矩阵的标准型
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P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j())-1=P(i,j(-))
相抵（等价）
定义5 设A(), B() P[] mn，若A()经有限次行、列初等 变换化为B(),称A()与B()相抵（等价） ，记为A()B()
定理2 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件 是存在m阶初等矩阵P1(), P2(),… Pl(),与n阶初等矩阵 Q1(), Q2(),… Qt(), ，使得
2 1 2
2 1
2
1 [31(1)] 0
0
2 1 2
2
1
[21(21)] 0
2
[31( )]
0
0
2 2
0
2
1 0 0
1 0 0
[12(1)] 0 2
[2,3] 0
2
0 2
0 2
1 0 0
1 0 0
[2(1)] 0
2
反过来，如果知道了A()的秩和初等因子，因为A()的秩
确定了不变因子的个数，则同一个一次因式的方幂做成的
初等因子中，方次最高的必在dr()的分解中，方次次高的 必在dr-1()的分解中，如此顺推，可知属于同一一次因式
的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定。
例如 如果A()的秩为4，且其初等因子为
例3 如果矩阵A()的不变因子为
d1()1,d2()(1), d3()(1)2(1)2 d4()2(1)3(1)3(2)
则A()的初等因子为
, , 2 , 1, ( 1)2 , ( 1)3 , ( 1)2 , ( 1)3 , ( 2)
, , 2, -1, (-1)2, (-1)3, (+1)2, (+1)3, -2
第三章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
（ -matrix and Jordan Canonical Form）
教学目的
➢ 理解矩阵的定义及不变因子 ➢ 掌握用初等变换的方法化矩阵为Smith标准形 ➢ 理解行列因子、初等因子及相关理论 ➢ 掌握求矩阵的Jordan标准形的方法 ➢ 了解Cayley -Hamilton定理
零常数。
矩阵的初等变换
定义4 初等变换 (1)对换两行（列）； (2)某行（列）乘上非零的常数k；
(3) 某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式
对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())
(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等 矩阵; (2)初等矩阵都是可逆的：
§2 矩阵及其在相抵下的标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退 而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出 了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标 准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1 或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上 以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也 大了。
例1 求矩阵
1
A( )
2
1
2 1 2
2 1
2
的Smith标准形
解题思路：
经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角 的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有 的元素。
解:
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
1
[(13(1)] 0
2
1
标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许 多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何 重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可 逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集 合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。 对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩 阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相 似！！！
c 2 c 3
( 1 ) 2
( 1)
( 2 ) r2 r3
( 2 ) 1
( 1)
r 3 r 2
3 22 3
0
( 2 ) 1
