正规矩阵
正规矩阵的算子二范数_概述及解释说明
正规矩阵的算子二范数概述及解释说明1. 引言1.1 概述在线性代数和矩阵理论中，正规矩阵是一类特殊的方阵，具有重要的性质和应用价值。
算子二范数是衡量线性变换操作对向量长度影响程度的指标。
本文将探讨正规矩阵的算子二范数及其计算方法，并解释二范数在正规矩阵中的作用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
引言部分进行整体概述，介绍文章内容和结构安排；第二部分将详细解释正规矩阵和算子范数的概念；第三部分将介绍计算算子二范数的三种方法：奇异值分解法、特征值分解法和迭代法估计法；第四部分将探讨算子二范数与正规矩阵性质之间的关系；最后，第五部分总结全文并展望未来可能涉及的问题和研究方向。
1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的概述，以便读者了解正规矩阵的算子二范数及其相应性质。
通过本文可以更好地理解算子二范数对正规矩阵的描述和刻画，并了解到如何计算算子二范数。
同时，本文还将探讨算子二范数与正规矩阵性质之间的关系，帮助读者深入理解这一主题及其应用。
以上是“1. 引言”部分的内容，用于概述文章主要内容、介绍文章结构以及明确文章目的。
接下来的章节将更详细地解释和讨论相关概念和方法。
2. 正规矩阵的算子二范数2.1 正规矩阵概念解释正规矩阵是指满足以下条件的方阵：若A 是正规矩阵，则A 的共轭转置(A*) 与自身的乘积等于自身与其共轭转置的乘积，即A*A* = AA*。
这意味着正规矩阵的特征向量可以相互正交。
2.2 算子范数概念解释算子范数是一种衡量线性变换（或算子）大小的方法。
在本文中，我们关注算子二范数，也称为谱范数。
对于一个n x n 的方阵A，它的算子二范数可以定义为：||A||₂= max { ||Ax||₂: ||x||₂= 1 }，其中||x||₂表示向量x 的二范数。
2.3 解释说明二范数在正规矩阵中的作用正规矩阵中的算子二范数有许多应用和重要性质。
首先，二范数可以用于衡量一个正规矩阵A 所导致的线性变换对向量长度的影响程度。
关于正规矩阵的注记
关于正规矩阵的注记
正规矩阵是一种数学概念，用于描述由元素和列组成的方阵。
它是一种普通矩阵，能够用矩阵乘法进行操作，由唯一标量乘积来表示。
正规矩阵是一种有序的方阵，其元素满足一系列的唯一的条件，且元素的排列符合特定的规则。
正规矩阵的属性主要体现在其与转置矩阵的乘法中。
如果一个矩阵是正规的，则其与自身转置矩阵相乘会得到一个单位矩阵。
正规矩阵会有明确的特征，通常是以全1的列向量和行向量进行组合，之后形成某种特定的相关性。
另外，正规矩阵也可以用于解决一些数学难题，例如三角形和克莱姆代数等。
此外，正规矩阵还可以用于推导出线性不可分的非线性模型，可以用来计算置信度阈值，增加正则化和抑制过拟合。
总之，正规矩阵主要是用来描述由元素和列组成的方阵，而且有许多应用，可以用于解决一些复杂的数学难题，从而有效地提高运算效率。
3正规矩阵
位 根. 4、 A为 实 反 对 称 矩 阵 或 斜 若 Hermite矩 阵 ， 则 的 A 特征值为零或纯虚数 .
1 1 1 1 H 6、A 1 1 ，A - 1 1， 2 0 . A A AA 0 2 ， A是正规矩阵
H H
7、若A为一个斜 rmite He 矩阵， ( )为一个多项式 g 则g( A)是正规矩阵 .
第四章
正规矩阵与矩阵分解
第二节 正规矩阵
定义 正规矩阵举例 正规矩阵的特征与性质
一、定义
定义 设矩阵 M n，若AH A AA H，则称 正规 1 A A 矩阵.
引理1 A M n是正规矩阵 酉等价于 的一切矩阵 A 都是正规矩阵 .
二、正规矩阵举例
1、酉矩阵是正规矩阵 . 2、 正交矩阵是正规矩阵 . 3、He rmite 矩阵是正规矩阵 . 4、斜He rmite 矩阵是正规矩阵 . 5、 实对称矩阵、反对称矩 阵是正规矩阵 .
下述命题等价： 1、 A是正规矩阵 ; 2ห้องสมุดไป่ตู้A是可酉对角化矩阵；
3、
i , j 1
a
n
2 ij
i ；
2 i 1
n
4、A有n个特征向量组成标准正 交基； 5、 存在一个多项式 )，使AH g( A). g(
定理2 设A M n是正规矩阵，且 y是A的不同 x和 特征值的特征向量，则 y. x
定 理2 若U 1、U 2均 为n阶 酉 矩 阵 ， 则 有 (1) U 1U 2是 酉 矩 阵 ； ( 2) U 11是 酉 矩 阵 .
