土木工程制图与识图-第2章 点的投影-2
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建筑工程制图与识图第2章 正投影法的基本知识
2.1.2 投影的基本性质
任何物体的形状都是由点、线和面等几何元素构成的。因此， 物体的投影就是组成物体的点、线和面的投影总和。研究投影的 基本性质，主要是研究线和面的投影特性。
（1）真实性 真实性是当平面图形（或直线）与投影面平行时，其投影反映 实形（或实长）的投影性质。如图2.5所示，当线段ＡＣ和平面 △ＡＢＣ平行于投影面时，其投影ａｃ和△ａｂｃ分别反映线段ＡＣ的实 际长度和平面△ＡＢＣ的实际形状。
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建筑工程制图与识图
出版社 理工分社
图2.10 标高投影图
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2.2.4 正投影图
在《技术制图 投影图》（GB／T14692-2008）中明确规定，根 据正投影法所得到的投影图形称为正投影图。如图2.11（ａ）所示 为房屋的正投影图。正投影图直观性不强，但能正确反映物体的 形状和大小，并且作图方便，度量性好，因此工程上应用最广。绘 制房屋建筑图主要用正投影，今后不作特别说明，投影即指正 投影。
图2.9 轴测图
远小的视觉习惯，但仍具有很强的直观性，因此在工程上得到广泛 应用。
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2.2.3 标高投影图
在《技术制图 投影图》（GB／T14692-2008）中明确规定，用 正投影法将局部地面的等高线投射在水平的投影面上，并标注出 各等高线的高程，从而表达该局部的地形，这种用标高来表示地面 形状的正投影图，称为标高投影图，如图2.10所示。
图2.8 透视图
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2.2.2 轴测图
在《房屋建筑制图统一标
准》（GB／T50001-2010）中明
《建筑识图与构造》教学课件 第2章 投影的基本知识
平面的投影-平面内的点和直线
根据平面内点和直线的判 定，可以解决下面三类问题。
① 判别已知点、直线是否 属于已知平面。 ② 完成已知平面上的 点和直线的投影。 ③ 完成多边形的投影。
点在平面内的几何 条件：若点属于一直线， 直线属于一平面，则该 点必属于该平面
直线在平面内的几何条 件：若一直线通过平面 上的两点，或通过平面 内的一点，并且平行于 平面上的另一直线，则 此直线必在该平面内。
直线上的点-点在线上
点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线 的两线段长度之比等于其投影长度之比；反之亦然，此即为定比关系。
两直线的相对位置-平行
空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种。
（a）立体图
（b）投影图
两直线的相对位置-相交
其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律，如图所示。
点的投影-两点相对位置的识读
➢ 通过方位的判断，可以确定出两点在空间的相对位置。此外，由于 X轴、Y轴、Z轴的正方向表示空间点左、前、上方，因此也可直接 根据空间点的坐标来确定两点的相对位置。
空间点的六个方位
直线的投影
➢ 作直线投影图时，只需作出直线上任意两点的投影，并连接 该两点在同一投影面上的投影即可，如图所示
三面投影体系
三面投影图-三面投影图的形成与展开
➢ 将物体置于三面投影体系中，并使其主要表面与投影面 平行或垂直，然后按正投影法分别向V面、H面和W面进 行投影，即可得到该物体的三面投影，如图所示。
三面投影图-三面投影图的对应关系
三面投影图的投影对应关系
➢ 如图所示，三面投影图不仅反映了物体的长、宽、高，同时也 反映了物体的上、下、左、右、前、后六个方向的位置关系。
土木工程制图第2章画法几何
直线与侧立投影面的平角，称为侧面倾 角，用γ表示.
