淮北一中2020级高一理科实验班第1次选拔测试数学试卷含参考答案

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安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一上学期第一次阶段考试数学试卷含答案

2020-2021学年度第一学期高一第一次阶段考试数学试卷时间：120分钟满分：150分一．单选题（每题5分，共8题）1.若0a b >>，则下面不等式中成立的是( )A.2a b a b +>>>2a ba b +>>>C.2a b a b +>>>2a ba b +>>> 2.下面关于集合的表示正确的个数是( )①{2,3}≠{3,2}； ②{(x,y)|x +y =1}={y|x +y =1}； ③{x|x >1}={y|y >1}； ④{x|x +y =1}={y|x +y =1}．A. 0B. 1C. 2D. 33.已知1(0,)4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．1104.命题“所有能被2整除的整数都偶数”的否定( ) A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数5.已知0,0,22x y x y >>+=,则x y 的最大值为（）B.1C.12D.146.给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y <<.其中能成为x y >的充分条件的是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④7.函数y =2x +2x−2(x >2)的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 108.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为%R (即每销售100元征税R 元)，若年销售量为5302R ⎛⎫- ⎪⎝⎭万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( ) A.[]4,8B.[]6,10C.[]4%,8%D.[]6%,100%二、不定项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年安徽省淮北市名校联考中考数学一模试卷解析版

2020年安徽省淮北市名校联考中考数学一模试卷一、选择题1．计算2(3)-的结果是( ) A ．6-B ．6C ．9-D ．92．下列运算正确的是( ) A ．22423x x x +=B ．325(3)3x y x x y -=-gC ．322(2)()2x x x x x x --÷-=-+D ．222()x y x y -=-3．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．三棱柱4．每年4月，安徽合肥植物园数十万株郁金香竞相怒放，吸引了众多市民前来观赏．郁金香花粉的直径约0.000000031米，这里“0.000000031”用科学记数法表示为( ) A ．70.3110-⨯B ．73.110-⨯C ．83.110-⨯D ．93110-⨯5．化简2()a a bb b b --÷的结果是( )A ．a b +B ．a b --C ．a b -D ．1a b-+ 6．下列因式分解正确的是( ) A ．2(5)(3)215x x x x +-=+- B ．22412(2)1x x x x --=-- C ．222(2)x y xy xy xy x y -+=-D ．39(3)(3)x x x x x -=+-7．一组数据：5，3，4，x ，2，1的平均数是3，则这组数据的方差是( ) A ．16B ．53C ．10D ．6368．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是( ) A ．7.9(12)y x =+ B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++9．在矩形ABCD 中，4AB =，10BC =，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，将ABE ∆和CDE ∆分别沿AE 、DE 折叠到△AB E '和△C DE '的位置，若折叠后B E '与C E '恰好在同一条直线上，如图，则BE 的长是( )A ．2B ．8C ．4或6D ．2或810．如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，直线l 经过点A ，且垂直于AB ，分别与AB 、AC 相交于点M ，N ．直线l 从点A 出发，沿AB 方向以1/cm s 的速度向点B 运动，当直线l 经过点B 时停止运动，若运动过程中AMN ∆的面积是2()y cm ，直线l 的运动时间是()x s 则y 与x 之间函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分》11．计算：236-⨯=．12．已知32x y-=-，则代数式20203x y-+=．13．如图，AB是Oe的直径，点C在BA的延长线上，过点C的直线CD与Oe相切于点D，连接BD，若63CD BD==，则线段AC的长是．14．如图，反比例函数24(0)y xx=>的图象与直线32y x=相交于点A，与直线(0)y kx k=≠相交于点B，若OAB∆的面积为18，则k的值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式组2(2)151132xx x-+-⎧⎪+⎨->-⎪⎩…，并把解集在数轴上表示出来．16．解方程：(1)(3)12x x-+=．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．观察下列等式；2231414--⨯=①；2242424--⨯=②；2253434--⨯=③；⋯⋯请根据上述规律，解答下列问题：（1）直接写出第4个等式；（2）猜想第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明，18．在1010⨯网格中，点O ，A ，B 都是格点（网格线的交点）．（1）画出线段AB 绕点O 逆时针方向旋转90︒得到的线段11A B ；（2）以线段11A B 为边画一个格点等腰△111A B C （顶点均为格点）．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，一艘船由A 港沿北偏东70︒方向航行以302海里/时的速度航行2小时达到小岛B 处，稍作休整，然后再沿北偏西35︒方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东25︒方向，求A ，C 两港之间的距离．（精确到1海里）（参考数据：2~1.41，3 1.73)=20．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，以AB 为直径作O e ，连接OC ，过点B 作//BD OC 交O e 于点D ，连接AD 交OC 于点E ．（1）求证：BD AE =；（2）若O e 的半径为2，求OE 的长．六、（本题满分12分）21．某校九年级获得一个到高校体验的名额，从前期的选拔中，小明和小刚从众多报名者中脱颖而出：为公平起见，学校设计了如下的游戏：四张大小、质地相同的卡片上分别标有数字1、2、3、4．将标有数字的一面朝下，洗匀后从中抽取一张卡片，记下上面的数字，不放回，再从剩余的卡片中抽取一张卡片，记下上面的数字如果两次抽取卡片上数字之和是奇数，小明获胜：如果两次抽取卡片上数字之和是偶数，小刚获胜，获胜的同学将代表学校参加“高校体验”活动．请问：学校设计的这个游戏是否公平？说明理由．七、（本题满分12分）22．我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．例如抛物线2y x =和2(1)y x =-都是“数轴函数”．（1）抛物线244y x x =-+和抛物线26y x x =-是“数轴函数”吗？请说明理由；（2）若抛物线222416y x mx m =+++是“数轴函数”，求该抛物线的表达式．八、（本题满分14分）23．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AP 、BP 分别平分CAB ∠、CBA ∠，过点P 作//DE AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ． ①求证：点P 是线段DE 的中点； ②求证：2BP BE BA =g ．