试比较 x 2与 x 的大小
y y x2
y x
1
-1 0 1
x
数形结合思想
例5 (2016·广西河池)如图的三角形纸片中,AB=AC,BC=12
cm,∠C=30°,折叠这个三角形,使点B落在AC的中点D处,折痕为
EF,那么BF的长为
cm.
例5 (2016·广西河池)如图的三角形纸片中,AB=AC,BC=12
整体思想
例2 (2016·哈尔滨)在等腰直角三角形ABC
中,∠ACB=90°,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP,则
AP的长为 13或 10 .
【解析】∵∠ACB=90°,AC=BC=3,分类:如图1,当PC