人工智能原理教案02章 归结推理方法2.4 归结原理

2.4 归结原理

本节在上节的基础上，进一步具体介绍谓词逻辑的归结方法。谓词逻辑的归结法是以命题逻辑的归结法为基础，在Skolem 标准性的子句集上，通过置换和合一进行归结的。

下面先介绍一些本节中用到的必要概念：

一阶逻辑：谓词中不再含有谓词的逻辑关系式。

个体词：表示主语的词

谓词：刻画个体性质或个体之间关系的词

量词：表示数量的词

个体常量：a,b,c

个体变量：x,y,z

谓词符号：P,Q,R

量词符号：,

归结原理正确性的根本在于，如果在子句集中找到矛盾可以肯定命题是不可满足的。

2.4.1 合一和置换

置换：置换可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。

定义：

置换是形如{t1/x1, t2/x2, …, t n/x n}的有限集合。其中，x1, x2, …, x n是互不相同的变量，t1, t2, …, t n是不同于x i的项（常量、变量、函数）；t i/x i表示用t i置换x i，并且要求t i与x i不能相同，而且x i

不能循环地出现在另一个t i中。

例如

{a/x，c/y，f(b)/z}是一个置换。

{g(y)/x，f(x)/y}不是一个置换，原因是它在x和y之间出现了循环置换现象。置换的目的是要将某些变量用另外的变量、常量或函数取代，使其不在公式中出现。但在{g(y)/x，f(x)/y}中，它用g(y)置换x，用f(g(y))置换y，既没有消去x，也没有消去y。若改为{g(a)/x，f(x)/y}就可以了。

通常，置换用希腊字母θ、σ、α、λ来表示的。

定义：置换的合成

设θ＝{t1/x1, t2/x2, …, t n/x n}，λ＝{u1/y1, u2/y2, …, u n/y n}，是两个置换。则θ与λ的合成也是一个置换，记作θ·λ。它是从集合{t1·λ/x1, t2·l/x2, …, t n·λ/x n, u1/y1, u2/y2, …, u n/y n}

即对ti先做λ置换然后再做θ置换，置换xi

中删去以下两种元素：

i. 当t iλ＝x i时，删去t iλ/x i(i = 1, 2, …, n);

ii. 当y i∈{x1,x2, …, x n}时，删去u j/y j(j = 1, 2, …, m)

最后剩下的元素所构成的集合。

例：

设θ＝{f(y)/x, z/y}，λ＝{a/x, b/y, y/z}，求θ与λ的合成。

解：

先求出集合

{f(b/y)/x, (y/z)/y, a/x, b/y, y/z}＝{f(b)/x, y/y, a/x, b/y, y/z}

其中，f(b)/x中的f(b)是置换l作用于f(y)的结果；y/y中的y 是置换λ作用于z的结果。在该集合中，y/y满足定义中的条件i，需要删除；a/x，a/y满足定义中的条件ii，也需要删除。最后得

θ·λ＝{f(b)/x，y/z}

合一：合一可以简单地理解为"寻找相对变量的置换，使两个谓词公式一致"。

定义：

设有公式集F＝{F1，F2，…，F n}，若存在一个置换θ，可使F1θ＝F2θ＝…= F nθ，则称θ是F的一个合一。同时称F1，F2，... ，F n是可合一的。

例：

设有公式集F＝{P(x, y, f(y)), P(a,g(x),z)}，则λ＝{a/x, g(a)/y, f(g(a))/z}是它的一个合一。

注意：一般说来，一个公式集的合一不是唯一的。

定义：最一般合一

设σ是公式集F的一个合一，如果对F的任意一个合一θ

都存在一个置换λ，使得θ＝σ·λ，则称σ是一个最一般合一（Most General Unifier，简记为mgu）

一个公式集的最一般合一是唯一的。若用最一般合一去置换

那些可合一的谓词公式，可使它们变成完全一致的谓词公式。

归结原理方法与命题逻辑基本相同。但由于有变量与函数，所以要考虑合一和置换。

2.4.2 归结式

在谓词逻辑下求两个子句的归结式，和命题逻辑一样是消互补对，但需考虑变量的合一与置换。

设C1、C2是两个无公共变量的子句，L1、L2分别是C1、C2的文字，如果L1、～L2有mgu σ,则

(C1σ-{L1σ})∪(C2σ-{L2σ})

称作子句C1、C2的一个二元归结式，而L1、L2为被归结的文字。

归结式的注意事项：

·谓词的一致性，P()与Q()，不可以归结

·常量的一致性，P(a, …)与P(b,….)，不可以归结

·变量，P(a, ….)与P(x, …)，可以通过置换归结

变量与函数，P(a, x, ….)与P(x, f(x), …)，不可以归结；

但P(a, x, …)与P(x, f(y), …)，可以通过对两式分别做{f(y)/x}置换和{a/x}，再归结。

·不能同时消去两个互补对，形如P∨Q与～P∨～Q得空，是不正确的

·对子句集中的元素先进行内部简化（置换、合并）

例：

设C1＝P(y)∨P(f(x))∨Q(g(x))，C2＝～P(f(g(a)))∨Q(b)，求C1和C2的归结式。

解：

对C1，取最一般合一σ＝{f(x)/y}，得C1的因子

C1σ＝P(f(x))∨Q(g(x))

对C1的因子和C2进行归结，可得到C1和C2的归结式：Q(g(g(a)))∨Q(b)

2.4.3 归结过程

谓词逻辑的归结过程与命题逻辑的归结过程相比，其基本步骤相同，但每步的处理对象不同。谓词逻辑需要把由谓词构成的公式集化为子句集，必要时在得到归结式前要进行置换和合一。

具体的谓词逻辑归结过程如下：

·写出谓词关系公式

·用反演法写出谓词表达式

·化为SKOLEM标准形

·求取子句集S

·对S中可归结的子句做归结

·归结式仍放入S中，反复归结过程

·得到空子句

·命题得证

例题2-4

"快乐学生"问题：