矩阵理论第三章矩阵的Jordan标准型
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数
上页下页返回结束1Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材：矩阵论与数值分析----理论及其工程应用上页下页返回结束2Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数邱启荣华北电力大学数理系QQIR@第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束3Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束4Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束5Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束6Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束7Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束8Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束9Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束10Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束11Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束12Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束13Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束14Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束15Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束16Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束17Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束18Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束19Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束20Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束21Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束22Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束23Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束24Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束25Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束26Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束27Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束28Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束29Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束30Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束31Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束32Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束33Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束34Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束35Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束36Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束37Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束38Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束39Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束40Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束41Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束42Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束43Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束44Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束45Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束46Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束47Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束48Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束49Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束50Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束51Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束52Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束53Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束54Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束55Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束56Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束57Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束58Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束59Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束60Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束61Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束62Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束63Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数。
矩阵的Jordan标准型介绍
矩阵的Jordan 标准型介绍——Jordan 标准型是相似意义下零元素最多的矩阵吗？线性代数中的一个核心的结果(见[1,2])是Jordan 标准型定理：任何一个复数域上的方阵A 都相似于一个Jordan 矩阵1122()((),(),,())J A diag J J J σσλλλ=…，其中11()1i i i i i i J λλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，1,2,,i σ=…，i λ为矩阵A 的特征值。
(注意：对i ，可能有j j ≠i λλ=成立)对于Jrodan 块的置换来说，Jordan 标准型是唯一的(见[2])。
由线性代数中的内容已知，所有与A 相似的矩阵都有与A 置换意义下相同的Jordan 标准型。
那么所有与A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有0元素最多的矩阵呢？答案是否定的。
例如：取()J A 0201100001000010A −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则，11000100()00110001J A −⎛⎞⎜⎟−⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟A 有11个0元素，却只有10个0元素。
()J A 通过观察我们还能发现，矩阵A 的主对角线元素都为0，而且去掉主对角元素以后A 含有7个0元素，而则仍含有10个0元素，那么我们就要问：所有与()J A A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有非主对角线0元素最多的矩阵呢？答案是肯定的。
文献[3]给出了证明。
()J A参考文献[1]. R.A. Brualdi, The Jordan canonical form: an old proof, Amer. Math. Monthly 94(1987) 257–267.[2].R.A. Horn, C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985,121–127 and 150–153.[3].R. A. Brualdi, P. Pei, X. Zhan, An extremal sparsity property of the Jordancanonical form, Linear Algebra Appl. 429(2008) 2367-2372.。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
矩阵的Jordan标准型及其求解方法
矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。
在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。
一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。
Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。
首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。
其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。
这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。
Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。
例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。
二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。
首先，我们需要计算矩阵的特征值。
特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。
通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。
特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。
接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。
特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。
通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。
在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。
这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。
三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。
矩阵论—矩阵的Jordan标准形
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似 对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子， 由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。
第3章_Jordan标准型
4. 初级因子和Jordan块的关系:一一对 初级因子和Jordan块的关系 块的关系: 应 Jordan block 初级因子
(λ − λ 0 )
k
λ0 ⋱ λ0 k × k
Examples : 1 2 1 −1 − 2 6 1 0 2 A= , B = − 1 0 3 , J 0 = 0 0 2 −1 −1 4 0 0 3 0 0 1 0 , 2 1 0 2
哈密顿， (Hamilton， Rowan,1805哈密顿，W．R．(Hamilton，William Rowan,18051865)爱尔兰人 1865)爱尔兰人． 爱尔兰人． 哈密顿自幼聪明，被称为神童． 哈密顿自幼聪明，被称为神童．他3岁英语已读得非常 岁时是不错的地理学者； 好，4岁时是不错的地理学者；5岁时能阅读和翻译拉 丁语、希腊语和希伯来语， 丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史 岁掌握了意大利语和法语，觉得英语过于平庸， 诗；8岁掌握了意大利语和法语，觉得英语过于平庸， 用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语 岁不到开始学习阿拉伯语、 用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语、 梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、 梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利 亚语...；他极想学习汉语，但是太难搞到书。14岁时 岁时， 亚语...；他极想学习汉语，但是太难搞到书。14岁时， 因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈 而出尽风头． 而出尽风头． 主要贡献：力学、数学、光学． 主要贡献：力学、数学、光学．
3 2
− 3 3 − 2 A = − 7 6 − 3 1 −2 2 g ( A) = A3 + 4 A2 − 5 A − 7 E
第三章 特征值与矩阵的Jordan标准型
74
则
AU1 = U1
λ1 0 . . . 0
c12 c13 · · · c1n C1
.