( 1)
( 2 ) c 3 c 2
( 1)2
1
1
( 1)
( 1 ) 2
ik
ຫໍສະໝຸດ Baidu
C1 k1 ki ik
C2 k2 ki
C1 k1 ki
ni 1 kni 1
C k i
ni2 kni2
C k i
Jik
Cnini
ik
C1 k1 ki
ik
➢可使用归纳法证明
设Jordan形矩阵
J d i a g ( J 1 ( 1 ) , J 2 ( 2 ) ,, J s ( s ) )
阵称为Jordan 形矩阵。
Jordan 块Ji的性质
ni 阶Jordan 块Ji的性质：
（1） Ji由有唯一的特征值i （2）特征值i的几何重数为1，代数重数为ni
对应于特征值 i 仅有一个线性无关的特征向量 （3） Ji 有唯一的初等因子 ( i )ni ；
Jordan 块Ji的性质
（4）
设矩阵A()的Smith标准形为
d1 ( )
dr ( )
0
0
其中di() (i=1,2…r)是首项系数是1的不变因子，
则A()的各阶行列式因子如下：
D1() d1()
D2() Dr ()
d1()d2() d1()d2()dr
()
于是Di()|Di+1()，(i=1,2,…r-1)
初等因子
设矩阵A()的不变因子为d1(),d2(),…dr() ，在复数域内
将它们分解成一次因式的乘积
dd12 (())((11))ee1211((22))ee1222 ((ss))ee12ss dr()(1)er1(2)er2 (s)ers
其中， 1 …s是互异的复数， eij是非负整数，满足
例2 求下列矩阵的行列式因子和不变因子
i
A()
1
i
1
1
i
mm
其中i是数域P中的常数。
解 由于A()的一个m-1阶子式
1
i 1
(1)m1
i 1
故Dm-1()=1,根据行列式因子的依次整除性，有 D1()=D2()=…=Dm-2()=1
而Dm()=(- i)m，因此A()的不变因子为 d1()=d2()=…=dm-1()=1,dm()=(- i)m
[32( )]
0
2
0 2
0 0 3
1 0 0
1 0 0
[32( )] 0
0
[3( 1)]
0
0
0
0
3
0
0
3
不变因子： d1()
d2 ( )
d3( )
例2
(1)
A()
(1)2
将其化成Smith标准形。
( 1)
解：
A(
)
( 1 ) 2
( 1)
➢ 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵
的对应运算有相同的运算定律。
➢ 数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质
相同。
➢ n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足 |A()B()|=|A() ||B()|
矩阵的秩
定义2 设A() P[] mn，如果A()中有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为
rank(A())=r
➢ 数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是
满秩的。
矩阵的逆
定义3 设A() P[] mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得 A()B() =B() A()=I
则称A()可逆， B()为A()的逆矩阵记作A()-1。 定理1 设A() P[] mn，A()可逆的充要条件是|A() |是非
解 由于((+1)2,)=1,所以D1()=1
( 1) 0
0
2 ( 1) 1( ),
0 0 ( 1)2 ( 1)2 2( )
( 1) 0
0
( 1)2 ( 1)3 3 ( )
故D2( ) ( 1) 最后 D3() = det (A()) = 2(+1)3
行列式因子和不变因子的关系
d2()= ,d1()=1
因此A()的Smith标准形为
1 0 0
0
A(
)
0 0 0
0 0
0
( 1)
0
0
(
0
1)(
1)
§4 矩阵相似的条件
定理1 数字方阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征
矩阵E-A与E-B相抵。 定义1 n阶数字方阵A的特征矩阵E-A的行列式因子，不
变因子和初等因子分别称为矩阵A的行列式因子，不变因 子和初等因子。
.
§4 矩阵相似的条件
定理2 n阶数字方阵A与B相似的充分必要条件是他们满 足如下条件之一： （1）它们有相同的行列式因子， （2）它们有相同的不变因子, （3）它们有相同的初等因子。
.
§5 矩阵的Jordan标准型
定义1 称方阵
i 1
Ji(i)
i
, i 1,2, ,s 1
i nini
为 n i 阶Jordan 块。由若干个Jordan 块组成的块对角矩
预备知识：
➢若存在多项式h()，使得f() =d() h()， 称d()整除 f()，用d()| f()表示； ➢设f() 与g() 为数域P上的两个一元多项式，若存在 d()满足d()| f()，d()| g()，称d()为f()与g()的公因
式；
➢若f()与g()的任一公因式都是d() 的因式；称d()为 f()与g()的最大公因式，并用（f()，g()）表示f()与 g()的首项系数为1的最大公因式.