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
3内积空间,正规矩阵与H-阵
t
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( ki i , ) ki ( i , )
i 1 i 1 t t t
(4) ( , ki i ) ki ( , i )
b
a
f ( x ) g ( x )d ( x)
b
2
a
f ( x) d ( x)
b
2
a
g ( x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 , 的夹角定义为
, : arccos
于是有
( , )
0 ,
定理：
2
,
2
( , ) 0
例 2 求下面齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 2 x2 3x3 4 x4 0 2 x1 3x2 4 x3 5x4 0
其解空间的一个标准正交基底。
i 1 i 1
t
定义：设 V 是 n 维酉空间，i 为其一组 基底，对于 V 中的任意两个向量
xii , y j j
那么 与 的内积
i 1 j 1
n
n
( , ) ( xii , yii )
i 1 j 1
n
n
i , j 1
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 3 在线性空间 C[a, b] 中，规定
n m
n m
( f , g ) : f ( x) g ( x)dx
正规矩阵的性质及判定资料
正规矩阵的性质及判定彭志平,何偲钰,邓泽,刘熠*（内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112）摘 要：根据正规矩阵在数系当中的应用,为了更好的学习和掌握正规矩阵的性质,于是利用伴随矩阵以及全转置矩阵与正规矩阵的关系得到了正规矩阵的一些性质与等价条件,其中由于伴随矩阵与正规矩阵的特殊联系又得到了高次混合伴随阵为正规矩阵的充分条件,为进一步了解正规矩阵奠定了基础.关键词：正规矩阵；伴随矩阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号:1671-1785(2011)10-0007-04 0 引言酉空间是欧氏空间在复数域上的自然类比. 在一般教材[1,2] 中均介绍了酉空间、酉矩阵和Hermite 矩阵的概念,以及它们的相关性质. 而对正规矩阵均没有提及．正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵[3],它在矩阵分析中占有重要的位置,并且它还推广了酉矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵．近年来, 许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价条件做了一系列的研究, 主要集中文献[4-7].在欧氏空间中, (R)n M ∈A ,A 是正规矩阵,如果T T AA =A A . 对于实正规矩阵的研究,包[6]给出了实正规矩阵的充要条件是11nnik jk ki kj k k a a a a ===∑∑. 而在酉空间中,为了讨论矩阵的酉等价,得到了复正规矩阵的概念,即：A 是复正规矩阵,如果T T A A =A A , 其中()n M C ∈A 且TA 为A 的共轭转置矩阵. 本文在上述文献的基础上,主要从伴随矩阵, 全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究复正规矩阵的性质以及等价条件. 1 基本概念与引理定义1.1[1] 设矩阵U 是复数域上的n 阶方阵,若T T U U =UU =E ,则称U 为酉矩阵．定义1.2[2] 设矩阵A,B 是复数域上的n 阶方阵,如果存在酉矩阵U ,使得T B =U AU ,那么就称A 酉相似于B ．定义1. 3[4] 设矩阵()n M C ∈A ,如果TTA A =A A ,则称A 是正规矩阵.定义1.4[8] 设m n⨯ij A =(a ),若::⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭mnm11n 11a a B =a a 则称B 为A 的全转置矩阵,记作οB =A . 引理1.1[8] 设A ,B 为n 阶矩阵,则：(1) ()οοοA +B =A +B ; (2) ()()οTT οA =A ; (3) ()οοοAB =A B ;(4) ()()-1οο-1A =A ; (5) ()()ο**οA =A ; (6) ()οοA =A .设m n ⨯ij A =(a )是数域F 上的n 阶方阵,ij A 和ij M 分别为n 阶方阵A 的代数余子式和余子式且记为()*ij A =A ,()*ij A =M .引理1.2[9,10] 设A 和C 为n 阶方阵,其中o o ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭1-11C =-1,则 （1）()**A =C A C ;（2）C 为对称正交矩阵,且**C =C =C C ;(3) ()()****A =A ,即:两种伴随矩阵的运算可交换次序;若A 可逆,则: ()()*n-2***A =A =C AAC ;(4)()()*n-2***A =A =AA ,即* ** *A =A .引理1.3[11] 设m n ⨯ij A =(a )为复数域上的n 阶方阵()2n ≥, 则()n-2*AA, n>2* A ,n=2A ={.2 正规矩阵的性质性质2.1 若()n M C ∈A 是复正规矩阵,则T A 是复正规矩阵. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TTA A =A A . 又因()TT T T A A=A A ,()TT TT AA=AA . 因此⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T AA =A A ⇒()TTT A A ()TT T=AA.所以T A 是复正规矩阵.性质2.2 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则k A 也是复正规矩阵,其中k C ∈. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TT=A . 而()()2k k k ⋅=⋅⋅=⋅TTTA A ,()2k k k ⋅=⋅TTA A A A .故()()k k k k ⋅=⋅TTA A A A . 从而k A 也是复正规矩阵.性质2.3 设()n M C ∈A 是复矩阵. 则A 为正规矩当且仅当k A E +为正规矩阵,k C ∈,E 为n 阶单位矩阵.证明 因为()()()()2k k k k k k k T T T TA E A E A E A E AA A A E ++=++=+++,()()()()2k k k k k k k T TT TA E A E AE A E A A A A E ++=++=+++.由于A 是复正规矩阵, 故TTA A =A A . 因此()()()()k k k k TTA E A E A E A ++=++E . 从而k A E +为正规矩阵.反之,若k A E +为正规矩阵,则必有()()()()k k k k T ΤA E A E A E A E ++=++, 即22k k k k k k TTTTA A A A E AA A A E +++=+++.因此T TA A =AA ,故A 为正规矩性质2.4 若A 为复数域上的n 阶方阵,A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵. 证明 若A 为正规矩阵,故TTA A =A A ,从而()()οοT T A A=A A . 由引理1(3) 知()()οοT T οοA A=AA .再由引理1.1 (2)有()()T TοοοοA A=A A , 因此οA 为正规矩阵.反之,上述过程可逆. 因此A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵.性质2.5 若A ,B 为复数域上的n 阶方阵且A ,B 均为酉矩阵,则AB ,()οAB 为正规矩阵. 证明 因A ,B 为酉矩阵, 故TTA A =A A =E ,TTB B =B B =E , 其中,E 为n 阶单位矩阵. 所以,()()∙∙∙∙∙TT TT T AB AB =B A AB =B A AB =E .同理有()()∙∙∙TT T AB AB =AB B A =E . 因此AB 为正规矩阵. 由性质2.4可知()οAB 为正规矩阵. 性质2.6 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则n A ()N n ∈是复正规矩阵.证明 若2n =时,因为A 为n 阶正规矩阵,故TT=A . 由于()()∙∙∙∙∙∙∙∙∙TT2T T T T T T T T222A =A A ==A =A =A ,故2A 是正规矩阵.对于2n >的情况可以类似地证明. 故由n A ()n N ∈是复正规矩阵. 3 正规矩阵的等价条件定理3.1 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. A 为正规矩阵当且仅当-1A 为正规矩阵.证明 (必要性) 因A 为正规矩阵,故TTA A =A A . 又因为A 可逆,因此()()-1-1T TA A=A A ,即：()()-1-1T T -1-1AA =A A. 由A 可逆知：()()*T -1T TA A=A, 而()()()T **T T-1T TA A A==A A , 故()()-1TT -1A = A . 从而()()TT-1-1-1-1A A=A A ,即-1A 为正规矩阵.(充分性) 若-1A 为正规矩阵,则()()TT-1-1-1-1A A=AA ,即()()-1-1T TA A=A A . 因为A 可逆,故TTA A =A A . 因此A 为正规矩阵.定理3.2 若A , B 均为n 阶复矩阵且A 与B 酉相似. 则A 为正规矩阵当且仅当B 为正规矩阵.证明 若A 是正规矩阵,因A 酉相似于B ,则存在酉矩阵Q , 使得：TQ AQ =B . 又因为TTQ Q =QQ =E ,故T-1Q AQ =Q AQ =B . 因此TTT B =Q A Q ,于是有TTTTTBB =Q AQQ A Q =QAA Q .同理有：T T T T T B B =Q A QQ AQ =QA AQ . 又A 为n 阶复正规矩阵, 故T T A A =A A , 于是T TBB =B B . 因此B 是复正规矩阵.若B 为正规矩阵,同理可证A 为正规矩阵.定理3.3 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当*A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为正规矩阵,则TTA A =A A . 由A 可逆知：*-1A =A A . 又()()()()∙∙∙∙∙∙∙TTTTT-1-1**-1-1-1-1A A =A A A A =A A A A=A A A A,而()()()∙∙∙∙∙TTTT-1**-1-1-1A A =A A A A =A A A . 由定理3.1知：()()TT-1-1-1-1A A =A A ,有()()∙∙TT****A A =A A ,故*A 为正规矩阵.充分性：因*A 是正规矩阵,故()()∙∙TT****A A =A A . 