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立体几何典型例题精选[含答案解析]
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FED CBA 立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC的中点，2,1,DB DC BC ===AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,︒如右图.（1）求证：AE ⊥平面;BDC（2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值.变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图15所示．(1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．热点二：二面角例2．[2014·广东卷] 如图14，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D AF E的余弦值．变式3：[2014·浙江卷] 如图15，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B AD E的大小．变式4：[2014·全国19] 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．热点三：无棱二面角例3．如图三角形BCD 与三角形MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.变式5：在正方体1111ABCD A B C D -中，1K BB ∈，1M CC ∈，且114BK BB =，134CM CC =．求：平面AKM 与ABCD 所成角的余弦值．变式6：如图1111ABCD A B C D -是长方体，AB ＝2，11AA AD ==，求二平面1AB C 与1111A B C D 所成二面角的正切值．高考试题精选1．[2014·四川，18] 三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A NP M的余弦值．2．[2014·湖南卷] 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．3．[2014·江西19] 如图16，四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．M OH FED C B A 立体几何专题复习 答案例1.（2014，广二模）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE ⋅=n AE nAE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分 变式1：（2013湖北8校联考）（1）取BD 中点F ，连结,EF AF ,则11,,60,2AF EF AFE ==∠=……………2分由余弦定理知222360,AE AF EF AE AE EF ==+=∴⊥………4分又BD ⊥平面AEF ,,BD AE AE ∴⊥⊥平面BDC ………6分（2）以E 为原点建立如图示的空间直角坐标系，则1(1,,0)2A C -,11(1,,0),(1,,0)22B D --- ………8分设平面ABD 的法向量为n (,,)x y z =,由00n DB n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20102x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,取z ,则3,(0,y =-∴=-n . 13(1,,),cos ,2||||AC AC AC AC=--∴<>==-n n n ……11分故直线AC 与平面ABD . …………12分变式2：（2014福建卷）解：(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD . …………3分 又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD . …………4分 (2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD . 由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD . ……6分以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.则BC →＝(1，1，0)，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，AD →＝(0，1，－1)．…………7分设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0， 取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)． …………9分设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝||cos 〈n ，AD →〉＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63. …………11分 即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. …………12分例2.（2014，广东卷）:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DCDE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴⋅=====⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠===12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (xDP DC DA x y z DC A CF CP FDF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为变式3：（2014浙江卷）解：(1)证明：在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2， 由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC . …………2分 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD . …………4分 (2)方法一：过B 作BF ⊥AD ，与AD 交于点F ，过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG .由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B AD E 的平面角．…………6分在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB .由AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD . 在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6.在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.…………7分在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝2 33，AF ＝23AD .从而GF ＝23ED ＝23. …………9分在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5 714，BG ＝23. …………11分在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF ＝32. …………13分所以，∠BFG ＝π6，即二面角B AD E 的大小是π6.…………14分方法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系D xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0，0，0)，E (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，2，2)，B (1，1，0)．设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．可算得AD ＝(0，－2，－2)，AE ＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)．…………7分由⎩⎨⎧m ·AD ＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．…………9分 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0， 可取n ＝(1，－1，2)．…………11分于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33×2＝32. …………13分由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E 的大小是π6.分变式4：（2014全国卷）19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面 AA 1C ⊥平面ABC . 又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C . …………2分连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C .由三垂线定理得AC 1⊥A 1B . ……4分（注意：这个定理我们不能用） (2) BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. …………6分又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3. …………8分 作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．…………10分 由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1DDF＝15，……12分 所以cos ∠A 1FD ＝14. …………13分所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14. …………14分方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B . …………4分(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为 |CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c . …………6分又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1， 于是AA 1→＝(－1，0，3)． …………8分 设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )， 则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)．…………10分 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，…………11分故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14. …………13分所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14. …………14分例3. 无棱二面角（2010年江西卷）解法一：（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD .又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD ，所以MO ∥AB ，A 、B 、O 、M 共面.延长AM 、BO 相交于E ，则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角.OB =MO MO ∥AB ，MO//面ABC ，M 、O 到平面ABC 的距离相等，作OH ⊥BC 于H ，连MH ，则MH ⊥BC ，求得：OH=OCsin600=2,MH=2,利用体积相等得：5A MBC M ABC V V d --=⇒=。
立体几何试题及解析
立体几何试题及解析第一题：求长方体的体积已知长方体的长为6cm，宽为4cm，高为3cm，求长方体的体积。
解析：长方体的体积公式为：体积 = 长 ×宽 ×高代入已知数据：体积 = 6cm × 4cm × 3cm = 72cm³所以长方体的体积为72立方厘米。
第二题：求正方体的表面积已知正方体的边长为5cm，求正方体的表面积。
解析：正方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×边长²代入已知数据：表面积 = 6 × (5cm)² = 6 × 25cm² = 150cm²所以正方体的表面积为150平方厘米。
第三题：求圆柱体的体积已知圆柱体的底面半径为2cm，高度为8cm，求圆柱体的体积。
解析：圆柱体的体积公式为：体积= π × 半径² ×高度代入已知数据：体积= 3.14 × (2cm)² × 8cm ≈ 100.48cm³所以圆柱体的体积约为100.48立方厘米。
第四题：求球体的表面积已知球体的半径为3cm，求球体的表面积。
解析：球体的表面积公式为：表面积= 4π × 半径²代入已知数据：表面积= 4 × 3.14 × (3cm)² ≈ 113.04cm²所以球体的表面积约为113.04平方厘米。
总结：在几何学中，立体几何是其中的一个重要部分。
通过对不同类型立体的题目进行解析，可以加深对其体积、表面积等概念的理解。
掌握了基本的立体几何公式和计算方法，能够更好地解决与立体几何相关的问题。
在实际生活中，立体几何的应用广泛，例如建筑、工程、制造等领域。
因此，对立体几何的学习和理解具有重要的意义。
高中数学高考复习《空间几何体的三视图》经典例题解析附习题答案
3 32正视图侧视图俯视图图1空间几何体的三视图1..一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）48 (B)32+8(C) 48+8(D) 80【答案】 C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。
故S 表【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。
2.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.1229 B.1829 C. 429 D. 1836答案：B解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3的正方形，高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于233)23(3431829。
故选 B评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计算.3.如图l —3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）b5E2RGbCAPA.63 B.93 C.123 D.183【解析】 B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，.ABCD EA 平面3931232hS VABCD平行四边形。
所以选 B4.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A ）283（B ）83（C ）82（D ）23【答案】A【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为3212123283故选A5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是HGFEDCBA 3123A ．8B ．62C ．10 D ．82【答案】 C6.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________.p1EanqFDPw答案：2323234aa ，解得解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a ，则由a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是322232.DXDiTa9E3d7.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为__________ 3m 【答案】6【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为1321363V V 长方体圆锥.8. 下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】 A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.9.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是第一节10.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于（）A.3 B.2 C.23 D.6【命题立意】本题考查三棱柱的三视图与直观图、表面积。
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d =||||MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。
高中立体几何典型及解析
高中立体几何典型及解析1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。
根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面．的一个图是PPQQRSSPPPQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ） D解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。
3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。
B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。
C 项：如图4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为1111C解析：11BC ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。
5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是（A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。
高考数学专题11立体几何(基础篇)解析版 Word版含解析
《2016艺体生文化课-百日突围系列》专题11 立体几何三视图【背一背基础知识】1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。
（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
【讲一讲基本技能】1.必备技能：三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．一般地，若俯视图中出现圆，则该几何体可能是球或旋转体，若俯视图是多边形，则该几何体一般是多面体；若主视图和左视图中出现三角形，则该几何体可能为椎体.2.典型例题例1某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 BCD．2【答案】C【解析】【考点定位】三视图.【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可．例2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）1112A ．8+ B．11+．14+．15 【答案】B 【解析】【考点定位】三视图和表面积．【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题． 【练一练趁热打铁】1. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.3.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,1111C B A AA 面⊥,正视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（ ）A ．4B ．22 C． D ．2【答案】C 【解析】几何体的表面积和体积【背一背基础知识】1. .柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(1)表面积公式 (2)体积公式①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ①柱体的体积V ＝Sh ； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ②锥体的体积V ＝13Sh ；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ③台体的体积V ＝13(S ′＋SS ′＋S )h ；④球的表面积S ＝4πR 2 ④球的体积V ＝43πR 【讲一讲基本技能】 1.必备技能：求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在。
立体几何难题解析附有答案详解
立体几何难题解析（附有答案详解）一、解答题1．如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE ．将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面ABCE （如图2所示），连结BD 、CD ，AC 、BE ．HEGDCBA图1图2ABCG EHD（Ⅰ）求证：平面⊥DAC 平面DEB ；（Ⅱ）当三棱锥GHE B -的体积最大时，求直线BG 与平面BCD 所成角的正弦值．2．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，点D E 、分别在边11BC B C 、上，1CD B E AC ==，60ACD ∠︒＝．求证：（1）BE 平面1AC D ；（2）平面1ADC ⊥平面11BCC B ．3．如图，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，DC 90∠A = ，AE ⊥平面CD AB ，F//CD E ，1C CD F D 12B ==AE =E =A =．（1）求证：C //E 平面F AB ；（2）在直线C B 上是否存在点M ，使二面角D E -M -A 的大小为6π？若存在，求出C M 的长；若不存在，说明理由．4．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠= ，1AD DC ==，2AB =，E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：平面PCB ⊥平面PAC ；（2）若平面CEF 与底面ABCD 所成的锐二面角为4π，求PA 的长．5．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求该八面体的表面积．（2）此正子体的表面积S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出表面积的取值范围．6．如图1，已知四边形ABCD 满足//AD BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE 沿着AE 翻折成1B AE △，形成四棱锥1B AECD -，F 为1B D 的中点，M 为AE 的中点，如图2所示.（1）求证：面1B DM ⊥面1B AE ；（2）当平面1B AE 与平面1B DC 所成角的余弦值为5时，求1B D 的长度；（3）当面1B AE ⊥面AECD 时，求平面1ADB 与平面1ECB 所成角的正弦值.7．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱1BB ，11A C 分别交于点F ，G．（1）若F 为1BB 的中点，求三棱柱被截面AGEF 分成上下两部分的体积比12V V ；（2）若四棱雉1A AGEF -求截面AGEF 与底面ABC 所成二面角的正弦值；（3）设截面AFEG 的面积为0S ，AEG ∆面积为1S ，AEF 面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S的取值范围．8．如图，在四棱锥B ACDE -中，平面ABC ⊥平面ACDE ，ABC 是等边三角形，在直角梯形ACDE 中，//AE CD ，AE AC ⊥，1AE =，2AC CD ==，P 是棱BD 的中点．（1）求证：EP ⊥平面BCD ；（2）设点M 在线段AC 上，若平面PEM 与平面EAB求MP 的长．9．如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中2AB AD ==E 为DC 中点，将它沿AE 折成直二面角D AE B --.（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）如果()0AH HB λλ=> ，求二面角H AD E --的余弦值.10．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD,△PBC 沿PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为PB 中点．(Ⅰ)求证：PO⊥AB;(II）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值；(Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．11．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA⊥平面Q 在PB 上，且满足PQ∶QB=1∶3，求直线CQ 与平面PAC 所成角的正弦值．12．已知四棱锥中平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，分别是的中点．（1）求证：//平面；（2）求截面与底面所成二面角的大小．13．如图，已知四边形ABCD由Rt ABC∆拼接而成，其中∆和Rt BCDBAC BCD∠=∠=︒，3090∆沿着BC折起.=，BC=ABC∠=︒，AB ACDBC（1）若AD=，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（2）当四面体ABCD的表面积的最大时，求二面角A BC D--的余弦值.14．如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直．（1）求异面直线AE 与BD 所成角的大小；（2）在线段BD 上取点M ，在线段AE 上取点N ，且BMx BD=，EN y EA =，试用x ，y 来表示线段MN 的长度；（3）在（2）的条件下，求MN 长度的最小值，并判断当MN 最短时，MN 是否是异面直线AE 与BD 的公垂线段?15．（本题满分14分）如图所示，正方形ABCD 所在的平面与等腰ABE ∆所在的平面互相垂直，其中顶120BAE ∠= ，4AE AB ==，F 为线段AE 的中点．（1）若H 是线段BD 上的中点，求证：//FH 平面CDE ；（2）若H 是线段BD 上的一个动点，设直线FH 与平面ABCD 所成角的大小为θ，求tan θ的最大值．16．如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E F 、分别是棱AA CC ''、的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB DD ''、交于M N 、，设[]01BM x x =∈，，，求:(1)求EF 与面A B BA ''所成的角的大小；(2)求四棱锥C MENF '-的体积()V h x =，并讨论它的单调性；(3)若点P 是正方体棱上一点，试证:满足'2PA PC +=成立的点的个数为6.17．