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，12BC =，BP 平分ABC ∠，过点P 作//DE AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若点P 为线段DE 的中点，求AD 的长度．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的． 1．计算2(3)-的结果是( ) A ．6-B ．6C ．9-D ．9解：2(3)(3)(3)9-=-⨯-=．故选：D ．2．下列运算正确的是( ) A ．22423x x x +=B ．325(3)3x y x x y -=-gC ．322(2)()2x x x x x x --÷-=-+D ．222()x y x y -=-解：A 、原式23x =，不符合题意； B 、原式53x y =-，符合题意； C 、原式221x x =-++，不符合题意；D 、原式222x xy y =-+，不符合题意，故选：B ．3．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．三棱柱解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．故选：A ．4．每年4月，安徽合肥植物园数十万株郁金香竞相怒放，吸引了众多市民前来观赏．郁金香花粉的直径约0.000000031米，这里“0.000000031”用科学记数法表示为( ) A ．70.3110-⨯B ．73.110-⨯C ．83.110-⨯D ．93110-⨯解：0.000000031用科学记数法表示为83.110-⨯．故选：C ．5．化简2()a a bb b b --÷的结果是( )A ．a b +B ．a b --C ．a b -D ．1a b-+ 解：原式22b a bb a b-=-g ()()b a b a bb a b +-=-ga b =--．故选：B ．6．下列因式分解正确的是( ) A ．2(5)(3)215x x x x +-=+- B ．22412(2)1x x x x --=-- C ．222(2)x y xy xy xy x y -+=-D ．39(3)(3)x x x x x -=+-解：A 、2(5)(3)215x x x x +-=+-，这是整式的乘法，不是因式分解，故此选项错误； B 、22412(2)1x x x x --=--，不符合因式分解的定义，故此选项错误； C 、222(21)x y xy xy xy x y -+=-+，原因式分解错误，故此选项错误；D 、39(3)(3)x x x x x -=+-，是因式分解，故此选项正确；故选：D ．7．一组数据：5，3，4，x ，2，1的平均数是3，则这组数据的方差是( ) A ．16B ．53C ．10D ．636解：由平均数的公式得：(53421)63x +++++÷=，解得3x =； ∴方差2222225[(53)(33)(43)(33)(23)(13)]63=-+-+-+-+-+-÷=．故选：B ．8．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是( ) A ．7.9(12)y x =+ B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：27.9(1)y x =+．故选：C ．9．在矩形ABCD 中，4AB =，10BC =，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，将ABE ∆和CDE ∆分别沿AE 、DE 折叠到△AB E '和△C DE '的位置，若折叠后B E '与C E '恰好在同一条直线上，如图，则BE 的长是( )A ．2B ．8C ．4或6D ．2或8解：Q 将ABE ∆和CDE ∆分别沿AE 、DE 折叠到△AB E '和△C DE '的位置， AEB AEB ∴∠=∠'，CED C ED ∠=∠'， 1902AED AEB C ED BEC ∴∠=∠'+∠'=∠=︒， 90AEB CED ∴∠+∠=︒， 90AEB BAE ∠+∠=︒Q ， BAE CED ∴∠=∠， 90B C ∠=∠=︒Q ， ABE ECD ∴∆∆∽， ∴AB BEEC CD=，设BE x =，则10CE x =-， ∴4104xx =-，解得：12x =，28x =， BE ∴的长是2或8，故选：D ．10．如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，直线l 经过点A ，且垂直于AB ，分别与AB 、AC 相交于点M ，N ．直线l 从点A 出发，沿AB 方向以1/cm s 的速度向点B 运动，当直线l 经过点B 时停止运动，若运动过程中AMN ∆的面积是2()y cm ，直线l 的运动时间是()x s 则y 与x 之间函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．解：过点C 作CD AB ⊥于D ， 2226436100AC BC AB +=+==Q ，故ABC ∆为直角三角形， 63sin 105CD CB CAB AC AB ∠====，则4cos 5CAB ∠=，3tan 4CAB ∠=，故3sin 8 4.85CD AC CAB =∠=⨯=，同理 6.4AD =，（1）当0 6.4x 剟，如图1，3tan 4MN CAB AM ∠==Q ，即34MN x =， 211332248y AM MN x x x =⨯=⨯⨯=g ，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y 轴，位于y 轴的右侧抛物线的一部分；（2）当6.410x <…时，如图2，同理：4(10)3MN x =-， 214250(10)(5)2333y x x x =⨯-=--+g ，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为5x =，故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分》 11236= 2- ．解：原式236=-⨯232=-2=-．故答案为22-12．已知32x y -=-，则代数式20203x y -+= 2022 ．解：20103x y -+2020(3)x y =--32x y -=-Q ，∴原式2020(2)=--2022=．故答案为：2022．13．如图，AB 是O e 的直径，点C 在BA 的延长线上，过点C 的直线CD 与O e 相切于点D ，连接BD，若63 CD BD==，则线段AC的长是6．解：连接OD，OB OD=Q，ODB B∴∠=∠，2COD ODB B B∴∠=∠+∠=∠，CD BD=Q，B C∴∠=∠，2COD C∴∠=∠，CDQ与Oe相切于点D，OD CD∴⊥，90C COD∴∠+∠=︒，30C∴∠=︒，3tan306363OD OA CD∴==︒=⨯=，6312cos3032CDOC∴===︒，1266AC∴=-=．故答案为：6．14．如图，反比例函数24(0)y xx=>的图象与直线32y x=相交于点A，与直线(0)y kx k=≠相交于点B，若OAB∆的面积为18，则k的值为6或8．解：由题意得，2432y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：1146x y =⎧⎨=⎩，2246x y =-⎧⎨=-⎩（舍去）， ∴点(4,6)A ，（1）如图1，当y kx =与反比例函数的交点B 在点A 的下方，过点A 、B 分别作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为M 、N ，设点B 坐标为24(,)b b ，则ON b =，24BN b=， ∴点(4,6)A ， 4OM ∴=，6AM =；AOB AOM BON AMNB AMNB S S S S S ∆∆∆=+-=Q 梯形梯形，12418(6)(4)2b b∴=+-，解得，18b =，22b =-（舍去）∴点(8,3)B ，代入y kx =得，38k =；（2）如图2，当y kx =与反比例函数的交点B 在点A 的上方，过点A 、B 分别作AM y ⊥轴，BN y ⊥轴，垂足分别为M 、N ，设点B 坐标为24(,)b b ，则24ON b=，BN b =， ∴点(4,6)A ， 6OM ∴=，4AM =；AOB AOM BON AMNB AMNB S S S S S ∆∆∆=+-=Q 梯形梯形， 12418(4)(6)2b b∴=+-，解得，12b =，28b =-（舍去）∴点(2,12)B ，代入y kx =得，6k =；故答案为：6或38．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式组2(2)151132x x x -+-⎧⎪+⎨->-⎪⎩…，并把解集在数轴上表示出来．