电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter13

1)
π m0 m!(n m)! k0 k 1 k0 k 1
其中， 0.5772 为欧拉常数．
可以证明这个函数，确实是贝塞尔方程的一个特解，而且是与
Jn (x) 线性无关的（因为当 x 0 时， Jn (x) 为有限值，而 Nn (x)
个任意点 z0 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂
级数，代入方程以逐个确定系数．
幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可 借助于解析函数的理论进行讨论．
求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题． 读者需注意，尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用 于微分方程的求解问题中．
1．方程的常点和奇点概念
1)
由于 n 是零或正整数，只要 m n ，则 m n 1 是零或负整数， 而对于零或负整数的 函数为无穷大，所以上面的级数实际上 只从 m n 开始．若令 l m n ，则l 从零开始，故
Jn (x)
( x)n 2
l 0
(1)nl
( x )2l2n 2 (n l)!l!
(1)n ( x)n (1)l 2 ln
故可设勒让德方程具有
y(x) ak x k k 0
（13.1.3）
泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系
ak 2
(l (k
k)(l 1)(k
k
1) 2)
ak
,
k 0,1, 2,
（13.1.4）
因此，由任意常数 a0 , a1 可计算出任一系数 ak , k 2,3, ．首 先在（13.1.4）中令 k 0,2,4,,2m,, 可得偶次项的系数
2
2
字母 P 写成统一形式解
[l]
Pl
(x)
2
(1)k
k 0
2l
(2l k!(l
2k)! k)!(l
xl2k 2k)!
（13.1.13）
我们已经指出，在 l n 是非负整数时，勒让德方程的基本解组
pn (x) ， qn (x) 中只有一个多项式，这个多项式即为勒让德多项
式 Pn (x) ，也称为第一类勒让德函数；
这样我们可以得到
N0 (x)
2 π
J0 (x)(ln
x 2
)
2 π
(1)m ( x)2m 2
m0 (m!)2
m1 1 k0 k 1
Nn (x)
2 π
Jn (x)(ln
x 2
)
1 π
n1 m0
(n
m 1)!( x )n2m m! 2
1
(1)m ( x )n2m 2
n m 1
(
1
m1
表示自变量，以 y 表示未知函数，则 阶贝塞尔方程为
x2 d2 y x dy (x2 2 ) y 0
dx2 dx
(13.1.18)
其中， 为任意实数或复数（这里特用 而不是 n ，表示可以取任意数）
但在本书中 只限于取实数，由于方程的系数中出现 2 项，所以在讨论
时，不妨暂先假定 0 ．
注意在贝塞尔方程中，因为
C1 是任意给定的复常数．
15．1．2 常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解
（注明：推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论）
由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在 x0 0 邻域上求解 l 阶勒让德方程
(1 x)2 y 2xy l(l 1) y 0
即为 y 2x y l(l 1) y 0 ．
函数w(z) 的线性二阶常微分方程
d2w (z) dz 2
p(z)
dw (z) dz
q(z)w (z)
0，
（13.1.1）
(z0 ) C0 ， (z0 ) C1 ．
其中 z 为复变数， z 0 为选定的点， C0 、 C1 为复常数．
这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出， 但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某
l
2
(1)k
k 0
(2l 2k)! 2l k!(l k)!(l
xl2k 2k )!
（13.1.11）
当 l 2n 1 是正奇数时，勒让德方程有解
l 1
pl (x)
2
(1)k
k 0
(2l 2k)!
xl2k
2l k!(l k)!(l 2k)!
(13.1.12)
对上述讨论进行综合，若用 [ l ] 表示不大于 l 的整数部分，用大写
关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有 下面的定理．
定理 13.1.1 若方程（13.1.1）的系数 p(z) 和 q(z) 为点 z0 的
邻域 z z0 R 中的解析函数，则方程在这圆中存在唯一的
解析解w(z) 满足初始条件w (z0 ) C0 ，w(z0 ) C1 ，其中 C0 、
则可得系数的一般式为
an2k
(1)k
(2n 2k)! 2n k!(n k)!(n
, 2k)!
(2k n) (13.1.10)
因此，我们得出结论：
当 l 2n 是非负偶数时，勒让德方程有解
pl (x)
(2l)! 2l (l!)2
xl
(2l 2)! xl2 2l (l 1)!(l 2)!
易得
J0 ( x)
1
( x)2 2
1 (2!)2
( x)4 2
1 (3!)2
( x)6 2
J1 ( x)
x 2
1 ( x)3 2! 2
1 ( x)5 2!3! 2
需注意在取整数的情况下， Jn ( x) 和 Jn (x) 线性相关，这是因为:
Jn
(x)
( x)n 2
m0
(1)m
( x)2m 2 m!(m n
定义 13.1.1 常点 奇点
如果方程（13.1.1）的系数函数 p(z) 和 q(z) 在选定的点 z0
的邻域中是解析的，则点 z 0 叫作方程（13.1.1）的常点．如
果选定的点 z0 是 p(z) 或 q(z) 的奇点，则点 z0 叫作方程
（13.1.1）的奇点．
2. 常点邻域上的幂级数解定理
综合可得如下结论：
（1）当 l 不是整数时，勒让德方程在区间[1,1]
上无有界的解．
（2）当 l n 为整数时，勒让德方程的通解为
y(x) c1Pn (x) c2Qn (x) ，其中 Pn (x) 称为第 一类勒让德函数（即勒让德多项式）， Qn (x)
称为第二类勒让德函数.