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，异面直线1BC 与1AB 互相垂直.（1）求证：平面1//A DC 平面11BD C ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为x ，116AC AB ==，三棱锥1AACD -的体积为y ，试写出y 关于x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当1CC 与平面11ABB A 的距离为多少时，三棱锥1A ACD -的体积取得最大值？并求出最大值.18．如图,四棱锥P ABCD -的底面为菱形且∠ABC=120°,PA ⊥底面ABCD,AB=1,PA E 为PC 的中点.(1)求直线DE 与平面PAC 所成角的大小；(2)求二面角E-AD-C 平面角的正切值；(3)在线段PC 上是否存在一点M ,使PC ⊥平面MBD 成立.如果存在,求出MC 的长；如果不存在,请说明理由参考答案1．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）BG 与平面BCD所成角的正弦值为6．【解析】（Ⅰ）由已知CD AB //，︒=∠90ABC ，42==AB CD 及BC AE //交CD 于点E ．得到四边形ABCE 是边长为2的正方形．BE AC ⊥，AE DE ⊥．再据平面ADE ABCE ⊥平面，平面ADE ABCE AE ⋂=平面，得到DE ABCE ⊥平面，DE AC ⊥，AC DBE ⊥平面，得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ABCE ⊥平面，EC AE ⊥，以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D 设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）由CE AB //，得到DAE AB 面⊥，从而2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x ，根据1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点．G 也是AD 的中点，求得)1,0,1(G ，)1,2,1(--=BG ．设),,(z y x n =是面BCD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅022)2,2,0(),,(02)0,0,2(),,(z y z y x DC n x z y x BC n ，令1=y ，得)1,1,0(=n ，设BG 与面BCD 所成角为θ，由||sin ||||BG n BG n θ⋅=即得．试题解析：（Ⅰ）∵CD AB //，︒=∠90ABC ，42==AB CD 又BC AE //交CD 于点E ．∴四边形ABCE 是边长为2的正方形∴BE AC ⊥，AE DE ⊥．又∵平面ADE ABCE ⊥平面平面ADE ABCE AE = 平面∴DE ABCE⊥平面∵AC ABCE ⊂平面，∴DE AC ⊥又E BE DE = ∴AC DBE ⊥平面∵AC DAC ⊂平面∴平面DAC DEB⊥平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ABCE ⊥平面，ECAE ⊥以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D 设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）∵CE AB //，∴DAE AB 面⊥∴2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x ∵20<<x ，∴1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点．∵AE GH //，∴G 也是AD 的中点，∴)1,0,1(G ，)1,2,1(--=BG ．设),,(z y x n =是面BCD 的法向量．则(,,)(2,0,0)20(,,)(0,2,2)220n BC x y z x n DC x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ 令1=y ，得)1,1,0(=n 设BG 与面BCD 所成角为θ则||sin 6||||BG n BG n θ⋅===∴BG 与平面BCD所成角的正弦值为6．2．（1）见详解；（2）见详解.【分析】（1）通过1BE C D 来证明BE 平面1AC D ；（2）通过AD ⊥平面11BCC B 来证明平面1ADC ⊥平面11BCC B .【详解】证明：（1）由三棱柱111ABC A B C －是直三棱柱，得11BC B C .因为点D E 、分别在边11BC B C 、上，1CD B E =，所以1BD C E =，1BD C E .所以四边形1BDC E 是平行四形，所以1BE C D 因为1C D ⊂平面1AC D ，BE ⊄平面1AC D 所以BE 平面1AC D .(2)由三棱柱111ABC A B C －是直三棱柱,得1CC ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面ABC ,所以1AD CC ⊥，在ACD ∆中,由12CD AC =，60ACD ∠︒＝，得32AD AC ==，所以222AD CD AC +=，所以90ADC ∠︒＝,即：AD BC ⊥，因为BC ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C = ，所以AD ⊥平面11BCC B ，因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B .3．（1）详见解析（2）C 3M =【解析】（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从平几出发，寻找线线平行：根据题意先将图形补全，再利用平行四边形得线线平行（2）研究二面角，一般方法为利用空间向量：先建立坐标系，利用坐标求二面角两个平面的法向量，因为AE ⊥平面D AM ，所以AE 为平面D AM 的一个法向量，而平面D EM 的一个法向量，则需联立方程组解出，再利用向量数量积求两法向量的夹角的余弦值，最后根据二面角与法向量夹角相等或互补关系，列等量关系确定点M ，同时根据向量的模求出C M 的长.解：（1）如图，作FG//EA ，G//F A E ，连接G E 交F A 于H ，连接BH ，G B ，F//CD E 且F CD E =，∴G//CD A ，即点G 在平面CD AB 内．由AE ⊥平面CD AB ，知G AE ⊥A ，∴四边形FG AE 为正方形，四边形CD G A 为平行四边形，∴H 为G E 的中点，B 为CG 的中点，∴//C BH E ．BH ⊂平面F AB ，C E ⊄平面F AB ，∴C //E 平面F AB ．（4分）（2）法一：如图，以A 为原点，G A 为x 轴，D A 为y 轴，AE 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -．则()0,0,0A ，()0,0,1E ，()D 0,2,0，设()01,,0y M ，∴()D 0,2,1E =- ，()0D 1,2,0y M =-，设平面D EM 的一个法向量为(),,n x y z = ，则()0D 20D 20n y z n x y y ⎧⋅E =-=⎪⎨⋅M =+-=⎪⎩，令1y =，得2z =，02x y =-，∴()02,1,2n y =-．（10分）又 AE ⊥平面D AM ，∴()0,0,1AE =为平面D AM 的一个法向量，∴cos ,cos62n πAE ==，解得023y =±，∴在直线C B 上存在点M ，且33C 2233⎛M =-±= ⎝⎭．方法二：作D S A⊥M ，则SA ，由等面积法，得D 3M =，∴C 3M =．【分析】（1）本题首先可根据题意求出AC 、BC 的长度，然后根据222AC BC AB +=得出BC AC ⊥，再然后根据PA ⊥底面ABCD 得出PA BC ⊥，即可得出BC ⊥平面PAC ，最后根据BC ⊂平面PCB 即可证得平面PCB ⊥平面PAC ；（2）本题首先可结合图像构造空间直角坐标系，然后设PA a =，写出平面ABCD的法向量1n u r 以及平面CEF 的法向量2n u u r，最后根据平面CEF 与底面ABCD 所成的锐二面角为4π即可求出PA 的长.【详解】（1）因为1AD DC ==，2AB =，90CDA BAD ∠=∠=，所以AC BC ==因为222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，因为BC ⊂平面PCB ，所以平面PCB ⊥平面PAC .（2）如图，以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)PA a a =>，则()0,2,0B =，()1,1,0C ，()1,0,0D ，()0,0,P a ，因为E 、F 分别为PD 、PB 的中点，所以1,0,22a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,1,2a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,22a CE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1,0,2a CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，易知平面ABCD 的一个法向量1(0,0,1)n =，设平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z =，则220,0,CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即10,220,2az x y az x ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨取4z =，则2x a =，y a =，即2(2,,4)a a n=，因为平面CEF 与底面ABCD 所成的锐二面角为4π，所以121212cos,nnn nnn⋅=⋅解得a=，即PA【点睛】利用空间向量解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将相关向量用坐标表示，通过向量运算判断或证明空间元素的位置关系及探究空间角、空间距离问题．建立空间直角坐标系的三种方法：（1）以几何体中共顶点且互相垂直的三条棱所在的直线作为坐标轴建系；（2）利用线面垂直关系找到三条互相垂直的直线建系；（3）利用面面垂直关系找到三条互相垂直的直线建系．5．（1）．【分析】（1）根据题意，正子体的所有棱都是正方体相邻两个面中心的连线，则正子体每个面都是正三角形，进而求出表面积；（2）设平面ABCD截正方体所得截面为A B C D''''，设(01)AA x x'=≤≤，进而算出ADE的面积，从而算出正子体的表面积即可判断.【详解】（1）依题意，正子体任一棱都是正方体相邻两个面中心的连线，所以正子体所有棱的长均相等.因为AB=所以242ABES=⨯，故该八面体的表面积8=．（2）正子体的表面积S不是定值．如图1，设平面ABCD截正方体所得截面为A B C D''''，且A B C D''''的中心为O，过点O作OG A B''⊥，垂足为G．设(01)AA x x '=≤≤，则1AG x =-，222222(1)1123AE DE AO OE x x x ==+=-++=-+，()2222(2)224AD x x x x =-+=-+.设AD 的中点为H ，如图2，则()22212122AD AH x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，()22221222EH AE AH x x =-=-+，所以()()()2222211122422442ADE S AD EH x x x x ⎡⎤⎡⎤=⋅=-+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()2221322242x x x x =-+-+．因为01x ≤≤，所以2120x x -≤-≤，则()()2223132222442x x x x ≤-+-+≤，ADE S ≤≤ S ≤≤，所以此正子体的表面积S 的取值范围为．6．（1）证明见解析；（2）5a ；（3）45.【分析】(1)要证面1B DM ⊥面1B AE ，只需证AE ⊥面1B DM 即可；(2)根据已知条件可知，1MB D ∠即为面1B AE 与面1B DC 所成角的平面角，进而可得1B D 的长度；(3)建立适当的空间直角坐标系进行求解即可.【详解】(1)证明：因为12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，所以AD CE a ==，又因为//AD BC ，所以四边形AECD 为菱形，所以ABE △为正三角形，又因为M 为AE 的中点，所以1B M AE ⊥，DM AE ⊥，又因为1B M DM M ⋂=，所以AE ⊥面1B DM ，又因为AE ⊆面1B AE ，所以面1B DM ⊥面1B AE ，(2)由(1)知：DM AE ⊥，1B M AE ⊥，又因为//AE CD ，所以1B M CD ⊥，CD DM ⊥，所以CD ⊥面1B DM ，所以面1B DC ⊥面1B DM ，又因为面1B DM ⊥面1B AE ，所以1MB D ∠即为面1B AE 与面1B DC所成角的平面角，即1cos 5MB D ∠=，在1MB D △中，1B M =，DM =，由余弦定理得：22211111cos 25B M B D DM MB D B M B D +-∠=⋅，解得：15B D =.(3)因为面1B AE ⊥面AECD ，1B M AE ⊥，所以1B M ⊥面AECD ，所以以M 为坐标原点，以向量ME，MD ，1MB 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得：,0,02aA ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，,0,02aE ⎛⎫⎪⎝⎭，,,02C a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则有：1,0,22a B A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22a B E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，133,22B C a a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1ADB 与平面1ECB 的法向量分别为()1111,,x n y z =，()2222,,n x y z = ，由111100n B A n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220a x z y z ⎧--=⎪⎪=，令11z =，则1x =11y =，所以()1n =，由212100n B E n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222220220ax z ax y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令21z =，则1x =21y =-，所以)21,1n =-，设平面1ADB 与平面1ECB 所成角的平面角为θ，则：12123cos 5n n n n θ⋅==⋅ 所以4sin 5θ=.7．（1）121323V V =；（2）45；（3）94,2⎡⎤⎢⎣⎦．【分析】（1）连结EF ，并延长分别交1CC ，CB 于点M ，N ，连结AM 交11A C 于点G ，连结AN ，GE ，利用比例关系确定G 为11A C 靠近1C 的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结1A E ，1A F ，由11111A EFB G AA E F AA E V V V V ---=++和21V V V =-进行求解，即可得到答案；（2）求出点G 到平面1A AE 的距离，得到点G 为11A C 靠近1C 的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角，在三角形中利用边角关系求解即可；（3）设1GC m =，则[0m ∈，1]，先求出12S S 的关系以及取值范围，然后将2012S S S 转化为1S ，2S 表示，求解取值范围即可．【详解】解：（1）连接EF ，并延长分别交1CC ，CB 延长线于点M ，N ，连接AM 交11A C 于点G ，连接AN ，GE ．易得11113GC MC C E AC MC CN ===．故G 为11A C 靠近1C 的三等分点．11MC =，123GC =．下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比．三棱柱111ABC A B C -的体积2224V =⨯=连接1A E ，1A F ．由1//BB 平面1A AE 知，1F AA E V -为定值．11121323F AA E V -=⨯⨯=．11111A EFB G AA E F AA E V V V V ---=++1111211232323=⨯⨯⨯⨯⨯+=21V V V =-=121323V V =．（2）由111A AGEF G AA E F AA E V V V ---=+及1F AA E V -=1G AA E V -=又1113G AA E AA E V S h -=⨯⨯△，所以34h =．即点G 到1A E 的距离为34，G 为11A C 靠近1C 的四等分点．因为平面111//A B C 平面ABC ，所以截面AGEF 与平面ABC 所成角即为截面AGEF 与平面111A B C 所成角，在1GC E △中，112GC =，11C E =，故1EG GC ⊥．又因为平面11ACC A ⊥平面111A B C ，且平面11ACC A 平面11111A B C AC =，所以EG ⊥平面11ACC A ．则1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角．在1Rt AGA △中，132A G =，12AA =，52AG =．故114sin 5AA A GA AG ∠==．因此，截面AGEF 与平面ABC 所成二面角的正弦值为45．（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2MG mGA m=-．设MGE 的面积为S ，所以12S m S m=-．又因为21S S S =+，所以1222S mS -=．且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()21201212122212S S SS S S S S S S S +==++．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以20121221924,2S S S S S S S ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦8．（1）证明见解析；（2）2M P =.【分析】（1）取BC 的中点Q ，连接PQ 、AQ ，由线面垂直判定定理可证AQ ⊥面BCD ，即可得证；（2）以Q 为原点建立坐标系，利用向量法建立关系可求出.【详解】（1）证明：如图，取BC 的中点Q ，连接PQ 、AQ ，因为ABC 是等边三角形，所以AQ BC ⊥，又平面ABC ⊥平面ACDE ，AE AC ⊥，平面ABC 平面ACDE =AC ，所以AE ⊥面ABC ，又AQ ⊂面ABC ，所以AE AQ ⊥，又//AE CD ，所以CD AQ ⊥，又CD BC C ⋂=，所以AQ ⊥面BCD ，因为2BP PD =，又P 是棱BD 的中点，所以112PQ DC ==，//PQ DC ，又//AE CD ，1AE =，所以//AE PQ ，AE PQ =，即四边形AEPQ 是一个平行四边形，所以//EP AQ ，所以EP ⊥平面BCD ；（2）由（1）得PQ ⊥平面ABC ，所以以点Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0Q ，)A ，()0,1,0B ，)E ，()0,0,1P ，设平面EAB 的法向量为()111,,m x y z =，由()111+00m AB y m m AE z ⎧⋅==⎪⇒=⎨⋅==⎪⎩，因为点M 在线段AC上，设其坐标为),0M t -，其中01t ≤≤，所以(),,1EM t =--，()EP = 设平面PEM 的法向量为()222,,n x y z =，由()222200,1,0n EM ty z n t n EP ⎧⋅=--=⎪⇒=-⎨⋅==⎪⎩，由题意，设平面PEM 与平面EAB 所成的锐二面角为θ，则1cos 2m n t m n θ⋅=⇒=-⋅或12t =，因为01t ≤≤，所以1,02M ⎫-⎪⎪⎝⎭，所以M P =.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。
空间几何体的表面积和体积经典例题(教师讲义打印一份)
空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。
高考数学 专题06 空间几何体 Word版含解析-学生版-理科(有配套教师版)
立体几何1． 柱、锥、台；直、正2．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．3． 空间体面积和体积公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥的半径，R 表示半径。
(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)补：扇形&圆锥知识点二：空间中的平行于垂直12．3．线面关系转化示意图知识点三：空间向量与立体几何（1）空间向量与平行关系直线的方向向量： 平面的法向量：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，且a 2b 2c 2≠0，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)①线线平行：l ∥m ⇔//a b ⇔a b λ= ⇔111222a b ca b c ==222(0)a b c ≠.②线面平行： l ∥α⇔a u ⊥ ⇔0a u ⋅=⇔1212120a a bb c c ＋＋＝. ③面面平行：α∥β⇔//u v ⇔u v λ= ⇔111222a b ca b c ==222(0)a b c ≠（（（4【热点知识再梳理——胸有成竹】【典例】如图所示的一块长方体木料中，已知1,21===AA BC AB ，设F 为线段AD 上一点，则该长方体中经过点C F A ,,1的截面面积的最小值为．655【跟踪练习1】将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A -BCD ，则四面体A -BCD 的外接球的体积为________．π6125【跟踪练习2】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ．64+4π热点二：证明或判断空间平行、垂直关系【典例】已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中，M 是1DD 的中点. （I ）求证：1//BD 平面AMC ；（II ）求证：1⊥AC BD ； （III ）在线段1BB 上是否存在点P ，当1BPBB λ=时，平面11//A PC 平面AMC ？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由.【跟踪练习1】在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1A CD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1A CD ．【跟踪练习2】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点，1BC BB =. （1）求证：1//AC 平面1AB D ； （2）试在棱1CC 上找一点M ，使得1MB AB ⊥，并说明理由.BA C 1热点三：利用空间向量求角与距离问题【题型概述】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．【典例】如图，四边形PCBM 是直角梯形，90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒==，又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒. （1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离.【跟踪练习1】如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，⊥PD底面ABCD ，CD AB ∥，CD AD ⊥，1==AB AD ，2=BC .（1）求证：面⊥PBD 面PBC ；（2）设H 为CD 上一点，满足2=，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为36，求二面角C PB H --的余弦值.【跟踪练习2】如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ= （R λ∈），且向量PC 与BD夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；2λ=（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 5个结论：①点M 到AB 的距离为2； ②三棱锥C －DN E 的体积是16；③AB 与EF 所成的角是2π. 其中正确结论的序号是________．2．如图，在一个︒60的二面角的棱上，有两个点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且4AB cm =，cm AC 6=，cm BD 8=，则CD 的长为 ；3. 已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，,4,BC CD BC CD AB AD ⊥====，则三棱锥ABCD -的外接球的大圆面积为________．4. 的四面体ABCD 中，AB ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为 ．5. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线P B 和AC ，则截面的周长为 .6. 已知E 、F 、G 、H 分别是三棱锥A -BCD 棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点， （1）四边形EFG H 是_______形 （2）AC 与BD 所成角为60︒，且AC =BD =1，则EG=_______7. (文科) ．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60=∠DAB ，点F E ,分别是边CD ，CB 的中点，O EF AC = ，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PD PBPA ,,，得到如图的五棱锥ABFED P -，且10=PB .（1）求证：PA BD ⊥；（2）求四棱锥BFED P -的体积.C DAB CDαβγA B D E F G H8. (文科)斜三棱柱ABC C B A -111中，侧面C C AA 11⊥底面ABC ，侧面C C AA 11是菱形，160A AC ∠= ，3=AC ，2==BC AB ，E 、F 分别是11AC ，AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面11BB C C ； （2）求证：C E ⊥面ABC ．（3）求四棱锥11B BCC E -的体积．9(文科)沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面ABCD ，M 为1AF 的中点，如图2．（Ⅰ）求证：1BE DC ⊥； （Ⅱ）求证：DM //平面1BCE ； （Ⅲ）判断直线CD 与1ME 的位置关系,并说明理由．10(文科) 如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点，O 为AD 中点，求证： （1）PC AD ⊥；（2）OM PAB ∥平面（3）求点D 到平面PAM 的距离．图2 ABC DE 1F 1MEC 1B 1A 1FECA7. (理科)直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点． （1）证明：DF AE ⊥；（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．8. (理科) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=，2AB AC PA ===， ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上． （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD 的值．F C ADPM B E9. (理科) 如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD =O,△P AC 是边长为2的等边三角形，P B =P D,A P=4A F. （1）求证：PO ⊥底面ABCD ；（2）求直线C P 与平面BD F 所成角的大小；（3）线段P B 上是否存在点M ，使得CM ∥平面BD F ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.10. (理科) 【江苏省扬州中学高三开学考试24】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB CD ,2AD CD AB ==，E F ，分别为PC CD 、的中点． （1）试证：AB ⊥平面BEF ；（2）设PA kAB =，且二面角E BD C --的平面角大于45︒，求k 的取值范围．118. 文： （1）（2）略；（3）； 理：（1）略；（2）9. 文： （1）略；（2）略；（3）相交； 理：（1）略；（2）30°；（3）10.文： （1）略；（2）略；（3）V =3； 理：（1）略；（2）k >O PF D CB A。