二、直线与投影面倾角与实长
投影面垂直线、投影面平行线与投影面的倾角 与线段实长
投影面垂直线和投影面平行线在某一投影面上 的投影总能反映空间直线段的审判长及其与投影 面的真实倾斜角。
三、求一般位置直线的实长及对投影面的倾角
一般位置直线的投影不能反应其时常及其对投 影面的倾角，因此，若求其时常及其对投影面的 倾角时有两种方法：一是利用直角三角形法，二 是利用换面法。
m n
ck
分析： 求作平面过直线MN，
故仅需再确定一条与直线 MN相交的直线，即可确 定此平面。
所作平面要求与△ABC 垂直，也即所作平面必须 包含△ABC的一条垂线。 因此，可使所作直线垂直 于△ABC即可。
2.5 投影变换
2.5.1 投影变换的目的和方法
通过一定的方法改变几何元素在投影体 系中的位置，使几何元素处在有利于解题 的位置，这时空间几何元素本身及其相互 间的度量问题或定位问题的解决就会简化， 这种变换称为投影变换。
⑴ 平面为特殊位置
空间及投影分析
b
k
a
1(2) ●
●
m
n 平面ABC是一铅垂面，其水平 投影积聚成条直线，该直线与mn的
交点即为K点的水平投影。
c
作图
用线上取点法
① 求交点
m
2
●
c
●
a
●
1
b
k
n
还可通过重影点判别可见 性。
② 判别可见性
由水平投影可知，KN段在 平面前，故正面投影上kn为 可见。
m’
n’ a'
X a
m
b’ 分析
作图
二、直线与投影面倾角与实长
投影面垂直线、投影面平行线与投影面的倾角 与线段实长
投影面垂直线和投影面平行线在某一投影面上 的投影总能反映空间直线段的审判长及其与投影 面的真实倾斜角。
三、求一般位置直线的实长及对投影面的倾角
一般位置直线的投影不能反应其时常及其对投 影面的倾角，因此，若求其时常及其对投影面的 倾角时有两种方法：一是利用直角三角形法，二 是利用换面法。
m n
ck
分析： 求作平面过直线MN，
故仅需再确定一条与直线 MN相交的直线，即可确 定此平面。
所作平面要求与△ABC 垂直，也即所作平面必须 包含△ABC的一条垂线。 因此，可使所作直线垂直 于△ABC即可。
2.5 投影变换
2.5.1 投影变换的目的和方法
通过一定的方法改变几何元素在投影体 系中的位置，使几何元素处在有利于解题 的位置，这时空间几何元素本身及其相互 间的度量问题或定位问题的解决就会简化， 这种变换称为投影变换。
⑴ 平面为特殊位置
空间及投影分析
b
k
a
1(2) ●
●
m
n 平面ABC是一铅垂面，其水平 投影积聚成条直线，该直线与mn的
交点即为K点的水平投影。
c
作图
用线上取点法
① 求交点
m
2
●
c
●
a
●
1
b
k
n
还可通过重影点判别可见 性。
② 判别可见性
由水平投影可知，KN段在 平面前，故正面投影上kn为 可见。
m’
n’ a'
X a
m
b’ 分析
作图
建筑工程制图与识图第2章课件PPT课件
正投影的基本特征
3、类似性：若线段和平面图形倾斜于投影面，其 投影短于实长或小于实形，但与空间图形类似。
问题的提出
C B A
a,b,c
三面投影
形体的一面投影 不能唯一确定其 空间形状
H (b) 水平投影图
三面投影
过空间点A的投射 线与投影面P的交点即为 点A在P面上的投影。
点在一个投影面 上的投影不能确定点的 空间位置。
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
页面 21
三面投影的投影规律
投影面展开
V a
●
Z az
W a
●
不动 V a
●
Z
向右翻
az
X
ax
a●
A
O
Y
X ax
●
ay
ay
a●
● a
O
W
ay
H
Y
H Y
向下翻
三面投影的投影规律
将形体放置在三投影面 体系中，按正投影法向各投 影面投影，则形成了形体的 三面投影图。
投影面平行线
水平线
Z
a′
b′
a′
b′ Z b″ a″
B b″
X
YW
X
A
b
a″
βγ
a Y
水平线的投影特性：
b
γβ
a
反映真长TL YH
1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为β； 与OY轴的夹角为γ；α= 0°。
2.水平线的V投影 a′b′∥OX；W投影 a″b″∥OY；
正平线
b′ Z
B
a′ α γ
2、正垂线的H、W投影反映直线的真长，且平行于OY
土木工程制图习题答案
b' e'
d' e'
c' a'
a'
c'
a
a c
e
b
b
e
d
c
d d' d
3-1 判 断 下 列 直 线 与 平 面 是 否 平 行 。 （ 1）
（ 2）
（ 3）
平行
3-2 求 下 列 直 线 与 片 面 的 交 点 K， 并 判 断 其 可 见 性 。