解：2(2)151132x x x -+-⎧⎪+⎨->-⎪⎩…，解第一个不等式得1x -…，解第二个不等式得3x <，则不等式组的解集为13x -<„，将解集表示在数轴上如下：16．解方程：(1)(3)12x x -+=．解：方程可化为：22150x x +-=，(5)(3)0x x ∴+-=，50x ∴+=或30x -=，15x ∴=-，23x =．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．观察下列等式；2231414--⨯=①；2242424--⨯=②；2253434--⨯=③；⋯⋯请根据上述规律，解答下列问题：（1）直接写出第4个等式；（2）猜想第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明，解：（1）第4个等式为：2264444--⨯=；（2）猜想第n 个等式为：22(2)44n n n +--=．证明：Q 等式左边2222(2)44444n n n n n n n =+--=++--==等式右边，22(2)44n n n ∴+--=．18．在1010⨯网格中，点O ，A ，B 都是格点（网格线的交点）．（1）画出线段AB 绕点O 逆时针方向旋转90︒得到的线段11A B ；（2）以线段11A B 为边画一个格点等腰△111A B C （顶点均为格点）．解：如图，（1）线段A B即为所求；11（2）等腰△A B C即为所求．111五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，一艘船由A港沿北偏东70︒方向航行以302海里/时的速度航行2小时达到小岛B处，稍作休整，然后再沿北偏西35︒方向航行至C港，C港在A港北偏东25︒方向，求A，C两港之间的距离．（精确到1海里）（参考数据：2~1.41，3 1.73)=解：作BD AC⊥于D，由题意得，702545AB==，∠=︒-︒-︒=︒，30222CBA∠=︒-︒=︒，180703575CAB754530CBD ∴∠=︒-︒=︒，在Rt ADB ∆中，45CAB ∠=︒， 2602AD BD AB ∴===，在Rt CBD ∆中，3tan 602033CD BD CBD =⨯∠=⨯=， 6020395AC AD DC ∴=+=+≈，答：A ，C 两港之间的距离约为95海里．20．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，以AB 为直径作O e ，连接OC ，过点B 作//BD OC 交O e 于点D ，连接AD 交OC 于点E ．（1）求证：BD AE =；（2）若O e 的半径为2，求OE 的长．【解答】（1）证明：AB Q 为直径，90ADB ∴∠=︒，//BD OC Q ，90AEO ADB ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒Q ，OAE ACE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中ADB CEA BAD ACE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，BD AE ∴=；（2）解：OE AD ⊥Q ，AE DE ∴=，OE ∴为ABD ∆的中位线，2BD OE ∴=，2AE OE ∴=，在Rt AOE ∆中，222OE AE AO +=Q ，22242OE OE ∴+=，255OE ∴=．六、（本题满分12分）21．某校九年级获得一个到高校体验的名额，从前期的选拔中，小明和小刚从众多报名者中脱颖而出：为公平起见，学校设计了如下的游戏：四张大小、质地相同的卡片上分别标有数字1、2、3、4．将标有数字的一面朝下，洗匀后从中抽取一张卡片，记下上面的数字，不放回，再从剩余的卡片中抽取一张卡片，记下上面的数字如果两次抽取卡片上数字之和是奇数，小明获胜：如果两次抽取卡片上数字之和是偶数，小刚获胜，获胜的同学将代表学校参加“高校体验”活动．请问：学校设计的这个游戏是否公平？说明理由．解：这个游戏不公平，画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中和为奇数的有8种结果，和为偶数的有4种结果， ∴小明获胜的概率为82123=，小刚获胜的概率为41123=， Q 2133≠， ∴此游戏不公平．七、（本题满分12分）22．我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．例如抛物线2y x =和2(1)y x =-都是“数轴函数”．（1）抛物线244y x x =-+和抛物线26y x x =-是“数轴函数”吗？请说明理由；（2）若抛物线222416y x mx m =+++是“数轴函数”，求该抛物线的表达式．解：（1）抛物线244y x x =-+是“数轴函数”，抛物线26y x x =-不是“数轴函数”；理由：2244(2)y x x x =-+=-Q ，∴抛物线顶点坐标为(2,0)，在x 轴上，226(3)9y x x x =-=--Q ，∴抛物线的顶点坐标为(3,9)-，在第四象限，∴抛物线26y x x =-不是“数轴函数”；（2）抛物线222224162()16y x mx m x m m =+++=+-+，顶点坐标为2(,16)m m --+，由于抛物线222416y x mx m =+++是“数轴函数”，分两种情况：①当顶点在x 轴上时，2160m -+=，解得4m =±，抛物线表达式为221632y x x =++或221632y x x =-+；②当顶点在y 轴上时，0m -=，解得0m =，抛物线表达式为2216y x =+，综上，抛物线表达式为221632y x x =++或221632y x x =-+或2216y x =+．八、（本题满分14分）23．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AP 、BP 分别平分CAB ∠、CBA ∠，过点P 作//DE AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ．①求证：点P 是线段DE 的中点；②求证：2BP BE BA =g ．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，12BC =，BP 平分ABC ∠，过点P 作//DE AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若点P 为线段DE 的中点，求AD 的长度．【解答】（1）①证明：BP Q 平分ABC ∠， ABP CBP ∴∠=∠，//DE AB Q ，ABP EPB ∴∠=∠，CBP EPB ∴∠=∠，BE PE ∴=，同理可证：DP DA =， //DE AB Q ， ∴CE CD CB CA=， CA CB =Q ，CE CD ∴=，BE AD ∴=，PE PD ∴=，∴点P 是DE 的中点． ②证明：由①得12ABP EBP EPB CBA ∠=∠=∠=∠， AP Q 平分CAB ∠，12PAB CAB ∴∠=∠， CA CB =Q ，CBA CAB ∴∠=∠，ABP EBP EPB PAB ∴∠=∠=∠=∠，ABP PBE ∴∆∆∽， ∴BP BE BA BP=， 2BP BA BE ∴=g ．（2）过点P 作//FG AC 交BC 于F ，交AB 于G ．在Rt ACB ∆中，5AC ===， //FG AC Q ，90PFE C ∴∠=∠=︒，//PD AG Q ，∴四边形AGPD 是平行四边形， PG AD ∴=，PE PD =Q ，//PF CD ，EF FC ∴=，12PF CD ∴=，由（1）可知BE EP =，设AD PG x ==，则5CD x =-，1(5)2PF x =-， //DE AB Q ， ∴CD CE CA CB =， ∴512CD CA CE CB ==， 125CE CD ∴=，12(5)5x =-，则6(5)5EF x =-， 1212120(5)55BE EP x x ∴==-=，在Rt EFP ∆中，6(5)125sin sin sin 1213(5)5x EF EPF EDC BAC EP x -∠===∠=∠=-，解得6537x =， 6537AD ∴=．。

2020届淮北一模考试理科答案

bn 2n1，n N
分
没有注明 n 取值范围的扣 1 分。
第 2 页 2020 一模理科
（2）
cn
bn
1 an2 1
2n1
1 4n2 1
2n1
1 2
(
1 2n
1
1 2n
) 1
Tn
2n
1 4n
2
1 2
而 Tn
随着
n
的增大而增大，所以
2Tn
2T1
8 3
故有 m 最大值为 8 。 3
第 1 页 2020 一模理科
CD 面ABC .