di+1()=Di+1 ()/Di(), (i=1,2,…r-1)
定理2 矩阵A()的Smith标准型唯一。
定理3 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件是
它们有相同的行列式因子，或它们有相同的不变因子。
一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂，但对一些特 殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。
定理7 设矩阵
A()B()
C()
为块对角形矩阵，则B()与C()的初等因子的全体是A()的全
部初等因子。 ➢该定理可以推广到n个分块的情形
例4 求
2 0 0
0
A( )
0 0
0
0
0 ( 1)2 1
0 0 2 2
的Smith标准型
解记 那么
A1() 2 , A2()
A3
(
)
A()=Pl()… P1()B() Q1()Q2()… Qt()
3. 矩阵在相抵下的标准型
定理 对任意一个秩为r的mn 阶-阵A()，都相抵于一个标
准型
d1()
d2()
0
A()
0
dr ()
0
di()为首项系数为1的多项式，且di() |di+1() 定义6 该标准型称为A()在相抵下的标准型或Smith标准型； 称smith标准型“主对角线”上非零元d1(),d2(),dr() 为A()的 不变因子
, , 2, -1, (-1)2, (-1)3, (-i)2, (+i)3 则A()的不变因子依次为
d4()=2 (-1)3 (-i)3 (+i)3 d3()= (-1)2,d2()= (-1),d1()=1
定理6 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件是
它们有相同的秩和相同的初等因子。
§3 矩阵的行列式因子和初等因子
定义1 设A() P[] mn，且rank(A())=r，对于正
整数k (1≤k ≤ r),A()中的全部k阶子式的最大公因
式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().
定理1 相抵的矩阵有相同的秩和相同的各阶行列
式因子
例1 求矩阵
(1)
A()
(1)2
的各阶行列式因子。
1. 矩阵的基本概念
定义1 元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。 即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij()是数域P 上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数， 数域P上全体mn的-矩阵记为P[] mn.
注：数字矩阵是-矩阵的特例。 数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。
0 e11 e21 er1
0 0
e1 2 e1s
e2 2 e2s
er2 er s
定义2 在不变因子的分解式中，所有指数大于0的因子
( j)eij,eij0 ,i1 ,.r,.j.1 ,2 ,.s..
称为矩阵A()的初等因子。
注：在A()的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确 定
其中，Ji= Ji(i)是ni阶Jordan块，则
（1）J的初等因子为 (1 )n 1,(2 )n 2,.. .s ()n s,
( 1)2
2
1 2
A1()
A()
A2()
A3()
因为 A1()的初等因子为 , +1; A2()的初等因子为 , A3()的初等因子为, -1, +1；
由上面的定理可知A()的初等因子为 , , , -1, +1,+1
所以A()的不变因子为
d4()=(-1)(+1),d3()= (+1)
相抵（等价）
定义5 设A(), B() P[] mn，若A()经有限次行、列初等 变换化为B(),称A()与B()相抵（等价） ，记为A()B()
定理2 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件 是存在m阶初等矩阵P1(), P2(),… Pl(),与n阶初等矩阵 Q1(), Q2(),… Qt(), ，使得
2 1 2
2 1
2
1 [31(1)] 0
0
2 1 2
2
1
[21(21)] 0
2
[31( )]
0
0
2 2
0
2
1 0 0
1 0 0
[12(1)] 0 2
[2,3] 0
2
0 2
0 2
1 0 0
1 0 0
[2(1)] 0
2
反过来，如果知道了A()的秩和初等因子，因为A()的秩
确定了不变因子的个数，则同一个一次因式的方幂做成的
初等因子中，方次最高的必在dr()的分解中，方次次高的 必在dr-1()的分解中，如此顺推，可知属于同一一次因式
的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定。
例如 如果A()的秩为4，且其初等因子为
例3 如果矩阵A()的不变因子为
d1()1,d2()(1), d3()(1)2(1)2 d4()2(1)3(1)3(2)
则A()的初等因子为
, , 2 , 1, ( 1)2 , ( 1)3 , ( 1)2 , ( 1)3 , ( 2)
, , 2, -1, (-1)2, (-1)3, (+1)2, (+1)3, -2
第三章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
（ -matrix and Jordan Canonical Form）
教学目的
➢ 理解矩阵的定义及不变因子 ➢ 掌握用初等变换的方法化矩阵为Smith标准形 ➢ 理解行列因子、初等因子及相关理论 ➢ 掌握求矩阵的Jordan标准形的方法 ➢ 了解Cayley -Hamilton定理
零常数。
矩阵的初等变换
定义4 初等变换 (1)对换两行（列）； (2)某行（列）乘上非零的常数k；
(3) 某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式
对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())
(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等 矩阵; (2)初等矩阵都是可逆的：