空间向量立体几何(绝对经典)
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图)A BCD A 1B 1C 1D 1G1)1(AA AD AB ++1111)1(AC CC AC AA AC AA AD AB =+=+=++解M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向量.ll aaOABP a若P为A,B中点,则()12=+ OP OA OB2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使, a b yx , p ,a b OM a b A B A 'Pp p xa yb =+ 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有=+MP xMA yMB =++ OP OM xMA yMB 注意：空间四点P 、M 、A 、B 共面⇔存在唯一实数对,,x y MP xMA yMB =+ （）使得(1)OP xOM yOA zOB x y z ⇔=++++= 其中，例1：已知m,n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α。
n mg g m n αl l 证明：在α内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g ，因m与n相交，得向量m、n 不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g =x m +y n ,l ·g =x l ·m +y l ·n∵ l ·m =0,l ·n =0∴ l ·g =0∴ l⊥g∴ l⊥g这就证明了直线l垂直于平面α内的任一条直线，所以l⊥α巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理αa A O P ().,0,,,,0,0,PA a PA a a OA a PO a PA OAy PO x PA y x OA PO OA PO a OA a OA a PO a PO PO aa ⊥⊥∴=⋅+⋅=⋅∴+==⋅∴⊥=⋅∴⊥∴⊥即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在αPA a OAa a PA OA PA PO ⊥⊥⊂求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,ααα复习:2. 向量的夹角:a bO ABabθ0a b π≤≤ ，a b ，向量 的夹角记作:a b 与a b = ||||cos ,a b a b 1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)a x y z b x y z == 设121212x x y y z z =++cos ||||a ba b a b =，121212222222111222++=++⋅++x x y y z z x y z x y z 5.向量的模长:2222||a a x y z ==++ (,,)a x y z = 设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,,),(,,)a x y zb x y z == 1212120x x y y z z ++=0a b a b ⊥⇔=⇔ (2)||||||a b a b ≤ ||||,a b a b a b =⇒ 同方向||||,a b a b a b =-⇒ 反方向注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
立体几何解答题最全归纳总结(解析版)
立体几何解答题最全归纳总结【题型归纳目录】题型一：非常规空间几何体为载体题型二：立体几何存在性问题题型三：立体几何折叠问题题型四：立体几何作图问题题型五：立体几何建系繁琐问题题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题题型七：利用传统方法找几何关系建系题型八：空间中的点不好求题型九：创新定义【典例例题】题型一：非常规空间几何体为载体例1.如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB =4，母线PH =22，M 是PB 的中点，四边形OBCH 为正方形．(1)设平面POH ∩平面PBC =l ，证明：l ∥BC ；(2)设D 为OH 的中点，N 是线段CD 上的一个点，当MN 与平面PAB所成角最大时，求MN 的长．【解析】(1)因为四边形OBCH 为正方形，∴BC ∥OH ，∵BC ⊄平面POH ，OH ⊂平面POH ，∴BC ∥平面POH ．∵BC ⊂平面PBC ，平面POH ∩平面PBC =l ，∴l ∥BC ．(2)∵圆锥的母线长为22，AB =4，∴OB =2，OP =2，以O 为原点，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 0,0,2 ，B 0,2,0 ，D 1,0,0 C 2,2,0 ，M 0,1,1 ，设DN =λDC =λ,2λ,0 0≤λ≤1 ，ON =OD +DN =1+λ,2λ,0 ，MN =ON -OM =1+λ,2λ-1,-1 ，OD =1,0,0 为平面PAB 的一个法向量，设MN 与平面PAB 所成的角为θ，则sin θ=1+λ,2λ-1,-1 ⋅1,0,0 1+λ 2+2λ-1 2+1 =1+λ5λ2-2λ+3，令1+λ=t ∈1,2 ，则sin θ=t 5t 2-12t +10=15-12t +101t 2=1101t -35 2+75所以当1t =35时，即λ=23时，sin θ最大，亦θ最大，此时MN =53,13,-1 ，所以MN =MN =53 2+13 2+-1 2=353．例2.如图所示，圆锥的底面半径为4，侧面积为162π，线段AB 为圆锥底面⊙O 的直径，C 在线段AB 上，且BC =3CA ，点D 是以BC 为直径的圆上一动点；(1)当CD =CO 时，证明：平面PAD ⊥平面POD(2)当三棱锥P -BCD 的体积最大时，求二面角B -PD -A 的余弦值．【解析】(1)∵PO 垂直于圆锥的底面，∴PO ⊥AD ，当CD =CO 时，CD =OC =AC ，∴AD ⊥OD ，又OD ∩PO =O ，∴AD ⊥平面POD ，又AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面POD ；(2)由题可知OA =OB =4，4π⋅PB =162π，∴PB =42，∴PO =4，当三棱锥P -BCD 的体积最大时，△DBC 的面积最大，此时D 为BC的中点，如图，建立空间直角坐标系O -xyz ，则A (0,-4,0),B (0,4,0),P (0,0,4),D 3,1,0 ，∴BP =0,-4,4 ,PD =3,1,-4 ,AP =(0,4,4)，设平面PAD 的法向量为n 1 =(a ,b ,c )，则n 1 ⋅AP =0n 1 ⋅PD =0 ，即4b +4c =03a +b -4c =0，令a =5，则b =-3,c =3，∴n 1 =(5,-3,3)，设平面PBD 的法向量n 2 =x ,y ,z ，则n 2 ⋅BP =0n 2 ⋅PD =0 ，即-4y +4z =03x +y -4z =0，令x =1，则y =1,z =1，∴n 2 =1,1,1 ，则cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2 =5-3+33×52+-3 2+32=5129129，∴二面角B -PD -A 的余弦值为-5129129．例3.如图，圆锥PO 的母线长为6，△ABC 是⊙O 的内接三角形，平面PAC ⊥平面PBC ．BC =23，∠ABC =60°．(1)证明：PA ⊥PC ；(2)设点Q 满足OQ =λOP ，其中λ∈0,1 ，且二面角O -QB -C 的大小为60°，求λ的值．【解析】(1)∵PA =PB =PC =6，BC =23，PB 2+PC 2=BC 2，∴PB ⊥PC∵平面PAC ⊥平面PBC 且平面PAC ∩平面PBC =PC ，PB ⊂平面PBC ，PB ⊥PC ，∴PB ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，∴PB ⊥PA ，∴AB =PA 2+PB 2=23，∴∠ABC =60°，∴△ABC 是正三角形，AC =23，∵PA 2+PC 2=AC 2∴PA ⊥PC ；(2)在平面ABC 内作OM ⊥OB 交BC 于M ，以O 为坐标原点，OM ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz 如图所示：易知OB =OC =2，OP =PB 2-OB 2=2，所以B 2,0,0 ，P 0,0,2 ，C -1,3,0 ，Q 0,0,2λ ，QB =2,0,-2λ ，BC =-3,3,0 ，设平面OBC 的法向量n 1 =x ,y ,z ，依题意n 1 ⋅QB =0n 1 ⋅CB =0 ，即2x -2λz =0-3x +3y =0 ，不妨令y =3λ，得n 1 =λ,3λ,2 ，易知平面OQB 的法向量n 2 =0,1,0 ，由λ∈0,1 可知cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 ⋅n 2=cos60°，即3λλ2+(3λ)2+2 2=12，解得λ=12例4.如图，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，DA =AC =BC =2，四边形DOAE 为矩形，点F 在BC 上，且DF ⎳平面EAC ．(1)请判断点F 的位置并说明理由；(2)平面DFO 将多面体DBCAE 分成两部分，求体积较大部分几何体的体积．【解析】(1)点F 是BC 的中点，取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，因为O 为AB 的中点，所以OF ⎳AC ，又AC ⊂平面AEC ，OF ⊄平面AEC ，所以OF ⎳平面AEC ，由四边形DOAE 为矩形，所以DO ⎳AE ，又AE ⊂平面AEC ，OD ⊄平面AEC ，所以OD ⎳平面AEC ，因为DO ∩OF =O ，DO ,OF ⊂平面DOF ，所以平面DOF ⎳平面AEC ，因为DF ⊂平面DOF ，所以DF ⎳平面AEC ，(2)由(1)知点F 是BC 的中点，因为DA =AC =BC =2，所以AB =AC 2+BC 2=22，所以OA =OC =OB =2，且OC ⊥AB ，所以OD =AD 2-OA 2=2，所以三棱锥D -BOF 的体积V D -BOF =13S △BOF ⋅DO =13×12×2×22×2=26；又三棱锥D -BOC 的体积V D -BOC =13S △BOC ⋅DO =13×12×2×2×2=23，所以四棱锥C -DOAE 的体积V C -DOAE =13S DOAE ×2=13×2 2×2=223，所以几何体DBCAE 的体积V DBCAE =V D -BCO +V C -DOAE =2，所以体积较大部分几何体的体积为V DBCAE -V D -BOF =2-26=526；例5.如图，在直角△POA 中，PO ⊥OA ，PO =2OA ，将△POA 绕边PO 旋转到△POB 的位置，使∠AOB =90°，得到圆锥的一部分，点C 为AB 的中点．(1)求证：PC ⊥AB ；(2)设直线PC 与平面PAB 所成的角为φ，求sin φ．【解析】(1)证明：由题意知：PO ⊥OA ,PO ⊥OB ，OA ∩OC =0∴PO ⊥平面AOB ，又∵AB ⊂平面AOB ，所以PO ⊥AB ．又点C 为AB 的中点，所以OC ⊥AB ，PO ∩OC =0，所以AB ⊥平面POC ，又∵PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AB ．(2)以O 为原点，OA ，OB ，OP 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设OA =2，则A 2,0,0 ，B 0,2,0 ，P 0,0,4 ，C 2,2,0 ，所以AB =-2,2,0 ，AP =-2,0,4 ，PC =2,2,-4 ．设平面PAB 的法向量为n =a ,b ,c ，则n ⋅AB =-2a +2b =0,n ⋅AP =-2a +4c =0, 取c =1，则a =b =2可得平面PAB 的一个法向量为n =2,2,1 ，所以sin φ=cos n ,PC =n ⋅PC n PC =42-465=210-5 15．例6.如图，四边形ABCD 为圆柱O 1O 2的轴截面，EF 是该圆柱的一条母线，EF =2EA ，G 是AD 的中点．(1)证明：AF ⊥平面EBG ；(2)若BE =3EA ，求二面角E -BG -A 的正弦值．【解析】(1)由已知EF ⊥平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，所以EF ⊥BE ，因为AB 是圆O 1的直径，所以AE ⊥BE ，因为AE ∩FE =E ，所以BE ⊥平面AFE ，AF ⊂平面AFE ，故BE ⊥AF ，因为EF =2EA =2AG ，所以EA =2AG ，易知：Rt △AEG ∼Rt △EFA ，所以∠GEA +∠EAF =90°，从而AF ⊥EG ，又BE ∩EG =E ，所以AF ⊥平面EBG ．(2)以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EA 为单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系E -xyz ，则AB =2,BE =3,EF =2，从而A 1,0,0 ,B 0,3,0 ,D 1,0,2 ,F 0,0,2 ，AB =-1,3,0 ,AD =0,0,2 ,设n =x ,y ,z 位平面BGA 的法向量，则{n ⋅AB =0n ⋅AD =0⇒{-x +3y =02z =0⇒{x =3y =1z =0，所以n =3,1,0 ，由(1)知：平面BEG 的法向量为AF =-1,0,2 ,因为cos n ,AF =n ⋅AF n ⋅AF=-12，所以二面角E -BG -A 的正弦值为32．例7.例7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求证BP ⊥BE ；(2)当AB =3，AD =2时，求二面角E -AG -C 的大小．【解析】(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP =A ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BP ⊥BE ．(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1,3,3)，C (-1,3,0)，故AE =(2,0,-3)，AG =(1,3,0)，CG =(2,0,3)．设m =x 1,y 1,z 1 是平面AEG 的一个法向量，由m ·AE =0m ·AG =0 可得2x 1-3z 1=0,x 1+3y 1=0.取z 1=2，可得平面AEG 的一个法向量m =(3,-3,2)．设n =x 2,y 2,z 2 是平面ACG 的一个法向量，由n ·AG =0n ·CG =0，可得x 2+3y 2=0,2x 2+3z 2=0. 取z 2=-2，可得平面ACG 的一个法向量n =(3,-3,-2)．所以cos ‹m ,n ›=m ⋅n |m |⋅|n |=12， 因为<m ,n >∈[0,π]，故所求的角为60°．例8.如图，四边形ABCD 是一个半圆柱的轴截面，E ，F 分别是弧DC ,AB 上的一点，EF ∥AD ，点H 为线段AD 的中点，且AB =AD =4,∠FAB =30°，点G 为线段CE 上一动点．(1)试确定点G 的位置，使DG ⎳平面CFH ，并给予证明；(2)求二面角C -HF -E 的大小．【解析】(1)当点G 为CE 的中点时，DG ∥平面CFH ．证明：取CF 得中点M ，连接HM ,MG ．∵G ，M 分别为CE 与CF 的中点，∴GM ∥EF ，且GM =12EF =12AD ，又H 为AD 的中点，且AD ∥EF ,AD =EF ，∴GM ∥DH ,GM =DH ．四边形GMHD 是平行四边形，∴HM ∥DG又HM ⊂平面CFH ,DG ⊄平面CFH∴DG ∥平面CFH(2)由题意知，AB 是半圆柱底面圆的一条直径，∴AF ⊥BF ．∴AF =AB cos30°=23,BF =AB sin30°=2．由EF ∥AD ,AD ⊥底面ABF ，得EF ⊥底面ABF ．∴EF ⊥AF ,EF ⊥BF ．以点F 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则F (0,0,0),B (0,2,0),C (0,2,4),H (23,0,2)FH =(23,0,2),FC =(0,2,4)设平面CFH 的一个法向量为n =(x ,y ,z )所以n ⋅FH =23x +2z =0n ⋅FC =2y +4z =0则令z =1则y =-2,x =-33即n =-33,-2,1由BF ⊥AF ,BF ⊥FE ,AF ∩FE =F ．得BF ⊥平面EFH ∴平面EFH 的一个法向量为FB =(0,2,0)设二面角C -HF -E 所成的角为θ∈0,π2则cos θ=∣cos ‹n ,FB ›=|n ⋅FB ||n ||FB |=0×-33 +(-2)×2+1×02×13+4+1=32 ∴二面角C -HF -E 所成的角为π6．例9.坐落于武汉市江汉区的汉口东正教堂是中国南方唯一的拜占庭式建筑，象征着中西文化的有机融合．拜占庭建筑创造了将穹顶支承于独立方柱上的结构方法和与之相呼应的集中式建筑形制，其主体部分由一圆柱与其上方一半球所构成，如图所示．其中O 是下底面圆心，A ,B ,C 是⊙O 上三点，A 1,B 1,C 1是上底面对应的三点．且A ,O ,C 共线，AC ⊥OB ，C 1E =EC ，B 1F =13FB ，AE 与OF 所成角的余弦值为36565．(1)若E 到平面A 1BC 的距离为233，求⊙O 的半径．(2)在(1)的条件下，已知P 为半球面上的动点，且AP =210，求P 点轨迹在球面上围成的面积．【解析】(1)如图，取BB 1,CE 上的点N ,M ．连接OM ,OF ,FM ．过N 作NH ⊥A 1B 于H ，则OM ∥AE ，由题意知cos ∠FOM =36565，设⊙O 的半径为r ，AA 1=h ，由勾股定理知OF =r 2+916h 2，OM =r 2+116h 2，FM =2r 2+14h 2，由余弦定理知cos ∠FOM =OF 2+OM 2-FM 22×OF ×OM．代入解得h =2r ，因为EN ∥BC ，EN ⊄面A 1BC ，所以EN ∥面A 1BC ，故N 到面A 1BC 的距离是233，因为BC ⊥AB ，BC ⊥AA 1，AA 1∩AB =A ，所以BC ⊥面A 1AB ，BC ⊥NH ，因为NH ⊥BC ，NH ⊥A 1B ，A 1B ∩BC =B ，所以NH ⊥面A 1BC ，NH =233，而sin ∠A 1BB 1=NH BN =A 1B 1A 1B ，即233×h 2=2r 2r 2+h 2，解得r =2，h =4，即⊙O 的半径为2．(2)设上底面圆心为O 1，则O 1P =2，O 1O 2与O 1P 的夹角为θ，所以|AP |=|AO 1 +O 1P |=20+4+85cos θ=210，解得cos θ=255，过P 作PO 2⊥AO 1于O 2，则O 2P =O 1P ⋅sin θ=255，所以点P 的轨迹是以O 2为圆心，以255为半径的圆，因此可作出几何体被面AOA 1所截得到的截面，如图所示．设弧A 1C 1旋转一周所得到的曲面面积为S 1，弧PP 得到的为S 2，则S 2S 1=1-cos θS 1=12×4πr2 ，因此S 2=2πr 2(1-cos θ)=8π1-255 ．因此P 点轨迹在球面上围成的面积为8π1-255．例10.如图，ABCD 为圆柱OO 的轴截面，EF 是圆柱上异于AD ,BC 的母线．(1)证明：BE ⊥平面DEF ；(2)若AB =BC =6，当三棱锥B -DEF 的体积最大时，求二面角B -DF -E 的正弦值．【解析】(1)证明：如图，连接AE ，由题意知AB 为⊙O 的直径，所以AE ⊥BE ．因为AD ,EF 是圆柱的母线，所以AD ∥EF 且AD =EF ，所以四边形AEFD 是平行四边形．所以AE ⎳DF ，所以BE ⊥DF ．因为EF 是圆柱的母线，所以EF ⊥平面ABE ，又因为BE ⊂平面ABE ，所以EF ⊥BE ．又因为DF ∩EF =F ，DF 、EF ⊂平面DEF ，所以BE ⊥平面DEF ．(2)由(1)知BE 是三棱锥B -DEF 底面DEF 上的高，由(1)知EF ⊥AE ,AE ∥DF ，所以EF ⊥DF ，即底面三角形DEF 是直角三角形．设DF =AE =x ,BE =y ，则在Rt △ABE 中有：x 2+y 2=6，所以V B -DEF =13S △DEF ⋅BE =13⋅12x ⋅6⋅y =66xy ≤66⋅x 2+y 22=62，当且仅当x =y =3时等号成立，即点E ，F 分别是AB ，CD的中点时，三棱锥B -DEF 的体积最大，(另等积转化法：V B -DEF =V D -BEF =V D -BCF =V B -CDF =13S △CDF⋅BC 易得当F 与CD 距离最远时取到最大值，此时E 、F 分别为AB 、CD 中点)下面求二面角B -DF -E 的正弦值：法一：由(1)得BE ⊥平面DEF ，因为DF ⊂平面DEF ，所以BE ⊥DF ．又因为EF ⊥DF ,EF ∩BE =E ，所以DF ⊥平面BEF ．因为BF ⊂平面BEF ，所以BF ⊥DF ，所以∠BFE 是二面角B -DF -E 的平面角，由(1)知△BEF 为直角三角形，则BF =(3)2+(6)2=3．故sin ∠BFE =BE BF=33，所以二面角B -DF -E 的正弦值为33．法二：由(1)知EA ,EB ,EF 两两相互垂直，如图，以点E 为原点，EA ,EB ,EF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E -xyz ，则B (0,3,0),D (3,0,6),E (0,0,0),F (0,0,6)．由(1)知BE ⊥平面DEF ，故平面DEF 的法向量可取为EB =(0,3,0)．设平面BDF 的法向量为n =(x ,y ,z )，由DF =(-3,0,0),BF =(0,-3,6)，得n ⋅DF =0n ⋅BF =0 ，即-3x =0-3y +6z =0，即x =0y =2z ，取z =1，得n =(0,2,1)．设二面角B -DF -E 的平面角为θ，|cos θ|=∣cos n ,EB =|n ⋅EB ||n |⋅|EB |=2×33×3=63，所以二面角B -DF -E 的正弦值为33例11.如图，O 1，O 分别是圆台上、下底的圆心，AB 为圆O 的直径，以OB 为直径在底面内作圆E ，C 为圆O 的直径AB 所对弧的中点，连接BC 交圆E 于点D ，AA 1，BB 1，CC 1为圆台的母线，AB =2A 1B 1=8．(1)证明；C 1D ⎳平面OBB 1O 1；(2)若二面角C 1-BC -O 为π3，求O 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．【解析】(1)连接DE ,O1E ，C 为圆O 的直径AB 所对弧的中点，所以△BOC 为等腰直角三角形，即∠OBD =45°，又D 在圆E 上，故△BED 为等腰直角三角形，所以DE ⎳OC 且DE =12OC ，又CC 1是母线且O 1C 1=12OC ，则O 1C 1⎳OC ，故DE ⎳O 1C 1且DE =O 1C 1，则DEO 1C 1为平行四边形，所以EO 1⎳DC 1，而EO 1⊂面OBB 1O 1，DC 1⊄面OBB 1O 1，故C 1D ⎳平面OBB 1O 1．(2)由题设及(1)知：O 1O 、OB 、OC 两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，过C 1作C 1F ⎳O 1O ，则F 为OC 的中点，再过F 作FG ⎳OD ，连接C 1G ，由O 1O ⊥圆O ，即C 1F ⊥圆O ，BC ⊂圆O ，则C 1F ⊥BC ，又OD⊥BC ，则FG ⊥BC ，故二面角C 1-BC -O 的平面角为∠FGC 1=π3，而FG =12OD =24OB =2，所以O 1O =C 1F =FG tan π3=6．则A (0,-4,0)，D (2,2,0)，C 1(2,0,6)，O 1(0,0,6)，所以AD =(2,6,0)，C 1D =(0,2,-6)，O 1D =(2,2,-6)，若m =(x ,y ,z )为面AC 1D 的一个法向量，则m ⋅AD =2x +6y =0m ⋅C 1D =2y -6z =0，令y =6，则m =(-36,6,2)，|cos <m ,O 1D >|=6614×8=32128，故O 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值32128．例12.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4,AD =AA 1=2，圆台下底圆心O 为AB 的中点，直径为2，圆与直线AB 交于E ,F ，圆台上底的圆心O 1在A 1B 1上，直径为1．(1)求A 1C 与平面A 1ED 所成角的正弦值；(2)圆台上底圆周上是否存在一点P 使得FP ⊥AC 1，若存在，求点P 到直线A 1B 1的距离，若不存在则说明理由．【解析】(1)(1)由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可知，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A 12，0，2 ，C 0,4,0 ，E 2，1，0 ，D 0，0，0 ．所以A 1C =(-2,4,-2),DA 1 =(2,0,2),DE =(2,1,0)．设平面A 1ED 的一个法向量为n=(x ,y ,z )，则有n .DA=0n .DE =0 ，即2x +2z =02x +y =0 ，令x =1，则y =-2，z =-1，故n=(1,-2,-1)，所以|cos <A 1C ,n >|=|AC ⋅n||AC ||n |=|-2-8+2|4+16+4⋅1+4+1=23，故A 1C 与平面A 1ED 所成角的正弦值为23；(2)由(1)可知，A 2，0，0 ，C 10,4,2 ，所以AC 1=(-2,4,2)，假设存在这样的点P ，设P x ，y ，2 ，由题意可知(x -2)2+(y -2)2=14，所以FP =(x -2,y -3,2)，因为FP ⊥AC 1，则有FP ⋅AC 1 =-2(x -2)+4(y-3)+4=0，所以x =2y -2，又(x -2)2+(y -2)2=14，所以5y 2-20y +794=0，解得x =2-55y =2-510(舍)，x =2+55y =2+510，所以当P 2+55,2+510,2 时，FP ⊥AC 1，此时点P 到直线A 1B 1的距离为55．题型二：立体几何存在性问题例13.如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =1，AB =1，AC =2，∠BAC =60°．(1)求三棱锥A -PBC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在一点M ，使得BM ⊥AC ?若存在，求MCPM的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为AB =1，AC =2，∠BAC =60°，所以S △ABC =12⋅AB ⋅AC ⋅sin60°=32．