由于A 可逆,故*A 可逆. 故()()()∙∙∙T-1-1-1T**T *T *A A =A A A A =A A A A且()()()∙∙∙T-1-1-1T**T **TA =A A AA =A A A A .因此T T=A ,即A 为正规矩阵.推论3.1 若A 为复数域上的n 阶可逆矩阵. 则A 是正规的当且仅当⋅⋅⋅n **A 个 (2n ≥）也是正规的. 证明 就**A 进行证明,其他的可类似证明. 必要性： 由引理1.2（2）有()()∙∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A=AA AA =AAAA()()∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A =A A A A =AAA A .所以()()∙∙TT********A A =A A ,即：**A 是正规矩阵充分性: 由定理3.3可有**A 是正规矩阵等价于*A 为正规矩阵,即等价于A 为正规矩阵. 可类似证明***A ,… , ⋅⋅⋅****A 为正规矩阵.定理3.4 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当()**A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为可逆正规矩阵,所以TTA A =A A . 由引理1.2及1.3有()()()∙∙TTn-2n-2****A A =C AAC C AAC⎛⎫∙∙ ⎪⎝⎭n-2n-2T T T T n-2n-2=A CAC A=A A CA C .同理有()()∙∙∙n-2T*T Tn-2***A A =AACA A C .所以()**A 为正规矩阵.充分性：由()**A 为正规矩阵有()()()()∙∙TT********A A =A A , 即∙∙n-2n-2T TT Tn-2n-2AACA AC =AACA A C .因为A 为n 阶可逆矩阵,故0≠A 且0≠TA . 又C 可逆的,故有TTA A =A A ,即A 为正规矩阵.可类似证明()**A 为正规矩阵.推论3.2 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅()**A 为正规矩阵.推论3.3 设A 为复数域上n 阶可逆矩阵,则A 为正规矩阵,当且仅当 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭m n ****A 个个(,N)m n Î是正规矩阵.证明 我们只证明2,1m n ==时的情形,其它情况可类似证.必要性：()()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T(n-2)(n-1)TT T****(n-2)(n-1)n-2n-2********A A =A A A A =A A CA A C . 因为A 正规,可知*A 正规,从而()()T T****A A=A A . 故()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T************A A =A A ,所以()***A 为正规矩阵.充分性：因为：()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A CA A C ,()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A C A A C ,由于()***A 为正规矩阵,所以：()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭TT************A A =A A ,即()()()()(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)T TT T(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)********AA CA AC =AA C AA C .又因为A 为n 阶可逆且n-1*A =A ,故*A 可逆,从而有()()T T****A A =A A ,即*A 正规,再由定理3.3有,A 正规.可类似证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭n **m **A 个个为正规矩阵.定理3.5 设⎛⎫⎪⎝⎭12A 0A =0A 的矩阵.则1A , 2A 为n 阶正规矩阵当且仅当A 为正规矩阵. 证明必要性：⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT1111TT2222A0A 0A A 0AA ==0A 0A 0A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT 1111T T2222A 0A 0A A 0A A ==0A 0A 0A A . 又因为1A , 2A 为n 阶正规矩阵,可知：A 为正规矩阵. 充分性：A 为正规矩阵,所以TTA A =A A . 即⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T 1111TT2222A A 0A A 0=0A A 0A A , 故TT1111A A =A A ,TT2222A A =A A . 即是说：1A ,2A 为n 阶正规矩阵,故原命题成立.推论3.4设⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭123S A A 0 A = A 0 A ,其中i A 为方阵,()1,2,....,,i s s n =≤. 则A 为正规矩阵当且仅当i A ()1,2,....,i s =均为正规矩阵.参考文献[1] 张禾瑞,郝炳新．高等代数(第五版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2007.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2003. [3] 陆少华, 沈灏. 大学代数[M]. 上海：上海交通大学出版社,2001.[4] 高波．Hermite 正规矩阵性质的初探[J]．常州工学院学报,2006,19(03) : 54-55.[5] 杨震．正规矩阵的性质[J]．宜春学院学报,2004,2 6(04):18-18,35.[6] 包霞．关于实正规矩阵[J] 西北民族学院学报,1999,20(3)：30-31．[7] 卢辛全,王玉良,胡江海. 正规矩阵若干判定及性质,阜阳师范学院学报,2009,26(3):4-6.[8] 许永平.旋转矩阵的概念与一些结论[J]. 江苏广播电视大学学报,1997, 2:81-84.*的性质[J]. 工科数学,1997,13（1）：89-91.[9] 戴立辉,刘龙章,伴随矩阵A[10] 刘兵军.伴随矩阵的运算性质[J].保定师范专科学校学报,2002,15(2):6-8.[11] 林磊.方阵的伴随矩阵[J].高等数学研究,2004,7(6):21-24.Properties and Judgments of Normal MatricesPeng Zhi-ping, He Si-yu, Deng Ze, Liu Yi(College of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University, Sichuan Neijiang,641112) Abstract With the use of adjoint matrix and Full-transposed matrix, some properties and equivalent characterizations of normal matrices have been obtained. In addition, the sufficient condition of high-order mixed matrix to be a normal matrix are investigated.Keywords normal matrix; adjoin matrix; Full-transposed matrix; high-order mixed normal matrix.。
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵1
(α1 ,α 2 , , α n ) L
设：1α1 +k2α 2 +L +knα n＝0 k
(α j , k1α1 +k2α 2 +L +knα n )＝(α j , 0) ＝0
k j (α j , α j )＝0
k j＝0, 即k j＝0, j = 1, 2,L , n) (
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 那么线性无关向量组是否正交呢？
定义4.3： 子空间， 定义 ： 设 S , T 是C n 的（或 R n ）子空间，若对任意的 x ∈ S 和 y ∈ T 都有
( x, y ) = 0
是正交的， 则称 S 和 T 是正交的，记为 S ⊥ T
定理4.6： 两个正交子空间， 定理 ：设 S , T 是 C n 的（或 R n ）两个正交子空间，那么 （1）S I T = {0} ） （2）dim( S + T ) = dim( S ) + dim(T ) ）
α1 , α 2 ,L , α n
′ ′ α1′, α 2 ,L , α n
度量矩阵 度量矩阵
A B
′ ′ (α1′, α 2 ,L , α n ) = (α1 , α 2 ,L , α n ) P
B = PT AP or
BT = P H AT P
定义1.5: 定义
设V是酉（欧氏）空间，定义 ∀α ∈ V 长度为
(1), A−1 = AH
(2), det A = 1
(3), A ∈ U
T n×n
(1), A = A
−1
T
(2), det A = ±1
(4), if B ∈ U n×n , then AB, BA ∈U
北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解
类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵 推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定 是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为 对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则 在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该 基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵 现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n
即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3
矩阵论-正规矩阵及Schur分解
证明::由条件AH A=AAH ,由Schur引理, 酉阵U,使UH AU=K (上三角阵),即A=UKUH ,因此 AH A UKH UH UKUH UKH KUH AAH UKUH UKH UH UKKH UH 所以KH K=KKH ,因为K为上三角阵，经分析可得K为对角阵.
