相似三角形中的分类讨论实录加反思

无可奈何“落去”，似曾“相似”归来

——“一题一课”模型下的相似复习课课堂实录与反思背景介绍

“一题一课”，倡导一个题目上一节课，就是围绕着说题时抽到的那一题来上一节课。我抽到的题是第18题，主要考查相似三角形的判定与性质，涉及到分类讨论。这道题对学生来讲说不上难，因为从学生接触相似三角形开始就已经在接触这类题了；可也说不上简单，毕竟分类讨论不是每个学生都能理解的了的。可光就这个题目讲上一节课，是根本不可能的。

对这课我最初的设想是由浅入深，先温习或做些铺垫性的问题，把起点放在相似三角形的判定的复习上，编制单一的不涉及分类的相似题目，再重点像讲课文例题那样去启发分析，最后拓展提炼。因此刚开始花了大量的时间去寻找合适的题目，无果之后又尝试着自己去改编题目：赋予△ABC为等腰三角形的背景下，DE∥BC，在BC边上寻一点F，使△DEF与△ABC相似。试上之后，这道题反响还不错，引入等方面修正完善一下就好。杭州听课回来还没缓过神来连着清明放假三天，期间我仔细思考教学设计中的这道题目，总觉得偏离了“一题一课”的理念。可是箭在弦上不得不发，没机会再试上再磨课了！比赛当天，心里还是隐隐觉得不好，于是开始两手准备：一方面将这个课再次仔细整理准备上课；另一方面再次去找寻其他题目，最终决定只将该题作为课后拓展题让学生拓展提升。感谢教研组听课的同事，每一位都给出了非常宝贵的意见和建议，帮我不断修正与完善。在磨课的过程中，我受益良多。

课堂实录

师：今天这节课我们一起探讨相似三角形中的分类讨论。首先我们拿出练习纸，动手画画看。

（媒体显示题目，学生动手作图）如图，△ABC 中，AB=12，AC=15。D 为AB 边上一点，过点D 作一条截线交AC 于点E ，使△ADE 与△ABC 相似，你能作出几条？请画出图形。

师：谁来说说看你是怎么画的？

生：先做BC 的平行线，交AC 于点E 。还有一个是做的那条线和AD 相等…… 师：做的那条线和AD 相等？

生：作AD=AE

师：在AC 上取一点E ，使得AD=AE

师：说说看你是怎么想的?（学生回答不出）为什么这种情况下这两个三角形相似？ 生：因为平行

师：依据的是什么？

生：相似三角形中（学生说不出来师补充）

师：作DE ∥BC 时，就是说∠ADE 与∠ABC 相等。这也是相似三角形的判定方法之一。那你说说看第二种情况下又是什么原因？ 生：BC DE AC AD （学生明显的将对应边写错） 师：先说说看她的想法对不对？在相似三角形中已知一角，再找夹这个角的两边对应成比例。∠A 是公共角，在△ADE 中夹∠A 的两边分别是AD 与AE ，在△ABC

中夹∠A 的两边分别是AB 与AC 。所以对应边应该是？ 生：AB

AE AC AD 。依据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得两个三角形相似。 师：添一条平行线，所得图形是我们常见的平截形，这个基本图形中可以是两角对应相等得两个三角形相似，还可以是两边成比例夹角相等得到两个三角形相似。 师：另外一种是我们常见的斜截型。这种情况下我们找到对应边。那在画图时你是去找对应边吗?

生：∠ADE 与∠ACB 相等

师：作为作图题来讲我们是去画角相等方便。

为什么在这个问题中我们要分两种情况来讨论？

生：一个是D 与E 是对应顶点，一个是D 与B 是对应顶点

师：你的意思是说这两个三角形的对应顶点没确定？！在相似三角形中我们为什么要去分类讨论，原因就在于两个相似三角形的对应顶点不确定。而对应顶点不确定反映在图形上可以是对应角不确定，也可以是对应边不确定。

由于相似三角形的对应顶点的不确定，我们需要对相似三角形进行分类讨论。这就是我们今天需要研讨的问题。（给出课题——相似三角形中的分类讨论） 如果在这个问题中老师赋予数据。你能求出AE 的长吗？

(多媒体显示)（2）若AD=8，求AE 的长。

(学生课堂练习3分钟。一人口述，教师板书)

师：刚才我们解决的问题改编自九上期末测试试卷第18题。（多媒体显示） （九上期末测试卷第18题）

如图，△ABC 中，AB=12，AC=15。

D 为AB 边上一点，且AD=8。在AC 边上取一点

E ，使△ADE 与△ABC 相似，求AE 的长。

师：据老师了解，去年期末考试时本题的准确率不高，而我们大部分同学的所犯的错误就是只考虑了一种情况，那么今天在这里有没有再犯这样的错误呢？（学生笑）我们在做相似三角形的问题时往往因为相似三角形的对应关系的不确定而需要分类讨论。而这种分类讨论在动点问题中体现的最为彻底。（多媒体显示）

动点背景下的分类讨论

如图，△ABC中，AB=12，AC=15。动点D、E同时从B、A两点出发，

分别沿BA、AC匀速运动，运动速度都是每秒1个单位，问经过几秒△ADE与△ABC相似。

师：动点问题因为点的位置的不确定而必须分类讨论。我们一起完成这个问题。（学生课堂练习5分钟）投影学生过程，分析。

师：这里我们解决的两个问题都是有关于相似三角形的分类讨论的。它们有一个共同点就是这两个相似三角形都有一个公共角，也就是两个三角形有一对对应顶点的关系确定了，我们只需要考虑另外两对顶点的对应关系就可以了。因此都需要分类讨论。

相似三角形的问题还经常与函数相结合。

函数背景下的分类讨论

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），点B(-1，-5)，点F（0，-4），直线BF交x轴于点G。点D在x轴的正半轴上，若以点D、F、G组成的三角形与△ABF相似，试求点D的坐标。

学生思考一分钟后，师：拿到这个问题后你有什么想法？

生：分类讨论

师：怎么去分类讨论？

生：三边对应成比例

师：怎么做？……有想法吗？

（生思路受阻）

师：当我们没有想法的时候，试着去画画图。在x 轴的正半轴上取一点D （取在点G 的右边）,连结FD 。要使三角形相似，如果两个三角形中有一对角相等，只需再找一个角或者夹边对应成比例。在这个问题中有什么已知？

生：FGD AFB ∠=∠。先求直线BF 的解析式，再求点G 的坐标，求出来后发现AG=AF=4，得等腰直角三角形GAF ，所以FGD AFB ∠=∠。

师：虽然这个问题中没有直接告诉我们有一对角相等，但我们可以通过计算得出我们需要的结论。你能接着完成这个问题吗？这两个三角形相似怎么得到？ 生：有两种情况。点D 在点G 的右边，点D 在线段AG 上。

第一种情况，已得FGD AFB ∠=∠，只需BF

GD AF FG = 师：好了吗？点G 与点B 是对应顶点，所以有

AF GD BF FG =。 第二种情况，由角的关系得这两个三角形中不存在相等的角，所以这两个三角形不相似。

(师生共同完成解题过程)

师：由于题目中点D 的位置不确定，我们首先需要针对点D 在点G 的左边还是右边对其进行第一次分类。又由于相似三角形的对应顶点的不确定，我们又要对其进