由于 C1 为 n − 1 阶矩阵, 由归纳假设, 存在 n − 1 阶酉矩阵 U2 使 b22 b23 · · · b33 · · · ∗ U2 C1 U2 = B1 = .. . b2n b3n . . . bnn 为上三角矩阵. 令 U = U1 则 U ∗ AU = 1
证 注意 P 是第三种初等矩阵, P −1 = I − αEpq . 故 P −1 A 仅将 A 的第 q 行的 −α 倍加 到第 p 行, 因此所得矩阵仍是上三角矩阵且不改变 A 的对角线; AP 的意义类似. 因此知 B 是 与 A 的主对角线相同 (包括顺序) 的上三角矩阵. 直接计算可得 bpq . 例 3.1.1 设 λ1 = λ2 , P = I −
0. 故由分块 Schur 三角化定理, 可设 A = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中 Ai 是特征值均为 λi 的 ni 阶上三角矩阵. 则 f (A) = (A − λ1 I )n1 (A − λ2 I )n2 · · · (B − λs I )ns . 由 例 3.1.2 可知, 对每个 i, 均有 (Ai − λi Ini )ni = 0, 故上式的第 i 个因子 (A − λi I )ni 的第 i 个 块为 ni 阶 0 矩阵, 从而整个乘积等于 0 矩阵. 由于 n 阶矩阵 A 的特征多项式是 n 次多项式, Cayley-Hamilton 定理表明, A 的 n 次幂 可由其较低次幂的线性组合给出, 因此, A 的高于 n 次的幂可由其低于 n 次的幂的线性组合给 出, 故对任意自然数 m, 有 Am ∈ Span{I, A, A2 , · · · , An−1 }. 换句话说, n 阶矩阵 A 的任意次幂均属于由 I, A, A2 , · · · , An−1 生成的 Mn (C) 的子空间. 这 就提供了一种计算高次幂的降幂算法. 例 3.1.3 设 A= 求 A2 , A3 , A4 . 解 A 的特征多项式为 f (λ) = λ2 − 4λ + 1, 所以 A2 − 4A + I = 0. 故知 A2 = 4A − I, A3 = 4A2 − A = 15A − 4I, A4 = 15A2 − 4A = 56A − 15I. 命 题 3.1.1 (Sylvester 降幂公式) 设 A 与 B 分别是 m × n 与 n × m 矩阵, m ≥ n. 则 |λIm − AB | = λm−n |λIn − BA|. 证 注意下述分块矩阵的恒等式: I B 0 I 因此, 矩阵 C1 = BA 0 A 0 与矩阵 C2 = 0 0 A AB 0 0 A AB = BA BAB A AB = BA 0 A 0 I B 0 I , 2 3 1 2 ,
第三章 矩阵论
设n阶矩阵A的互异特征值 1 (n1重), 2 (n2 重)
， ，s (ns 重)， ni n，A的特征多项式是
i 1 s
f ( ) I A ( 1 )n1 ( 2 )n2 ( s )ns
则A的最小多项式必有如下形式，
m( ) ( 1 )m1 ( 2 )m2 ( s )ms
定义 次数最低且首项系数为1的矩阵A的化 零多项式, 称为A的最小多项式, 记为 m( ) .
定理3.8 多项式 ( ) 是矩阵A的化零多项式 当且仅当 m( ) ( ) . 特别地, 有 m( ) f ( ) , 其 中 f ( )是A的特征多项式.
推论1 矩阵A的最小多项式是唯一的. 定理3.9 矩阵A的特征多项式、最小多项 式有相同的根.（重数可能不同）
1
的特征向量；
X 21 , X 22 , X 2l2是属于的特征值 2 的特征向量；
X k 1 , X k 2 , X klk 是属于的特征值 的特征向量； k
则
X11 , X12 , X1l1 , X 21 , X 22 , X 2 l2 ,, X k1 , X k 2 , X klk
定义 若A 经有限次初等变换后变为 B , 则称 A B 相抵.记为 A B . 与 相抵关系是 方阵的一种等价关系，具有 1.自反性 2.对称性 3.传递性
定理： B 的充要条件是存在两个可 A 逆矩阵 P 与 Q ，使得
AX X
例 已知三维线性空间V的基 1 , 2 , 3 ， 线性变换T满足， T 1 1 2 2 2 3 T 2 2 1 2 2 3 T 3 2 1 2 2 3 求T的特征值与特征向量.
矩阵理论第三章矩阵的Jordan标准型[可修改版ppt]
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若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ； 2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ． 3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
那么 A( ) C( ) ．
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
例 3.1 –矩阵
1
A(
矩阵论—Jordan标准形
P( i , j ) -1 = P( i , j ) ,
P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) , P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) .
由此得出初等变换具有可逆性： 设 - 矩阵 A() 用 初等变换变成 B()，这相当于对 A() 左乘或右乘 一个初等矩阵. 再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B()
2. - 矩阵的Smith标准形
初等变换的定义
定义 下面的三种变换叫做 - 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行(列)互换位置； (2) 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c ； (3) 矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵 .
就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由
B()可用初等变换变回 A() . 我们还可以看出在第 二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这 也是为了使 P( i(c) ) 可逆的缘故.
- 矩阵的等价
定义 - 矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果
可以经过一系列初等变换将 A() 化为 B() .
a11 ( ) A( ) a ( ) i1
a1 j ( ) aij ( )
a11 ( ) 0
a1 j ( ) aij ( ) a1 j ( ) ( )
a11 ( ) 0 = A1() .
P[] 的元素,就称为 - 矩阵.
讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上
关于若尔当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在
矩阵论第3章矩阵的Jordan标准形
定 义 3.1.2 设 - 矩 阵 A() P[]mn ， 若 A() 中 有 一 个
r(1 r min{m, n}) 阶子式不为零，而所有 r 1阶子式（如果有的 话）全为零，则称 A() 的秩为 r ，记为 rank(A()) r ．
进一步，若 n 阶 －矩阵 A() 的行列式 A() 不等于零，则称 A() 是满秩的．
．
所以 rankA() rankB() 2 ．但由矩阵的初等变换可知，如果 A() 与
B() 等价，则 A() 与 B() 之间只能差一个非零常数因子， 而 A()
与 B() 不满足这一条件，所以 A() 与 B() 不等价．
这个例子说明，秩相等不是 －矩阵等价的充分条件．
3.1.3 －矩阵的Smith标准型
第3章 矩阵的Jordan标准形
－矩阵的理论和矩阵的 Jordan 标准形不但在矩阵理论与计
算中起着十分重要的作用，而且在工程上的控制理论、系统分析、
力学等领域具有广泛的应用．本章主要讨论 －矩阵的概念与基本 性质，及其 Smith 标准形，然后利用 －矩阵的理论导出矩阵的
Jordan 标准形，最后给出矩阵的 Cayley－Hamiltom 定理．
a 11 0
a11b22
a11b12 c22 a11b12b21
（第二行加到第一行）
a11 0
a11b12
a11b22 c22 a11b12b21 a22 a11b12b21
a 11 0
a11b12 (1 a22
b21 ) a22 a11b12b21
元素 a11b12 (1 b21 ) a22 不能被 a11 整除，这就将
（1）第一行存在元素不能被 a11 整除：
03 矩阵的对角化与Jordan标准形
u1
x1 ，并由其扩充为一组标准正交向量 u1 , u 2 , L , un x1
0 i j uH u i j 1 i j
令 U 0 u1
u2 L u n ， U0 为酉矩阵
H u1 u1 H u u un 2 1 M H u n u1 H u1 u2 H u2 u2 M H un u2
实矩阵 A ，若满足 A T A AA T ，则 A 为实正规矩阵； 复矩阵 A ，若满足 A H A AA H ，则 A 为复正规矩阵。 显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。
5. 相似矩阵具有相同的特征多项式 相同的特征值、迹、行列式。
x, y y, x
x, y z x, y x, z
kx, y k x, y
or
x, ky k x, y
x, x 0 ，当且仅当 x 0 时， x, x 0
则称 x, y 为 x 与 y 的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。 以 n 维向量空间为例， A 为厄米（ A H A ）正定（ x H Ax 0 ） 矩阵，
w2 O
0 wn
更一般的，对实对称矩阵 A ， x, y x T Ay 也满足内积的定义。 正定： （1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于 0
2. 酉空间：
设 V 是复线性空间（ k C ） ，对于 V 中任何两个元素 x 、y 均按某 一规则
29
存在一个实数与之对应，记为 x, y ，若它满足 （1）交换律 （2）分配律 （3）齐次律 （4）非负性
矩阵理论矩阵的Jordan标准型
定理 3.10 如果矩阵 A 的每个特征值的代数重数 都等于它的几何重数，则矩阵与对角阵相似.
当 A 不满足定理 3.10 时，它肯定不与对角阵相似， 但在与其相似的矩阵中可以找到形式最简单的矩阵， 这就是它的 Jordan 标准形.
定义 3.8 设 i 为 A 的互异特征值，共 s 个． mi 为 i 的代数重数，
那么 A( ) C( ) ．
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
det( E A) ( 1 )m1 ( i )mi ( s )ms
s
其中 mi n，称 mi 为 A 的特征值 i 的代数重数， i 1
dimVi ri（ i 的特征向量空间的维数）为 i 的几何重数.
定理 3.9 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, ..., s ， mi ， ri 分别为 i 的代数重数与几何重数，则
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
( 1)
例 3.4
设 A( )
，求
A(
)
的
( 1)2
Smith 标准型及不变因子.
第三章 矩阵旳Jordan原则型
矩阵旳Jordan原则型不但在矩阵理论与 计算中起着十分主要旳作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛旳应用.
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1..)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ 方法2.(1) 首先求A 的特征值.3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1.(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解:.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .可见131,V ∈ββ, 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足. 所以求解线性方程组 )()(132211V k k X E A ∈=+=-βαα. (*) 该方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---=-==0000000031126223113113113113622212121k k k k k k k k B k k k 取. 由于我们想要求一个向量122113V k k ∈+=ααβ使得线性方程组(*)有解, 所以可取任何使得该方程组有解的k 1,k 2. 我们取了k 1=k 2=k. 事实上, 还可以直接取k 1=k 2=k=1. 即)1,1,2(213=+=ααβ, 这样就得到了(*)的解=2β(1,0,0). 再取)0,1,1(11-==αβ. 于是我们有:11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .即.110010001),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββββββA A A令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100101211),,(321βββT ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211110010001J J J AT T .。