由PA ⊥平面ABC 知：PA 是三棱锥P -ABC 的高，又PA =1，所以三棱锥A -PBC 的体积V A -PBC =V P -ABC =13⋅S △ABC ⋅PA =36．(2)在线段PC 上存在一点M ，使得BM ⊥AC ，此时MCPM =3．如图，在平面PAC 内，过M 作MN ⎳PA 交AC 于N，连接BN ，BM ．由PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，故PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC ．由MN ⎳PA 知：AN NC =PM MC=13，则AN =12，在△ABN 中，BN 2=AB 2+AN 2-2AB ⋅AN cos ∠BAC =12+12 2-2×1×12×12=34，所以AN 2+BN 2=AB 2，即AC ⊥BN ．由于BN ∩MN =N 且BN ,MN ⊂面MB N ，故AC ⊥平面MB N ．又BM ⊂平面MB N ，所以AC ⊥BM ．例14.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD =2AB ，△PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E 、F 、G 、O 分别是PC 、PD 、BC 、AD 的中点．(1)求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；(2)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角的大小为π6，若存在，求出PMPA的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为△PAD 是正三角形，O 为AD 的中点，所以，PO ⊥AD ，因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，∴PO ⊥CD ，∵AD ∩CD =D ，∴PO ⊥平面ABCD ，因为AD ⎳BC 且AD =BC ，O 、G 分别为AD 、BC 的中点，所以，AO ⎳BG 且AO =BG ，所以，四边形ABGO 为平行四边形，所以，OG ⎳AB ，∵AB ⊥AD ，则OG ⊥AD ，以点O 为坐标原点，OA 、OG 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设AB =2，则AD =4，A 2,0,0 、G 0,2,0 、D -2,0,0 、C -2,2,0 、P 0,0,23 、E -1,1,3 、F -1,0,3 ，EF=0,-1,0 ，EG =1,1,-3 ，设平面EFG 的法向量为n=x ,y ,z ，则n ⋅EF=-y =0n ⋅EG=x +y -3z =0 ，取x =3，可得n =3,0,1 ，易知平面ABCD 的一个法向量为m=0,0,1 ，所以，cos <m ,n >=m ⋅nm ⋅n=12，因此，平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角为π3．(2)假设线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角的大小为π6，设PM=λPA =λ2,0,-23 =2λ,0,-23λ ，其中0≤λ≤1，GM =GP +PM=0,-2,23 +2λ,0,-23λ =2λ,-2,23-23λ ，由题意可得cos <n ,GM > =n ⋅GM n ⋅GM =2324λ2+4+121-λ 2=12，整理可得4λ2-6λ+1=0，因为0≤λ≤1，解得λ=3-54．因此，在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角的大小为π6，且PM PA=3-54．例15.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，A 1B ⊥AC 1，AC =AA 1=4，BC =2．(1)求证：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；(2)若∠A 1AC =60°，在线段AC 上是否存在一点P ，使二面角B -A 1P -C 的平面角的余弦值为34若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．【解析】(1)由AC =AA 1知：四边形AA 1C 1C 为菱形．连接A 1C ，则A 1C ⊥AC 1，又A 1B ⊥AC 1且A 1C ∩A 1B =A 1，∴AC 1⊥平面A 1CB ，BC ⊂平面A 1CB ，则AC 1⊥BC ；又∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，而AC ∩AC 1=A ，∴BC ⊥平面A 1ACC 1，而BC ⊂平面ABC ，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．(2)以C 为坐标原点，射线CA 、CB 为x 、y 轴的正向，平面A 1ACC 1上过C 且垂直于AC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC =AA 1=4，BC =2，∠A 1AC =60°，∴C 0,0,0 ，B 0,2,0 ，A 4,0,0 ，A 12,0,23 ．设在线段AC 上存在一点P ，满足AP =λAC0≤λ≤1 ，使二面角B -A 1P -C 的余弦值为34，则AP =-4λ,0,0 ，所以BP =BA +AP=4,-2,0 +-4λ,0,0 =4-4λ,-2,0 ，A 1P =A 1A +AP=2-4λ,0,-23 ．设平面BA 1P 的一个法向量为m=x 1,y 1,z 1 ，由m ⋅BP=4-4λ x 1-2y 1=0m ⋅A 1P =2-4λ x 1-23z 1=0，取x 1=1，得m=1,2-2λ,1-2λ3；平面A 1PC 的一个法向量为n=0,1,0 ．由cos m ,n =m ⋅n m ⋅n =2-2λ 1+2-2λ 2+1-2λ23×1=34，解得λ=43或λ=34．因为0≤λ≤1，则λ=34．故在线段AC 上存在一点P ，满足AP =34AC ，使二面角B -A 1P -C 的平面角的余弦值为34．例16.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⎳BC ，AD ⊥CD ，且AD =CD ，BC =2CD ，PA =2AD ．(1)证明：AB ⊥PC ；(2)在线段PD 上是否存在一点M ，使得二面角M -AC -D 的余弦值为1717，若存在，求BM 与PC 所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：连接AC ，设AD =CD =1，因为AD ⊥CD ，则AC =AD 2+CD 2=2，且△ACD 为等腰直角三角形，因为AD ⎳BC ，则∠ACB =∠CAD =45∘，因为BC =2CD =2，由余弦定理可得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ⋅BC cos45∘=2，所以，AC 2+AB 2=BC 2，则AB ⊥AC ，∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥PA ，∵PA ∩AC =A ，∴AB ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥PC ．(2)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AC ，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设AD =CD =1，则A 0,0,0 、B 2,0,0 、C 0,2,0 、D -22,22,0 、P 0,0,2 ，设PM =λPD =-22λ,22λ,-2λ ，其中0≤λ≤1，则AM =AP +PM=-22λ,22λ,2-2λ ，AC =0,2,0 ，设平面ACM 的法向量为m=x ,y ,z ，则m ⋅AC=2y =0m ⋅AM =-22λx +22y +2-2λ z =0，取x =2-2λ，可得m =2-2λ,0,λ ，易知平面ACD 的一个法向量为n=0,0,1 ，由题意可得cos <m ,n > =m ⋅n m ⋅n =λ41-λ 2+λ2=1717，因为0≤λ≤1，解得λ=13，此时，AM =-26,26,223 ，BM =BA +AM =-726,26,223 ，PC =0,2,-2 ，所以，cos <BM ,PC >=BM ⋅PCBM ⋅PC =-1333×2=-3322，因此，在线段PD 上是否存在一点M ，使得二面角M -AC -D 的余弦值为1717，且BM 与PC 所成角的余弦值为3322．例17.如图，△ABC 是边长为6的正三角形，点E ，F ，N 分别在边AB ，AC ，BC 上，且AE =AF =BN =4，M 为BC 边的中点，AM 交EF 于点O ，沿EF 将三角形AEF 折到DEF 的位置，使DM =15．(1)证明：平面DEF ⊥平面BEFC ；(2)试探究在线段DM 上是否存在点P ，使二面角P -EN -B 的大小为60°？若存在，求出DPPM的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)在△DOM 中，易得DO =23，OM =3，DM =15，由DM 2=DO 2+OM 2，得DO ⊥OM ，又∵AE =AF =4，AB =AC =6，∴EF ⎳BC ，又M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，∴DO ⊥EF ，因为EF ∩OM =O ，EF ,OM ⊂平面EBCF ，∴DO ⊥平面EBCF ，又DO ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面BEFC ；(2)由(1)DO ⊥平面EBCF ，以O 为原点，以OE ,OM ,OD为x ,y ,z 的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ,D (0,0,23)，M (0,3,0)，E (2,0,0)，N (-1,3,0)∴DM =(0,3,-23)，ED =(-2,0,23)，由(1)得平面ENB 的法向量为n=(0,0,1)，设平面ENP 的法向量为m=(x ,y ,z )，DP =λDM (0≤λ≤1)，所以DP =(0,3λ,-23λ)，所以EP =ED +DP =(-2,3λ,23-23λ)．由题得，所以EN =(-3,3,0)，所以m ⋅EN=-3x +3y =0m ⋅EP =-2x +3λy +(23-23λ)z =0，所以m =1,3,2-3λ23-23λ，因为二面角P -EN -B 的大小为60°，所以12=2-3λ23-23λ1+3+2-3λ23-23λ2，解之得λ=2(舍去)或λ=67．此时DP =67DM ，所以DP PM=6．例18.图1是直角梯形ABCD ，AB ⎳CD ，∠D =90∘，AB =2，DC =3，AD =3，CE =2ED，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且AC 1=6，如图2．(1)求证：平面BC 1E ⊥平面ABED ；(2)在棱DC 1上是否存在点P ，使得C 1到平面PBE 的距离为62？若存在，求出二面角P -BE -A 的大小；若不存在，说明理由．【解析】(1)在图1中取CE 中点F ，连接BF ，AE ，∵CE =2ED ，CD =3，AB =2，∴CF =1，EF =1，∵DF =AB =2，DF ⎳AB ，∠D =90∘，∴四边形ABFD 为矩形，∴BF ⊥CD ，∴BE =BC =3+1=2，又CE =2，∴△BCE 为等边三角形；又AE =3+1=2，∴△ABE 为等边三角形；在图2中，取BE 中点G ，连接AG ,C 1G ，∵△C 1BE ,△ABE 为等边三角形，∴C 1G ⊥BE ，AG ⊥BE ，∴C 1G =AG =3，又AC 1=6，∴AG 2+C 1G 2=AC 21，∴C 1G ⊥AG ，又AG ∩BE =G ，AG ,BE ⊂平面ABED ，∴C 1G ⊥平面ABED ，∵C 1G ⊂平面BC 1E ，∴平面BC 1E ⊥平面ABED ．(2)以G 为坐标原点，GA ,GB ,GC 1正方向为x ,y ,z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则B 0,1,0 ，E 0,-1,0 ，A 3,0,0 ，C 10,0,3 ，D 32,-32,0，∴DC 1 =-32,32,3 ，EB =0,2,0 ，EC 1 =0,1,3 ，设棱DC 1上存在点P x ,y ,z 且DP=λDC 1 0≤λ≤1 满足题意，即x -32=-32λy +32=32λz =3λ，解得：x =32-32λy =32λ-32z =3λ，即P 32-32λ,32λ-32,3λ，则EP =32-32λ,32λ+12,3λ ，设平面PBE 的法向量n=a ,b ,c ，则EP ⋅n =32-32λ a +32λ+12 b +3λc =0EB ⋅n =2b =0，令a =2，则b =0c =1-λλ，∴n =2,0,1-λλ，∴C 1到平面PBE 的距离为d =EC 1 ⋅nn=3-3λλ4+1-λλ2=62，解得：λ=13，∴n=2,0,2 ，又平面ABE 的一个法向量m=0,0,1 ，∴cos <m ,n >=m ⋅nm ⋅n=222=22，又二面角P -BE -A 为锐二面角，∴二面角P -BE -A 的大小为π4．例19.如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB =1，AC =AA 1=2，AD =CD =5，E 为棱AA 1上的点，且AE =12．(1)求证：BE ⊥平面ACB 1；(2)求二面角D 1-AC -B 1的余弦值；(3)在棱A 1B 1上是否存在点F ，使得直线DF ∥平面ACB 1？若存在，求A 1F 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵A 1A ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴A 1A ⊥AC又AB ⊥AC ，A 1A ∩AB =A ，AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1，∴AC ⊥平面ABB 1A 1∵BE ⊂平面ABB 1A 1，∴AC ⊥BE ∵AE AB =12=ABBB 1，∠EAB =∠ABB 1=90∘，∴∠ABE =∠AB 1B∵∠BAB 1+∠AB 1B =90∘，∴∠BAB 1+∠ABE =90∘，∴BE ⊥AB 1，又AC ∩AB 1=A ，AC ,AB 1⊂平面ACB 1，∴BE ⊥平面ACB 1(2)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，依题意可得A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，-2，0)，D1(1，-2，2)，E 0,0,12，由(1)知，EB =0,1,-12为平面ACB 1的一个法向量．设n=x ,y ,z 为平面ACD 1的一个法向量．因为AD 1 =(1，-2，2)，AC =(2，0，0)，所以n ⋅AD 1=0n ⋅AC =0 ，即：x -2y +2z =02x =0 ，不妨设z =1，可得n=(0，1，1)．因此cos n ,EB =n ⋅EB n ⋅EB =1010由图可知二面角D 1-AC -B 1为锐角，所以二面角D 1-AC -B 1的余弦值为1010．(3)假设存在满足题意的点F ，设A 1F =a (a >0)，则由(2)得F (0，a ，2)，DF=(-1，a +2，2)．由题意可知DF ⋅EB=a +2-1=0，解得a =-1(舍去)，即直线DF 的方向向量与平面ACB 1的法向量不可能垂直．所以，在棱A 1B 1上不存在点F ，使得直线DF ∥平面ACB 1．例20.如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ⎳AC ，且AC =BC =2ED =2，DC =DB =3．(1)求证：平面ABE ⊥与平面ABC ；(2)线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角余弦值的绝对值等于54343，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)证明：∵AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，BC ∩BD =B ，∴AC ⊥平面BCD ，∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 的中点O ，AB 的中点H ，连接OD 、OH 、EH ，∵BD =CD ，∴DO ⊥BC ，又DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面BCD ∩平面ABC =BC ，∴DO ⊥平面ABC ，又OH ⎳AC ，OH =12AC ，DE ⎳AC ，DE =12AC ，所以，OH ⎳DE 且OH =DE ，∴四边形OHED 为平行四边形，∴EH ⎳OD ，∵DO ⊥面ABC ，则EH ⊥平面ABC ，又∵EH ⊂面ABE ，所以，平面ABE ⊥平面ABC ．(2)因为AC ⊥BC ，OH ⎳AC ，则OH ⊥BC ，因为OD ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OH 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A 2,-1,0 、B 0,1,0 、C 0,-1,0 、E 1,0,2 、H 1,0,0 ，HE=0,0,2 ，AB =-2,2,0 ，设平面ABE 的法向量为m=x 1,y 1,z 1 ，则m ⋅HE=2z 1=0m ⋅AB=-2x 1+2y 1=0 ，取x 1=1，可得m=1,1,0 ，设在线段BC 上存在点F 0,t ,0 -1≤t ≤1 ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于54343，设平面AEF 的法向量为n=x 2,y 2,z 2 ，AF =-2,t +1,0 ，AE =-1,1,2 ，由n ⋅AF=-2x 2+t +1 y 2=0n ⋅AE =-x 2+y 2+2z 2=0 ，取x 2=2t +1 ，可得n =2t +1 ,22,t -1 ，由题意可得cos <m ,n> =m ⋅n m ⋅n =2t +32⋅3t 2+2t +11=54343，整理可得2t 2-13t -7=0，解得：t =-12或t =7(舍)，∴F 0,-12,0 ，则BF =32，∴BF BC =34，综上所述：在线段BC 上存在点F ，满足BF BC=34，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于54343．题型三：立体几何折叠问题例21.如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD =O 1，AC ∩MN =G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P -ABMND ．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P -MNDB 体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在(2)的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q -MN -P 余弦值的绝对值为1010若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【解析】(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明如下：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又∠DAB =60°，∴BD ∥MN ，且△PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN ⊥PG ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴MN ⊥AC ，∵AC ∩PG =G ，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)由题意知，四边形MNDB 为等腰梯形，且DB =4，MN =2，O 1G =3，所以等腰梯形MNDB 的面积S =2+4 ×32=33，要使得四棱锥P -MNDB 体积最大，只要点P 到平面MNDB 的距离最大即可，∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB 的距离的最大值为3，此时四棱锥P -MNDB 体积的最大值为V =13×33×3=3，直线PB 和平面MNDB 所成角的为∠PBG ，连接BG ，在直角三角形△PBG 中，PG =3，BG =7，由勾股定理得：PB =PG 2+BG 2=10．sin ∠PBG =PGPB=310=3010．(3)假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A 33,0,0 ，M 0,1,0 ，N 0,-1,0 ，P 0,0,3 ，由(2)知，AG ⊥PG ，又AG ⊥MN ，且MN ∩PG =G ，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为n 1=1,0,0 ，设AQ =λAP(0≤λ≤1)，∵AP=-33,0,3 ，AQ=-33λ,0,3λ ，故331-λ ,0,3λ ，∴NM=0,2,0 ，QM =33λ-1 ,1,-3λ ，平面QMN 的一个法向量为n 2=x 2,y 2,z 2 ，则n 2 ⋅NM =0，n 2 ⋅QM=0，即2y 2=0,33λ-1 x 2+y 2-3λz 2=0,令z 2=1，所以y 2=0,x 2=λ3λ-1n 2 =13λ-1 ,0,1=13λ-1λ,0,3λ-1 ，则平面QMN 的一个法向量n=λ,0,3λ-1 ，设二面角Q -MN -P 的平面角为θ，则cos θ =n ⋅n 1 n n 1 =λλ2+9λ-1 2=1010，解得：λ=12，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．例22.如图，在等腰直角三角形PAD 中，∠A =90°，AD =8，AB =3，B 、C 分别是PA 、PD 上的点，且AD ⎳BC ，M 、N 分别为BP 、CD 的中点，现将△BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P -ABCD ，连接MN .(1)证明：MN ⎳平面PAD ；(2)在翻折的过程中，当PA =4时，求二面角B -PC -D 的余弦值．【解析】(1)在四棱锥P -ABCD 中，取AB 的中点E ，连接EM ,EN ．因为M ,N 分别为BP ,CD 的中点，AD ⎳BC ，所以ME ⎳PA ,EN ⎳AD ,又PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，所以ME ⎳平面PAD ，同理可得，EN ⎳平面PAD ，又ME ∩EN =E ,ME ,EN ⊂平面MNE ，所以平面MNE ⎳平面PAD ，因为MN ⊂MNC 平面MNE ，所以MN ⎳平面PAD ．(2)因为在等腰直角三角形PAD 中,∠A =90°,AD ⎳BC ,所以BC ⊥PA ，在四棱锥P -ABCD 中，BC ⊥PB ,BC ⊥AB ,因为AD ⎳BC ,则AD ⊥PB ,AD ⊥AB ,又PB ∩AB =B ，PB ,AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥AD ,因为AD =8,AB =3,PA =4,AD ⎳BC ,则PB =5,BC =5,所以AB 2+PA 2=PB 2，故PA ⊥AB ，所以以点A 为坐标原点，分别以AB ,AD ,AP 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，如图所示，A (0,0,0),B (3,0,0),C (3,5,0),P 0,0,4 ,D 0,8,0 ，所以PB =(3,0,-4),PC =(3,5,-4),PD =(0,8,-4)，设m =(x 1,y 1,z 1)为平面PBC 的一个法向量，则m ⋅PB =0m ⋅PC =0，即3x 1-4z 1=03x 1+5y 1-4z 1=0 ，令x 1=4，则y 1=0,z 1=2，m =(4,0,3)，设n =(x 2,y 2,z 2)为平面PCD 的一个法向量，则m ⋅PD =0m ⋅PC =0 ，即8y 2-4z 2=03x 2+5y 2-4z 2=0，令y 2=1，则x 2=1,z 2=2，n =(1,1,2)，设二面角B -PC -D 所成角为α，则cos α=-cos m ,n =-m ⋅n m ⋅n =-4×1+0×1+2×3 42+02+32×12+12+22=-105×6=-63．因为二面角B -PC -D 的余弦值为-63．例23.如图1，在平面四边形PDCB 中，PD ∥BC ，BA ⊥PD ，PA =AB =BC =2，AD =1．将△PAB 沿BA 翻折到△SAB 的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示．(1)设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC ⊥l ；(2)点Q 在线段SC 上(点Q 不与端点重合)，平面QBD 与平面BCD 夹角的余弦值为66，求线段BQ 的长．【解析】(1)依题意，AD ⊥AB ，因为PD ∥BC ，所以BC ⊥AB ，由于平面SAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面SAB ，因为l 是平面SDC 与平面SAB 的交线，所以l ⊂平面SAB ，故BC ⊥l ．(2)由上可知，AD ⊥平面SAB ，所以AD ⊥SA ，由题意可知SA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A 0,0,0 ，B 0,2,0 ，C 2,2,0 ，D 1,0,0 ，S 0,0,2 ，BD =1,-2,0 ，SC =2,2,-2 ，设SQ =λSC 0<λ<1 ，则Q 2λ,2λ,2-2λ ，BQ =2λ,2λ-2,2-2λ ，设n =x ,y ,z 是平面QBD 的一个法向量，则n ⋅BD =x -2y =0n ⋅BQ =2λx +2λ-1 y +21-λ z =0，令x =2，可得n =2,1,1-3λ1-λ由于m =0,0,1 是平面CBD 的一个法向量，依题意，二面角Q -BD -C 的余弦值为66，所以cos m ,n =m ⋅n m ⋅n =1-3λ1-λ 1×4+1+1-3λ1-λ2=66，解得λ=12∈0,1 ，此时BQ =1,-1,1 ，BQ =3，即线段BQ 的长为3．例24.如图，在平面五边形PABCD 中，△PAD 为正三角形，AD ∥BC ，∠DAB =90°且AD =AB =2BC =2．将△PAD 沿AD 翻折成如图所示的四棱锥P -ABCD ，使得PC =7．F ，Q 分别为AB ，CE 的中点．(1)求证：FQ ∥平面PAD ；(2)若DE PE=12，求平面EFC 与平面PAD 夹角的余弦值．【解析】(1)(1)证明：取DC 的中点M ，连接MF ，MQ ．则MQPD ，MFDA ．因为MQ ⊄面PAD ，ME ⊄面PAD ，所以，MQ ∥面PAD ，MF ∥面PAD ，因为MQ ∩ME =M ，所以，面MQF 面PAD ，因为FQ ⊂面MQF ，所以FQ ∥面PAD ．(2)(2)取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，因为△PAD 为正三角形，AD =2，所以OP ⊥AD 且OP =3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB =90°，AB =2BC =2，所以，OC ⊥AD 且OC =2，又因为PC =7，所以在△POC 中，OP 2+OC 2=PC 2，即OP ⊥OC ，所以，以O 为坐标原点，分别以OD ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1,0,0，C 0,2,0 ，F -1,1,0 ，P 0,0,3 ，DP =-1,0,3 ．因为DE PE=12，即DE =13DP =-13,0,33 ，λ>0，所以，E 23,0,33，所以EC =-23,2,-33 ，EF =-53,1,-33．设n =x 1,y 1,z 1 为平面EFC 的一个法向量，则n ⋅EC =0n ⋅EF =0 ，即-23x 1+2y 1-33z 1=0-53x 1+y 1-33z 1=0，取n =3,-3,-83 ．又平面PAD 的一个法向量m =0,1,0 ，设平面EFC 与平面PAD 夹角为α，cos α=n ⋅m n ⋅m =39+9+192=21070．