（ 1）
（ 2）
PV
k'
不平行
k'
k
PH
k
（ 3）
c'
c"
b' a'
a"
b"
c(a) β
T.L
b
e'
e"
c"(d"）
a'
a"
b
f" f'
c
d
e
f
a
5
分 别 求 出 直 线 AB、 CD和 EF的 实 长 及 其 倾 角 α 和 β 。
β
Δy Δy
β
Δz
Δz
α
α
班级
姓名
学号
β Δy
Δz α
已 知 直 线 AB=50,求 其 正 面 投 影 a'b'和 倾 角 γ 。 γ
于哪类直线。
s'
s"
S A _一_ _般__位__置_
S A _ _ _正__平___
S A _ _ _侧__平___
b'
a' a"
d' e'
c' a'
a'
c'
a
a c
e
b
b
e
d
c
d d' d
3-1 判 断 下 列 直 线 与 平 面 是 否 平 行 。 （ 1）
（ 2）
（ 3）
平行
3-2 求 下 列 直 线 与 片 面 的 交 点 K， 并 判 断 其 可 见 性 。
（ 1）
（ 2）
PV
k'
不平行
k'
k
PH
k
（ 3）
c'
c"
b' a'
a"
b"
c(a) β
T.L
b
e'
e"
c"(d"）
a'
a"
b
f" f'
c
d
e
f
a
5
分 别 求 出 直 线 AB、 CD和 EF的 实 长 及 其 倾 角 α 和 β 。
β
Δy Δy
β
Δz
Δz
α
α
班级
姓名
学号
β Δy
Δz α
已 知 直 线 AB=50,求 其 正 面 投 影 a'b'和 倾 角 γ 。 γ
于哪类直线。
s'
s"
S A _一_ _般__位__置_
S A _ _ _正__平___
S A _ _ _侧__平___
b'
a' a"
土木工程制图与识图习2第二章答案
第二章 点、直线、平面的投影
4-1 4-7 4-10 4-16 4-22 4-28 4-34 4-40 4-46 4-2 4-8 4-11 4-3 4-4 4-5 4-6
4-9（1）
4-12 4-18
4-9（2） 4-13
4-19 4-14 4-20 4-26 4-32 4-38 4-44
4-9（3）
ΔY
11、直线AB上一点C, 距V面15mm,求点C的投影。
15
作法 （1）在ab上取Y=15的点c （2）作点C的正立面投影c′
作法 （1）在ab上取Y=15的点c （2）用定必性作点C的正立面 投影
返回
15
12、作图判断点C是否在直线AB上。
点C
不在 直线AB上
返回
13、已知点C在直线AB上，分隔AB成AC:CB=2:3,作出直 线AB的W面投影和点C的三面投影。
作法
（b〞）
（1）作AB的水平面投影 （2）作AB的正立面投影
15
返回
10、过点A作一直线AB，AB的实长为30mm，倾角α =30° ， β =45° ，完成它的投影。（在图纸上作两个解）
作法 （1）在直径为30mm的圆内作 出ab、a′b′的长度。
（2）作AB的水平投影
（3）作AB的正面投影
返回
1′ 2′
m′
n′
2
1
m
n 作法 （1）作正平线KN的投影。 （2）作水平线KM的投影。
返回
m
d
返回
26、判断两直线的空间相对位置是否垂直。
返回
27、求点K到直线AB的距离。
返回
28、已知矩形ABCD的顶点属于MN，试画出ABCD的两面投影。
4-1 4-7 4-10 4-16 4-22 4-28 4-34 4-40 4-46 4-2 4-8 4-11 4-3 4-4 4-5 4-6
4-9（1）
4-12 4-18
4-9（2） 4-13
4-19 4-14 4-20 4-26 4-32 4-38 4-44
4-9（3）
ΔY
11、直线AB上一点C, 距V面15mm,求点C的投影。
15
作法 （1）在ab上取Y=15的点c （2）作点C的正立面投影c′
作法 （1）在ab上取Y=15的点c （2）用定必性作点C的正立面 投影
返回
15
12、作图判断点C是否在直线AB上。
点C
不在 直线AB上
返回
13、已知点C在直线AB上，分隔AB成AC:CB=2:3,作出直 线AB的W面投影和点C的三面投影。
作法
（b〞）
（1）作AB的水平面投影 （2）作AB的正立面投影
15
返回
10、过点A作一直线AB，AB的实长为30mm，倾角α =30° ， β =45° ，完成它的投影。（在图纸上作两个解）
作法 （1）在直径为30mm的圆内作 出ab、a′b′的长度。
（2）作AB的水平投影
（3）作AB的正面投影
返回
1′ 2′
m′
n′
2
1
m
n 作法 （1）作正平线KN的投影。 （2）作水平线KM的投影。
返回
m
d
返回
26、判断两直线的空间相对位置是否垂直。
返回
27、求点K到直线AB的距离。