§2 矩阵及其在相抵下的标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退 而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出 了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标 准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1 或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上 以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也 大了。
例1 求矩阵
1
A( )
2
1
2 1 2
2 1
2
的Smith标准形
解题思路：
经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角 的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有 的元素。
解:
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
1
[(13(1)] 0
2
1
标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许 多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何 重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可 逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集 合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。 对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩 阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相 似！！！
c 2 c 3
( 1 ) 2
( 1)
( 2 ) r2 r3
( 2 ) 1
( 1)
r 3 r 2
3 22 3
0
( 2 ) 1
( 1)
( 2 ) c 3 c 2
( 1)2
1
1
( 1)
( 1 ) 2
ik
ຫໍສະໝຸດ Baidu
C1 k1 ki ik
C2 k2 ki
C1 k1 ki
ni 1 kni 1
C k i
ni2 kni2
C k i
Jik
Cnini
ik
C1 k1 ki
ik
➢可使用归纳法证明
设Jordan形矩阵
J d i a g ( J 1 ( 1 ) , J 2 ( 2 ) ,, J s ( s ) )
阵称为Jordan 形矩阵。
Jordan 块Ji的性质
ni 阶Jordan 块Ji的性质：
（1） Ji由有唯一的特征值i （2）特征值i的几何重数为1，代数重数为ni
对应于特征值 i 仅有一个线性无关的特征向量 （3） Ji 有唯一的初等因子 ( i )ni ；
Jordan 块Ji的性质
（4）
设矩阵A()的Smith标准形为
d1 ( )
dr ( )
0
0
其中di() (i=1,2…r)是首项系数是1的不变因子，
则A()的各阶行列式因子如下：
D1() d1()
D2() Dr ()
d1()d2() d1()d2()dr
()
于是Di()|Di+1()，(i=1,2,…r-1)
初等因子
设矩阵A()的不变因子为d1(),d2(),…dr() ，在复数域内
将它们分解成一次因式的乘积
dd12 (())((11))ee1211((22))ee1222 ((ss))ee12ss dr()(1)er1(2)er2 (s)ers
其中， 1 …s是互异的复数， eij是非负整数，满足
例2 求下列矩阵的行列式因子和不变因子
i
A()
1
i
1
1
i
mm
其中i是数域P中的常数。
解 由于A()的一个m-1阶子式
1
i 1
(1)m1
i 1
故Dm-1()=1,根据行列式因子的依次整除性，有 D1()=D2()=…=Dm-2()=1
而Dm()=(- i)m，因此A()的不变因子为 d1()=d2()=…=dm-1()=1,dm()=(- i)m
[32( )]
0
2
0 2
0 0 3
1 0 0
1 0 0
[32( )] 0
0
[3( 1)]
0
0
0
0
3
0
0
3
不变因子： d1()
d2 ( )
d3( )
例2
(1)
A()
(1)2
将其化成Smith标准形。
( 1)
解：
A(
)
( 1 ) 2
( 1)
➢ 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵
的对应运算有相同的运算定律。
➢ 数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质
相同。
➢ n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足 |A()B()|=|A() ||B()|
矩阵的秩
定义2 设A() P[] mn，如果A()中有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为
rank(A())=r
➢ 数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是
满秩的。
矩阵的逆
定义3 设A() P[] mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得 A()B() =B() A()=I
则称A()可逆， B()为A()的逆矩阵记作A()-1。 定理1 设A() P[] mn，A()可逆的充要条件是|A() |是非
解 由于((+1)2,)=1,所以D1()=1
( 1) 0
0
2 ( 1) 1( ),
0 0 ( 1)2 ( 1)2 2( )
( 1) 0
0
( 1)2 ( 1)3 3 ( )
故D2( ) ( 1) 最后 D3() = det (A()) = 2(+1)3
行列式因子和不变因子的关系
d2()= ,d1()=1
因此A()的Smith标准形为
1 0 0
0
A(
)
0 0 0
0 0
0
( 1)
0
0
(
0
1)(
1)
§4 矩阵相似的条件
定理1 数字方阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征
矩阵E-A与E-B相抵。 定义1 n阶数字方阵A的特征矩阵E-A的行列式因子，不
变因子和初等因子分别称为矩阵A的行列式因子，不变因 子和初等因子。
.