第二节 正规矩阵及Schur分解
定理1(Schur引理)设A Cnn ,则存在酉矩阵U,使得
U
H
AU=
1
*
,
0
n
即任一复方阵相似于一个上三角阵,其对角元
为A的特征值.
(实方阵Schur引理)设A Rnn ,且A的特征值均为实数
则存在正交矩阵Q,使得
QT
AQ=Q-1AQ=
1
*
,
0
n
-1 , 3
i, 3
1 )T 3
1 i -1
2
6
3
-1 0 0
令U=(1,2
,3
)=
0
1
2 6 i
i 3 1
,
则U是酉矩阵，且U
H
AU=
0 0
-1 0
0
2
2 6 3
故xH AH Ax=xH x= 2 xH x，因为AH A=I，所以 2 =1.
(因为xH x= x 2 0)
:由条件UHAU=diag{1, , n}共轭转秩得UHAHU=
diag{1,
, n}，所以UHAAT U=diag{ 1 2 ,
,
n
2
}=I
，
n
所以AAT =In .
注1：设A Cnn ,则
第三章内积空间、正规矩阵8-11节
下页 返回
( 2) A为H 矩阵 S H AS为H 矩阵， 其中S C nn
2、 有关结论 (1) A为H 矩阵 X H AX为实数 ( 2) A为H 矩阵 对任意n阶方阵S，S H AS为H 矩阵 证： “”设A为H 矩阵， 则A H A 故S H AS为H 矩阵 ( S H AS ) H S H A H S S H AS， “”设对任意n阶方阵S，S H AS为H 矩阵， 则( S H AS ) H S H AS，取S E得： ( E H AE ) H E H AE， 故A为H 矩阵 AH A， ( 3) A为H 矩阵 存在酉阵U， 使U H AU diag(1， 2， ， n ) 其中1， 2， ， n为实数 证： “”设A为H 矩阵， 则A为正规矩阵且 A的特征值为实数 又正规矩阵可以U相似于对角矩阵， 故存在酉阵U， 使
(3) A的特征值全大于零； (4)存在可逆矩阵P， 使得P H AP E；
(5)存在可逆矩阵Q， 使得A Q H Q； (6)存在正线上三角阵R， 使得A R H R且分解式唯一
证： (1) (2)， 由引理2得 (2) (3) 由A为H 矩阵得：存在酉阵U使得
U 1 AU U H AU diag(1， 2， ， n )
令X UY， 则f 3 y2 y2 2 y3 y3
上页
下页 返回
第三章 内积空间和正规矩阵
第九节 正定H 二次齐式、正定H 矩阵
上页
下页
返回
一、正定H 二次齐式或正定H 矩阵 1、 正(负)定二次齐式： 若对任意X 0， 有f X H AX ( )0， 而A称为正(负)定矩阵 则称f正(负)定二次齐式， 2、 半正(负)定二次齐式： 若对任意X 0， 有f X H AX ( )0， 而A称为半正(负)定矩阵 则称f半正(负)定二次齐式， 3、 两个引理 (1)设A是正线上三角阵且为酉阵， 则A为单位矩阵E a11 0 0 a11 a12 a1n a12 a 22 0 0 a22 a2 n H 则A 证： 设A (aii 0)， a a a 0 0 a nn 1n 2 n nn H H 且由AA A A E得 a11a11 a12 a12 a1n a1n a11a11 1 a a a a a a a a 1 2n 2n 12 12 22 22 22 22 annann a1n a1n a2 n a2 n ann ann 1 2 a ii 1， 故A E 又 a ， a 0 ( i j ) ， a a 0(i j )， ij ii 1
关于正规矩阵的判定_陈惠汝
2009年 9 月 Journal of Science of Teachers′College and University Sep. 2009文章编号：1007-9831（2009）05-0087-03关于正规矩阵的判定陈惠汝，刘红超（黄冈师范学院 数学与信息科学学院，湖北 黄冈 438000）摘要：对角矩阵、Hermite 矩阵、反Hermite 矩阵、酉矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵都是正规矩阵，所以正规矩阵作为一个更为广泛的矩阵类，有必要对它的判定条件进一步研究．由正规矩阵的定义、矩阵对角化、特征值与特征向量、矩阵实部和虚部、矩阵分解、谱分解等方面给出了正规矩阵的一些判定条件．关键词：正规矩阵；Schur 定理；对角化；特征向量；谱分解中图分类号：O151.21 文献标识码：A定义1[1]71 设n n ij a ×=)(A 为一复矩阵，即n M ∈A ，若**AA A A =，则称A 为复正规矩阵，其中T A A *=.类似地，若n n ij a ×=)(A 为一实矩阵，即)(R n M ∈A ，若=A A T T AA ，则称A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵，Hermite 矩阵（A A *=），反Hermite 矩阵（A A *−=），酉矩阵（1−=A A *）都是复正规矩阵；对称矩阵（A A =T ），反对称矩阵（A A −=T ），正交矩阵（1T −=A A ）都是实正规矩阵，所以正规矩阵是比以上几类矩阵范围更为广泛的矩阵类.定义2[1]78 21)(y y *是n C ∈y 的Euclid 长度. 本文分别从正规矩阵的定义、矩阵对角化及特征值特征向量、矩阵实部和虚部、矩阵分解及谱分解几个部分分析给出正规矩阵的充分必要条件.引理1 （Schur 定理）[1]57已知n M ∈A 有特征值n λλλ , , ,21L ，它们按任意规定的次序排列，那么存在一个酉矩阵n M ∈U ，使得()ij t ==T AU U *是具有对角元n i t i ii , ,2 ,1 ,L ==λ的上三角矩阵，即每个方阵A 酉等价于其对角元依次是A 的特征值的三角矩阵．此外，如果)(R n M ∈A ，且A 的所有特征值都是实数，那么，可选择U 为实正交矩阵.根据正规矩阵的定义，可以得出几个充分必要条件： 命题1 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当I A α+是正规矩阵，其中C ∈α是给定的，I 是单位矩阵. 命题2 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当对所有n C ∈y ，Ay 与y A *的Euclid 长度相同.证明 必要性．由Ay A y Ay Ay Ay ∗∗==*2)(，y AA y y A y A y A **==∗***2)(，又因为A 是正规矩阵，则**AA A A =，从而22y A Ay ∗=，y A Ay ∗=，即Ay 与y A *的Euclid 长度相同.充分性．因为Ay 与y A *的Euclid 长度相同，所以[][]21*21*)()(y A y A Ay Ay **=，即y AA y Ay A y ∗∗∗∗=，从而0)(=−∗∗∗y AA A A y ，由y 的任意性知0**=−AA A A ，则A 是正规矩阵. 证毕.命题3 已知矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当对所有n C ∈y x ,有)()()()(**y A x A Ay Ax **=.证明 必要性．假设矩阵n M ∈A 是正规矩阵，则**AA A A =，===∗∗∗∗Ay A x y AA x Ay Ax )()(*)()(*y A x A ∗∗．收稿日期：2009-01-14作者简介：陈惠汝（1978-），女，湖北英山人，讲师，硕士，从事基础数学教学与研究．E-mail：chenhuiru@充分性．y AA x Ay Ax ∗∗=)()(*，)()(*y A x A ∗∗y AA x ∗∗．由)()()()(**y A x A Ay Ax **=，则知Ay A x y AA x ∗∗∗∗=，0)(=−∗∗∗y AA A A x ，由y x ,的任意性知∗∗−AA A A ，则A 是正规矩阵. 证毕.命题4 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是0≥−∗∗A A AA .证明 必要性．若A 是正规矩阵，由定义知*AA A A *=，即0=−∗∗A A AA ，从而0≥−A A AA **． 充分性．若0≥−A A AA **，即A A AA ∗∗−半正定，由0)(tr =−∗∗A A AA ，从而0=−∗∗A A AA ，即A 是正规矩阵. 证毕.从正规矩阵的对角化，特征向量方面分析可给出如下充分必要条件：定理1[2]58 n 阶复方阵A 是正规矩阵的充分必要条件是A 与对角矩阵酉相似，即存在n 阶酉矩阵U ，使得=AU U *) , , ,(diag 21n λλλL ，其中n λλλ , , ,21L 是A 的n 个特征值．定理2[3]148设)(R n M ∈A ，A 为正规矩阵的充分必要条件是存在实正交矩阵n n ×∈R Q ，使得 AQ Q T ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=k A A 0000001L O O M M O O L )(R n M ∈， 其中n k ≤，每个j A 是实11×矩阵或形如⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=j j j j j αββαA 22×∈R ．