第四章 矩阵的标准型

→ p
(1) ij
(ni j −1) ij
→ → L p θ →
(1) ij
A−λi I
A−λi I
其中， 其中， p
( j = 1, 2, L , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , L , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 的广义特征向量 称 p i j 为 λ i 的 ni j 级根向量。
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当所有的
n i j = 1 时，可知 k i = n i ，此时矩阵没
有广义特征向量， 有广义特征向量，
pi
的各列是
征向量，因此Jordan块 征向量，因此Jordan块
J j (λi ) ( j = 1,L, ki ;
λ i 的线性无关的特
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由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
可对角化矩阵。 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。 特殊的可对角化矩阵。
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例 3
标准型 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的 Jordan变换矩阵 P ，其中 变换矩阵 求矩阵
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
J A ≡ diag ( A1 ( λ 1 ), A2 ( λ 2 ),L , At ( λ t )) ( n1 + n 2 + L + n t = n) ni
阶的Jordan子矩阵，有 阶的 子矩阵， 子矩阵
其中 Ai ( λ i ) 是 阶数为
ni j
( n i 1 + n i 2 + L + n i k i = n i )的
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例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
d x1 d t = − x1 + x2 d x2 = −4 x1 + 3 x2 dt d x3 = x1 + 2 x3 dt
J ≡ diag ( J1 (λ 1 ), J 2 (λ 2 ),L, J s (λ s ))
Jordan标准型 标准型。 称 J 为 A 的Jordan标准型。并称方阵
λi J i (λi ) ≡ 1
λi
O O
, 1 λ i m ×m i i
i = 1, 2 ,L , s
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§1、矩阵的 、矩阵的Jordan标准型 标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似， 由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我 退而求其次” 寻找“几乎对角的” 们“退而求其次”，寻找“几乎对角的” 矩阵。 矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标 准型问题，其中Jordan标准型是最接近 准型问题，其中 标准型是最接近 标准型是 对角的矩阵，只在第1条对角线上取 条对角线上取1或 。 对角的矩阵，只在第 条对角线上取 或0。 弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、 弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算 上以及应用上的许多问题就容易处理了， 上以及应用上的许多问题就容易处理了， 当然花费也大了。 当然花费也大了。
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解：
方程组的矩阵形式为
dx = Ax dt
dx dx1 dx2 dx3 T 这里 x = ( x1 , x2 , x3 ) , , , ) , =( dt dt dt dt
T
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
p i 列分块为 p i = ( p i 1 , p i 2 , L , p i ki )
，可知
其中 由
阶矩阵。 p i j ( j = 1, 2, L , k i ) 是 n × ni j 阶矩阵。
A p i = p i Ai ( λ i )
A pi j = pi jJ j ( λ i )
( j = 1, 2, L , k i )
i = 1,L , t ) 都是一阶的，此时Jordan标准型为 都是一阶的，此时Jordan标准型 标准型为
J = diag (λ 1 ,L , λ 1 , λ 2 ,L , λ 2 ,L , λ t ,L , λ t ) 1 24 1 24 4 3 4 3 1 24 4 3
n1 n2 nt
Leabharlann Baidu即矩阵
为 mi 阶Jordan 块。
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定理 2
A ∈ C 。如果 A 的特征多项式可 分解因式为 ϕ ( λ ) = (λ − λ ) m 1 L (λ − λ ) m s 1 s
设
n× n
( m1 + m2 + L + ms = n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J 可经过相似变换 相似变换化成唯一的 标准型 (不计 不计Jordan块的排列次序 ，即存在可逆矩阵 称为 块的排列次序)， 不计 块的排列次序 即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵 Jordan变换矩阵 P ∈ C n×n 变换矩阵) 使
2t t 2t t
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最后，由可逆线性变换 x = P y 得原方程组的解 最后，
x1 = c2e + c3 t e t t x2 = 2c2e + c3 (2t + 1)e x = c e 2 t − c e t − c ( t + 1) e t 1 2 3 3
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最后， 的结构， 最后，根据 J j ( λ i ) 的结构，设
pi j = ( p
由
(1) ij
,p
(2) ij
,L , p
( ni j ) ij
)
A p i j = p i j J j ( λ i ) ，可知