（II）法一、等体积法
.......5 分
取 AC 的中点 O 连接 OB ,由题设可知 ABC 为等腰直角三角形，所以 OB 面ACM
VB ACM VABCM 且
VB ACM
1 3
S
ACM
BO
16 2 3
而 SBCM 4 3
A 到面BCM 的距离
..........6 分
（2）由题意可以取 0、1、2，
其中
p(
0)
C20C52 C72
10 , 21
p(
1)
C21C51 C72
10 21
,
p(
2)
C22C50 C72
1 21
..........9 分
的分布列为
0
1
2
P
10
10
1
21
21
21
故 E( ) 0 10 1 10 2 1 4 21 21 21 7
则 A(0,2 2,0) B(0,0,2 2 ) C(0,2 2,0) M (2 2,0,0)

2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}2．（5分）已知复数1322i ω=+，i 为虚数单位，则2ω的实部为( ) A ．1B ．12C ．32-D ．12-3．（5分）已知锐角α满足3sin()23πα+=，则tan 2(α= )A ．2-B ．22-C ．22D ．24．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43C ．32D ．528．（5分）已知51log 2a =，52log 2b =，7log 3c =，则( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( ) A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值B ．函数()f x 以2π为周期且在区间(,)42ππ单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42ππ单调递减D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()lny g x lnf x =，然后两边同时求导得()()()()()y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()()[()][()()()]()g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为()A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648B ．1728C ．864D ．32412．（5分）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A ．55 B ．20 C ．25 D ．100二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．（5分）在边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，则AB AD = ．14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为．15．（5分）设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+=⎨>⎩，则满足2(3)(2)f x f x --的x 取值范围是．16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S =．（1）求22sin cos 5sin 222A AA --的值；（2）若角A ，B ，C 成等差数列，||4CB CA -=，求ABC ∆的面积S ．．18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点．将ABC ∆沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD-（如图2)．（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ则为一级；若23λ则为二级；若01λ则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(1,1)M ．（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数．（1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若()f x 在[,]42ππ上单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π-内存在唯一极大值点．2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【解答】解：{1A =，2，3}，{|12B x x =-<<，}{0x Z ∈=，1}，{1}AB ∴=．故选：A ．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数12ω=，i 为虚数单位，则2ω的实部为( )A ．1B ．12C ．D ．12-【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由12ω=+，得221131()2442ω==-=-， 2ω∴的实部为12-．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知锐角α满足sin()2πα+=，则tan 2(α= )A ．B ．-C ．D【分析】由已知利用诱导公式可求cos α，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin α，tan α的值，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值．【解答】解：锐角α满足sin()2πα+=，cos α∴=sin α=，sin tan cos ααα=22tan tan 2221tan ααα∴==--．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐【分析】根据茎叶图所反映出数据的分布情况进行判断即可．【解答】解：通过茎叶图数据可知：甲品种的平均高度为：192021232529373332312710x +++++++++==甲，乙品种的平均高度为：101410262730444646473010x +++++++++==乙，所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但是乙品种的10株高度在分散，没有甲品种10株的高度集中，都集中在25左右，故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐．故选：D ．【点评】本题考查了茎叶图比较平均数和方差的大小，属于基础题．5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据圆的性质和点到直线的距离和充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：圆222:(0)C x y r r +=>，直线:2l x =，C 上恰有两个不同的点到l 的离为1，则13r <<．∴ “13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”必要不充分条件．故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k 的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上是奇函数， (0)0f ∴= 2k ∴=，又()x x f x a a -=-为减函数，所以10a >>，所以()log (2)a g x x =+ 定义域为2x >-，且递减，故选：A ．【点评】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43C ．32D ．52【分析】求出双曲线的左焦点坐标，利用已知条件推出2a =，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的右焦点为(4,0)F ，4c =，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，因为P 在双曲线上，所以||2||PF a PF =+'，则||||||||2||29PQ PF PQ PF a QF a +=+++=，因为(0,3)Q ，(4,0)F ，所以||5QF =，则24a =，即2a =，所以双曲线的离心率为：2e =．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题．8．（5分）已知12a =，52logb =，7log 3c =，则( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：551log log 32log log 22a b ==>=，5512log log 22b log ==<=，71log 32c log =>，571log 3log 32a c ===>=，a cb ∴>>．故选：A ．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( )A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值B ．函数()f x 以2π为周期且在区间(,)42ππ单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42ππ单调递减D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+ 【分析】可将原函数变成()|cos2|1f x x =+，从而得出()f x 的周期为2π，并且可看出()f x 在(,)42ππ上单调递增，从而判断出选项B 正确，并且可判断选项D 错误．【解答】解：22()|cos sin |1|cos2|1f x x x x =-+=+， ()f x ∴的周期为2π，且在(,)42ππ上单调递增，B ∴正确，将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(22)|1g x x =-+，D ∴错误．故选：B ．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，函数|cos()|y A x ωϕ=+周期的求法，熟悉()|cos2|f x x =的图象，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()lny g x lnf x =，然后两边同时求导得()()()()()y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()()[()][()()()]()g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为()A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞【分析】先根据已知定义求解出函数的导数，然后结合导数与单调性的关系即可求解．