返回
28、已知矩形ABCD的顶点属于MN，试画出ABCD的两面投影。
土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影
二、两平行直线
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
第二章：点、直线、平面的投影
V——主视图
H——俯视图
W——左视图
（3）三面投影体系的展开
为了画图和看图的 方便，假想地将三 个投影面展开、摊 平在同一平面（纸 面）上，并且规定：
正面V不动；水平面 H绕OX轴向下旋转 90°；侧面W绕OZ轴
向右旋转90°，如 图所示。
俯视图在主视图的正下方，左视图在 主视图的正右方。
画图时，投影 面的边框线和 投影轴均不必 画出，同时按 上述方法展开， 即按投影关系 配置视图时， 也不需要标明 视图名称，最 后得到的三视 图如图所示。
2.3.2 直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线
3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时， 其投影变短或变小。
1. 实形性
A
C
D
B
E
a
c
b
d
H
e
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
2. 积聚性
A
C
D
B
E
c
a（b）
e
d
H
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3. 类似性
C A
D B
E
a
b
c
d
e H
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
1. 中心投影法 S
H
2.平行投影法----斜投影
H——俯视图
W——左视图
（3）三面投影体系的展开
为了画图和看图的 方便，假想地将三 个投影面展开、摊 平在同一平面（纸 面）上，并且规定：
正面V不动；水平面 H绕OX轴向下旋转 90°；侧面W绕OZ轴
向右旋转90°，如 图所示。
俯视图在主视图的正下方，左视图在 主视图的正右方。
画图时，投影 面的边框线和 投影轴均不必 画出，同时按 上述方法展开， 即按投影关系 配置视图时， 也不需要标明 视图名称，最 后得到的三视 图如图所示。
2.3.2 直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线
3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时， 其投影变短或变小。
1. 实形性
A
C
D
B
E
a
c
b
d
H
e
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
2. 积聚性
A
C
D
B
E
c
a（b）
e
d
H
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3. 类似性
C A
D B
E
a
b
c
d
e H
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
1. 中心投影法 S
H
2.平行投影法----斜投影
建筑工程制图与识图第2章 正投影法的基本知识
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建筑工程制图与识图
出版社 理工分社
影面进行投射，在侧立面上得到左侧立面投影图，简称左侧立 面图。
图2.15 三面投影体系
图2.16 三面投影图
（2）三面投影体系的展开
如图2.17（ａ）所示，由于3个投影面是相互垂直的，因此3个 投影图就不在同一个平面上，这样很不方便查看投影图形。为了
20页 退出
8页 退出
建筑工程制图与识图
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时，则其投影ａｃ与线段ＡＣ相似。当△ＡＢＣ倾斜于投影面时，则其 投影ａｂｃ与ＡＢＣ类似。
图2.7 类似性ຫໍສະໝຸດ 9页 退出建筑工程制图与识图
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2.2 工程图中常用的投影图
2.2.1 透视图 在《技术制图 投影图》（GB／T14692-2008）中明确规定，用 中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视 图，如图2.8所示。透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小 的效果，形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性 差，常用于绘制建筑效果图。