例25.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，∠A =60°，E ，F 分别为线段AB ，CD 上的点，且BE =2AE ，DF =FC ，现将△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE 的位置，连接A 1B ，A 1C ．(1)若点G 为线段A 1B 上一点，且A 1G =3GB ，求证：FG ⎳平面A 1DE ；(2)当三棱锥C -A 1DE 的体积达到最大时，求二面角B -A 1C -D 的正弦值．【解析】(1)在A 1E 上取一点M ，使A 1M =3ME ，连接DM ,MG ，因为A 1G =3GB ，EB =2AE ，所以MG ∥EB ，MG =34EB =34×23AB =12AB ，因为平行四边形ABCD 中，AB =CD ，AB ∥CD ，F 为CD 的中点，所以DF =12CD =12AB ，所以DF =MG ，DF ∥MG ，所以四边形DMGF 为平行四边形，所以FG ∥DM ，因为FG ⊄平面A 1DE ，DM ⊂平面A 1DE ，所以FG ∥平面A 1DE ，(2)当平面A 1DE ⊥平面DEC 时，三棱锥C -A 1DE 的体积最大，△ADE 中，∠A =60°,AD =2,AE =1，则DE 2=AD 2+AE 2-2AD ⋅AE cos A =4+1-2×2×1×12=3，所以DE 2+AE 2=AD 2，所以∠AED =90°，所以A 1E ⊥DE ，因为平面A 1DE ⊥平面DEC ，平面A 1DE ∩平面DEC =DE ，所以A 1E ⊥平面DEC ，因为BE ⊂平面DEC ，所以A 1E ⊥BE ，所以A 1E ,BE ,DE 两两垂直，所以以E 为原点，EB ,ED ,EA 1所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0,3,0),A 1(0,0,1),B (2,0,0),C (3,3,0)，所以DC =(3,0,0),DA 1 =(0,-3,1),BC =(1,3,0),CA 1 =(-3,-3,1)，设平面A 1CD 的法向量为n =(x ,y ,z )，则n ⋅DA 1 =-3y +z =0n ⋅CA 1 =-3x -3y +z =0，令y =1，则n =(0,1,3)，设平面A 1BC 的法向量为m =(a ,b ,c )，则m ⋅BC =a +3b =0m ⋅CA 1 =-3a -3b +c =0，令b =1，则m =(-3,1,-23)，所以cos m ,n =m ⋅n m n=1-62×4=-58，所以二面角B -A 1C -D 的正弦值为1--58 2=398例26.如图1，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ABEF 是等腰梯形，AB =BE =12EF ，现将正方形ABCD 沿AB 翻折，使CD 与C D 重合，得到如图2所示的几何体，其中D E =4．(1)证明：AF ⊥平面AD E ；(2)求二面角D -AE -C 的余弦值．【解析】(1)证明：易得AD =AF =2，EF =D E =4，所以AE =23，则AD 2+AE 2=D E 2=EF 2，∴AD ⊥AE ，AE ⊥AF ．又AD ⊥AB ，且AB ∩AE =A ，AB ，AE ⊂平面ABEF ，∴AD ⊥平面ABEF ．∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥AD ．∵AE ∩AD =A ，AE ⊂平面AD E ，AD ⊂平面AD E ，∴AF ⊥平面AD E ．(2)由(1)知AD ⊥平面ABEF ，则以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为y ，z 轴，平面ABEF 内过点A 且垂直于AB 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 0,0,0 ，E 3,3,0 ，F 3,-1,0 ，C 0,2,2 ，∴AF =3,-1,0 ，AE =3,3,0 ，AC =00,2,2 ．设平面AEC 的一个法向量为m =x ,y ,z ，则m ⋅AE =0m ⋅AC =0 ，得3x +3y =0,2y +2z =0,令x =3，则m =3,-1,1 ．由(1)知，平面AED 的一个法向量为AF =3,-1,0 ．∴cos AF ,m =AF ⋅m AF m=255．易知二面角D -AE -C 为锐二面角，∴二面角D -AE -C 的余弦值为255．例27.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AB =BC =2,AD =4，现将△ABC 所在平面沿对角线AC 翻折，使点B 翻折至点E ，且成直二面角E -AC -D ．(1)证明：平面EDC ⊥平面EAC ；(2)若直线DE 与平面EAC 所成角的余弦值为12，求二面角D -EA -C 的余弦值．【解析】(1)证明：取AD 中点M ，连接CM ，由题意可得AM =2，AM 平行且等于BC ，∴四边形ABCM 为平行四边形，∵AM =MD =CM =2，∴△ACD 为直角三角形，即AC ⊥CD ，∵直二面角E -AC -D ,CD ⊂平面ACD ，∴平面EAC ⊥平面ACD ，平面EAC ∩平面ACD =AC ，∴CD ⊥平面EAC ，CD ⊂平面ECD ，∴平面ECD ⊥平面EAC ．(2)由(1)可得DC ⊥平面EAC ，∴∠DEC 为直线DE 与平面EAC 所成角，∴cos ∠DEC =12，∴∠DEC =60°．在Rt △ECD 中，∵CE =2，∴CD =23,ED =4，在Rt △ACD 中，AC =2，∴△ABC 、△AEC 为等边三角形，以AC 中点O 为坐标原点，以OC ,OM ,OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，A (-1,0,0),C (1,0,0),E (0,0,3),D (1,23,0)，平面EAC 为xOz 平面，则其法向量为v =(0,1,0)，在平面AED 内，设其法向量为u =(x ,y ,z )，AD =(2,23,0),AE =(1,0,3)，则AD ⋅u =0AE ⋅u =0 ，即2x +23y =0x +3z =0，令x =3，则y =-1,z =-1，∴u =(3,-1,-1)，设二面角D -EA -C 的平面角为θ，∴cos ‹u ,v ›=u ⋅v |u ||v |=-55，由图可知二面角D -EA -C 为锐角，∴cos θ=55．例28.如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，DE 是△ABC 的中位线，沿DE 将△ADE 进行翻折，使得△ACE 是等边三角形(如图2)，记AB 的中点为F ．(1)证明：DF ⊥平面ABC ．(2)若AE =2，二面角D -AC -E 为π6，求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值．【解析】(1)如图，取AC 中点G ，连接FG 和EG ，由已知得DE ∥BC ，且DE =12BC ．因为F ，G 分别为AB ，AC 的中点，所以FG ∥BC ，且FG =12BC 所以DE ∥FG ，且DE =FG ．所以四边形DEGF 是平行四边形．所以EG ∥DF ．因为翻折的BC ⊥AC ，易知DE ⊥AC ．所以翻折后DE ⊥EA ，DE ⊥EC ．又因为EA ∩EC =E ，EA ，EC ⊂平面AEC ，所以DE ⊥平面AEC ．因为DE ∥BC ，所以BC ⊥平面AEC ．因为EG ⊂平面AEC ，所以EG ⊥BC ．因为△ACE 是等边三角形，点G 是AC 中点，所以EG ⊥AC又因为AC ∩BC =C ，AC ，BC ⊂平面ABC ．所以EG ⊥平面ABC ．。
高中数学必修2空间几何典型例题及讲解
数学必修2第一章一、学习目标：1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。
二、重点、难点：重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。
难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。
三、考点分析：三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予以足够的重视。
在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的，出现在解答题中。
这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。
1. 多面体棱柱、棱锥、棱台2. 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球3. 三视图（1）正视图、侧视图、俯视图（2）三种视图间的关系4. 直观图水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长。
表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面的半径，R表示半径。
知识点一柱、锥、台、球的结构特征例1. 下列叙述正确的是（）①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。
⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。
⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。
⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。
⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。
新高考精品(江苏版)专题8.1空间几何体(解析版)Word版含解析
【三年高考】1. 【2014江苏，理8】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S =，则12VV 的值是 . 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==.2. 【2013江苏，理8】如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.【答案】1∶24【解析】由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.因此V1∶V2＝132AED ABC AF S AF S ∆∆⋅⋅＝1∶24..3. 【2012江苏，理7】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为__________cm 3.【答案】6【解析】由已知可得，11A BB D D V -＝23111A D B ADB V -＝2132⨯1111ABCD A B C D V -＝2132⨯×3×3×2＝6(cm3)． 4．【2016高考新课标3理数改编】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 ．【答案】92π考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．5．【2016高考上海理数】如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的正切值为23，则该正四棱柱的高等于____________.【答案】【解析】 试题分析：由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠===⇒=考点：1.正四棱柱的几何特征；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】涉及立体几何中的角的问题，往往要将空间问题转化成平面问题，做出角，构建三角形，在三角形中解决问题；也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解，应根据具体情况选择不同方法，本题难度不大，能较好地考查考生的空间想象能力、基本计算能力等. 6．【2016高考新课标1卷改编】如图,某几何体是一个球被切掉左上角的18,.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 ．【答案】17π 【解析】试题分析：设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯，故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积7．【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有___________________斛.【答案】22【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22. 8.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积_________________.【答案】8 9π9. 【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.【答案】1 24【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为12如图，因为AA1∥PN，故AA1∥面PMN，故三棱锥P－A1MN与三棱锥P－AMN体积相等，三棱锥P－AMN的底面积是三棱锥底面积的14，高为1故三棱锥P－A1MN的体积为111132424⨯⨯=10.【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=o .（Ⅰ）求三棱锥P -ABC 的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值.【解析】（Ⅰ）由题设AB ＝1,,2=AC60=∠BAC ，可得ABC S ∆︒⋅⋅⋅=60sin 21AC AB 23=. 由⊥PA 面ABC ，可知PA 是三棱锥ABC P -的高,又1=PA ，所以三棱锥ABC P -的体积6331=⋅⋅∆PA S V ABC ＝；（Ⅱ）证：在平面ABC 内，过点B 作AC BN ⊥，垂足为N ，过N 作PA MN //交PC 于M ，连接BM .由⊥PA 面ABC 知AC PA ⊥，所以AC MN ⊥.由于N MN BN ＝⋂，故⊥AC 面MBN ，又⊂BM 面MBN ，所以BM AC ⊥.在直角B A N ∆中，21c o s =∠⋅=B A C AB AN ，从而23=-=AN AC NC .由PA MN //，得31=NC AN MC PM ＝. 11.【2015高考湖南，文18】如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。
立体几何试题解析
立体几何试题解析1．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N . （I ） 求证： //SB 平面ACM ；（II ）求二面角D AC M --的大小； （III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN . 解法一：（综合几何法）3．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CD PD BC PB ⊥⊥,，且2=PA ，E 为PD 中点. （Ⅰ）求证：⊥PA 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的大小；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为552？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由. 解法一：（综合几何法）SNMDCBA PADE4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点.(1)求直线B 1C 与DE 所成角的余弦值； (2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E —B 1C —D 的余弦值. 解法一：（综合几何法）6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ．底面ABCD为梯形，//AB DC ，AB BC ⊥.PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （Ⅱ）求证：PD ∥平面EAC ； （Ⅲ）求二面角A EC P --的大小． 解法一：（综合几何法）7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1ABC AB BC BB ∠=︒===，点D 是1AC 的中点.（I ）求11A B 与AC 所成的角的大小； （II ）求证：BD ⊥平面1ABC ； （III ）求二面角1C AB B --的大小.解法一：（综合几何法）8．如图，在三棱锥P ABC -中，P A P =，PA PB ⊥， 30AB BC BAC ⊥∠=︒，，平面PAB ⊥平面ABC . （Ⅰ）求证：PA PBC ⊥平面 ； （Ⅱ）求二面角P AC B --的大小；（Ⅲ）求异面直线AB 和PC 所成角的大小. 解法一：（综合几何法）AC BD D1A 1C 1B9．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C 与平面ABC成30°角.（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值；（III）求二面角B—B1C—A的大小.解法一：（综合几何法）10．如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D 是PB上一点，且CD⊥平面PAB．(I) 求证：AB⊥平面PCB；(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（III）求二面角C-PA-B的大小．解法一：（综合几何法）PD11．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=120°，AC=CB=A 1A=1，D 1是A 1B 1上一动点(可以与A 1或B 1重合），过D 1和C 1C 的平面与AB 交于D. （Ⅰ）证明BC ∥平面AB 1C 1；（Ⅱ）若D 1为A 1B 1的中点，求三棱锥B 1-C 1AD 1的体积111B C AD V -； （Ⅲ）求二面角D 1-AC 1-C 的取值范围. 解法一：（综合几何法）12．四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD,AB // CD, AD =CD=1，120BAD ∠=︒,PA =90ACB ∠=︒. （I ）求证: BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角D PC A --的大小； （Ⅲ）求点B 到平面PCD 的距离. 解法一：（综合几何法）A B C D A 1 B 1C 1D 1P13．已知如图(1)，正三角形ABC 的边长为2a ,CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边上的点，且满足CE CF k CACB==，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ,如图（2）.(Ⅰ) 试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (Ⅱ) 求二面角B -AC -D 的大小； (Ⅲ) 若异面直线AB 与DEk 的值.图（1） 图（2）1． （Ⅰ）证明：连结 交 于 ，连结 . 是正方形，∴ 是 的中点. ∵ 是 的中点，∴ 是 的中位线. ∴ . 又∵ 平面 ， 3分 又 平面 ，∴ 平面 .4分 （Ⅱ）解：取 中点 ，则 .作 于 ，连结 . 5分 ∵ 底面 ，∴ 底面 . ∴ 为 在平面 内的射影.∵ ,∴ . ∴ 为二面角 的平面角. 7分 设 ，在 中， ，∴ .∴ 二面角 的大小为 . 9分（III ）证明：由条件有 ∴ 平面 ，∴ 10分又∵ 是 的中点，∴ ∴ 平面 11分 ∴由已知 ∴ 平面F E D C B AF E DC BA F E D CB A又平面∴平面平面方法二：解：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，5分由故设，则底面，∴是平面的法向量，．设平面的法向量为,, 7分则即∴令,则.∴,∴二面角的大小为．9分（III），，12分又且. 又平面∴平面⊥平面 . 14分2．（Ⅰ）证明：连结，设与的交点为，连结. 是的中点，是的中点，………….. 3分………….. 4分（Ⅱ）解：设点到的距离为在三棱锥中，，且.易求得即点到的距离是….. 9分（Ⅲ）解：在平面内作于点，过点作于点，连结易证明，从而是在平面内的射影，根据三垂线定理得是二面角的平面角易求得，在中，二面角的大小是 .. 14分解法二：在直三棱柱中，，，两两垂直 .如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则（Ⅰ）证明：设与的交点为，则（Ⅱ）解：设点到的距离为在三棱锥中，，且易求得即点到的距离是…….. 9分（Ⅲ）解：在平面内作于点，过点作于点，连结易证明，从而是在平面内的射影，根据三垂线定理得是二面角的平面角.易知二面角的大小是3．解法一：（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴. ………………2分同理，………………4分∴平面．………5分（Ⅱ）解：设为中点，连结，又为中点，可得，从而底面．过作的垂线，垂足为,连结．由三垂线定理有，∴为二面角的平面角. ………………7分在中，可求得∴．………………9分∴二面角的大小为．（Ⅲ）解：由为中点可知,要使得点到平面的距离为，即要点到平面的距离为. 过作的垂线，垂足为,∵平面，∴平面平面，∴平面，即为点到平面的距离.∴，∴．……12分设，由与相似可得，∴，即．∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）证明：同解法一．（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标，则 .设为平面的一个法向量，则，．又令则得．………………8分又是平面的一个法向量，设二面角的大小为，则．∴二面角的大小为．（Ⅲ）解：设为平面的一个法向量，则，．又，令则得．…………12分又∴点到平面的距离，∴，解得，即.∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．4．解法1：（1）取A1D，则A1D//B1C知，B1C与DE所成角即为A1D 与DE所成角，连结A1E.由正方体ABCD-A1B1C1D1，可设其棱长为a，（2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF.∵GF ，BE CD，∴BE GF，∴四边形BFGE是平行四边形，∴BF//GE.（3）连结EF.解法2：如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A（0，0，0），B（2a，0，0）,C(0，2a，0)A1（0，0，2a），B（2a，2，2a），C1（0，2a，2a）（1）取AB的中点H，连结CH.（3）设平面AB1E的一个法向量为由于平面AEF的一个法向量为故设与m所成角为.由于平面AB1E与平面AEF所成的二面角为锐二面角，的平面角的余弦值为 .5．解法一:（Ⅰ）连结BD．在中，.∵，点为AC的中点，∴．∵即BD为PD在平面ABC内的射影，∴．…………………………2分∵分别为的中点,∴,∴．…………4分（Ⅱ）∵∴．连结交于点，∵，∴，∴为直线与平面所成的角，.…………………6分.∵∴，，又∵，∴ .∵，∴，∴在Rt△中，，∴．……………8分（Ⅲ）过点作于点F，连结，∵∴即BM为EM在平面PBC内的射影，∴∴为二面角的平面角．………11分∵中，,∴．…………………13分解法二：建立空间直角坐标系B?xyz,如图，则，，，，.（Ⅰ）∵，，∴∴.………4分（Ⅱ）由已知可得，为平面的法向量，,∴，∴直线与面所成角的正弦值为.∴直线与面所成的角为 .（Ⅲ）设平面PEF的一个法向量为a ，∵，∴a ，a ，令，∴a 由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，∴ a ，∴ a .∴二面角的正切值为.………14分6．证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴．又AB⊥BC，，∴⊥平面．又平面，∴平面⊥平面．（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．又∵PC ⊥AD，∴AC⊥AD．在梯形中，由AB⊥BC，AB=BC，得，∴．又AC⊥AD，故为等腰直角三角形．∴．连接，交于点，则在中，，∴又PD 平面EAC，EM 平面EAC，∴PD∥平面EAC．（Ⅲ）在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面= ，∴．在平面内，过作直线于，连结，由于是在平面内的射影，故．∴就是二面角A-CE-P的平面角．12分在中，设，则，，，，由，可知：∽，∴代入解得：．在中，，∴．即二面角A-CE-P的大小为．解法二：（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．设，则，，，.设，则，，∴，解得：．．连结，交于点，则. 7分在中，，∴．又PD 平面EAC，EM 平面EAC，∴PD∥平面EAC．（Ⅲ）设为平面的一个法向量，则，∴解得：，∴．设为平面的一个法向量，则，又，，∴解得：，∴．．13分∴二面角A-CE-P的大小为．14分7．法一：（I）在直三棱柱中, // .是与所成的角. 2分在中，， . 与所成角为.（II）取中点，连结，是的中点，则. 平面，平面. 则是在平面内的射影. ,..同理可证. 8分又，平面.（III）取中点，连结，,,则为二面角的平面角. 12分在中，，则∴= . 14分即二面角的大小为 .法二：（I）同法一.（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，（. 6分则， .. 8分，且 .平面 . 9分（III）,平面 .是平面的法向量.由（II）可知是平面的法向量. . 即二面角的大小为8．解法一：（Ⅰ）证明：平面平面，平面平面，且，. 平面，.又.（Ⅱ）解：作于点，于点，连结. 平面平面，，根据三垂线定理得，是二面角的平面角.………….. 6分设，.，，，即二面角的大小是 .（Ⅲ）解：在底面内分别过作的平行线，交于点，连结.则是异面直线和所成的角或其补角. ，，，.易知底面为矩形，从而，在中，，异面直线和所成角的大小为. 解法二：作于点，平面平面，平面.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. ………….. 2分..，.………….. 4分（Ⅰ）证明：. 又.（Ⅱ）解：作于点，连结 .平面，根据三垂线定理得，是二面角的平面角. 在中，，从而，，即二面角的大小是 .（Ⅲ）解：，，异面直线和所成角的大小为.9．解法一：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC 平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1. …………4分（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连结CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M ⊥平面B1AC.∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°.设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC= ，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为…………9分（III）解：过A做AN⊥BC，垂足为N，过N做NO⊥B1C，垂足为O，连结AO，由AN⊥BC，可得AN⊥平面BCC1B1，由三垂线定理，可知AO⊥B1C，∴∠AON为二面角B-B1C-A的平面角，∴二面角B-B1C-A的大小为…………14分解法二：（I）证明：同解法一. …………4分（II）解：建立如图的空间直角坐标系A-xyz，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°.设AB=B1B=1，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为…………9分（III）解：设为平面BCC1B1的一个法向量，∴二面角B-B1C-A的大小为…………14分10．解法一：(I) ∵PC 平面ABC，平面ABC，∴PC AB．…………………………2分∵CD 平面PAB，平面PAB，∴CD AB．