【解答】解：因为11(1)(0)x y x x +=+>，所以11(1)(1)1x ln x lny ln x x ++=+=+，两边同时求导可得，21(1)(1)y ln x y x '-+=+，则1121(1)(1)(1)x ln x y x x +-+'=++，令0y '<可得(1)1ln x +>，解可得，1x e >-，故函数的单调递减区间为(1,)e -+∞．故选：C ．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，解题的关键是根据已知定义求解出函数的导数．11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648B ．1728C ．864D ．324【分析】此问题可分两步解决，第一步把六科按要求分为四组，再排到四个半天中去，由计数原理即可得出总的不同方案．【解答】解：先对六科进行分组，共有222264342227C C C C A -=种，再把这四组分到四个半天共有4424A =种分法，由分步乘法计数原理得，此次考试不同安排方案的种数2724648⨯=，故选：A ．【点评】本题考查排列组合及计数原理应用问题，属于计数中的基本题，中档题，解答此类问题的关键是确定合乎实际情况的解决方案以及熟练掌握计数原理与排列组合的符号的使用．12．（5分）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( )A ．B ．20C ．25D ．100【分析】设数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +化为关于d 的一元二次不等式，利用判别式△0求出3a 的取值范围，即可得出12345a a a a a ++++的最大值．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +，得2233(2)(6)10a d a d +++，即223320850d a d a ++-；由△2233(8)420(5)0a a =-⨯⨯-，化简得2325a ，解得355a -，所以123453525a a a a a a ++++=，即12345a a a a a ++++的最大值为25．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项与求和公式应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．（5分）在边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，则AB AD = 3 ．【分析】易得3AD =，30BAD ∠=︒．即可求解cos30AB AD AB AD =︒．【解答】解：如图，边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，3AD ∴=，30BAD ∠=︒．∴3cos302332AB AD AB AD =︒=⨯⨯=．故答案为：3．【点评】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为 10 ．【分析】设0(P x ，0)y ，通过0||2pPM x =+，求出P 的坐标，然后求解三角形的面积．【解答】解：抛物线24y x =中2p =，设0(P x ，0)y ，则0||2p PM x =+，即051x =+，得04x =，所以04y =±，所以01||||102PFM S PM y ∆==．故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．（5分）设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+=⎨>⎩，则满足2(3)(2)f x f x --的x 取值范围是(,[1,)-∞+∞ ．【分析】先判断函数()f x 的单调性，再求出()f x 的值域，然后根据2(3)(2)f x f x --解出不等式即可．【解答】解：当0x 时，1()2019()2019x x f x e e -=+=+，此时()f x 单调递减，∴01()(0)()20192020f x f e=+=，∴当2(3)(2)f x f x --时，22203032x x x x -⎧⎪-⎨⎪--⎩或22030x x -⎧⎨->⎩或22030x x -⎧⎨-⎩，∴13x或x >3x -，x ∴的取值范围为(,[1,)-∞+∞．故答案为：(,[1,)-∞+∞．【点评】本题考查了分段函数的应用和不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题． 16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于1123π ．【分析】过P 与O 作直线l 的垂面，画出截面图形，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，然后求出球的表面积．【解答】解：过P 与O 作直线l 的垂面，画出截面图形，如图设球的半径为r ，作OE QP ⊥，OF PM ⊥，则1EP =，2PF =，设OPE α∠=，23OPF πα∠=-，所以cos 122cos()3r r απα=-，即sin αα=，22sin cos 1αα+=解得 21cos 28α=所以2283r =；所以球的表面积为：2281124433r πππ=⨯=．故答案为1123π【点评】本题是中档题，考查二面角的有关知识，考查转化思想的应用，空间想象能力，计算能力．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S =．（1）求22sin cos 5222A AA -的值；（2）若角A ，B ，C 成等差数列，||4CB CA -=，求ABC ∆的面积S ．．【分析】（1）可得1cos sin 2bc A bc A =，sin 2cos 0A A =>．可得5cos A =25sin A ．即可计算22sin cos 5222A AA -的值（2）可得060B =．sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 由正弦定理可得sin sin b c B C =⇒sin sin c B b C =．即可得1sin 2bc A =，【解答】解：（1）cos 1sin 2AB AC bc A SS bc A ⎧==⎪⎨=⎪⎩．∴1cos sin 2bc A bc A =． sin 2cos 0A A ∴=>．可得A 为锐角，结合22sin cos 1A A +=，可得5cos A =25sin A =．则225sin cos 52cos 52sin cos 522A A A A A A -=--== （2）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，3A B C B π∴++==，可得060B =． 251532515sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B +=+=+==由正弦定理可得sin sin b cB C =⇒sin 203sin 2515c B b C ==+． ABC ∆的面积1120325sin 4323482252515S bc A ==⨯⨯⨯=-+．【点评】本题考查了三角函数、正弦定理、三角形面积计算，属于中档题．18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点．将ABC ∆沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD-（如图2)．（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．【分析】（1）利用勾股定理证明CD AC ⊥，再结合面面垂直，证明线面垂直；（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点，以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，2-0)，(0B ，0，2)，(0C ，20)，(22M ，0，0)，求出平面BCM 的法向量，再利用夹角公式求出即可．【解答】解：（1）由90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，所以42AC =42CD =，8AD =，所以222AD CD AC =+，CD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⋂平面ACD AC =，所以CD ⊥平面ABC ；（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点，以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，22-0)，(0B ，0，2)，(0C ，220)，(22M 0，0)，所以(0CB =，22-，22)，(22CM =，22-，0)，(0BA =，22-，22)-，设平面BCM 的法向量为(,,)m x y z =， 2222022220m CB y z m CM x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，得(1,1,1)m =，所以|2222|26sin |cos ,|3433m BA θ--=<>===．【点评】考查线面垂直，面面垂直，考查向量法求法向量，夹角公式求线面角的余弦值，中档题．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．【分析】（1）运用数列的递推式：1n =时，112a S ==，2n 时，1n n n a S S -=-，可得n a ；再由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求n b ；（2）求得11122111111222()141(21)(21)22121n n n n n n c b a n n n n n ---=+=+=+=+----+-+，再由数列的分组求和、裂项相消求和，化简整理可得所求和n T ，判断单调性可得最小值，结合恒成立思想可得所求最大值．