（2）投影的分类 根据《技术制图 投影法》（GB／T14692-2008）的有关规定，
可将投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。 1）中心投影法 所有投射线从同一投影中心出发的投影方法，称为中心投影
法。按中心投影法得到的投影，称为中心投影。如图2.2所示为 中心投影法，其中ＡＢＣ在投影面Ｐ上的中心投影为△ａｂｃ。用中 心投影法得到的物体的投影大小与物体的位置有关。在投影中心
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建筑工程制图与识图
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27页 退出
建筑工程制图与识图
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思考题
1.简述生活中的投影现象和工程制图中的投影的区别。 2.一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线分别有哪些投 影特性？ 3.一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面分别有哪些投 影特性？ 4.投影法主要包括哪些种类？它们之间的区别是什么？ 5.工程中常见的投影图有哪些？ 6.简述三面投影的基本规律。
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影面进行投射，在侧立面上得到左侧立面投影图，简称左侧立 面图。
图2.15 三面投影体系
图2.16 三面投影图
（2）三面投影体系的展开
如图2.17（ａ）所示，由于3个投影面是相互垂直的，因此3个 投影图就不在同一个平面上，这样很不方便查看投影图形。为了
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时，则其投影ａｃ与线段ＡＣ相似。当△ＡＢＣ倾斜于投影面时，则其 投影ａｂｃ与ＡＢＣ类似。
图2.7 类似性ຫໍສະໝຸດ 9页 退出建筑工程制图与识图
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2.2 工程图中常用的投影图
2.2.1 透视图 在《技术制图 投影图》（GB／T14692-2008）中明确规定，用 中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视 图，如图2.8所示。透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小 的效果，形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性 差，常用于绘制建筑效果图。
（2）投影的分类 根据《技术制图 投影法》（GB／T14692-2008）的有关规定，
可将投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。 1）中心投影法 所有投射线从同一投影中心出发的投影方法，称为中心投影
法。按中心投影法得到的投影，称为中心投影。如图2.2所示为 中心投影法，其中ＡＢＣ在投影面Ｐ上的中心投影为△ａｂｃ。用中 心投影法得到的物体的投影大小与物体的位置有关。在投影中心
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建筑工程制图与识图
出版社 理工分社
思考题
1.简述生活中的投影现象和工程制图中的投影的区别。 2.一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线分别有哪些投 影特性？ 3.一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面分别有哪些投 影特性？ 4.投影法主要包括哪些种类？它们之间的区别是什么？ 5.工程中常见的投影图有哪些？ 6.简述三面投影的基本规律。
建筑工程制图与识图课件2
2.3.4 两点的相对位置
1、两点的相对位置
X坐标确定左右：大者在左； Y坐标确定前后：大者在前； Z坐标确定上下：大者在上。
2、重影点及可见性判别
a b A B
d(c)
重影点
