矩阵的标准型及分解

一、 Jordan标准型的概念
定理 1 设 T 是复数域 C 上的线性空间 V 上的 线性变换 。令 T 在V 的一组基下的矩阵表示
为 A ，如果 A 的特征多项式可分解因式为
() ( 1)m1 L ( s )ms
(m1 m2 L ms n)
则 V 可分解成不变子空间的直和
V N1 排N2 L ? Ns
显然，最简单的 A 就是 A 的Jordan标准型。此时
虽然没有实现状态变量间的完全解耦，但也达到了可
能达到的最简耦合形式。因此线性变换就是状态空间
的基底变换，其目的在于寻找描述同一系统的运动行
为的尽可能简单的状态空间描述。
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0
x&
Ax
Bu
0
0
1
x
0
u
（3）计算 t d t dt1, t 1, 2,L , k 。
按此计算出的 t 就是 t 阶Jordan块 Jt ( i ) 的个
数。不计顺序，就唯一确定了相应的Jordan标准型。
至于相应的子矩阵 p i 的构造，我们通过一个例子来
说明。假定
n 10, i 8, k 4, r1 7, r2 4, r3 3, r4 2
2) j
,L
,
p( ni ij
j
)}
这个名称也可以这样理解：
p(ni j ) ij
AiI
pi(
ni j
j
1)
AiI L
AiI pi(1j)
AiI
其中， pi(1j ) ( j 1, 2,L , ki ) 是矩阵 A 关于特征
值 i 的一个特征向量，
的广义特征向量,称
p( ni ij
j
)
pi(
2 j
2 (1, 2, 1)T
对重根有几个特 征向量，就有几 个约旦块
因此 A2 (1) 中只有一个Jordan块，即
1 1
A2
(1)
0
1
求解
(A
I )
，可得所需的广义特征向量
2
(0,1, 1)T
综合上述，可得
0 1 0
2 0 0
P
0
2
1
,
JA
0
1
1
1 1 1
0 0 1
例 4 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组
2 (1, 0, 0, 1)T ,3 (0,1, 0, 1)T
因此A2 (1)中有两个Jordan块，即
1 1 1
A2
(1)
1
或
1
1
1
1
求解
( A+I )
，无解！！
2
求解
( A+I )
，可得所需的广义特征向量
3
(1，0,1, 0)T
综合上述，可得
1 1 0 1
0
P
3
1
0 0
3.2、矩阵的Jordan标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我 们“退而求其次”，寻找“几乎对角的” 矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标 准型问题，其中Jordan标准型是最接近 对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。 弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算 上以及应用上的许多问题就容易处理了， 当然花费也大了。
最后，由可逆线性变换 x P y 得原方程组的解
x1 x2
c2et c3t et 2c2et c3 (2t
1)e t
x3
c例 5 现代控制理论中，线性定常系统(Linear time
invariant , LTI )的状态空间描述为
x& Ax Bu
1 0
0
,
1
JA
1
1 1
2
1
1
0
1
要特别当心的是，如果选取三重特征值 `2 `3 `4 1
的特征向量为
2 (1, 0, 0, 1)T ,3 (1, 1, 0, 0)T
求解
( A+I )
，无解！！
2
求解
( A+I )
，也无解！！！
3
这说明，在选取特征值 i 的 k i 个特征向量
其中 p i j ( j 1, 2,L , ki ) 是 n ni j 阶矩阵。
由 A pi pi Ai (i ) ，可知
A pi j pi j J j ( i ) ( j 1, 2,L , ki )
最后，根据 J j ( i ) 的结构，设
pi j
( pi(1j )
,
pi(
2) j
为
) ,L ,
i 的
p( ni j ) 则称为 ij
ni j 级根向量。
i
当所有的 ni j 1 时，可知 k i ni ，此时矩阵没
有广义特征向量， p i 的各列是 i 的线性无关的特
征向量，因此Jordan块 J j (i ) ( j 1,L , ki;
i 1,L , t ) 都是一阶的，此时Jordan标准型为
i 1
Ji
(i
)
i O
O
为 mi 阶Jordan 块。
,
1
i mi mi
i 1, 2,L , s
定理 2 设 A C nn 。如果 A 的特征多项式可
分解因式为 ( ) ( 1 )m1 L ( s )ms
(m1 m2 L ms n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J
P ( p1, p2,L , pt )
其中 p i 是 n ni 阶的矩阵。 由 AP P J A ，可知
列分块为
A pi pi Ai (i ) (i 1, 2,L , t)
进一步，根据 Ai ( i ) 的结构，将 p i 列分块为 p i ( p i1 , p i2 ,L , p i ki )
,L
,
p ) ( ni j ) ij
由 Ap i j pi j J j ( i ) ，可知
( A i I ) pi(1j )
(
A
i
I
)
pi(
2 j
)
pi(1j )
L
(
A
i
I
)
p( ni ij
j
)
p( ni j 1) ij
解这个方程组，可得到Jordan链
{ pi(1j )
,
pi(
1 (1, 2, 4)T
对于二重特征值 `2,3 1 ，由 ( A I )x
只解得唯一的特征向量为
2 (1, 1,1)T
因此 A2 (1) 中只有一个Jordan块，即
1 1
A2 ( 1)
0
1
求解
(A
I )
，可得所需的广义特征向量
2
(1, 0, 1)T
综合上述，可得
1 1 1
2 3 0 1
这里矩阵 A 是特征多项式 | I A |的友矩阵。
解： | I A | 3 3 2 ( 2)( 1)2 0
A 的特征值为 `1 2, `2 `3 1 ，故设
JA
A1 ( 2)
A2
(
1)
因为特征值 `1 2 为单根，所以 A1(2) 2
并从 ( A 2I )x 解得对应的特征向量为
(不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵) P C nn 使
P 1 AP J
A PJP 或者 A 有Jordan分解
1
二、 Jordan标准型的一种简易求法
把 A 的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起，
就得到Jordan标准型
J A diag( A1(1 ), A2 ( 2 ),L , At ( t ))
这里 Ni Ker((T i E)mi )
适当选取每个子空间 Ni 的基（称为Jordan基）， 则每个子空间的Jordan基合并起来即为 V 的Jordan
基，并且 V 在该Jordan基下的矩阵为块对角阵
J diag(J1(1 ), J2(2 ),L , Js ( s ))
称 J 为 A 的Jordan标准型。并称方阵
(n1 n2 L nt n)
其中 Ai ( i ) 是 ni 阶的Jordan子矩阵，有 k i 个
阶数为 ni j (ni 1 ni2 L ni k i ni )的
Jordan块，即
Ai ( i ) diag(J1( i ), J2 ( i ),L , Jki ( i ))
根据 J A 的结构，将Jordan变换矩阵 P
则 1 0,2 2, 3 0, 4 1.
取 p i1 满足
( A i I )k x , ( A i I )k1 x
J
diag (141 ,L2
,
43
1
,
1
42 ,L2
,
43
2
,L
, 14t ,L2
,
43
t
)
n1
n2
nt
即矩阵 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。
例 3 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的 Jordan变换矩阵 P ，其中
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
2 0 0
P
2
1
0
,
JA
0
1
1
4 1 1
0 0 1
1 2 1
P 1
1 9
2 6
5 3
2
3
因此经过可逆线性变换 x& P x 后，系统矩阵 A 和 控制矩阵 B 分别为