【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，可得1n =时，112a S ==，2n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，对1n =也成立，则2n a n =，*n N ∈；等比数列{}n b 的公比(1)q q >，由34528b b b ++=，可得23411128b q b q b q ++=，由42b +是3b 和5b 的等差中项，可得43542(2)28b b b b +=+=-，即3418b b q ==，解得11b =，2q =，则12n n b -=，*n N ∈；（2）11122111111222()141(21)(21)22121n n n n n n c b a n n n n n ---=+=+=+=+----+-+， 1111111121111(122)(1)(1)22335212112221242n n n n T n n n n --=++⋯++-+-+⋯++-=+-=---+-++，由11{2}242n n --+为自然数集上的增函数，可得1n =时，112242n n --+取得最小值43，若2n T m 对一切*n N ∈成立，可得83m ，则实数m 的最大值为83．【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和、裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ则为一级；若23λ则为二级；若01λ则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）根据题中的表格统计出12块种植地的综合指标，找出等级为一级的石榴种植园的频率，即可得解；（2）由（1）中统计的表格，得出样本中二级和三级石榴种植园的数量，再分别求出ξ的每个取值所对应的概率即可得解．【解答】解：（1）计算12块种植地的综合指标，如下表所示：由表可知，等级为一级的有5个，其频率为512，用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为一级的石榴种植园的数量为51205012⨯=．（2）所取样本中二级和三级石榴种植园共有527+=块，三级石榴种植园有2块，则ξ的所有可能取值为0，1，2，02252710(0)21C C P C ξ===；11252710(1)21C C P C ξ===；2025271(2)21C C P C ξ===．所以随机变量ξ的分布列如表所示：数学期望101014()0122121217E ξ=⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据分析的能力，属于基础题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(1,1)M 离心率为22．（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到椭圆的方程；（2）设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．联立方程组推导出21213|||||121OA OC k k ===++．212113||||121OB OD k k ==++，写出菱形ABCD 的面积2||||S OA OB =，由此利用均值定理能求菱形ABCD 的面积最小值．【解答】解：（1）由题意，222221112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2233,2a b ==．∴椭圆Γ的方程为222133x y +=；（2）菱形ABCD 内接于椭圆Γ，由对称性可设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．联立22123x y y k x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得方程221(21)30k x +-=，∴2221321A C x x k ==+，21213||||121OA OC k k ∴=++同理，2223||||21OB OD k ==+又AC BD ⊥，23||||21OB OD ∴==+，其中10k ≠．从而菱形ABCD 的面积S 为： 2122113132||||2112211S OA OB k k k ==++++，整理得4S =，其中10k ≠．当且仅当111k k =时取“=”， ∴当11k =或11k =-时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查菱形面积最小值的求法，训练了直线与椭圆位置关系的综合应用及利用基本不等式求最值，是中档题．22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数．（1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若()f x 在[,]42ππ上单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π-内存在唯一极大值点．【分析】（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；（2）求函数进行求导，让导函数大于或等于零，进行常变量分离，构造新函数，然后利用导数求出新构造函数单调性，最后求出a 的取值范围；（3）对()f x '再求导，求出该函数的单调性，进而证明函数有唯一极大值点即可．【解答】解：（1）当2a =，2()cos 1f x x x '=-+，(0)1f '=-，又(0)0f =，所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=；（2）由()cos 01af x x x '=-+，所以(1)cos a x x +，令()(1)cos h x x x =+，[,]42x ππ∈，则()cos (1)sin h x x x x '=-+，第21页（共21页）因为2cos 2x，2(1)sin (1)24x x π++，所以()0h x '<， ()h x 在[,]42ππ递减，所以()()02h x h π=，0a ；（3）因为()cos 1a f x x x '=-+，令()cos 1a g x x x =-+，x ∈，2()sin (1)a g x x x '=-++，显然()g x '单调递减，又20(1)2a π<<+，得2()102(1)2a g ππ'=-+<+，取01x =-，则000()sin 4sin 0g x x x '=-=->，故存在(1,)2m π∈-，使得()0g m '=， (1x ∈-，)()m g x 单调递增，(,)2x m π∈单调递减， m 为()g x 的唯一极大值点，故命题成立．【点评】本题考查了利用导数求函数的切线，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了数学运算能力，中档题．。

【2020-2021自招】淮北市实验高级中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

第一套：满分150分2020-2021年淮北市实验高级中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x =-与⊙O 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤2 8．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

【新】2019-2020安徽淮北市第一中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】

第一套：满分120分2020-2021年安徽淮北市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，；（2）若，则A =C ；（3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：，其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为（直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形；（2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

【精校】2020年安徽省淮北市高考一模数学理

2020年安徽省淮北市高考一模数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.设复数Z 满足(1+i)Z=i ，则|Z|=( )B.12D.2解析：由(1+i)Z=i ，得()()()11112211i i i Z i i i i -=+++-＝＝，∴Z =. 答案：A2.已知A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，B={y|y=x 2+1}，则A ∩B=( ) A.[﹣1，3] B.[﹣3，2] C.[2，3] D.[1，3]解析：A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}={x|﹣1≤x ≤3}，B={y|y=x 2+1}={y|y ≥1}，则A ∩B={x|1≤x ≤3}=[1，3]，答案：D3.函数()1ln f x xx=+的图象大致为( )A.B.C.D.解析：当x ＜0时，函数()()1ln f x x x =+-，由函数y=1x、y=ln(﹣x)递减知函数f(x)=()1ln xx+-递减，排除CD ；当x ＞0时，函数f(x)=()1ln x x +，此时，f(1)=1ln11+=1，而选项A 的最小值为2，故可排除A ，只有B 正确.答案：B4.《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a 、b 分别为96、42，则输出的i 为( )A.4B.5C.6D.7解析：由程序框图可知：当a=96，b=42时，满足a ＞b ，则a=96﹣42=54，i=1 由a ＞b ，则a=54﹣42=12，i=2 由a ＜b ，则b=42﹣12=30，i=3 由a ＜b ，则b=30﹣12=18，i=4由a ＜b ，则b=18﹣12=6，i=5 由a ＞b ，则a=12﹣6=6，i=6 由a=b=6，输出i=6. 答案：C5.如果实数x ，y 满足关系1020x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，又273x y x λ+-≥-恒成立，则λ的取值范围为( )A.(﹣∞，﹣1]∪[95，+∞) B.(﹣∞，3] C.[95，+∞) D.(3，+∞) 解析：设271233x y y z x x +--==+--， z 的几何意义是区域内的点到D(3，1)的斜率加2，作出实数x ，y 满足关系1020x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩对应的平面区域如图：由图形，可得C(1322，)，由图象可知，直线CD 的斜率最小值为=132********⨯+-=-， ∴z 的最小值为95，∴λ的取值范围是(﹣∞，﹣1]∪[95，+∞).