----若两点位于 同一条垂直某投影 面的投射线上，则 这两点在该投影面 上的投影重合，这 两点称为该投影面 的重影点。
（1）铅垂面
V P B A a H a C PH c W a b c c
a
b
c
b
b
投影特性：（一线两框） 1、水平投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为ABC的类似形 3、abc 与OX、OY的夹角反映、角的真实大小
（2）正垂面
V
QV a c Q C a A B W a α
(b) 利用水平投影求实长
(c) 利用正面投影求实长
[例题2.4] 已知线段AB的水平投影ab和点B的正面投影b'(如图 2-23(a)所示)，线段AB与H面的夹角 =30°，求出线段AB的正 面投影a'b'。
(a) 已知条件
(b) 作图方法
[例题2.5]已知线段AB的投影(如图2-24(a)所示)，试定出属于线 段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。
3、三面投影图的展开 —— 规定正面V不动，将水平面H绕OX轴向下旋转90°，
侧面W绕OZ轴向右旋转90°，就得到如下图所示的在同一平 面上的三个视图。
2.2.2 三面投影图的投影规律
1、三面投影图的基本规律(三等关系)
正面图与平面图长对正； 正面图与侧面图高平齐； 平面图与侧面图宽相等。
2、视图与形体的方位关系
2、积聚性：若线段和平面图形垂直于投影面， 其投影积聚为一点或一直线段。
点的投影课件(共18张PPT)《土木工程制图与识图》
2.2 点的投影
点 、 线 、 面 的第 二 章 投 影
01 2.2 点的投影 02 2.1 投影法的基本知识 03 2.3 直线的投影 04 平面的投影
2.2 点的投影
2.2.1 点的投影及其投影规律 1、点的投影连线垂直于投影轴。 2、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离。 3、点的投影连线垂直于投影轴。 4、点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应 的相邻投影面的距离。
d″ (c″) a″
D
b′
A
X
B d
d″
C a″(c″)
W
b′
O
X
b″ d
b″
O YW
H a(b)
c
Y
a(b)
A、B为H面重影 点，a在上、b在 下，记为 a(b)。
A、C为W面重影点， a″在左、c″在右， 记为 a″(c″)。
c
YH
THANKS
点的单面投影
a
a (b)
➢过空间点A的投射线与投 ➢点A、B在投影面H上的投影a、
影面H相交于点a，就称交点 b重合在一起，可见仅由点的一
a为空间点A在投影面H上的 个投影不能确定点的空间位置，
投影。
要想准确表达空间点的位置，必
须采用多面投影。
点的两面投影
(a)
V
a'
b'
(b)
V
a'
b'
X
O
a (b)
S
上
后
前
下
后
C
A B
左
右
前
通过比较两点的坐标可知：X坐标越大，点越靠左；Y坐 标越大，点越靠前；Z坐标越大，点越靠上。
点 、 线 、 面 的第 二 章 投 影
01 2.2 点的投影 02 2.1 投影法的基本知识 03 2.3 直线的投影 04 平面的投影
2.2 点的投影
2.2.1 点的投影及其投影规律 1、点的投影连线垂直于投影轴。 2、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离。 3、点的投影连线垂直于投影轴。 4、点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应 的相邻投影面的距离。
d″ (c″) a″
D
b′
A
X
B d
d″
C a″(c″)
W
b′
O
X
b″ d
b″
O YW
H a(b)
c
Y
a(b)
A、B为H面重影 点，a在上、b在 下，记为 a(b)。
A、C为W面重影点， a″在左、c″在右， 记为 a″(c″)。
c
YH
THANKS
点的单面投影
a
a (b)
➢过空间点A的投射线与投 ➢点A、B在投影面H上的投影a、
影面H相交于点a，就称交点 b重合在一起，可见仅由点的一
a为空间点A在投影面H上的 个投影不能确定点的空间位置，
投影。
要想准确表达空间点的位置，必
须采用多面投影。
点的两面投影
(a)
V
a'
b'
(b)
V
a'
b'
X
O
a (b)
S
上
后
前
下
后
C
A B
左
右
前
通过比较两点的坐标可知：X坐标越大，点越靠左；Y坐 标越大，点越靠前；Z坐标越大，点越靠上。
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a YH