推论1 设n λλλ , , ,21L 为n 阶复矩阵)(ij a =A 的特征值，则A 是复正规矩阵的充分必要条件是 2121,∑∑===n i i n j i ij a λ)(tr *AA =.推论2 n 阶复矩阵A 是正规矩阵的充分必要条件是*AA 的全部特征值为22221 , , ,n λλλL ，其中i λ为A 的特征值.推论1，2的证明必要性由定理2可得，充分性由引理1的Schur 定理可得．推论3 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当A 的每个特征向量也是*A 的一个特征向量．证明 必要性．由定理1，存在n 阶酉矩阵U ，使得=AU U *) , , ,(diag 21n λλλL ，其中n λλλ , , ,21L 是A 的n 个特征值．则) , , ,(diag 21n λλλL =∗U A U *．把U 按列分块) , , ,(21n U U U L =U ，从而有i i i U AU λ=，i i i U U A λ=∗（n i , ,2 ,1L =），即A 与*A 有相同的特征向量．充分性显然． 证毕. 推论4 矩阵n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是，A 有n 个相互正交的单位向量作为它的特征向量．证明 由定理1可知命题成立． 证毕. 推论5 矩阵n M ∈A 是给定的矩阵，则A 是正规矩阵，当且仅当存在次数至多为1−n 的多项式)(λf ，)(λg ，使得)(*ΑA f =，)(*A A g =．证明 必要性．因为A 是复正规矩阵，故由定理1知存在酉矩阵U ，使得*U U A ) , , ,(diag 21n λλλL =. 不妨设s λλλ , , ,21L 为所有彼此不同的根，当然s λλλ , , ,21L 也彼此不同，令)())(()()())(()()(1111111s i i i i i i s i i s i ig λλλλλλλλλλ−−−−−−−−=+−+−=∑L L L L ，易验证A U U A *==∗) , , ,(diag )(21n g λλλL .充分性显然成立． 证毕. 命题5[3]145 矩阵n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是，存在由A 的n 个特征向量组成的标准正交基． 命题6 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当它与一个具有互异特征值的正规矩阵可交换．从正规矩阵的实部和虚部分析可得：命题7 定义)(5.0)(*A A A +=H 为n M ∈A 的Hermite 部分，而)(5.0)(*A A A −=S 为A 的斜Hermite 部分，那么A 是正规矩阵当且仅当)(A H 与)(A S 可交换.证明 必要性．由定义[]22**)(25.0)(5.0)(5.0)()(∗∗∗−+−=−+=A A A AA A A A A A A A S H ，第5期 陈惠汝，等：关于正规矩阵的判定 89 =)()(A A H S []22**)(25.0)(5.0)(5.0∗∗∗−−+=+−A A A AA A A A A A ．若A 是正规矩阵，由定义知*AA A A *=，可知[])()()(25.0)()(22A A A A A A H S S H =−=∗. 充分性显然成立． 证毕. 命题8[4]148 矩阵)(C n M ∈A ，设21)(A A A *=，则A 是正规矩阵的充分必要条件是+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2*22A A A 2*i 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−A A 命题9[4]148 *2AA B =设，A A C *=2，则A 是正规矩阵的充分必要条件是C B ，与A 的实部2*A A +可交换.从正规矩阵的分解谱分解分析有：定理3[5]127 设n 阶复矩阵A 有r 个相异的特征值r λλλ , , ,21L ，则A 为正规矩阵的充分必要条件是存在r 个矩阵r E E E , , ,21L ，使得j r j j E A ∑==1λ，*2j j j E E E ==，0=k j E E （k j ≠），I E =∑=rj j 1；n j =)(rank E ，且满足上述性质的j E 是唯一的．命题10[4]148 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是对任意自然数k ，存在正规矩阵B ，使得k B A =. 命题11[4]148 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是，A 可分解为UH HU A ==，U 为酉矩阵，H 为半正定Hermite 矩阵. 命题12[4]148 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当酉等价于A 的每一个矩阵都是正规矩阵. 命题13[6]31 设n n ij a ×=)(A 是实正规矩阵的充分必要条件是∑∑===nk kj ki n k jk ik a a a a 11（n j i , ,2 ,1 ,L =）.参考文献：[1] Horn R A ．矩阵分析[M]．杨奇，译．北京：机械工业出版社，2005．[2] 罗家洪．矩阵分析引论[M]．广州：华南理工大学出版社，1993．[3] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版社，2000．[4] 李润英，刘文浩．论正规矩阵的充分必要条件[J]．烟台师范学院学报，2002，18（2）：148．[5] 王朝瑞，史荣昌．矩阵分析[M]．北京：北京理工大学出版社，1989．[6] 包霞．关于实正规矩阵[J]．西北民族学院学报，1999，20（3）：31．The determining conditions of normal matricesCHEN Hui-ru ，LIU Hong-chao（School of Mathematics and Information Science ，Huanggang Normal University ，Huanggang 438000，China ）Abstract ：Diagonal matrix ，hermite matrix ，skew-Hermitian matrix ，unitary matrix ，symmetric matrix ，skew-symmetric matrix ，orthogonal matrix are normal matrices ．Normal matrices so formal as a wider range of matrices ，it is necessary to determine the conditions for its further study ．The determining conditions of normal matrices was disussed in aspects of definition ，matrix diagonalization ，eigenvalue and eigenvector ，matrix realand and imaginary parts ，matrix decomposition and prover vector.Key words ：normal matrices ；Schur theorem ；diagonalization ；eigenvector ；proper vector。
第3节酉相似对角化
( Ax, Ax) = x H ( A H Ax) = 0 得 Ax = 0; 则由
反之， Ax = 0的解也是 A H Ax = 0的解；
因此, 线性方程组Ax = 0与A H Ax = 0同解。
故 rank ( A) = rank ( A A)
H
rank ( A) = rank ( A H A) = rank ( AA H ) 用A 替换A, 得
正规矩阵的性质： 正规矩阵的性质： 1、正规矩阵有n个线性无关的特征向量； 正规矩阵有n个线性无关的特征向量； 2、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的； 正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的； 3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。 与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。
判断A是否为正规矩阵，如果是， 例1 判断A是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化
λ1 * L L * λ2 O M U H AU = T = O O M O * λn
由于AA H = A H A, 所以TT H = T H T ,
再利用引理知T对角矩阵.