…………………………4分又，∴AB 平面PCB．…………………………5分(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．则为异面直线PA与BC所成的角．由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF AF．由三垂线定理，得PF AF．则AF=CF= ，PF= ，在中，tan∠PAF= = ，∴异面直线PA与BC所成的角为．（III）取AP的中点E，连结CE、DE．∵PC=AC=2，∴CE PA，CE= ．∵CD 平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE PA．∴为二面角C-PA-B的平面角．由(I) AB 平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC= ．在中，PB= ，．在中，sin∠CED= ．∴二面角C-PA-B的大小为arcsin ．解法二：（I）同解法一．(II) 由(I) AB 平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC= ．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）．，．则+0+0=2．= = ．∴异面直线AP与BC所成的角为．（III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．，，则即解得令= -1, 得m= ( ，0，-1)．设平面PAC的法向量为n=( )．，，则即解得令=1, 得n= (1，1，0)．…………………12分= ．∴二面角C-PA-B的大小为arccos ．………14分11．方法1：（Ⅰ）证明：依条件有CB∥C1B1，又C1B1 平面A B1C1，CB 平面A B1C1，所以CB∥平面A B1C1.…………………3分（Ⅱ）解：因为D为AB的中点，依条件可知C1D⊥A1B1.所以= = ×C1D1×( ×A1A×D1B1)= ××( ×1×)= .……………7分（Ⅲ）解：因为D1是A1B1上一动点，所以当D1与A1重合时，二面角D1-AC1-C的大小为π；当D1与B1重合时，如图，分别延长A1C1和AC1，过B1作B1E⊥A1C1延长于E，依条件可知平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1E⊥平面ACC1A1.过点E作EF⊥A1C1，垂直为F. 连结FB1，所以FB1⊥A1C1.所以∠B1FE是所求二面角的平面角. 容易求出B1E= ，FE= .所以tan∠B1FE= = .所以∠B1FE= arctan . （或arccos ）所以二面角D1-AC1-C的取值范围是[arctan ，π]（或[arccos ，π]）.……13分方法2：（Ⅰ），（Ⅱ）略（Ⅲ）解：如图建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B1(- ，，1)，C1(0，0，1).因为D1是A1B1上一动点，所以当D1与A1重合时，二面角D1-AC1-C 的大小为π；当D1与B1重合时，显然向量n1=(0，1，0)是平面ACC1A1的一个法向量.因为=(1，0，-1)，=(- ，，1)，设平面C1AB1的法向量是n2=(x，y，z)，由·n2=0，·n2=0，解得平面C1AB1的一个法向量n2=(1，，1).因为n1·n2= ，| n1|=1，| n2|= ，设二面角B1-AC1-C的大小为β，所以cosβ= .即β=arccos .所以二面角D1-AC1-C的取值范围是[arccos ，π]（或[arctan ，π]） (13)分12．解法一: 证明：PA⊥底面ABCD,平面ABCD, ，∠= ，.又，平面.4分(2) AB // CD,.∠ADC=600,又AD =CD=1,为等边三角形,且AC=1.取的中点，则，PA⊥底面ABCD，面过作，垂足为，连，由三垂线定理知.为二面角的平面角.由..二面角的大小为.(3)设点到平面的距离的距离为.AB//CD, 平面面,平面 .∴点到平面的距离等于点到平面的距离., .解法二(1) 同解法一; 4分(2) 取的中点，则.又PA⊥底面ABCD, 面, 5分5分建立空间直角坐标系，如图.则，设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，则可取；，可取. 9分.故所求二面角的大小为.(3) 又.由（Ⅱ）取平面的一个法向量,点到平面的距离的距离为.13．解：(Ⅰ) AB∥平面DEF. 在△ABC中，∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足，∴AB∥EF.图（2）∵AB 平面DEF，EF 平面DEF，∴AB∥平面DEF. ……………3分(Ⅱ)过D点作DG⊥AC于G，连结BG，∵AD⊥CD, BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.∴∠ADB= , 即BD⊥AD.∴BD⊥平面ADC. ∴BD⊥AC.∴AC⊥平面BGD. ∴BG⊥AC .∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角. ……5分在ADC中，AD=a, DC= , AC=2a,∴.在Rt△BDG中，.∴.即二面角B-AC-D的大小为.……8分(Ⅲ)∵AB∥EF, ∴∠DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角 (9)分∵，∴ .又DC= , ，∴∴.∴.解得 .……………………13分14．解：（I）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴B1B⊥面ABC，∴B1B⊥AB. 又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC1B1.连结BC1，则∠AC1B为AC1与平面B1BCC1所成角.依题设知，BC1=2 ，在Rt△ABC1中，…………5分（II）如图，连结DF，在△ABC1中，∵D、F分别为AB、BC1的中点，∴DF∥AC1，又∵DF 平面B1DC，AC1 平面B1DC，∴AC1∥平面B1DC.……10分（III）PB1=x，当点P从E点出发到A1点，即时，由（1）同理可证PB1⊥面BB1C1C，当点P从A1点运动到A点，即时，.∴三棱锥P-BCC1的体积表达式………………14分15．证明：（I）是AB的中点，，又且四边形DCBE是平行四边形，面PBC，面PBC，平面PBC。
立体几何大题(解析版)
立体几何大题1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行6.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角cos θ=cos a ,b =|a ⋅b ||a |⋅|b |=|x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2|x 12+y 12+z 12⋅x 22+y 22+z 22(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ,b 所成角，a ,b 分别表示异面直线a ,b 的方向向量)7.直线AB 与平面所成角，sin β=AB ⋅m |AB ||m |(m 为平面α的法向量).8.二面角α-l -β的平面角cos θ=m ⋅n |m ||n |(m ，n 为平面α，β的法向量).9.点B 到平面α的距离d =|AB ⋅n | |n |(n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A ∈α).模拟训练一、解答题1(22·23下·湖南·二模)如图，在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC =120°,AB =BC =2,AC =BB ，点D 为棱BB 的中点，AE =13AC ．(1)求DE 的长度；(2)求平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值．【答案】(1)393(2)34【分析】(1)在△ABC 中，用余弦定理可得到AC =23，在△ABE 中，用余弦定理可得BE =233，即可求得DE =DB 2+BE 2=393；(2)以B 为原点，分别以BE ,BC ,BB 所在的直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，求出平面CDE 与平面BDE 的法向量，即可求解【详解】(1)因为在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC =120°,AB =BC =2，在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC=22+22-AC 22×2×2=-12，解得AC =23，则AE =13AC =233，在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22AB ⋅AE =22+233 2-BE 22×2×233=32，解得BE =233，又AC =BB =23，所以BD =12BB =3，因为BB ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以BB ⊥BE ，在直角三角形DBE 中，DE =DB 2+BE 2=(3)2+233 2=393；(2)因为AE =BE =233，所以∠ABE =∠BAE =30°，则∠CBE =∠ABC -∠ABE =120°-30°=90°，则BE ,BC ,BB 两两互相垂直，以B 为原点，分别以BE ,BC ,BB 所在的直线为x ,y ,z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系：则点C 0,2,0 ,D 0,0,3 ,E 233,0,0 ，则CD =0,-2,3 ,CE =233,-2,0 ，设平面CDE 的法向量为n =x ,y ,z ，由n ⋅CD =x ,y ,z ⋅0,-2,3 =-2y +3z =0n ⋅CE =x ,y ,z ⋅233,-2,0 =233x -2y =0 ，得z =233y x =3y，令y =3，得平面CDE 的一个法向量为n =3,3,2 ；平面BDE 的一个法向量为m =0,1,0 ．设平面CDE 与平面BDE 夹角的大小为θ，则cos θ=m ⋅n m n =0,1,0 ⋅3,3,2 1×4=34，故平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值为34．2(22·23下·绍兴·二模)如图，在多面体ABCDE 中，DE ⊥平面BCD ,△ABC 为正三角形，△BCD 为等腰Rt △,∠BDC =90°,AB =2,DE =2.(1)求证：AE ⊥BC ；(2)若AE ⎳平面BCD ，求直线BE 与平面ABC 所成的线面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；(2)法一：由分析可知，∠EBH 就是直线BE 与平面ABC 所成的线面角，设∠AFD =α，当α<90°时，O 与D 重合，可得A ,E 两点重合，不符合题意，当α>90°时，求出EH ,BE ，即可得出答案；法二：建立空间直角坐标系，求出直线BE 的方向向量与平面ABC 的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】(1)设F 为BC 中点，连接AF ,EF ，则由△ABC 为正三角形，得AF ⊥BC ；DE ⊥平面BCD ，且△BCD 为等腰直角三角形，计算可得：BE =CE =2,∴EF ⊥BC .EF ∩AF =F ,EF ,AF ⊂面AEF ，于是BC ⊥面AEF ，AE ⊂面AEF ，从而BC ⊥AE .(2)法一：由(1)可知，过点E 作EH ⊥AF ，垂足为H ，则∠EBH 就是直线BE 与平面ABC 所成的线面角.当AE ⎳平面BCD 时，可得A 到平面BCD 的距离为 2.设∠AFD =α，所以AF ⋅sin α=2，可得sin α=63，当α<90°时，cos α=33，不妨设A 在底面BCD 射影为O ，则FO =1，此时O 与D 重合，可得A ,E 两点重合，不符合题意，舍去；当α>90°时，FO =1，此时O 在DF 的延长线上，作EH ⊥AF ，由于AODE 为矩形，可得AE =DO =2,AE ∥OD ，可得sin ∠EAH =63，可得EH =263.于是sin ∠EBH =EH BE=63.法二：建立如图坐标系，可得F 0,0,0 ,B 1,0,0 ，C -1,0,0 ,D 0,1,0 ,E 0,1,2 ,A 0,a ,b由AF =3，解得a 2+b 2=3，又∵AE ⎳平面BCD ，令n =0,0,1 ，可得AB ⋅n =0，解得b =2,a =±1.当a =1时A ,E 重合，所以a =-1，此时A 0,-1,2 .不妨设平面ABC 的法向量为m =x ,y ,z ，则CB ⋅m =0CA ⋅m =0代入得x -y +2z =02x =0 ，令z =1，则y =2，所以m =0,2,1 .由于BE =-1,1,2 ，不妨设所成角为θ，则sin θ=∣cos BE ,m |=63.3(22·23·张家口·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1=60°，AB =BC =2，AC =AB 1=2.(1)证明：平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C ；(2)求平面ACC 1A 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)57.【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.【详解】(1)如图，连接BC 1，交B 1C 于O ，连接AO .因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为BC 1的中点.又AC =AB 1=2，故AO ⊥B 1C .又AB =BC =2，且∠CBB 1=60°，所以CO =1,BO =3，所以AO =AC 2-CO 2=1.又AB =2，所以AB 2=BO 2+AO 2，所以AO ⊥BO .因为BO ,CB 1⊂平面BB 1C 1C ，BO ∩CB 1=O ，所以AO ⊥平面BB 1C 1C .又AO ⊂平面ACB 1，所以平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C .(2)由(1)知，OA ,OB ,OB 1两两互相垂直，因此以O 为坐标原点，OB ,OB 1,OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (0,0,1)，B (3,0,0)，C (0,-1,0)，C 1(-3,0,0).故CC 1 =(-3,1,0)，CA =(0,1,1)，CB =(3,1,0).设n =(x 1,y 1,z 1)为平面ACC 1A 1的一个法向量，则有n ⋅CC 1 =0n ⋅CA =0 ，即-3x 1+y 1=0y 1+z 1=0 ，令x 1=1，则n =(1,3,-3).设m =(x 2,y 2,z 2)为平面ABC 的一个法向量，则有m ⋅CA =0m ⋅CB =0，即y 2+z 2=03x 2+y 2=0 ，令x 2=1，则m =(1,-3,3).因为平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，所以m =(1,-3,3)也是平面A 1B 1C 1的一个法向量.所以cos <n ,m > =n ⋅m n m=1-3-3 7×7=57.所以平面ACC 1A 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值57. 4(22·23·湛江·二模)如图1，在五边形ABCDE 中，四边形ABCE 为正方形，CD ⊥DE ，CD =DE ，如图2，将△ABE 沿BE 折起，使得A 至A 1处，且A 1B ⊥A 1D ．(1)证明：DE ⊥平面A 1BE ；(2)求二面角C -A 1E -D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由已知易得DE ⊥BE ，即可证明线面垂直；(2)建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可．【详解】(1)由题意得∠BEC =∠CED =π4，∠BED =π2，DE ⊥BE ，因为AB ⊥AE ，则A 1B ⊥A 1E ，又A 1B ⊥A 1D ，A 1E ∩A 1D =A 1,A 1E ,A 1D ⊂面A 1ED ，所以A 1B ⊥面A 1ED ，又DE ⊂面A 1ED ，则DE ⊥A 1B ，又DE ⊥BE ，A 1B ∩BE =B ，A 1B ⊂平面A 1BE ，BE ⊂平面A 1BE ，所以DE ⊥平面A 1BE ．(2)取BE 的中点O ，可知BE =2CD ,OE =CD ，由DE ⊥BE ，且CD ⊥DE 可得OE ⎳CD ，所以四边形OCDE 是平行四边形，所以CO ∥DE ，则CO ⊥平面A 1BE ，设BE =2，以点O 为坐标原点，OB ,OC ,OA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，则A 1(0,0,1),E (-1,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),D (-1,1,0)，EA 1 =(1,0,1),EC =(1,1,0),ED =(0,1,0)，设平面A 1EC 的一个法向量为n 1 =(x 1,y 1,z 1)，则n 1 ⋅EA 1 =0n 1 ⋅EC =0 ，即x 1+z 1=0x 1+y 1=0 ，取x 1=1，则n 1 =(1,-1,-1)，设平面A 1ED 的一个法向量为n 2 =(x 2,y 2,z 2)，则n 2 ⋅E 1A =0n 2 ⋅ED =0 ，即x 2+z 2=0y 2=0 ，取x 2=1，则n 2 =(1,0,-1)，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=63，由图可知，二面角C -A 1E -D 为锐角，所以面角C -A 1E -D 的余弦值为63．5(22·23下·长沙·三模)如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC =4，BE =3，点F 在AC 上.(1)若BF ⎳平面CDE ，求CF ；(2)若F 是AC 的中点，求二面角F -DE -C 的正弦值.【答案】(1)CF =1(2)8517【分析】(1)记AC 中点为M ，连接DM 、BM ，依题意可得DM ⊥AC ，根据面面垂直的性质得到DM ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系，求出平面CDE 的法向量，设F a ,0,0 ，a ∈2,-2 ，依题意可得BF ⋅n =0求出a 的值，即可得解；(2)依题意点F 与点M 重合，利用空间向量法计算可得.【详解】(1)记AC 中点为M ，连接DM 、BM ，△ACD 为正三角形，AC =4，则DM ⊥AC ，且DM =2 3.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC =AC ，DM ⊂平面ACD ，所以DM ⊥平面ABC ，又△ABC 为正三角形，所以BM ⊥AC ，所以BM =23，如图建立空间直角坐标系，则B 0,23,0 ，C -2,0,0 ，D 0,0,23 ，E 0,23,3 ，所以CD =2,0,23 ，CE =2,23,3 ，设平面CDE 的法向量为n =x ,y ,z ，则n ⋅CD =2x +23z =0n ⋅CE =2x +23y +3z =0，令x =3，则z =-3，y =-32，则n =3,-32,-3 ，设F a ,0,0 ，a ∈-2,2 ，则BF =a ,-23,0 ，因为BF ⎳平面CDE ，所以BF ⋅n =3a +-23 ×-32+0×-3 =0，解得a =-1，所以F 为CM 的中点，此时CF =1.(2)若F 是AC 的中点，则点F 与点M 重合，则平面FDE 的一个法向量可以为m =1,0,0 ，设二面角F -DE -C 为θ，显然二面角为锐角，则cos θ=m ⋅n m ⋅n=332+-32 2+-3 2=651，所以sin θ=1-cos 2θ=1-651 2=8517，所以二面角F -DE -C 的正弦值为8517.6(22·23下·湖北·二模)如图，S 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 内接于⊙O ,AC ⊥BC ,AC =BC =322，AM =2MS ,AS =3,PQ 为⊙O 的一条弦，且SB ⎳平面PMQ .(1)求PQ 的最小值；(2)若SA ⊥PQ ，求直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值.【答案】(1)22(2)3010【分析】(1)作出辅助线，找到符合要求的PQ ，并利用垂径定理得到最小值；(2)在第一问基础上，得到当PQ 取得最小值时，SA ⊥PQ ，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】(1)过点M 作MH ⎳SB 交AB 于点H ，过点H 作PQ ⊥AB ，此时满足SB ⎳平面PMQ ，由平面几何知识易知，PQ =2r 2-d 2，当弦心距d 最大时，d =OH ，弦长最短，即PQ 取得最小值，因为AM =2MS ,AS =3，所以AH =2HB ，因为AC ⊥BC ,AC =BC =322，由勾股定理得AB =322⋅2=3，故AH =2,HB =1，连接OQ ，则OQ =32，由勾股定理得HQ =OQ 2-OH 2=94-14=2，所以PQ =2HQ =22；(2)连接OS ，则OS ⊥平面ACB ，因为PQ ⊂平面ACB ，故OS ⊥PQ ，而SA ⊥PQ ，OS ∩SA =S ，所以PQ ⊥平面AOS ，即有PQ ⊥AB .以O 为坐标原点，过点O 且平行PQ 的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则P -2,12,0 ,Q 2,12,0 ,B 0,32,0 ,C 32,0,0 ,M 0,-12,3 ，设平面BCM 的法向量为m =x ,y ,z ，则m ⋅CB =x ,y ,z ⋅-32,32,0 =-32x +32y =0m ⋅MB =x ,y ,z ⋅0,2,-3 =2y -3z =0，令x =1，则y =1,z =233，故m =1,1,233，设直线PQ 与平面BCM 所成角的大小为θ，则sin θ=cos PQ ,m =PQ ⋅m PQ ⋅m =22,0,0 ⋅1,1,233 22×1+1+43=3010.故直线PQ与平面BCM所成角的正弦值为30 10.7(22·23·深圳·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA= AD=2AB，点M是PD的中点.(1)证明：AM⊥PC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1510【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AM⊥PD，由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以由线面垂直的判定可得AM⊥平面PCD，从而可得结论；(2)以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】(1)证明：因为PA=AD，点M是PD的中点，所以AM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，因为平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，因为PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD，因为PC⊂平面PCD，所以AM⊥PC.(2)解：由题意可得AB,AD,AP两两垂直，设AB=1，如图，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，因为点M是PD的中点，所以M0,22,22，所以AM =0,22,22 ,AC =1,2,0 ，设平面ACM 的法向量为n =x ,y ,z ，则AM ⋅n =22y +22z =0AC ⋅n =x +2y =0，令y =-1可得x =2,z =1，所以平面ACM 的一个法向量n =2,-1,1 .PC =1,2,-2 ，设N x N ,y N ,z N ,PN =λPC =λ,2λ,-2λ (0<λ<1)，即x N ,y N ,z N -2 =λ,2λ,-2λ ，所以N λ,2λ,2-2λ .又O 12,22,0 ,ON =OA =32，所以λ-12 2+2λ-22 2+(2-2λ)2=34，化简得5λ2-7λ+2=0，解得λ=25或λ=1(舍去).所以AN =25,225,325，设直线AN 与平面ACM 所成的角为θ，则sin θ=n ⋅AN n ⋅AN=3252+1+1×425+825+1825=1510，所以直线AN 与平面ACM 所成角的正弦值为1510.8(22·23下·温州·二模)已知三棱锥D -ABC 中，△BCD 是边长为3的正三角形，AB =AC =AD ,AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求二面角D -AC -B 的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)223【分析】(1)取BC 的中点E ，连接AE ,DE ，证明BC ⊥平面ADE ，即可得证；(2)取正三角形BCD 的中心O ，连接OA ，从而可得OA ⊥平面BCD ，则∠ODA 即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，进而可得AB =AC =AD =3，取AC 中点为H ，连接DH ,BH ，则DH ⊥AC ,BH ⊥AC ，故∠BHD 即为二面角D -AC -B 的平面角，解△BDH 即可得解.【详解】(1)取BC 的中点E ，连接AE ,DE ，因为AB =AC ，所以AE ⊥BC ，因为△BCD 是边长为3的正三角形，所以DE ⊥BC ，又AE ∩DE =E ,AE ,DE ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ，因为AD ⊂平面ADE ，所以AD ⊥BC ；(2)取正三角形BCD 的中心O ，连接OA ，则点O 在DE 上，且OD =23DE ，由AB =AC =AD ，△BCD 是正三角形，得三棱锥A -BCD 为正三棱锥，则OA ⊥平面BCD ，故∠ODA 即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，又AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33，所以OD AD =3×32×23AD=33，即AB =AC =AD =3，即三棱锥A -BCD 是正四面体，取AC 中点为H ，连接DH ,BH ，则DH ⊥AC ,BH ⊥AC ，故∠BHD 即为二面角D -AC -B 的平面角，在△BDH 中，BH =DH =332,BD =3，则cos ∠BHD =BH 2+DH 2-BD 22⋅BH ⋅DH =274+274-92×332×332=13，所以sin ∠BHD =1-cos 2∠BHD =223，所以二面角D -AC -B 的平面角的正弦值223．9(22·23下·浙江·二模)如图，四面体ABCD ,AD ⊥CD ,AD =CD ,AC =2,AB =3,∠CAB =60°，E 为AB 上的点，且AC ⊥DE ,DE 与平面ABC 所成角为30°，(1)求三棱锥D -BCE 的体积；(2)求二面角B -CD -E 的余弦值.