答案：A6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73 B.83π- C.83 D.73π- 解析：由三视图得该几何体是从四棱锥P ﹣ABCD 中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2， ∴所求的体积21118222123233V ππ-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 答案：B7.已知等比数列{a n }中，a 5=3，a 4a 7=45，则7957a a a a --的值为( )A.3B.5C.9D.25解析：根据题意，等比数列{a n }中，a 5=3，a 4a 7=45，则有476515a a a a ==，则655a q a ==，则2227957575725a a a q a q q a a a a -⋅-⋅===--；答案：D8.已知F 是双曲线22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若点F 关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为( )解析：设F(c ，0)，渐近线方程为b y x a=，对称点为F'(m ，n)，即有n am c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅，解得222b a ab m n c c -==-，，将F'(222b a ab c c --，)，即(2222c a ab c c--，)，代入双曲线的方程可得()222222222241c a a b c a c b --=，化简可得22c a﹣4=1，即有e 2=5，解得答案：C9.函数f(x)在定义域R 内可导，若f(1+x)=f(3﹣x)，且当x ∈(﹣∞，2)时，(x ﹣2)f′(x)＜0，设a=f(0)，b=f(1 2)，c=f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.c ＞a ＞b C.c ＞b ＞a D.b ＞c ＞a解析：∵f(1+x)=f(3﹣x)，∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称， ∴f(3)=f(1).当x ∈(﹣∞，2)时，(x ﹣2)f′(x)＜0， ∴f′(x)＞0，即f(x)单调递增， ∵0＜1 2＜1，∴f(0)＜f(1 2)＜f(2)，即a ＜b ＜c. 答案：C10.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，且f(x 1)·f(x 2)=﹣16，则|x 1+x 2|的最小值为( )A.3π B.2π C.23π D.34π解析：()sin f x a x x =-=()x θ+，由于函数f(x)的对称轴为：6x π=-，所以()1362f a π-=--，则132a --= 解得：a=2；所以：f(x)=4sin(x ﹣3π)，由于：f(x 1)·f(x 2)=﹣16，所以函数f(x)必须取得最大值和最小值，所以：x 1=2kπ+56π或x 2=2kπ﹣6π，k ∈Z ；所以：|x 1+x 2|的最小值为23π. 答案：C11.对于向量a ，b ，定义a ×b 为向量a ，b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a ×b 的模|a ×b|=|a||b|sinθ(其中θ为向量a 与b 的夹角)，a ×b 的方向与向量a ，b 的方向都垂直，且使得a ，b ，a ×b 依次构成右手系.如图，在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则()AB AD AE ⨯⋅u u u r u u u r u u u r=( )A.4B.8C.D.解析：据向量积定义知，向量AB AD ⨯u u u r u u u r 垂直平面ABCD ，且方向向上，设AB AD ⨯u u u r u u u r 与AE u u u r所成角为θ.∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E 在底面ABCD 上的射影在直线AC 上.作EI ⊥AC 于I ，则EI ⊥面ABCD ，∴θ+∠EAI=2π. 过I 作IJ ⊥AD 于J ，连EJ ，由三垂线逆定理可得EJ ⊥AD.∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，.又∵∠CAD=30°，IJ ⊥AD ，∴.∵AE=2，EI ⊥AC ，∴cos AI EAI AE ∠==.∴()sin sin cos cos 2EAI EAI πθθ=-∠=∠==故()sin cos 8AB AD AE AB AD BAD AE θ⨯⋅=∠==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 答案：D12.若存在实数x 使得关于x 的不等式(e x﹣a)2+x 2﹣2ax+a 2≤12成立，则实数a 的取值范围是( )A.{12} B.{14} C.[12，+∞) D.[14，+∞)解析：不等式(e x﹣a)2+x 2﹣2ax+a 2≤12成立，即为(e x﹣a)2+(x ﹣a)2≤12，表示点(x ，e x)与(a ，a)的距离的平方不超过12，即最大值为12. 由(a ，a)在直线l ：y=x 上，设与直线l 平行且与y=e x相切的直线的切点为(m ，n)，可得切线的斜率为e m=1，解得m=0，n=1，切点为(0，1)，由切点到直线l 的距离为直线l 上的点与曲线y=e x的距离的最小值，可得(0﹣a)2+(1﹣a)2=12，解得a=12，则a 的取值集合为{12}. 答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知等差数列{a n }前15项的和S 15=30，则a 2+a 9+a 13=______. 解析：∵设等差数列的等差为d ，{a n }前15项的和S 15=30， ∴()11515302a a +=，即a 1+7d=2，则a 2+a 9+a 13=(a 1+d)+(a 1+8d)+(a 1+12d)=3(a 1+7d)=6. 答案：614.若()12nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为______.解析：由题意可知，2n=256，解得n=8.∴()()81122nx x xx +=+，其展开式的通项()()8882188122rrr rr r r T C x C x x---+⋅⋅=⋅⋅＝，令8﹣2r=0，得r=4.∴该展开式中常数项的值为445821120T C ⋅＝＝. 答案：112015.已知函数f(x)的定义域为R ，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，下列结论正确的序号是______. ①f(x)＜0恒成立；②(x 1﹣x 2)[f(x 1)﹣f(x 2)]＜0； ③(x 1﹣x 2)[f(x 1)﹣f(x 2)]＞0；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞ ⑤()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜解析：由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x 轴下方，即f′(x)＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢.所以f(x)的图象如图所示：f(x)＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]异号，即f(x)为减函数.故②正确；③表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]同号，即f(x)为增函数.故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤.答案：②⑤16.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点.若△ABC的面积为2，则2MB MC BC⋅+u u u r u u u u r u u u r的最小值为______.解析：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，∴S△ABC=2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，S△MBC=12丨MB丨·丨MC丨sin∠BMC=1，∴2sinMB MCBMC ⋅=∠u u u r u u u u r丨丨丨丨.∴2coscossinBMC MB MC MB MC BMCBMC∠⋅=⋅∠=∠u u u r u u u u r.由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨·丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨·丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=22cos22sin sinBMCBMC BMC∠⨯-⨯∠∠.∴22cos22cos22sin sin sinBMC BMC MB MC BCBMC BMC BMC∠∠⋅++⨯-⨯∠≥∠∠u u u r u u u u r u u u r=2cos2sinBMCBMC-∠⋅∠，方法一：令y=2cos sin BMC BMC -∠∠，则y′=212cos sin BMC BMC-∠∠，令y′=0，则cos ∠BMC=12，此时函数在(0，12)上单调减，在(12，1)上单调增，∴cos ∠BMC=12时，2cos sin BMC BMC-∠∠，2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u r u u u r 的最小值为方法二：令y=2cos sin BMCBMC-∠∠，则ysin ∠BMC+cos ∠BMC=2∠BMC+α)=2， tanα=1y，则sin(∠BMC+α1，解得：y则2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u u r 的最小值为答案：三、解答题.(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosB=(3c ﹣b)cosA. (1)求cosA 的值；(2)若b=3，点M 在线段BC 上，2AB AC AM AM +==u u u r u u u r u u u u r u u u u r，ABC 的面积. 解析：(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC=3sinCcosA ，结合sinC ≠0，可求cosA 的值.(2)将2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r两边平方，利用平面向量数量积的运算可求c 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解.