证明或判断等差(等比)数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法

湖北省 王卫华 玉芳

翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．

一、利用等差（等比）数列的定义

在数列{}n a 中，若1n n a a d

--=（d 为常数）或1n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n

a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：

例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11214

n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数 ， 记2111234

n n b a n -=-=，，，，…． （Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）21321111144228

a a a a a a =+

=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+Q ，所以541132416a a a ==+， 所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 猜想：{}n b 是公比为12

的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242n n n n n b a a a b n *++-⎛⎫=-

=-=-=∈ ⎪⎝⎭N ， 所以{}n b 是首项为14a -，公比为12

的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

例2．（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．

解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，

当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+，

又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．

故总有112(1)n n a a n *++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而1121

n n a a ++=+． 所以数列{1}n a +是等比数列．

评析：这是常见题型，由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子，得到1n n a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n a 的表达式，则较繁．

注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1n n a q a -==L （常数0≠）；②n *∈N 时，有

1n n a q a +==L （常数0≠）．

二．运用等差或等比中项性质 212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法．

例3．（2005江苏卷）设数列{}n a 的前项为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=L ，，，，，其中A

B ，为常数． （1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列；（3）略．

解：（1）由1231

611a a a ===，，，得1231718S S S ===，，． 把12n =，分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩

， 解得，20A =-，8B =-．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即