§4 矩阵相似的条件
定理2 n阶数字方阵A与B相似的充分必要条件是他们满 足如下条件之一： （1）它们有相同的行列式因子， （2）它们有相同的不变因子, （3）它们有相同的初等因子。
.
§5 矩阵的Jordan标准型
定义1 称方阵
i 1
Ji(i)
i
, i 1,2, ,s 1
i nini
为 n i 阶Jordan 块。由若干个Jordan 块组成的块对角矩
预备知识：
➢若存在多项式h()，使得f() =d() h()， 称d()整除 f()，用d()| f()表示； ➢设f() 与g() 为数域P上的两个一元多项式，若存在 d()满足d()| f()，d()| g()，称d()为f()与g()的公因
式；
➢若f()与g()的任一公因式都是d() 的因式；称d()为 f()与g()的最大公因式，并用（f()，g()）表示f()与 g()的首项系数为1的最大公因式.
di+1()=Di+1 ()/Di(), (i=1,2,…r-1)
定理2 矩阵A()的Smith标准型唯一。
定理3 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件是
它们有相同的行列式因子，或它们有相同的不变因子。
一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂，但对一些特 殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。
定理7 设矩阵
A()B()
C()
为块对角形矩阵，则B()与C()的初等因子的全体是A()的全
部初等因子。 ➢该定理可以推广到n个分块的情形
例4 求
2 0 0
0
A( )
0 0
0
0
0 ( 1)2 1
0 0 2 2
的Smith标准型
解记 那么
A1() 2 , A2()
A3
(
)
A()=Pl()… P1()B() Q1()Q2()… Qt()
3. 矩阵在相抵下的标准型
定理 对任意一个秩为r的mn 阶-阵A()，都相抵于一个标
准型
d1()
d2()
0
A()
0
dr ()
0
di()为首项系数为1的多项式，且di() |di+1() 定义6 该标准型称为A()在相抵下的标准型或Smith标准型； 称smith标准型“主对角线”上非零元d1(),d2(),dr() 为A()的 不变因子
, , 2, -1, (-1)2, (-1)3, (-i)2, (+i)3 则A()的不变因子依次为
d4()=2 (-1)3 (-i)3 (+i)3 d3()= (-1)2,d2()= (-1),d1()=1
定理6 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件是
它们有相同的秩和相同的初等因子。
§3 矩阵的行列式因子和初等因子
定义1 设A() P[] mn，且rank(A())=r，对于正
整数k (1≤k ≤ r),A()中的全部k阶子式的最大公因
式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().
定理1 相抵的矩阵有相同的秩和相同的各阶行列
式因子
例1 求矩阵
(1)
A()
(1)2
的各阶行列式因子。
1. 矩阵的基本概念
定义1 元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。 即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij()是数域P 上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数， 数域P上全体mn的-矩阵记为P[] mn.
注：数字矩阵是-矩阵的特例。 数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。
0 e11 e21 er1
0 0
e1 2 e1s
e2 2 e2s
er2 er s
定义2 在不变因子的分解式中，所有指数大于0的因子
( j)eij,eij0 ,i1 ,.r,.j.1 ,2 ,.s..
称为矩阵A()的初等因子。
注：在A()的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确 定
其中，Ji= Ji(i)是ni阶Jordan块，则
（1）J的初等因子为 (1 )n 1,(2 )n 2,.. .s ()n s,
( 1)2
2
1 2
A1()
A()
A2()
A3()
因为 A1()的初等因子为 , +1; A2()的初等因子为 , A3()的初等因子为, -1, +1；
由上面的定理可知A()的初等因子为 , , , -1, +1,+1
所以A()的不变因子为
d4()=(-1)(+1),d3()= (+1)