郑州大学随机信号处理大作业

ep ( N p 1) 。这意味着，已知数据 x(n)( 0 x(n) N 1)是通过对无穷长数据序
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列 x(n)( n ) 加窗得到的。将 e p (n) a pi x(n i ) 代入式(3.1.1)得
i 0
p
构成的 N 阶取样自相关矩阵。因此，用时间平均最小化准则同样可以导出 Yule-Walker 方程组，不过方程组中的 R 要用反取代。取样自相关矩阵左是正定 的，因而能够保证所得到的预测误差滤波器是最小相位的，因而也能保证反射 系数的模值都小于 1，这是使滤波器稳定的充分条件。 用 Yule-Walker 算法估计 AR 模型参数的具体步骤为 (1)根据式(3. 1. 3)计算自相关函数。 (2)用 Levinson-Durbin 算法求解 Yule-Walker 方程组
故最后求得的观测数据的功率谱为
由此可见，基于模型的现代谱估计过程一般可以分为三个步骤进行: (1)为被估计的随机过程确定或选择一个合理的模型。这有赖于对随机过程进行 理论分析和实验研究。 (2)根据已知观测数据 x(n),0 n N 1 ， 估计模型的参数{ ak }和{{ bk )。 这涉及到 对各种算法的研究。通常，模型参数的数据量比观测数据的数据量少很多，因 此，为数据压缩创造了条件。 (3)用估计得到的模型参数代入式(2. 3. 4)计算功率谱的估值。 由式(2. 3. 1)可见，产生随机序列的模型其系统函数是有理函数，具有 q 个零点 和 p 个极点称为自回归滑动平均模型，用 ARMA (p, q)表示。若 q=0, b0 1 ，系 统函数 H (z) =1/A (z)只有极点称为自回归((AR)模型，用 AR (p)表示。若 A (z) =1， 则系统函数 H(z)=B(z)只有零点称为滑动平均(MA)模型，用 MA (q)表示。在这三 种模型中，AR 模型得到普遍应用，其原因是 AR 模型的参数计算是线性方程比 较简单，它与建立在外推自相关函数时保持原概论空间的嫡最大的最大嫡法是 等价的。同时很适于表示很窄的频谱，在谱估计时，由于递推特性所以所需的 数据很短，而 MA 模型表示窄谱时一般需要数量很多的参数，ARMA 模型虽然所 需的参数数量最少，但参数估计的算法是非线性方程组，其运算远比 AR 模型复 杂。况且根据 Wold 证明，任意 ARMA 或 MA 信号模型可以用无限阶或阶数足够 大的 AR 模型来表示的.所以本论文对现代谱估计方法着重介绍利用 AR 模型进行 功率谱估计的理论和算法。 2.3.2 AR 模型的 Yule-walker 方程 以 AR 模型为基础的谱估计可由式(2. 3. 4)计算， 只是这里的 q=0, b0 0 m 。 这就需要知道模型的阶数 P 和 P 个 AR 系数，以及模型激励源的方差 2 。为此， 必须把这些参数和己知(或估计得到)的自相关函数联系起来，这就是著 Yule-walker 方程。
基于 AR 模型的功率谱估计
摘要
频域分析又称谱分析，主要研究信号在中的各种特征。功率谱密度函数描 述随机过程的功率随频率的平均分布。功率谱估计问题就是根据一组有限观测 值来确定该过程谱的内容。对于平稳随机过程来说，功率谱理论上的数值不可 能实现，只能用有限的观测值来估计或者逼近真实值，从而叫真实的反应问题 的本质。当然估计结果的好坏，与采用的处理方法有很大关系。 本文概要介绍了古典谱估计方法以及其基本原理，详细介绍了基于 AR 模型 的功率谱估计的原理、算法。古典谱估计主要基于离散傅里叶变换（DFT） ，包 括周期图法和相关函数法及在此基础上改进的方法； 基于 AR 模型的功率谱估计， 是参数法做功率谱估计的一种，简而言之，就是通过计算模型的参数而不是做 FFT 来做功率谱估，本文主要介绍的基于 AR 模型的功率谱估计的方法，主要有 Levinson-Durbin 快速算法和 Burg 算法。本文通过 MATLAB 编程分别利用古典法 和基于 AR 模型的功率谱估计法对信号加噪声进行功率谱估计，并通过不同的点 数以及不同的频率间隔的比较来分析古典法和基于 AR 模型的功率谱估计法做出 相应的分析。 关键词：AR 模型 功率谱估计 Levinson-Durbin 快速算法 Burg 算法
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2.3.3 Levinson-Durbin 快速递推法 用线性方程组的常用算法(例如高斯消元法)求解(2. 3. 9)式， 需要的运算量数 量级为 p 3 。 但若利用系数矩阵的对称性和 Toeplitz 性质， 则可构成一些高效算法， Levinson-Durbin 算法是其中最著名、应用最广泛的一种。这种算法的运算量量 级为 p 2 。这是一种按阶次进行递推的算法，即首先以 AR (0)和 AR (1)模型参数作
相应的差分方程为
在功率谱估计中，若观测的数据 x (n)是平稳随机过程，则该系统的输入 u (n) 也可以认为是平稳的，因而观测数据的功率谱为
一般信号的模型的输入数据是不能观测到的，在已知模型参数或频响| H (e jw ) |