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【分析】(1)取AC 中点F ，可证明AC ⊥平面DEF ，得平面ABC ⊥平面DEF ，DE 在平面ABC 内的射影就是直线EF ，∠DEF 是DE 与平面ABC 所成的角，即∠DEF =30°，由正弦定理求得∠FDE ，有两个解，在∠FDE =60°时可证DF ⊥平面ABC ，在∠FDE =120°时，取FE 中点H 证明DH ⊥平面ABC ，然后由棱锥体积公式计算体积；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】(1)取AC 中点F ，连接FE ,FD ，因为AD =CD ，所以DF ⊥AC ，又AC ⊥DE ，DE ∩DF =D ，DE ,DF ⊂平面DEF ，所以AC ⊥平面DEF ，而FE ⊂平面DEF ，所以AC ⊥FE ，由已知AF =1，∠BAC =60°，所以EF =3，AE =2，BE =1，由AC ⊥平面DEF ，AC ⊂平面ABC 得平面ABC ⊥平面DEF ，因此DE 在平面ABC 内的射影就是直线EF ，所以∠DEF 是DE 与平面ABC 所成的角，即∠DEF =30°，AD =CD ,AC =2，因此DF =12AC =1，在△DEF 中，由正弦定理EF sin ∠FDE =DF sin ∠DEF 得1sin30°=3sin ∠FDE ，sin ∠FDE =32，∠FDE 为△DEF 内角，所以∠FDE =60°或120°，S △ABC =12AB ×AC ×sin ∠BAC =12×3×2×sin60°=333，S △CBE =BE BAS △ABC =3-23×332=32，若∠FDE =60°，则∠DFE =90°，即DF ⊥FE ，AC ∩FE =F ，AC ,FE ⊂平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，V D -BCE =13S △BCE ⋅DF =13×32×1=36；若∠FDE =120°，则∠DFE =30°，DF =DE =1，取EF 中点H ，连接DH ，则DH ⊥EF ，因为平面ABC ⊥平面DEF ，平面ABC ∩平面DEF =EF ，而DH ⊂平面DEF ，所以DH ⊥平面ABC ，DH =DF sin ∠DFE =1×sin30°=12，所以V D -BCE =13S △BCE ⋅DF =13×32×12=312；(2)若∠FDE =60°，以FA ,FE ,FD 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ，则D (0,0,1)，C (-1,0,0)，A (1,0,0)，E (0,3,0)，AE =(-1,3,0)，EB =12AE =-12,32,0 ，所以B 点坐标为-12,332,0 ，CD =(1,0,1)，CB =12,332,0 ，CE =(1,3,0)，设平面DBC 的一个法向量是m =(x 1,y 1,z 1)，则m ⋅CD =x 1+z 1=0m ⋅CB =12x 1+332y 1=0，取y 1=-1，则x 1=33，z 1=-33，即m =(33,-1,-33)，设平面DEC 的一个法向量是n =(x 2,y 2,z 2)，则n ⋅CD =x 2+z 2=0n ⋅CE =x 2+3y 2=0，取y 2=-1，则x 2=3，z 2=-3，即m =(3,-1,-3)，cos m ,n =m ⋅n m n =9+1+955×7=19385385，所以二面角B -CD -E 的余弦值是19385385；若∠FDE =120°，以FA 为x 轴，FE 为y 轴，过F 且平行于HD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ，FH =12FE =32，则D 0,32,12 ，C (-1,0,0)，A (1,0,0)，E (0,3,0)，AE =(-1,3,0)，EB =12AE =-12,32,0 ，所以B 点坐标为-12,332,0 ，CD =1,32,12 ，CB =12,332,0 ，CE =(1,3,0)，设平面DBC 的一个法向量是m =(x 1,y 1,z 1)，则m ⋅CD =x 1+32y 1+12z 1=0m ⋅CB =12x 1+332y 1=0，取y 1=-1，则x 1=33，z 1=-53，即m =(33,-1,-53)，设平面DEC 的一个法向量是n =(x 2,y 2,z 2)，则n ⋅CD =x 2+32y 2+12z 2=0n ⋅CE =x 2+3y 2=0，取y 2=-1，则x 2=3，z 2=-3，即m =(3,-1,-3)，cos m ,n =m ⋅n m n =9+1+15103×7=25721721，所以二面角B -CD -E 的余弦值是25721721．10(22·23下·襄阳·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为矩形，∠BAC =90°，AB =AC =2，AA 1=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点N ，M 为B 1C 1的中点.(1)求证：平面A 1MNA ⊥平面A 1BC ；(2)求平面A 1B 1BA 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23015【分析】(1)利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.【详解】(1)如图，∵A 1N ⊥面ABC ，连AN ，则AN ⊥A 1N ，又AB =AC =2，∴AN ⊥BC ，又AN ∩BC =N ，A 1N ⊂面A 1BC ，BC ⊂面A 1BC ，于是AN ⊥面A 1BC ，又AN ⊂面A 1MN ，，所以面A 1BC ⊥面A 1MNA .(2)由(1)可得，以NA ,NB ,NA 1 为x ,y ,z 轴，建系如图，∠BAC =90°，AB =AC =2，BC =22则A (2,0,0),B (0,2,0),C (0,-2,0),因为AA 1=4,AN =2,所以A 1N =14,则A 1(0,0,14),因为NB 1 =NB +BB 1 =NB +AA 1 =0,2,0 +-2,0,14 =-2,2,14 ,所以B 1-2,2,14 ,设平面A 1BB 1的一个法向量为m =(x ,y ,z )，因为A 1B =(0,2,-14),B 1B =(2,0,-14),所以A 1B ⋅m =2y -14z =0B 1B ⋅m =2x -14z =0 ，令y =7，则x =7,z =1，所以m =(7,7,1)，设平面BCC 1B 1的一个法向量为n =(a ,b ,c )，因为BC =(0,-22,0),BB 1 =(-2,0,14),所以BC ⋅n =-22b =0BB 1 ⋅n =-2a +14c =0，令a =7，则b =0,c =1，所以n =(7,0,1)，设平面A 1BB 1与平面BCC 1B 1夹角为θ，则cos θ=cos <m ,n >=m ⋅n m n=7+0+17+7+1×7+0+1=23015，所以平面A 1BB 1与平面BCC 1B 1夹角的余弦值为23015.11(22·23·唐山·二模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，且AA 1=AC ，∠AA 1C 1=120°，M 是CC 1的中点．(1)证明：A 1C ⊥BM ．(2)求二面角A 1-BC -M 的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)45【分析】(1)根据菱形的性质、结合面面垂直的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式进行求解即sk .【详解】(1)取AC 的中点O ，连接OM ，OB ，AC 1．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，由AA 1=AC ，得四边形ACC 1A 1为菱形，所以A 1C ⊥AC 1，易知OM ∥AC 1，则A 1C ⊥OM ．由△ABC 是等边三角形，知OB ⊥AC ，又平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，OB ⊂平面ABC ，知OB ⊥平面ACC 1A 1，则OB ⊥A 1C ，又OB ∩OM =O ,OB ,OM ⊂平面OBM ，得A 1C ⊥平面OBM ，又BM ⊂平面OBM ，故A 1C ⊥BM ．.(2)连接OA 1，因为侧面ACC 1A 1为菱形，∠AA 1C 1=120°，则∠A 1AC =60°，则△A 1AC 为等边三角形，所以A 1O ⊥AC ，又由(1)易知OA 1，OB ，AC 两两垂直，故以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 1 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．不妨设AB =2，则O 0,0,0 ，B 3,0,0 ，C 0,1,0 ，A 10,0,3 ，C 10,2,3 ，BA 1 =-3,0,3 ，BC =-3,1,0 ，CC 1 =0,1,3 ，设平面A 1BC 的法向量为n =x ,y ,z ，则n ⋅BC =-3x +y =0n ⋅BA 1 =-3x +3z =0 ，令x =1，得n =1,3,1 ，设平面BCC 1的法向量为m =a ,b ,c ，则m ⋅BC =-3a +b =0m ⋅CC 1 =b +3c =0，令a =1，得m =1,3,-1 ，所以cos n ,m =n ⋅m n ⋅m=35⋅5=35，即二面角A 1-BC -M 的正弦值为45．12(22·23下·盐城·三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C ，E ，D ，G 四点共面.(1)证明：平面BDF ⊥平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABG 所成二面角的余弦值为155，且线段AB 长度为2，求点G 到直线DF 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)62【分析】(1)过G 作GH ⎳CB ，交底面弧于H ，连接HB ，有HBCG 为平行四边形，根据题设可得FB ⊥HB ，即FB ⊥CG ，再由线面垂直的性质可得CB ⊥FB ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.(2)构建如下图示空间直角坐标系A -xyz ，令半圆柱半径为r ，高为h ，确定相关点坐标，进而求平面BDF 、平面ABG 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得h =2r ，即可求出点G 到直线DF 的距离.【详解】(1)过G 作GH ⎳CB ，交底面弧于H ，连接HB ，易知：HBCG 为平行四边形，所以HB ⎳CG ，又G 为弧CD 的中点，则H 是弧AB 的中点，所以∠HBA =45°，而由题设知：∠ABF =45°，则∠HBF =∠HBA +∠ABF =90°，所以FB ⊥HB ，即FB ⊥CG ，由CB ⊥底面ABF ，FB ⊂平面ABF ，则CB ⊥FB ，又CB ∩CG =C ，CB ,CG ⊂平面BCG ，所以FB ⊥平面BCG ，又FB ⊂平面BDF ，所以平面BDF ⊥平面BCG .(2)由题意，构建如下图示空间直角坐标系A -xyz ，令半圆柱半径为r ，高为h ，则B 0,2r ,0 ，F 2r ,0,0 ，D 0,0,h ，G -r ,r ,h ，所以FD =-2r ,0,h ，BD =0,-2r ,h ，AB =0,2r ,0 ，AG =-r ,r ,h ，若m =x ,y ,z 是面BDF 的一个法向量，则m ⋅FD =-2rx +hz =0m ⋅BD =-2ry +hz =0 ，令z =2r ，则m =h ,h ,2r ，若n =a ,b ,c 是面ABG 的一个法向量，则n ⋅AB =2rb =0n ⋅AG =-ra +rb +hc =0 ，令c =r ，则n =h ,0,r ，所以cos m ,n =m ⋅n m n=h 2+2r 22h 2+4r 2×h 2+r 2=155，整理可得h 2-4r 2 h 2+2r 2 =0，则h =2r ，又AB =2，由题设可知，此时点G -1,1,2 ，D 0,0,2 ，F 2,0,0 ，则DF =2,0,-2 ，DG =-1,1,0 ，所以点G 到直线DF 的距离d =DG 2-DG ⋅DF 2DF2=62.13(22·23下·江苏·三模)如图，圆锥DO 中，AE 为底面圆O 的直径，AE =AD ，△ABC 为底面圆O 的内接正三角形，圆锥的高DO =18，点P 为线段DO 上一个动点.(1)当PO =36时，证明：PA ⊥平面PBC ；(2)当P 点在什么位置时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大.【答案】(1)证明见解析；(2)P 点在距离O 点36处【分析】(1)利用勾股定理证明出AP ⊥BP 和AP ⊥CP ，再用线面垂直的判定定理证明出PA ⊥平面PBC ；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】(1)因为AE =AD ，AD =DE ，所以△ADE 是正三角形，则∠DAO =π3，又DO ⊥底面圆O ，AE ⊂底面圆O ，所以DO ⊥AE ，在Rt △AOD 中，DO =18，所以AO =DO 3=63，因为△ABC 是正三角形，所以AB =AO ×32×2=63×3=18，AP =AO 2+PO 2=92，BP =AP ，所以AP 2+BP 2=AB 2，AP ⊥BP ，同理可证AP ⊥CP ，又BP ∩PC =P ，BP ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC .(2)如图，建立以O 为原点的空间直角坐标系O -xyz .设PO =x ，(0≤x ≤18)，所以P 0,0,x ，E -33,9,0 ，B 33,9,0 ，C -63,0,0 ，所以EP =33,-9,x ，PB =33,9,-x ，PC =-63,0,-x ，设平面PBC 的法向量为n =a ,b ,c ，则n ⋅PB =33a +9b -cx =0n ⋅PC =-63a -cx =0，令a =x ，则b =-3x ，c =-63，故n =x ,-3x ,-63 ，设直线PE 和平面PBC 所成的角为θ，则sin θ=cos EP ,n =33x +93x -63x 108+x 2⋅x 2+3x 2+108=63x 108+x 2⋅4x 2+108=634x 2+1082x 2+540≤6324x 2⋅1082x 2+540=13，当且仅当4x 2=1082x 2，即PO =x =36时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大，故P 点在距离O 点36处.14(22·23下·镇江·三模)如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =60°，四边形PACQ 为矩形，PA =1，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).①BP ,DP 与平面ABCD 所成角相等；②三棱锥P -ABD 体积为33；③cos ∠BPA =55(1)平面PACQ ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B -PQ -D 的大小；(3)求点C 到平面BPQ 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2π3(3)32【分析】(1)若选①，则作PA ⊥面ABCD ，证明A 和A 重合从而得到PA ⊥面ABCD ，从而得到面面垂直；若选②，计算得到P 到面ABD 的距离h =1=PA ，得到PA ⊥面ABCD ，从而得到面面垂直；若选③，通过余弦定理计算得到PA ⊥AB ，再通过PA ⊥面ABCD ，从而得到面面垂直；(2)通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合二面角计算公式计算即可；(3)通过点面距离的计算公式直接计算即可.【详解】(1)选①，连接BD ，作PA ⊥面ABCD ，垂足为A .∵BP ,DP 与平面ABCD 所成角相等，∴A B =A D ，∴A 在BD 的中垂线AC 上，∵在平面PACQ 内，PA ⊥AC ,PA ⊥AC ,∴A 和A 重合，∴PA ⊥面ABCD ，又PA ⊂面PACQ ，∴面PACQ ⊥面ABCD若选②，设P 到面ABD 的距离为h ，∵V P -ABD =13S △ABD ⋅h =13×3⋅h =33，得h =1=PA ，∴PA 即为P 到面ABD 的距离，即PA ⊥面ABCD ，又PA ⊂面PACQ ，∴面PACQ ⊥面ABCD .若选③，由余弦定理得，cos ∠BPA =PB 2+PA 2-AB 22PB ⋅PA =55，∴BP =5,∴BP 2=AP 2+AB 2∴PA ⊥AB ，又PA ⊥AC ,AC ∩AB =A ,AC ,AB ⊂面ABCD∴PA ⊥面ABCD ，又PA ⊂面PACQ∴面PACQ ⊥面ABCD(2)因为PA ⊥面ABCD ，OB ,OC ⊂面ABCD ，所以PA ⊥OB ,PA ⊥OC ，取PQ 中点G ，则OG ⎳PA ，所以OG ⊥OB ,OG ⊥OC ，又因为OB ⊥OC ，所以建立如下图所示空间直角坐标系，∵B 3,0,0 ,P 0,-1,1 ,D -3,0,0 ,Q 0,1,1 ，∴BQ =-3,1,1 ,DQ =3,1,1 ,DP =3,-1,1 ，设平面BPQ 的一个法向量为m =x ,y ,z ，则m⋅BP =0m ⋅BQ =0 ，即-3x -y +z =0-3x +y +z =0 ，令x =3，则y =0,z =3,∴m =3,0,3 ，设平面DPQ 的一个法向量为n =x 1,y1,z 1 ，则n ⋅DP=0n ⋅DQ =0 ，即3x 1-y 1+z 1=3x 1+y 1+z 1=0，令x1=3，则y 1=0,z 1=-3,∴n =3,0,-3 ，∴cos m ,n =m ⋅n m ⋅ n =-623×23=-12，∵m ,n ∈0,π ,∴m ,n =2π3，由图可知二面角B -PQ -D 是钝角，所以二面角B -PQ -D 的大小为2π3.(3)∵C 0,1,0 ,Q 0,1,1 ，∴CQ =0,0,1 ,∵平面BPQ 的一个法向量为m =3,0,3 ，∴点C 到平面BPQ 的距离d =CQ ⋅m m=323=32.15(22·23下·江苏·一模)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ，侧面A 1B 1BA 为菱形，∠ABB 1=π3，AB 1⊥AC ，AB =AC =2，E 是AC 的中点.(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)点P 在线段A 1E 上(异于点A 1，E )，AP 与平面A 1BE 所成角为π4，求EP EA 1的值.【答案】(1)证明见解析(2)EP EA 1=25【分析】(1)作B 1O ⊥AB 交AB 于O 点，由面面垂直的性质可得B 1O ⊥平面ABC ，可得B 1O ⊥AC ，再由线面垂直的判定定理得AC ⊥平面A 1B 1BA ，从而得到AC ⊥A 1B ，再由线面垂直的判定定理可得答案；(2)以A 为原点，AB 、AC 、AO 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设EP =λEA 1 ，可得AP =-λ,1-λ,3λ ，求出平面A 1BE 的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】(1)因为侧面A 1B 1BA 为菱形，∠ABB 1=π3，AB =AC =2，所以△ABB 1、△AA 1B 1为边长为2的等边三角形，作B 1O ⊥AB 交AB 于O 点，则O 点为AB 的中点，因为平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ，平面A 1B 1BA ∩平面ABC =AB ，B 1O ⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1O ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，可得B 1O ⊥AC ，又AB 1⊥AC ，B 1O ∩AB 1=B 1，B 1O 、AB 1⊂平面A 1B 1BA ，可得AC ⊥平面A 1B 1BA ，因为A 1B ⊂平面A 1B 1BA ，所以AC ⊥A 1B ，因为侧面A 1B 1BA 为菱形，所以B 1A ⊥A 1B ，AB 1∩AC =A ，AB 1、AC ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)由(1)知，AC ⊥平面A 1B 1BA ，∠BAC =π2，取做A 1B 1的中点O 1，连接AO 1，则B1O ⎳AO 1，所以AO 1⊥平面ABC ，以A 为原点，AB 、AC 、AO 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则A 0,0,0 ，A 1-1,0,3 ，B 2,0,0 ，E 0,1,0 ，A 1B =3,0,-3 ，EA 1 =-1,-1,3 ，设EP =λEA 1 ，可得P -λ,1-λ,3λ ，所以AP =-λ,1-λ,3λ ，设平面A 1BE 的一个法向量为n=x ,y ,z ，则A 1B ⋅n=0EA 1 ⋅n =0，即3x -3z =0-x -y +3z =0 ，令z =3，可得n =1,2,3 ，可得sin π4=cos n ,AP =n ⋅AP n AP=-λ+2-2λ+3λ 1+4+3λ2+1-λ 2+3λ2，解得λ=0舍去，或λ=25，所以EP EA 1=25.16(22·23下·河北·三模)如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ,BD 交于点O ，且PO ⊥平面ABCD ,OC =1,OD =OP =2,M 是PD 的中点，N 是线段CD 上一动点．(1)当平面OMN ⎳平面PBC 时，试确定点N 的位置，并说明理由；(2)在(1)的前提下，点Q 在直线MN 上，以PQ 为直径的球的表面积为214π．以O 为原点，OC ,OD ,OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ，求点Q 的坐标．【答案】(1)N 是CD 的中点(2)12,1,0 ，-1310,1,185 【分析】(1)根据面面平行的性质证明MN ⎳PC ，即可得解；(2)先根据球的体积求出PQ ，然后根据空间中两点间的距离公式即可得解.【详解】(1)因为平面OMN ⎳平面PBC ，平面OMN ∩平面PCD =MN ，平面PBC ∩平面PCD =PC ，所以MN ⎳PC ，因为M 是PD 的中点，所以N 是CD 的中点；(2)由题意4π×PQ 22=214π，解得PQ =212，设MQ =λMN,λ∈R ，由题意，P 0,0,2 ,M 0,1,1 ,N 12,1,0 ，则PM =0,1,-1 ,MN =12,0,-1 ，则PQ =PM +MQ =0,1,-1 +λ12,0,-1 =λ2,1,-λ-1 ，则λ24+1+-λ-1 2=212，解得λ=1或λ=-135，当λ=1时，MQ =MN ，则Q 12,1,0 ，当λ=-135时，MQ =-135MN =-1310,0,135，设Q x ,y ,z ，则MQ =x ,y -1,z -1 =-1310,0,135，所以x =-1310y -1=0z -1=135 ，解得x =-1310y =1z =185 ，则Q -1310,1,185 ，综上所述点Q 的坐标为12,1,0，-1310,1,185 .17(22·23·汕头·三模)如图，圆台O 1O 2的轴截面为等腰梯形A 1ACC 1，AC =2AA 1=2A 1C 1=4,B 为底面圆周上异于A ,C 的点.(1)在平面BCC 1内，过C 1作一条直线与平面A 1AB 平行，并说明理由；(2)若四棱锥B -A 1ACC 1的体积为23，设平面A 1AB ∩平面C 1CB =l ,Q ∈l ，求CQ 的最小值.【答案】(1)作图见解析，理由见解析(2)7【分析】(1)根据线面平行的判定和中位线定理即可求解;(2)根据几何关系或空间向量方法即可求解.【详解】(1)取BC 中点P ，作直线C 1P 即为所求，取AB 中点H ，连接A 2H ,PH ，则有PH ∥AC ,PH =12AC ，如图，在等腰梯形A 1ACC 1中，A 1C 1=12AC ，有HP ∥A 1C 1,HP =A 1C 1，则四边形A 1C 1PH 为平行四边形，即有C 1P ∥A 1H ，又A 1H ⊂平面A 1AB ,C 1P⊄平面A 1AB ，所以C 1P ∥平面A 1AB .(2)法一：延长AA 1,CC 1交于点O ，故O ∈AA 1⊂平面ABA 1,O ∈CC 1⊂平面CC 1B故平面A 1AB ∩平面C 1CB =BO ,BO 即l ,在△OBC 中，OC ,OB 均为圆锥母线.过点B 作BO ⊥AC 于O .在等腰梯形A 1ACC 1中，AC =2AA 1=2A 1C 1=4，此梯形的高h =AA 21-AC -A 1C 122=3,∴等腰梯形A 1ACC 1的面积为S =122+4 3=33，所以四棱锥B -A 1ACC 1的体积V =13S ×BO =13×33×BO =23，解得BO =2，故点O 与O 2重合，BC =22由AC =2AA 1=2A 1C 1，得OC =2CC 1，且∠C 1CA =60°，故OC =AC =4=OB .△OBC 中，O 到BC 距离h 1=OB 2-BC 22=14.则△OBC 面积=12OB ⋅CQ min =12BC ⋅h 1,得：CQ 的最小值为：CQ min =22⋅144=7.法二：同法一求出B 的位置.以O 2为原点，OB ,OC ,O 2O 1方向为x ,y ,z 轴正向建立空间直角坐标系，C 0,2,0 ,B 2,0,0 ,AA 1 =0,1,3 ,AB =2,2,0 ,CC 1 =0,-1,3 ,BC=-2,2,0设面A 1AB 的法向量为a=x 1,y 1,z 1a ⋅AA 1=y 1+3z 1=0a ⋅AB=2x 1+2y 1=0，取z 1=1，有a=3,-3,1 ；同理可得面C 1CB 的法向量为β=3,3,1 ,由l =面C 1CB ∩面A 1AB ，可知B ∈l ，设l 的方向向量为l=x ,y ,z ，故l ⋅a =3x -3y +z =0,l ⋅β=3x +3y +z =0取l=1,0,3 ,下面分2个方法求|CQ |min求|CQ |min 方法1：BQ =l=t ,0,3t ,，∵B 2,0,0 ,∴Q t -2,0,3t∴CQ =(t -2)2+22+(3t )2=4t 2-4t +8，当t =12时，CQ 取最小值为7.求CQ min 方法2：BC 在l 上的投影向量的模为BC ⋅l l =-2×1+2×0+0×32=1故CQ 的最小值即C 到l 的距离为BC 2-12=7.法三:在三角形△BCO 中，BO =CO =4,BC =22,cos ∠CBO =42+(22)2-422×4×22=122⋅sin ∠CBO =1-1222=722,所以CQ ≥CB sin ∠CBO =722×22=7.18(19·20下·临沂·二模)如图①，在Rt △ABC 中，B 为直角，AB =BC =6，EF ∥BC ，AE =2，沿EF 将△AEF 折起，使∠AEB =π3，得到如图②的几何体，点D 在线段AC 上．(1)求证：平面AEF ⊥平面ABC ；(2)若AE ⎳平面BDF ，求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)64.【分析】(1)由余弦定理计算证明EA ⊥AB ，再利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理作答.(2)以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦作答.【详解】(1)在△ABE 中，AE =2,BE =4，∠AEB =π3，由余弦定理得：AB 2=AE 2+BE 2-2AE ⋅BE cos ∠AEB =4+16-2×2×4×12=12，则AB =23，有EB 2=EA 2+AB 2，于是∠EAB =π2，即有EA ⊥AB ，又EF ⊥EB ,EF ⊥EA ,EA ∩EB =E ,EA ,EB ⊂平面ABE ，因此EF ⊥平面ABE ，而AB ⊂平面ABE ，则EF ⊥AB ，又因为EA ∩EF =E ,EA ,EF ⊂平面AEF ，从而AB ⊥平面AEF ，而AB ⊂平面ABC ，所以平面AEF ⊥平面ABC .(2)以A 为原点，以AB ,AE 分别为x ,y 轴，过点A 垂直于平面ABE 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，由(1)知，EF ⊥平面ABE ，而EF ⎳BC ，则有BC ⊥平面ABE ，则A (0,0,0),B (23,0,0),E (0,2,0),F (0,2,2),C (23,0,6)，AF =(0,2,2),FB =(23,-2,-2),AC=(23,0,6)，连接EC 与FB 交于点G ，连接DG ，因为AE ⎳平面BDF ，AE ⊂平面AEC ，平面AEC ∩平面BDF =DG ，则AE ⎳GD ，有GC GE =DCDA，在四边形BCFE 中，由EF ⎳BC ，得GC GE =BC EF =3，即DC DA=3，AD =14AC =32,0,32 ，FD =AD -AF =32,-2,-12，设平面BDF 的法向量为n =(x ,y ,z )，则n ⋅FD =32x -2y -12z =0n ⋅FB =23x -2y -2z =0，令x =1，得n =(1,0,3)，设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，于是sin θ=|cos ‹n ,AF ›|=|n ⋅AF ||n ||AF |=2322×2=64，所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为64.19(22·23下·广州·三模)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，AB =AP =2，PA ⊥平面ABCD ，E ,F 分别是线段PB ,PD 的中点，G 是线段PC 上的一点.(1)求证：平面EFG ⊥平面PAC ；(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为13，且G 点不是线段PC 的中点，求三棱锥E -ABG 体积.