特别指出：当 l n 为整数，且要求在自然边界条件下
另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数，
记为大写的 Qn (x) ．可以得出它们的关系
Ql (x) Pl (x)
dx (1- x2 )[Pl (x)]2
（13.1.14）
经过计算后， Ql (x) 可以通过对数函数及勒让德多项式 Pl (x) 表示出,所以第二类勒让德函数的一般表达式为
a2m (1)m l(l 2)
(l 2m 2)(l 1)(l 3) (2m)!
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(l 2m 1) a0
(13.1.5 )
再令 k 1,3,5,,2m 1,，则可得奇次项的系数
a2m1 (1)m (l 1)(l 3)
(l 2m 1)(l 2)(l 4) (2m 1)!
(13.1.6)
总有一个是多项式，另一个是无界的无穷级数．所以不妨设 l 是非负整
数 n （因在实际问题中一般总要求有界解）．
现在来导出这个多项式的表达式．把系数递推公式（13.1.4）改写成
ak
(k (n
1)(k k)(n k
2) 1)
ak
2
(k n 2) (13.1.8)
于是可由多项式的最高次项系数 an 来表示其它各低阶项系数
在 x 1时， pl (x) ， ql (x) 均发散于无穷．当 l n 是非负整数时， 由系数递推公式（13.1.4）知， an2 an4 0 ,所以当 n 是偶
数时， pl (x) 是一个 n 次多项式，但函数 ql (x) 为在 x 1处发散至无 穷的无穷级数；当 n 是奇数时， ql (x) 是 n 次多项式，而 pl (x) 仍然是 在 x 1处无界的无穷级数．类似地，当 l 是负整数时， pl (x) 和 ql (x)
条件下，由 Ql (x) 的形式容易看出，它在端点 x 1
处是无界的，故必须取常数 c2 0 ．从而勒让德方程的
解就只有第一类勒让德函数即勒让德多项式： Pl (x) ．
（注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre 1725～1833） 最早专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时 所遇到的一类特殊函数．由于这类函数具有多项式形式， 所以命名这类函数为勒让德函数）
(即要求在有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解 只有第一类勒让德函数即勒让德多项式 Pn (x) ．因为第
二类勒让德函数 Qn (x) 在闭区间[1,1] 上是无界的．
13.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解
前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节
我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例，仍以 x
第十三章 幂级数解法 本征值问题
13.1 二阶常微分方程的幂级数解法
13.1.1 幂级数解法理论概述
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方 程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔 方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标系对其他数学 物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方 程．它们大多是二阶线性常微分方程．这向我们提出求解带初始 条件的线性二阶常微分方程定解问题.不失一般性，我们讨论复变
2m2
故级数 J (x) 和 J (x) 的收敛范围为 0 x ．
(2)当 n 为正整数或零时（注:以下推导凡用 n 即表整数）， (n m 1) (n m)!，故有
Jn (x)
(1) m
m0
xn2m 2n2m m!(n m)!
(n 0,1, 2, )
（13.1.27）
称 Jn (x) 为整数阶贝塞尔函数．
dx
dx
1 1 x
x 1 x
Q0 (x) 2 ln 1 x ; Q1(x) 2 ln 1 x 1;
Q2
(x)
1 4
(3x2
1)
ln
1 1
x x
3 2
x
(13.1.16)
的通解为两个独立解的线性叠加
y(x) c1Pl (x) c2Ql (x) （13.1.17）
但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）
(l 2m) a1
将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式
y(x)
a0[1
l(l 1) 2!
x2
l(l
2)(l 1)(l 4!
3)
x4
]
a1[ x
(l
1)(l 3!
2)
x3
(l
1)(l
3)(l 5!
2)(l
4)
x5
=pl (x) ql (x)
] (13.1.7)
其中 pl (x) ， ql (x) 分别是偶次项和奇次项组成的级数，当 l 不是整数 时， pl (x) ， ql (x) 都是无穷级数，容易求得其收敛半径均为 1，而且
1 x2
1 x2
故方程的系数 p(x) 2x ， q(x) l(l 1) ．
1 x2
1 x2
在 x0 0 ，单值函数 p(x0 ) 0 ， q(x0 ) l(l 1) ，均为有限
值，它们必然在 x0 0 解析．因此，点 x0 0 是方程的常点．
根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式.
p(x)
1 x
, q(x)
1
x
2 2
，故
x
0
为 p(x), q(x) 的奇点．
下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解．
（13.1.18）的通解为 y AJ (x) BJ (x)
其中， A, B 为两个任意常数．
（13.1.28）
根据系数关系，且由达朗贝尔比值法
lim a2m 0 a m
( x)2l 2 l!(n l)!
Jn (x ) ( n1 )n xJ ( )
可见正、负 n 阶贝塞尔函数只相差一个常数因子(1)n ，
这时贝塞尔方程
的通解需要求出与之线性无关的另一个特解．我们定义
第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为
N
(x)
cos(
π)J (x)
sin( π)
J
(x)
是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与 Jn (x) 线性无关．
[l]
Ql
(x)
1 2
Pl
(x)
ln
1 1
x x
2 k 0
2l 4k 3 (2k 1)(l k 1)
Pl2k 1( x)
(13.1.15)
可以证明这样定义的 Ql (x) ，其递推公式和 Pl (x) 的递推公式 具有相同的形式．而且在一般情况下勒让德方程
特别地
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
n(n 1) an2 2(2n 1) an
(n 2)(n 3)
n(n 1)(n 2)(n 3)
an4 4(2n 3) an2 2 4(2n 1)(2n 3) an
我们取多项式最高次项系数为
an
(2n)! 2n (n!)2
,
n 1, 2,3,
(13.1.9)
（这样取主要是为了使所得多项式在 x 1处取值为 1，即实现归一化）