(1) ( A − λ i I ) pi j = θ (2) (1) ( A − λ i I ) pi j = pi j L ( A − λ I ) p ( ni j ) = p ( ni j − 1) i ij ij
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解这个方程组，可得到Jordan链 解这个方程组，可得到Jordan链
{p
A−λi I
(1) ij
,p
(2) ij
,L , p
( ni j ) ij
}
A−λi I
这个名称也可以这样理解： 这个名称也可以这样理解：
p
(ni j ) ij
α 1 = (0, 0,1)
T
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对于二重特征值
λ`2 = λ`3 = 1
，由 ( A − I ) x = θ
T
对重根有几个特 征向量，就有几 个约旦块
只解得唯一的特征向量为
α 2 = (1, 2, −1)
因此 A 2 (1) 中只有一个Jordan块，即 中只有一个 块
P AP = J
Jordan分解 或者 A 有Jordan分解
−1
A = P JP
−1
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二、 Jordan标准型的一种简易求法 标准型的一种简易求法
的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起， 把 A 的同一个特征值的若干个 块排列在一起， 就得到Jordan标准型 就得到 标准型
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所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即 解得
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
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第四章 矩阵的标准型
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标准型的理论源自矩阵的相似性， 标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相 似矩阵有许多相似不变量 特征多项式、 相似不变量： 似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征 n 包括代数重数和几何重数）、行列式、 ）、行列式 值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹 及秩等， 及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相 似变换矩阵互相求出。 似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似 矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。 矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩 当然越简单越好。对于可对角化矩阵 可对角化矩阵， 阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵， 代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。 “代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特 别地，对于正规矩阵 正规矩阵， 别地，对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特 殊化为酉矩阵或正交矩阵。 殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾 的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！ 的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！
m1
ms
( m1 + m2 + L + ms = n)
L Ns
则 V 可分解成不变子空间的直和
V = N1 排 N2
这里 N i ≡ Ker ((T − λi E ) mi )
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的基（称为Jordan基 适当选取每个子空间 N i 的基（称为Jordan基）， 则每个子空间的Jordan基合并起来即为 V 的Jordan 则每个子空间的 基合并起来即为 基，并且 V 在该Jordan基下的矩阵为块对角阵 在该 基下的矩阵为块对角阵
ki 个
Jordan块，即 块
Ai ( λ i ) ≡ diag ( J 1 ( λ i ), J 2 ( λ i ),L , J k i ( λ i ))
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根据 J A 的结构，将Jordan变换矩阵 P 列分块为 的结构， 变换矩阵
1 1 A 2 (1) = 0 1
求解 ( A − I ) β = α 2 可得所需的广义特征向量 ，
β = (0,1, −1)
T
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综合上述，可得 综合上述，
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
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解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
A1 (2) JA =
因为特征值
A2 (1)
为单根， λ`1 = 2 为单根，所以 A1 (2) = 2
并从 ( A − 2 I ) x = θ 解得对应的特征向量为
P = ( p 1 , p 2 ,L , p t )
其中 由
p i 是 n × n i 阶的矩阵。 阶的矩阵。 AP = P J A ，可知
Api = pi Ai (λi ) (i = 1,2,L, t)
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进一步，根据 Ai ( λ i ) 的结构，将 进一步， 的结构，
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一、 Jordan标准型的概念 标准型的概念
定理 1 设 T 是复数域 C 上的线性空间 V 上的 线性变换 。令 T 在 V 的一组基下的矩阵表示
为 A ，如果 A 的特征多项式可分解因式为 特征多项式可分解因式为
ϕ (λ ) = (λ − λ 1 ) L (λ − λ s )