因此U H AU = T = diag (λ1 , λ2 ,L, λn )
∀A ∈ R n×n , ∃P ∈ R n×n , P −1 = PT ,
λ1 * L L * λ2 O M P −1 AP = O O M O * λn
其中λ1，λ2， λn为A的特征值. L
引理 证明
正规上三角矩阵是对角矩阵 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则 阶矩阵A是正规上三角矩阵，
1 1 p1 = − 2i 6 1
− 1 1 p2 = 0 2 1
1 1 p3 = i 3 1
第3节酉相似对角化
1、正规矩阵定义： 设 ACnn, 满足 AH A AAH
下列类型的矩阵都是正规矩阵：
实对称矩阵
AT=A;
反实对称矩阵 AT=-A;
正交矩阵
AT=A-1;
酉矩阵
AH=-1;
Hermite矩阵 AH=A;
反Hermite矩阵 AH=-A;
对角矩阵
2、酉相似
设A, B Cnn ,若存在可逆矩阵P,使P1AP B, 则称A与B是相似的。
0 ( Ax, Ax) (Ax)H (Ax) xH x xH x 0, 0
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
定理
设A
C mn r
,
则rank
(
AH
A)
rank
(
AAH
)
rank
(
A)
证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，AxCm
则由 (Ax, Ax) xH (AH Ax) 0 得 Ax 0;
aa2nnn ,
a11
AH
a12 a1n
a22 a2n
ann
AH A AAH ,
n
2n
i
i
2
aij aij aij a jia ji a ji ,
j i
ji
j 1
j 1
依次取i 1,2, , n得
a11 2 a12 2 a1n 2 a11 2 , a22 2 a2n 2 a12 2 a22 2 ann 2 a1n 2 a2n 2 ann 2
0 i 1
解 显然A满足 AH A 即A是Hermite矩阵，从而是正规阵
由 E A ( 1)( 1)( 2) 得A的特征值
矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节
四、长度及其性质
记为 . 1、定义： 非负实数 ( , )称为向量的长度， 2、 单位向量： 1 , 则称 为单位向量. 设 1 0 注 :当 0时， 为单位向量
上页
下页
返回
3、 性质： (1) 非负性： 0， 当且仅当 0 时 0;
( 2) 齐次性： ; ( 3) 三角不等式： .
满足以下条件:
i 1
i 1
(1) (， ) ( ， ) ； (2) (k， ) k (， )； (3) ( ， ) (， ) ( ， )； (4) (， ) 0， 当且仅当 0时等号成立. 则称V为C上的酉空间， (， )称为内积. 而
ii
4、 内积表示式： 设内积空间V中基 1， 2， ， n的度量矩阵为G 且， 在基下的坐标为 ， ， (， ) X T GY . X Y 则
证： (1， 2， ， n ) X， (1， 2， ， n )Y，
G (1， 2， ， n )T (1， 2， ， n ). (， ) T [(1， 2， ， n ) X ]T [(1， 2， ， n )Y ] X T [( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )]Y X T GY . 注： V为酉空间， (， ) Y H GX 若 则
上页
下页
返回
5、 不同基下度量矩阵的关 设 1， 2， ， n； 1， 2， ， n为内 系： 积空间V中的基且度量矩阵为 ， ， A B 过渡矩阵为C， B C T AC 则
证： A ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n ). B ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )，
矩阵论-谱分解
i 1
i 1
6)因为E j =U j UHj ，由上节引理知r(E j )=r(U j )=n j.
r
r
r
r
: AAH j E j ( j E jH ) i i Ei EiH i i Ei
j 1
j 1
i 1
i 1
r
且AH A i i Ei , i 1
所以AAH =AH A.
正规矩阵谱分解步骤：
第五节 谱分解
1.正规矩阵的谱分解
设A是正规矩阵，则U Unn , 满足：A=Udiag{1, ,n}UH ,
若令U=(1, ,n ),则
A=(1,
,n )diag{1,
,n
}
1H
H 2
111H
H n
n
n
H n
(1)
其中
i是矩阵A的特征值i所对应的单位特征向量，i
H是
i
n阶矩阵.(1)式称为A的谱分解.由于i可能是重根，所以上式
任取z V1 V2,有z Ex, Ez ,这里为原点对应的向量. 则 =Ez=E2x Ex z,所以V1 V2 ={}，
x Cn，有x=Ex+(I-E)x,其中Ex V1，(I-E)x V2， 所以Cn =V1 V2.
=(1,
0,
1),
2
=
(0,
1 5
,
2 5
),
3
=(0,
2 5
,
1 5
)
1
1 0 1
则E1
=11
=
0
(1,
0,
1)=
0
0
0
0
0 0 0
0
2 5
第四章正规矩阵与矩阵的分解
第一节 正规矩阵
由 Schur 三角化定理, 任何一个矩阵都可以酉三角化, 因此一个“好矩阵”当能够酉对角 化. 但是以往判断一个矩阵能否 (酉) 对角化需要借助于特征值与特征向量, 这是极其不方便 的, 因为我们知道寻找矩阵的特征值与特征向量常常是极为困难的工作. 本节的目的即是给出 一类可以酉对角化的“好矩阵”一个直接的判断, 即下述
第四章 正规矩阵与矩阵的分解
除特别说明, 本章讨论的矩阵都是复数矩阵.
引 言 矩阵如何快速计算?
在第一章中, 我们已经看到如果将一个小秩矩阵分解为两个满秩矩阵的乘积, 则可以
快速地计算该矩阵的高次幂. 实际上, 利用初等变换求可逆矩阵 A 的逆矩阵, 其本质就是
将矩阵 A 分解为若干较为简单的矩阵 (即初等矩阵) 的乘积. 解线性方程组的 Gauss 消元法
定理 4.1.1 矩阵 A 可以酉对角化 ⇐⇒ AA∗ = A∗A.