ao
点的三面投影
点的投影与坐标的关系
Z V a’ X aX a H az
X
x
Z y az O aY HY H a”
z
A
Z
a” O W
X ay
a’
z y
aX a
x
aY
W
YW
Y
A点到W面的距离(Aa”)=A点的x坐标（Oax) A点到V面的距离(Aa’)=A点的y坐标（Oay) A点到H面的距离(Aa)=A点的z坐标（Oaz)
两点的投影
两点的相对位置
两点的相对距离，是指平行 X、Y、Z轴的距离，即到W、V 和H面的坐标差,即： 坐标差： △X（长度差）
△Y（宽度差） △Z（高度差）
两点的投影
重影点及可见性
两点位于某一投影面的同一条 投射线上，则它们在这一个投影面 上的投影互相重叠，该两点称为对 该投影面的一对重影点。
A B a(b) H
规定 重合投影标记为：可见点字母写在前面，不可见点的字母
写于后面，并将不可见点字母加上圆括号。
本章总结
投影法概述
投影的形成原理，投影分类，平行投影的特性以及工程中常用的投影。
点的两面投影
研究点的单面投影和两面投影规律。
点的三面投影
三投影面体系的建立，点在三投影面体系中的投影，点的三面投影规律。
az
O
Z
a”
a”
aYW YW
X aX
a
aY
H
YH
点的三面投影
点的三面投影规律
az Z a” aYW YW
45°
点的三面投影规律
（1）点的每两个投影之间的连线垂直于相应的投影 轴，即正面投影和水平投影的连系线垂直于OX轴 （a'a⊥OX，a'a"⊥OZ) （2）各投影到投影轴的距离，等于该点到通过该轴 的相邻投影面的距离。如下所示： aax= aaYW =A 到H 面的距离 aax = aaz =A 到V 面的距离 aaz = aaYH =A 到W 面的距离
两点的投影
两点的相对位置，重影点及可见性。
正立投影面-V 侧立投影面-W 投影轴OX OY OZ
Y a- A点的水平投影（H面投影） a’- A点的正面投影（V面投影）
a”- A点的侧面投影（W面投影）
点的三面投影图 去边框的三面投影图 W YW a’ az O
45°
Z
V a’ X aX a H YH
《土木工程制图与识图》
建筑工程学院
第2章 点的投影
1 2 3 投影法概述 点的两面投影 点的三面投影
4
两点的投影
点的两面投影
点的单面投影
空间点A的单面投影 由单面投影定空间点的位置
C A
A B a
H
a H
间的位置。
只根据点在一个投影面上的投影，不能确定该点在空
点的两面投影
点的双面投影
X ax O 水平投影 a (小写字母) 正面投影 a’ (小写字母
右上角加一撇)
a H
点的两面投影
点的双面投影
V a’ A X ax a O X ax O
a’
点的两面投影规律
（1）点的正面投影和水平投影的连系线垂 直于OX轴（a’a⊥OX)
a
（2）点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离，点的水平投影 到OX轴的距离等于空间点到V面的距离。 a’ax =Aa ; aax =Aa’
V a’ A X 水平投影面 H 正立投影面 V
投影轴 OX (V⊥H ) 空间点 A (大写字母) O
水平投影 a (小写字母) 正面投影 a’ (小写字母
ax
a
右上角加一撇)
规定：
V面不动，H面向下旋转90°
点的两面投影
点的双面投影
V 水平投影面 H 正立投影面 V
a’
投影轴 OX (V⊥H ) 空间点 A (大写字母)
a’ X aX
O
aY
H
a
YH
点的三面投影
点的三面投影
【例题】已知点A的水平投影a和正面投影a’ ,求侧面投影a”。
Z 作图步骤如下：
a’ X
a” O
YW
（1）过O作45°辅助线； （2）过a 作OX轴的平行线交45°辅 助线于一点ao； （3）过ao作Oyw轴的垂直线，与过a’ 作的水平线交于点a’’，即为所求。
第2章 点的投影
1 2 3 4
投影法概述 点的两面投影
点的三面投影 两点的投影
点的三面投影
三面投影体系的建立
就点而言，两个投影可以唯一确定空间点的位置，但对于 某些空间物体，需三面投影才能确定其空间形状。如：
点的三面投影
三面投影体系的建立
V a’
X a H A a” O W Z
水平投影面-H
第2章 点的投影
1 2 3 投影法概述 点的两面投影 点的三面投影 两点的投影
4
两点的投影
两点的相对位置
Z
a a b
上 左 右 后 前
b
A
B b a
下 后 前
X
b X ’ b
a ’
Z
b ”
a ”
YW
上 下
a
左 右
YH
Y
X值大的点——在左 Y值大的点——在前 Z值大的点——在上
B点在A点的左边 A点在B点的前边 A点在B点的上边