【答案】(1)证明见解析(2)19【分析】(1)由线面垂直判定可证得BD ⊥平面PAC ，由中位线性质知EF ⎳BD ，从而得到EF ⊥平面PAC ，由面面垂直判定可得结论；(2)以A 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设PG =λPC ，λ∈0,12 ∪12,1 ，由线面角的向量求法可构造方程求得λ，结合垂直关系可得G 平面PAB 的距离为16BC =13，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】(1)连接BD ，∵E ,F 分别是线段PB ,PD 的中点，∴EF ⎳BD ，∵底面四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，又PA ∩AC =A ，PA ,AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，∵EF ⎳BD ，∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAC .(2)以A 为坐标原点，分别以AB ,AD ,AP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A 0,0,0 ，E 1,0,1 ，F 0,1,1 ，P 0,0,2 ，C 2,2,0 ，设PG =λPC ，λ∈0,12 ∪12,1 ，则AG =AP +PG =0,0,2 +2λ,2λ,-2λ =2λ,2λ,2-2λ ，AE =1,0,1 ，AF =0,1,1 ，设平面AEF 的一个法向量为n=x ,y ,z ，则n ⋅AE=x +z =0n ⋅AF=y +z =0，令z =-1，解得：x =1，y =1，∴n =1,1,-1 ；设直线AG 与平面AEF 所成角为θ，sin θ=cos n ,AG =n ⋅AGn ⋅AG=6λ-2 3⋅4λ2+4λ2+2-2λ 2=13，解得：λ=16或λ=12(舍)，∴PG =16PC ，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ；∵BC ⊥AB ，PA ∩AB =A ，PA ,AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，∴G 到平面PAB 的距离为16BC =13，∴V E -ABG =V G -ABE =13S △ABE ⋅16BC =13×12×12×2×2×13=19.20(22·23下·长沙·一模)斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都为2，∠A 1AB =60°，点A 1在下底面ABC 的投影为AB 的中点O ．(1)在棱BB 1(含端点)上是否存在一点D 使A 1D ⊥AC 1若存在，求出BD 的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A 1到平面BCC 1B 1的距离．【答案】(1)存在，BD =25(2)2155【分析】(1)连接OC ，以O 点为原点，如图建立空间直角坐标系，设BD =tBB 1 ,t ∈0,1 ，根据AC 1 ⋅A 1D=0，求出t 即可；(2)利用向量法求解即可.【详解】(1)连接OC ，因为AC =BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB ，由题意知A 1O ⊥平面ABC ，又AA 1=2，∠A 1AO =60°，所以A 1O =3，以O 点为原点，如图建立空间直角坐标系，则A 10,0,3 ，A 1,0,0 ，B -1,0,0 ，C 0,3,0 ，由AB =A 1B 1得B 1-2,0,3 ，同理得C 1-1,3,3 ，设BD =tBB 1,t ∈0,1 ，得D -1-t ,0,3t ，又AC 1 =-2,3,3 ，A 1D =-1-t ,0,3t -3 ，由AC 1 ⋅A 1D=0，得-2-1-t +33t -3 =0，得t =15，又BB 1=2，∴BD =25，∴存在点D 且BD =25满足条件；(2)设平面BCC 1B 1的法向量为n=x ,y ,z ，BC =1,3,0 ，CC 1 =-1,0,3 ，则有n ⋅BC=x +3y =0n ⋅CC 1=-x +3z =0，可取n =3,-1,1 ，又BA 1=1,0,3 ，∴点A 1到平面BCC 1B 1的距离为d =BA 1 cos BA 1 ,n =BA 1 ×3+0+3BA 1×5=2155，∴所求距离为2155.21(22·23下·长沙·三模)如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AC ⊥BB 1，平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，AB =6,BC =4，BB 1=2，AC 1与A 1C 相交于点D ，AE =2EB，且DE ∥平面BCC 1B 1.(1)求三棱锥C -A 1B 1C 1的体积；(2)平面A 1B 1C 与平面ABC 所成角为α，CC 1与平面A 1B 1C 所成角为β，求证：α+β=π4.【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】(1)通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥C -A 1B 1C 1的体积；(2)建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，求出所成角为α与β的正余弦值，即可证明结论.【详解】(1)由题意，∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且平面ABB 1A 1∩平面ABC =AB ，AB ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∵BB 1⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥BB 1，又AC ⊥BB 1，BC ∩AC =C ，BC ,AC ⊂平面ABC ∴BB 1⊥平面ABC ，连接C 1B ，∵DE ⎳平面BCC 1B 1，DE ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面BCC 1B 1=C 1B ，∴DE ∥C 1B ，∵AE =2EB ，∴AD =2DC 1 ，∴A 1C 1=12AC .∴三棱锥C -A 1B 1C 1底面A 1B 1C 1的面积S 1=12×2×3=3，高h =BB 1=2，。
利用空间向量解立体几何问题典例精讲
利用空间向量解立体几何问题典例精讲1.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是棱BC ,CC 1上的点，CF =AB =2CE ，AB :AD :AA 1=1:2:4(1)求异面直线EF ,A 1D 所成角的余弦值(2)证明：AF ⊥平面A 1ED (3)求二面角A 1-ED -F 正弦值解：由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1得：AA 1,AB ,AD 两两垂直∴以AA 1,AB ,AD 为轴建立空间直角坐标系(1)E 1,32,0 ,F 1,2,1 ,A 10,0,4 ,D 0,2,0∴EF =0,12,1 ,A 1D =0,2,-4∴cos EF ,A 1D =EF ⋅A 1DEF ⋅A 1D=-354⋅20=-35∴cos θ=35(2)AF =1,2,1 ，设平面A 1ED 的法向量为n =x ,y ,z A 1D =0,2,-4 ,DE =1,-12,0 ∴2y -4z =0x -12y =0⇒x :y :z =1:2:1∴n =1,2,1 ∴AF ∥n∴AF ⊥平面A 1ED(3)设平面EDF 的法向量m=x ,y ,z DE =1,-12,0 ,DF =1,0,1∴x -12y =0x +z =0⇒x :y :z =1:2:-1 ∴m =1,2,-1 ∵n =1,2,1 ∴cos m ,n =m ⋅n m n =46=23∴sin θ=532.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD ，PA =AD =4，AB =2，若MN 分别为棱PD ,PC 上的点，O 为AC 中点，且AC =2OM =2ON (1)求证：平面ABM ⊥平面PCD(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值(3)求点N 到平面ACM 的距离解：∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥AB ,PA ⊥AD ∵矩形ABCD∴AB ⊥AD故PA ,AB ,AD 两两垂直以PA ,AB ,AD 为轴建立空间直角坐标系P 0,0,4 ,B 2,0,0 ,C 2,4,0 ,D 0,4,0 ,O 1,2,0AC =2OM =2ON ，且OM ,ON 分别为△AMC ,△ANC 的中线∴AN ⊥PC ,AM ⊥PD设点M x ,y ,z ，因为P ,M ,D 三点共线∴PM =λPD 而PM =x ,y ,z -4 ,PD=0,4,-4 ∴λPD=0,4λ,-4λ∴x =0y =4λz -4=-4λ∴M 0,4λ,4-4λ 而AM ⊥PD ⇒AM ⋅PD=0∴16λ-44-4λ =0⇒λ=12∴M 0,2,2同理，设点N x ,y ,z ，因为P ,N ,C 三点共线∴PN =μPC 而PN =x ,y ,z -4 ,PC=2,4,-4∴μPD=2μ,4μ,-4μ∴x =2μy =4μz -4=-4μ∴N 2μ,4μ,4-4μ 而AN ⊥PC ⇒AN ⋅PC=0∴4μ+16μ-44-4μ =0⇒μ=49∴N 89,169,209(1)设平面ABM 的法向量为n 1=x ,y ,z AB =2,0,0 ,AM =0,2,2 ∴2x =02y +2z =0⇒n 1 =0,1,-1设平面PCD 的法向量为n 2=x ,y ,z PC =2,4,-4 ,DC=2,0,0∴2x +4y -4z =02x =0 ⇒n 2=0,1,1 ∴n 1 ⋅n 2 =0∴n 1 ⊥n 2 ∴平面ABM ⊥平面PCD(2)设平面ACM 的法向量为nx ,y ,z AC =2,4,0 ,AM=0,2,2 ∴2x +4y =02y +2z =0 ⇒n =2,-1,1 而CD=-2,0,0∴设直线CD 与平面ACM 所成角为θ，则sin θ=cos CD ,n=CD ⋅n CD ⋅n=42⋅6=63(3)d N -平面ACM =AN ⋅nn=89⋅2+169⋅-1 +2096=102763.已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD =2,AB =1,PA ⊥平面ABCD ，E ,F 分别是线段AB ,BC 的中点(1)求证：PF ⊥FD(2)在线段PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ，若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A -PD -F 的余弦值解：因为PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是矩形∴以PA ,AD ,AB 为轴建立空间直角坐标系，设PA =h∴P 0,0,h ,B 1,0,0 ,D 0,2,0 ,C 1,2,0 ,F 1,1,0 ,E 12,0,0 (1)∴PF =1,1,-h ,FD =-1,1,0 ∴PF ⋅FD =0∴PF ⊥FD(2)设G 0,0,a∴EG =-12,0,a 设平面PFD 的法向量为n=x ,y ,z ∵PF =1,1,-h ,FD=-1,1,0∴x +y -zh =0-x +y =0⇒x =hy =h z =2∴n =h ,h ,2 ∵EG ∥平面PFD ∴EG ⊥n∴EG ⋅n =-12h +2a =0解得a =14h∴存在点G ，为AP 的四等分点(靠近A )(3)∵PA ⊥底面ABCD ∴PB 在底面ABCD 的投影为BA∴∠PBA 为PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBA =45°∴△PBA 为等腰直角三角形∴AP =AB =1即h =1∴平面PFD 的法向量为n=1,1,2平面APD 为yOz 平面，所以平面APD 的法向量为m=0,1,0 设二面角A -PD -F 的平面角为θ，可知θ为锐角∴cos θ=cos m ,n =16=664.四棱锥P -ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ,∠ABC =90°,PA =PB =3,BC =1,AB =2,AD =3,O 是AB 中点(1)求证：CD ⊥平面POC(2)求二面角C -PD -O 的平面角的余弦值(3)在侧棱PC 上是否存在点M ，使得BM ∥平面POD ，若存在，求出CMPC的值；若不存在，请说明理由解：过O 在平面ABCD 作AB 的垂线交CD 于Q ∵PA =PB ,O 为AB 中点∴PO ⊥AB∵平面PAB ⊥平面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴PO ⊥OB ,PO ⊥OQ ∵OQ ⊥AB∴以PO ,OB ,OQ 为轴建立空间直角坐标系PO =PA 2-OA 2=22∴P 0,0,22 ,B 1,0,0 ,A -1,0,0 ,C 1,1,0 ,D -1,3,0(1)CD =-2,2,0 设平面POC 的法向量为n=x ,y ,z OP =0,0,22 ,OC=1,1,0∴OP ⋅n =0OC ⋅n =0⇒22z =0x +y =0 ∴n =-1,1,0 ∴CD ∥n∴CD ⊥平面POC(2)设平面PCD 的法向量为n 1=x ,y ,z PC =1,1,-22 ,CD=-2,2,0∴PC ⋅n 1=0CD ⋅n 1 =0 ⇒x +y -22z =0-2x +2y =0∴n 1 =2,2,1 设平面PDO 的法向量为n 2=x ,y ,z OP =0,0,22 ,OD=-1,3,0∴OP ⋅n 2=0OD ⋅n 2 =0 ⇒22z =0-x +3y =0∴n 2 =3,1,0 ∴cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2n 1 ⋅n 2=45所以二面角C -PD -O 的平面角的余弦值为45(3)设M x ,y ,z CM =λCPCM =x -1,y -1,z ,CP=-1,-1,22∴x -1=-λy -1=-λz =22λ⇒M 1-λ,1-λ,22λ∴BM =-λ,1-λ,22λ 而平面PDO 的法向量为n 2=3,1,0∵BM ∥平面POD ∴BM ⋅n 2=0⇒-3λ+1-λ=0∴λ=14∴CM PC=145.已知四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠BAD =120°，PA =b(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC(2)设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O -PM -D 的正切值是26，求a :b 的值建系思路一：由PA 与底面垂直，从而以PA 作为z 轴，以AB 为x 轴，由120°的菱形性质可得取CD 中点T ，连结AT 则有AT ⊥AB ，从而建立空间直角坐标系解：取CD 中点T ，连结AT ，可得AT ⊥CD ∴AB ⊥AT∵PA ⊥平面ABCD∴以PA ,AB ,AT 为轴建立空间直角坐标系可得：B a ,0,0 ,C 12a ,32a ,0 ,D -12a ,32a ,0 ,P 0,0,b(1)设平面PBD 的法向量为m=x ,y ,z ∵PB =a ,0,-b ,BD =-32a ,32a ,0 ∴ax -bz =0-32ax +32ay =0⇒x =b y =3b z =a∴m=b ,3b ,a 设平面PAC 的法向量为n =x ,y ,z ∵AP =0,0,b ,AC =12a ,32a ,0 ∴z =012ax +32ay =0⇒x =-3y =1z =0∴n=-3,1,0 ∴m ⋅n =0∴平面PBD ⊥平面PAC(2)O 14a ,34a ,0 ,M 38a ,338a ,0 设平面OPM 的法向量为n 1 =x ,y ,z ∵OP =-14a ,-34a ,b ,OM =18a ,38a ,0 ∴-14ax -34ay +bz =018ax +38ay =0⇒x =-3y =1z =0∴n 1 =-3,1,0设平面PMD 的法向量为n 2 =x ,y ,z ∵PD =-12a ,32a ,-b ,MD =-78a ,38a ,0 ∴-12ax +32ay -bz =0-78ax +38ay =0 ⇒x =3b y =7b z =33a∴n2 =3b ,7b ,33a设二面角O -PM -D 的平面角为θ，则tan θ=26，可得cos θ=15∴cos θ=cos n 1 ,n 2 =4b 252b 2+27a 2=1510b =52b 2+27a 2⇒100b 2=52b 2+27a 2∴a 2b2=4827=169∴a b =4:3建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。
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空间立体几何考试范围： xxx ；考试时间：100 分钟；命题人： xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明评卷人 得分一、选择题（题型注释）1．如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCB-A 1B 1C 1D 1 的内切球，则平面 ACD 1截球 O 的 截面面积为（）（ A ） （ B ） （C ）6 36( D ）6332．一个几何体的三视图如图所示, 且其侧视图是一个等边三角形 , 则这个几何的体积为（ ）（A ）(4) 3（B ）(4) 33（C ）(8) 3（D ）(8) 3363．某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为（）2 22侧视图主视图俯视图A.3B.10C.6D. 44．某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是 1， 2， 4，则这个几何体的体积为 ( )正视图侧视图俯视图A．4B．8C． 4 D． 8 3 35 ．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： c m2）为（）（A） 48+12（C） 36+1222（B） 48+24（D） 36+24226．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）1111 1 正(主)视图侧俯视图A ． 2B． 1C．2D．1337．已知正方形 APP 1 2 P 3 的边长为 4，点 B, C 位边 PP 12, P 2 P 3 的中点，沿 AB, BC , CA 折 叠成一个三棱锥 P ABC （使 P 1 , P 2 , P 3 重合于点 P ），则三棱锥 P ABC 的外接球表面积为A. 24B. 12C.8D.48．已知球的表面积为 20，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB=AC=2，BC=2 3 ，则球心到平面 ABC 的距离为（） A ． 1B ． 2C ． 3D ． 24S i 9．设四面体的四个面的面积分别为S ,S2,S ,S，它们的最大值为 S ，记i 1，134S则有（）A ．2< ≤4B ．3< ≤4C ．< ≤D ．< ≤10．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的A 1倍B2 倍 C 2倍D2 倍2411．在 ABC 中， AB2, BC 1.5, ABC 1200（如下图），若将 ABC 绕直线 BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 A.9B.7 C.5 D. 3 222 212 ．在三棱锥A BCD 中 , AC 底面 BCD ， BD DC ， BD DC ， AC a ，ABC 30 ，,则点 C 到平面ABD的距离是( )A ．5 15a3 15 5a B． C ．a D． a5 5 313．一个表面积为 36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为（）A、 45πB、 27πC、 36πD、 54π14．如图，半球内有一内接正方体，则这个半球体积与正方体的体积之比为（）A、 B 、 C 、D、15．两个球的体积之比是，那么这两个球的表面积之比是（）A、B、C、D、16．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）A、1∶2∶3B、1∶∶ C 、1∶∶ D 、1∶2 ∶ 317 ．若球的大圆面积扩大为原来的 3 倍，则它的体积扩大为原来的（）倍A、 3 B 、 9 C 、 27 D 、 318 ．球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（）A、 2: B 、 3: C 、 4: D 、 6:19 ．球的体积是π，则此球的表面积是（）A、 12 π B 、 16 πC、πD、π20 ．在长方体 ABCD A1B1C1D1，底面是边长为 2 的正方形，高为4 ，则点A1到截面AB1 D1的距离为( )A．8B．3C．4D ．3 3 8 3 421 ．直三棱柱 ABC A1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为 a ，点D是 CC1上任意一点，连接 A1B, BD , A1 D, AD ，则三棱锥 A A1BD 的体积为（）A．1a3 B ． 3 a3 C ． 3 a3 D ．1a3 6 12 6 1222 ．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4 ，体积为 16 ，则这个球的表面积是（）Ａ．16 Ｂ． 20 Ｃ．24 Ｄ． 3223 ．中心角为135°的扇形，其面积为 B，其围成的圆锥的全面积为A，则 A：B 为（）A． 11： 8 B．3：8 C． 8：3 D． 13： 824 ．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（）A．B．C． D ．25 ．直径为 10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（）A．5 B．15 C ．25D．12526．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（）A．2：3：5 B ．2：3：4 C ．3： 5：8 D．4：6：927 ．两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（）A．B．1 C．2 D ．328 ．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点 D 是 CC′上任意一点，连结 A′ B， BD，A′D， AD，则三棱锥 A— A′ BD的体积（）A． B． C． D．29 ．将一个边长为 a 的正方体，切成27 个全等的小正方体，则表面积增加了（）A．B．2 2 2 12a C． 18a D． 24a30 ．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（）A．B． 1 C． 2 D． 331 ．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥第 II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）32．一个空间几何体的三视图( 单位：cm ) 如图所示，则该几何体的体积为_______ cm3．33．一个四面体所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为。
34．如图，平面四边形ABCD 中， AB AD CD 1 ， BD2, BD CD ，将其沿对角线 BD 折成四面体A' BCD ，使平面A' BD平面BCD，若四面体A' BCD 顶点在同一个球面上，则该球的体积为．35．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为____________cm3．36 ．三个球的半径之比为 1∶ 2∶3，则最大球的体积是其他两个球的体积之和的____倍37 ．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后( 未弄破冰 ) ，冰面上留下了一个直径为24cm,深为 8cm的空穴，则该球的半径为38 ．如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水、若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则39 ．把一个大的金属球表面涂漆，需油漆，若把这个金属球熔化，制成64 个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用油漆。
40 /12，则这个球的表面．球 O 的一个小圆 O的面积为 25 ， O到此小圆截面的距离是积为。
41 ．有 6 根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余 4 根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为.42 ．在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：①AB与 EF 所在的直线平行；② AB与 CD所在的直线异面；③ MN与 BF 所在的直线成 60°角；④ MN与 CD所在的直线互相垂直 . 其中正确的命题是 __________DF C BE N AM43 ．P为边长为 a 的正三角形ABC 所在平面外一点且PA PB PC a ，则P 到AB 的距离为______。
44．空间四边形ABCD 中，E, F ,G, H分别是AB, BC ,CD , DA的中点，则 BC 与AD的位置关系是_____________ ；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形 EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形 EFGH 是正方形45 ．已知正三棱锥的侧面积为18 cm, 高为 3cm. 求它的体积．46 ．球的表面积扩大为原来的 4 倍，则它的体积扩大为原来的___________ 倍47 ．正六棱锥的高为 4cm，最长的对角线为 cm，则它的侧面积为 _________．评卷人得分三、解答题（题型注释）48．（本题满分14 分）如图，已知正三棱柱ABC — A1 B1C1的底面边长是2 ， D 是侧棱CC1的中点，直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为45o．⑴求此正三棱柱的侧棱长；⑵求二面角 A BD C 的平面角的正切值；⑶求直线 BC 与平面 ABD 的所成角的正弦值．49．如图，PA ⊥平面ABCD，ABCD是矩形， PA AB 1，AD 3，点F是PB 的中点，点 E 在边BC上移动．(1)求三棱锥 E PAD 的体积；(2) 当点 E 为BC的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；(3) 证明：无论点 E 在边BC的何处，都有 PE AF .50．（本题满分 12 分）如图，轴截面为边长是 2 的正方形的圆柱OO1内有一个三棱柱ABC A1 B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O的直径．AOC60（1）求三棱柱AOC A1O1C1的体积；（2）证明：平面AA1C1C⊥平面BB1C1CB1 O 1 A1C 1B O AC51 ．正三棱锥 P— ABC的侧棱长为 l ，两侧棱的夹角为 2 ，求它的外接球的体积。
52 ．已知：球的半径为R，要在球内作一内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大？53．在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别是49π和400π、求球的表面积、54．如图，正三棱柱ABC— A1B1C1的底面边长的3，侧棱 AA1=D 是 CB延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1参考答案1． A【解析】试题分析：根据正方体的几何特征知，平面 ACD1是边长为2的正三角形，且球与与以点 D为公共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ ACD1内切圆的半径是2×tan30°=6，2 6则所求的截面圆的面积是π × 6 ×6= ，6 6 6故选 A．考点：正方体及其内接球的几何特征点评：中档题，关键是想象出截面图的形状，利用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。