证 由 Schur 三角化定理, 存在酉矩阵 U 使得 U ∗AU = T 为上三角矩阵. 显然 AA∗ = A∗A ⇐⇒ T T ∗ = T ∗T . 因此不妨设 A 是上三角矩阵.
必要性是显然的, 因为如果 A 可以酉对角化, 则存在酉矩阵 U 使得 U ∗AU = D 为对角矩 阵, 因此
将正规矩阵 A 酉对角化的酉矩阵的每一列都是 A 的特征向量, 由酉矩阵的构造可得 (细 节见习题 4)
定理 4.1.2 设 A ∈ Cn×n, 则 A 为正规矩阵 ⇐⇒ A 有 n 个两两正交的单位特征向量.
推论 4.1.1 正规矩阵属于不同特征值的特征向量是相互正交的.
正规矩阵有许多良好的数字特性, 比如下面的
实际上在第三章习题 5 中, 我们已经看到了实正规矩阵在正交变换下的最简形式如下
什么叫标准型矩阵
什么叫标准型矩阵标准型矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域都有着广泛的应用。
标准型矩阵是指一个矩阵具有特定的形式和性质，这些性质使得它在矩阵运算和方程求解中具有重要的作用。
本文将从标准型矩阵的定义、性质和应用等方面进行详细介绍，希望能够帮助读者更好地理解和运用标准型矩阵。
首先，标准型矩阵是指一个矩阵具有特定的形式，通常是一个对角矩阵或者上三角矩阵。
对角矩阵是指除了主对角线上的元素之外，其他元素都是零的矩阵；而上三角矩阵是指主对角线以下的元素都是零的矩阵。
标准型矩阵的形式使得它在矩阵运算和方程求解中具有很多方便之处。
其次，标准型矩阵具有一些重要的性质。
首先，任何一个矩阵都可以通过矩阵相似变换化为标准型矩阵，这就是矩阵相似对角化定理。
其次，标准型矩阵的特征值就是它的对角线上的元素，这就大大简化了特征值和特征向量的求解。
再次，对于线性方程组，如果系数矩阵是标准型矩阵，那么可以很方便地求解方程组的解。
这些性质使得标准型矩阵在线性代数和矩阵论中具有重要的地位。
除此之外，标准型矩阵还有着广泛的应用。
在工程领域，标准型矩阵常常用于描述线性系统的动态特性，比如控制系统中的状态空间模型就可以表示为标准型矩阵的形式。
在数学领域，标准型矩阵常常用于求解线性方程组、求解特征值和特征向量等问题。
因此，对标准型矩阵的深入理解和熟练运用对于数学和工程领域的学习和工作都具有重要意义。
总之，标准型矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有特定的形式和性质，这些性质使得它在矩阵运算和方程求解中具有重要的作用。
通过对标准型矩阵的深入理解和熟练运用，我们可以更好地理解和应用线性代数的知识，也可以更好地解决工程和科学问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用标准型矩阵，也希望读者能够进一步深入学习和探讨这一重要的数学概念。
第3节酉相似对角化
（1） A是正定矩阵。 （2） A与单位矩阵合同。 （3） A的n个特征值全是正数。 （4） A=QHQ，Q是可逆矩阵。 （5） A的顺序主子式都大于0。
例
判断矩阵的正定性
0 i 1 A i 0 0 1 0 0
提示：矩阵A为Hermite矩阵，只需求出其特征值，若特 征值有三个，且全为正数，A是正定矩阵。
aij 0, j i, i 1,2,, n
定理 设A C nn，则A酉相似于一个对角矩阵的充 分必要条件是A为正规矩阵，即
AH A AAH U H AU diag(1, 2 ,, n ),U HU I
证明
必要性
设U H AU , diag (1 , 2 ,, n ),
1 * * 2 U H AU T * n
由于AAH A H A, 所以TT H T H T ,
再利用引理知T对角矩阵.
因此U H AU T diag (1 , 2 ,, n )
1 3 i 1
经过验证它们两两正交。
实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向 量相互正交。 因此，只需将它们单位化得：
1 1 p1 2i 6 1
1 1 p2 0 2 1
1 1 p3 i 3 1
0 ( Ax, Ax) ( Ax) ( Ax) x H的特征值也是非负实数。
定理 mn H H 设A Cr , 则rank( A A) rank( AA ) rank( A)
证明 设x是方程组AHAx=0的非0解， Ax C
推论： 设A是n阶正定的Hermite矩阵，则
第三章内积空间正规矩阵Hermite矩阵
第三章积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=HA βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H=),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jn ij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[]()()()()()()1121221211131323312312112212311122schmidt ==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,022=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：，，2333123=--0510105==().TTN A βγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最后考虑向量组 γ1, . . . , γt. 显然, (γ1, . . . , γt) = (α1, . . . , αt)D, 其中 D 是对
角矩阵,
其对角线元素依次为
1 |βi
|
,
.
.
.
,
1 |βt |
.
于是,
(γ1, . . . , γt) = (β1, . . . , βt)CD.
因为 CD 是上三角矩阵, 且对角线元素是正数, 所以 CD 可逆. 于是, (γ1, . . . , γt)
显然,α 与 β 正交当且仅当 βH α = 0 当且仅当 αH β = 0. 由定义 4.2, 非零向量的长度必大于 0; 零向量与任何向量均正交; 一个向量 总是正交组.
命题 4.1 不含零向量的正交组必为线性无关的向量组.
107
108
第五章 方阵的标准形
证明 设 α1, α2, · · · , αs 为不含零向量的正交组, 且
按命题 4.1, 规范正交组必为线性无关向量组. 反过来, 一个线性无关向量
组显然未必是正交组, 但我们可以按下述方法求出与之等价的规范正交向量组.
命题 4.3 (Schmidt 正交化) 设 α1, α2, . . . , αt 为一组线性无关向量, 令
β1 = α1,
β2
=
α2
−
(α2 ,β1 ) (β1 ,β1 )
3. 对于任意非零的 α 均有 (α, α) > 0.
定义 4.2 令 |α| = (α, α), 称为 α 的长度. 长度为 1 的向量称为 单位向 量. 如果 (α, β) = 0, 则称 α 与 β正交. 若一个向量集合中的任意两个不同的向 量均正交, 则称该向量集为正交组；由单位向量组成的正交组称为规范正交组
第五章 方阵的标准形
§5.1
§5.2
§5.3
§5.4 Schmidt 正交化
本节介绍把向量几何化的方法, 以便于进行形象思维及处理更广泛的问题. 在本节, 设所考虑的数域为复Байду номын сангаас域或实数域.
定义 4.1 设 α = (a1, a2, . . . , an)T , β = (b1, b2, · · · , bn)T 都是 n 元列向量, 规定
对 1) 中的分解取共轭转置再取逆可得 2), 取逆可得 3), 取共轭转置可得 4). 当 A 是实矩阵时, A = A.