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的条件下，为了求得模型输出功率谱的估值，最简单的方法就是假设输入 u (n) 为零均值的白噪序列。离散时间白噪声自相关函数与功率谱分别为
为 m 阶时的前向预测的最小误差功率(此处省去了 “min"， 且 m m 2 )。 由(2. 3. 9)式，当 m =1 时，有
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第3章 AR 模型参数提取方法
3.1.1 Yule-Walker 算法 用最小平方时间平均准则代替集合平均准则，有
式中， e p (n) 可由长度为 P+1 的预测误差滤波器冲激响应序列 ( 1, a p1 , a p 2, , a pp )与长度为 N 的数据序列((x(0), x(1) ,...}x(N-1))进行卷积得到。因 而 e p (n) 序列的长度为 N+P，这就决定了式(3. 1. 1)中求和的项数。显然，在计 算卷积时， 在数据段 xN (n) 的两端， 实际上添加了若干零取样值。 实际上，e p (n) 是由 xN (n) 经过冲激响应为 api (i 0,1,, p; a p0 1) 的滤波器得到的。只要 xN (n) 的 第 一 个 数 据 x (0) 进 入 滤 波 器 ， 滤 波 器 便 输 出 第 一 个 误 差 信 号 取 样 值
2.2
傅里叶变换
傅立叶变换(DFT)认为:有限长的数据段可看作无限长的取样序列进行加窗 截断后的结果。不论是数据加窗还是自相关函数加窗，在频率域都会发生“泄 露”现象，即功率谱主瓣的能量泄露到旁瓣中去，这样，弱信号的主瓣很容易 被强信号的旁瓣淹没或畸变，造成谱的模糊与失真。为了降低旁瓣，很多学者 在选择窗口函数的形式上和窗口处理函数方法上想办法，但是所有的旁瓣抑制
(3)用 AR 参数的估计值，可以计算功率谱
3.1.2 Burg 算法 为了克服 L-D 算法中因估计相关函数给功率谱带来的影响，Burg (1968)提出 一种新的算法，其基本思想是直接从观测的数据利用线性预测器得前向和后向 预测的总均方误差之和为最小的准则来估计预测系数， 进而通过 L-D 算法的递推 公式求出 AR 模型优化的参数。 前、后向预测误差的定义式分别为
第1章 引言
谱估计在信号处理方法中有很重要的作用，它不仅是分析、了解信号所含 有用信息的工具，也是信号内在本质的一种表现形式。古典谱估计方法存在着 分辨率低和方差性能不好的问题。现代谱分析是针对经典谱估计的不足，近几 年提出的谱估计新方法，其基本思路是:在进行谱估计过程中，对有限数据以外 的数据不做任何确定性假设，利用己知数据，采用外推或预测方法，由观测数 据推求 m N 以后的数据。在这种情况下，首先必须寻找一个产生随机信号的模 型，通过观测的数据把模型的参数估计出来，进而求得所需的功率谱。基于模 型的功率谱估计方法，不作自相关函数 Rxx (m) 0 , m > n 的假设，从而避免了功 率泄漏，提高了分辨率。 功率谱估计应用范围很广，日益受到各学科和应用领域的极大重视。以傅 立叶变换为基础的传统(或经典)谱估计方法，虽然具有计算效率高的优点，但 却有着频率分辨率低和旁瓣泄漏严重的固有缺点。这就迫使人们大力研究现代 谱估计方法。现代谱估计方法是以参数模型为基础的方法。
2.3.1 引言 为了克服经典谱估计的缺点，近年来在实现高分辨率谱估计技术方面取得 了很大的进展，提出了许多功率谱估计的参数方法，也就是现代谱估计的基本 方法。其基本思想是在进行谱估计过程对所观测的有限数据以外的数据不作任 何确定性假设。在对这些数据如何产生具有一定先验知识的基础上，采取外推 或预测的方法，从观测的数据推求 m 大于等于 N 以后的数据。显然，在这种情 况下，首先必须寻求一个产生随机信号的模型。通过观测数据把模型的参数估 计出来，进而求得所需的功率谱。所以参数法是基于模型(信号参数模型)的功率 谱估计方法。 这种方法既不需要加窗、 又不对相关函数做 R xx (m) 0, m N 的假设， 从而避免功率泄漏，提高了分辨率。 本节所讨论的信号模型，认为所观测的数据 x (n)是由某输入序列 u (n)激励 线性离散物理可实现系统的相应输出，如图 2. 2 所示，按离散系统的系统函数 其通式可写成为
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技术都是以损失谱分辨率为代价的。谱分析应用中，谱分辨率和低旁瓣是同样 重要的指标，在作 DFT 时，人们常在有效数据后面补一些零，使得补零后的数 据 N 为 2 的整数次幂以便于快速傅立叶变换，而那些认为在傅立叶变换之前对 数据段补零可以改善周期图的谱分辨率是一种模糊的错误概念，因为补零后， 虽然谱线能够增密，但因为补零没有增加任何新的信息，因此不可能提高分辨 率。谱分辨率的极限只能由取样数据段的长度决定。 2.3 AR 模型
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为初始条件，计算 AR (2)模型参数;然后根据这些参数计算 AR (3)模型的参数，等 等，一直到计算出 AR (p)模型参数为止。这样，当整个迭代计算结束后，不仅求 得了所需要的 p 阶 AR 模型的参数，而且还得到了所有各低阶模型的参数。定义