习题
1. 用 Schmidt 正交化方法将向量组 (1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 1, 2) 规范正交化. 2. 设矩阵 A, B 的列向量组都是规范正交的, 如果 A, B 可乘, 则 AB 的列向量组也是规
α1 = β1,
α2
=
(α2 ,β1 ) (β1 ,β1 )
β1
+ β2,
·································
αt
=
(αt (β1
,β1 ,β1
) )
β1
+
(αt (β2
,β2 ) ,β2 )
β2
+···+
β (αt ,βt−1 )
(βt−1 ,βt−1 )
t−1
+ βt,
(βk+1,
βj )
=
(αt,
βj )
−
k i=1
(αk+1, βi (βi, βi)
)
(βi,
βj )
=
(αk+1,
βj )
−
(αk+1, βj (βj, βj)
)
(βj
,
βj )
= 0.
§ 5.4 Schmidt 正交化
109
其次证明向量组 β1, . . . , βt 与向量组 α1, . . . , αt 等价. 因为
是正交组, γ1, γ2, . . . , γt
是规范正交
组, 并且它们都与向量组 α1, α2, . . . , αt 等价.
证明 首先证明 β1, . . . , βt 是正交组. 对向量个数 t 用数学归纳法. 当 t = 1 时, 结论显然成立. 假设 t = k > 1 时结论也成立. 现在设 t = k + 1, 我们只需证 明 βk+1 和每个 βj 都正交, 1 ≤ j ≤ k. 实际上,
a1α1 + a2α2 + · · · + asαs = 0.
用 α1 做内积可得, a1(α1, α1) + a2(α2, α1) + · · · + as(αs, α1) = 0. 由正交性可得 a1(α1, α1) = 0. 由 α1 = 0 知 α1H α1 = 0, 故 a1 = 0. 类似地可证 a2 = a3 = · · · = an = 0.
根 λ1 一个特征向量.
令
ξ1
=
α |α|
,
则
ξ1
是单位向量,
并且仍为属于
λ1
的特
征向量. 取 η2, . . . , ηn 使得 (ξ1, η2, . . . , ηn) 为可逆矩阵. 对向量组 ξ1, η2, . . . , ηn
进行 Schmidt 正交化可得规范正交组 ξ1, ξ2, . . . , ξn. 每个 n 元列向量均可由
AT = A(ξ1, . . . , ξn) = (Aξ1, . . . , Aξn) = (ξ1, . . . , ξn)B = T B,
从而 T H AT = B. 将 B 分块,
B = λ1 ∗ . 0 A1
则 A1 为 n − 1 阶矩阵, 而且 |λI − B| = (λ − λ1)|λI − A1. 因此, λ2, . . . , λn 是 A1 的全部特征值. 由归纳假设有 n − 1 阶酉矩阵 T1 使 T1H A1T1 为上三角矩阵, 且对角线元素依次为 λ2, . . . , λn. 令
ξ1, . . . , ξn 线性表示, 特别地, 向量组 Aξ1, . . . , Aξn 也可由其线性表示. 有矩阵 B
§ 5.5 正规矩阵的标准形
111
使得 (Aξ1, . . . , Aξn) = (ξ1, . . . , ξn)B. 因为 Aξ1 = λ1ξ, 故 B 的第一列除第一行 为 λ1 之外, 其余元素均为 0. 令 T = (ξ1, . . . , ξn), 则 T 为酉矩阵, 而且
证明 我们只证明最后一个结论. 设 A = (aij) 是一个正线上三角酉矩阵, 则 AH = A−1, 而且 AH 是下三角矩阵, A−1 是上三角矩阵, 所以 A 必为对角矩阵, 而且 aii = a−ii1. 因为 aii > 0, 所以 aii = 1, 从而 A 必为单位矩阵.
定理 4.1 (QR 分解) 设 A 是一个可逆矩阵, 则
习题
1. 设 A 是方阵，互换 A 的第 i 行和第 j 行，再互换 A 的第 i 列和第 j 列，则所得矩阵
与 A 酉相似.
2. 设 Ai 酉相似于 Bi, i = 1, 2, 则
A1 0 0 A2
酉相似于
B1 0 0 B2
.
§5.5 正规矩阵的标准形
§5.3 讨论了方阵的 Jordan 标准形. 在本节中我们将研究可以酉相似于对角 矩阵的矩阵, 它们的标准形也同样有着深刻的背景和重要的应用.
范正交的. 3. 证明矩阵 A 的属于特征根 λ 的一组线性无关的特征向量经 Schmidt 正交化以后仍为
属于 λ 的特征向量.
定义 4.4 设 A, B 是两个 n 阶矩阵, 若有酉矩阵 U , 使 U H AU = B, 则称 A 与 B 酉相似.
酉相似是一个等价关系. 酉相似的矩阵一定是相似的.
1) A 可唯一地分解成一个酉矩阵和一个正线上三角矩阵之积;
2) A 可唯一地分解成一个酉矩阵和一个正线下三角矩阵之积;
3) A 可唯一地分解成一个正线上三角矩阵和一个酉矩阵之积;
110
第五章 方阵的标准形
4) A 可唯一地分解成一个正线下三角矩阵和一个酉矩阵之积.
进一步, 若 A 是可逆实矩阵, 则上面的分解中矩阵可取作实矩阵.
证明1) 设 A 是一个可逆矩阵, 则由命题 4.4, 有正线上三角矩阵 π 使得 Aπ 是酉矩阵. 令 Q = Aπ, R = π−1, 则 A = QR, 且 Q 是酉矩阵, R 是正 线上三角矩阵. 设 A = Q1R1 是 A 也是 A 的 QR 分解, 则 QR = Q1R1, 从而 Q−1Q1 = RR1−1, 这是一个正线上三角酉矩阵, 所以是单位矩阵. 于是, Q1 = Q, R1 = R, 故分解唯一. 进一步, 设 A 是实矩阵. 由 A = QR 可得 A = A = QR = QR, 这仍为 A 的 QR 分解. 由分解唯一性可知, Q = Q, R = R, 故 Q, R 都是实矩阵.
U =T 1 0 , 0 T1
则 U 为酉矩阵, 且有
U H AU = = =
10 0 T1
H
T H AT
10 0 T1
10
λ1 ∗
10
0 T1H
0 A1
0 T1
λ1
∗∗
,
0 T1H A1T1
这最后矩阵是上三角矩阵, 而且对角线元素依次为 λ1, . . . , λn. 通过取转置可得 出下三角情形的结论.
定理 4.2 (Schur 三角化定理) 设 A 是 n 阶矩阵, λ1, . . . , λn 是 A 的全部 特征值, 则 A 酉相似于一个上 (下) 三角矩阵, 其对角线元素依次为 λ1, . . . , λn.
证明 对矩阵阶数用数学归纳法. 对于一阶矩阵结论显然成立. 假设对于