答案：(1)因为acosB=(3c ﹣b)cosA ，由正弦定理得：sinAcosB=(3sinC ﹣sinB)cosA ，即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA ，可得：sinC=3sinCcosA ，在△ABC 中，sinC ≠0，所以1cos 3A ＝.(2)∵2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ，由b=3，AM =u u u u r 1cos 3A ＝，可得：219234183c c ++⨯⨯⨯⨯＝，解得：c=7或c=﹣9(舍)，所以△ABC 的面积1732S ⨯⨯＝18.在如图所示的圆台中，AB ，CD 分别是下底面圆O ，上底面圆O′的直径，满足AB ⊥CD ，又DE 为圆台的一条母线，且与底面ABE 成角3π. (Ⅰ)若面BCD 与面ABE 的交线为l ，证明：l ∥面CDE ；(Ⅱ)若AB=2CD ，求平面BCD 的与平面ABE 所成锐二面角的余弦值.解析：(Ⅰ)在圆台OO′中，由CD ⊂圆O′，可得CD ∥平面ABE ，再由线面平行的性质可得l ∥CD ，进一步利用线面平行的判定可得l ∥面CDE ；(Ⅱ)连接OO′、BO′、OE ，则CD ∥OE ，由已知AB ⊥CD ，得AB ⊥OE ，再由三垂线定理得O′B ⊥OE ，即O′B⊥CD ，可得∠O′BO 就是求面BCD 与底面ABE 所成二面角的平面角.设AB=4，由母线与底面成角3π，求解三角形可得平面BCD 的与平面ABE 所成锐二面角的余弦值. 答案：(Ⅰ)证明：如图，在圆台OO′中，∵CD ⊂圆O′，∴CD ∥平面ABE ，∵面BCD ∩面ABE=l ，∴l ∥CD ，∵CD ⊂平面CDE ，l ⊄平面CDE ，∴l ∥面CDE ；(Ⅱ)解：连接OO′、BO′、OE ，则CD ∥OE ，由AB ⊥CD ，得AB ⊥OE ，又O′B 在底面的射影为OB ，由三垂线定理知：O′B⊥OE ，∴O′B⊥CD ，∴∠O′BO 就是求面BCD 与底面ABE 所成二面角的平面角.设AB=4，由母线与底面成角3π，可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2∴cos .19.如图为2020届淮北师范大学数学与应用数学专业N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人.(Ⅰ)求该专业毕业总人数N 和90～95分数段内的人数n ；(Ⅱ)现欲将90～95分数段内的n 名毕业生随机的分配往A 、B 、C 三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？(Ⅲ)若90～95分数段内的这n 名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望.解析：(Ⅰ)先求出80～90分数段的毕业生的频率和学员总数，由此能求出毕业生的总人数N ，从而求出90～95分数段内的人数频率，进而能求出90～95分数段内的人数.(Ⅱ)将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A 、B 、C 三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，利用排列数公式能出共有多少不同的分配方法. (Ⅲ)ξ所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望.答案：(Ⅰ)80～90分数段的毕业生的频率为：p 1=(0.04+0.03)×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N 为N=210.35=60， 90～95分数段内的人数频率为：p 2=1﹣(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6.(Ⅱ)将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A 、B 、C 三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有：2234232218C C A A ⋅=不同的分配方法. (Ⅲ)ξ所有可能取值为0，1，2，()0224266015C C P C ξ===， ()1124268115C C P C ξ===， ()2022461215P C C C ξ===，所以ξ的分布列为：ξ 01 2 P 615 815 115所以随机变量ξ数学期望为()68120121515153E ξ=⨯+⨯+⨯=.20.已知椭圆C ：22221y x a b+=(a ＞b ＞0)，其左右焦点为F 1，F 2，过F 1直线l ：与椭圆C 交于A ，B 两点，且椭圆离心率； (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 若椭圆存在点M，使得2OM OA =+u u u u r u u u r u u r ，求直线l 的方程.解析：(I)过F 1直线l ：，以及离心率结合a 、b 、c关系，求解即可得到椭圆方程.(II)设AB 的方程为y=k(x ﹣2)，联立直线与椭圆的方程组，利用判别式求出k 的范围，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 3，y 3)，利用韦达定理以及，即可求出m 的值，得到直线l 的方程答案：(Ⅰ)过F 1直线l ：=0，令y=0，解得x=，∴∵c e a ==， ∴a=2，∴b 2=a 2﹣c 2=4﹣3=1，∴椭圆C 的方程为2214x y +=； (Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 3，y 3)，由2OM OA =u u u u r u u u r u u r，得：3123121122x x x y y y ==，代入椭圆方程可得：22121211110422x x y y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()())2222112212121131 414444x y x y x x y y ++++=， ∴x 1x 2+4y 1y 2=0联立方程220440x my x y ⎧++⎪⎨+-⎪⎩＝消x 可得(m 2+4)y 2+﹣1=0，∴1212214y y y y-+==+， ∴x 1x 2+4y1y 2=(my 1)(my 21y 2=(m 2+4)4y 1y 2m(y 1+y 2)+3=0，即m 2=2，解得m=所求直线l 的方程：0x ±+=.21.设函数f(x)=12x 2﹣alnx ，其中a ∈R. (1)若函数f(x)在[1 2，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)设正实数m 1，m 2满足m 1+m 2=1，当a ＞0时，求证：对任意的两个正实数x 1，x 2，总有f(m 1x 1+m 2x 2)≤m 1f(x 1)+m 2f(x 2)成立；(3)当a=2时，若正实数x 1，x 2，x 3满足x 1+x 2+x 3=3，求f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最小值.解析：(1)求得f(x)的导数，由题意可得f′(x)=x ﹣a x ≥0在[1 2，+∞)恒成立，运用参数分离和二次函数的最值，即可得到所求范围；(2)求得f(x)的导数，及二阶导数，判断符号，由凹凸函数的性质，即可得证；(3)求得f(x)的导数，以及二阶导数，判断符号，由凹凸函数的性质，即可得到所求最小值.答案：(1)函数f(x)=12x 2﹣alnx ，导数为f′(x)=x ﹣a x，函数f(x)在[1 2，+∞)上单调递增，可得f′(x)=x ﹣a x ≥0在[1 2，+∞)恒成立，即为a ≤x 2的最小值，由x 2在[12，+∞)的最小值为1 4，可得a ≤1 4； (2)证明：由f(x)=12x 2﹣alnx ，a ＞0，可得f′(x)=x ﹣a x ，f″(x)=1+2a x＞0，即有f(x)为凹函数，由m 1+m 2=1，可得对任意的两个正实数x 1，x 2，总有f(m 1x 1+m 2x 2)≤m 1f(x 1)+m 2f(x 2)成立；(3)由f(x)=12x 2﹣2lnx ，可得导数为f′(x)=x ﹣2x ， f″(x)=1+22x ＞0，则f(x)为凹函数，有()()()123123[133]x x x f f x f x f x ++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，即为()()()()123123[]313313322x x x f x f x f x f f ++⎛⎫++==⨯⨯ ⎪⎝≥⎭，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最小值为32.选做题.(10分)[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=θ﹣4π)，直线l 的参数方程为1x t y t-⎧⎨+⎩＝＝t 为参数，直线l 和圆C 交于A ，B 两点.(Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设l 上一定点M(0，1)，求|MA|·|MB|的值.解析：(Ⅰ)圆C 的极坐标方程转化为ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程.(Ⅱ)直线l的参数方程化为1x y ⎧'⎪⎪⎨⎪'⎪⎩＝＝，t′为参数，代入(x+1)2+(y ﹣1)2=2，得t '2'﹣1=0，由此能求出|MA|·|MB|.答案：(Ⅰ)∵圆C 的极坐标方程为：())sin cos cos sin 2sin 2cos 444πππρθθθθθ=-=-=-， ∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴圆C 的直角坐标方程x 2+y 2=2y ﹣2x ，即(x+1)2+(y ﹣1)2=2.(Ⅱ)直线l 的参数方程为1x t y t-⎧⎨+⎩＝＝，t 为参数，直线l的参数方程可化为1x y ⎧'⎪⎪⎨⎪'⎪⎩＝＝，t′为参数，代入(x+1)2+(y ﹣1)2=2，得2212⎛⎫⎫'++'= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：t '2'﹣1=0，∴121t t '⋅'=-，∴|MA|·|MB|=121t t '⋅'=.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x ﹣m|﹣3，且f(x)≥0的解集为(﹣∞，﹣2]∪[4，+∞).(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若∃x ∈R ，使得f(x)≥t+|2﹣x|成立，求实数t 的取值范围.解析：(Ⅰ)利用不等式的解集，列出方程即可求m 的值；(Ⅱ)利用已知条件，转化求解函数的最值，然后推出结果即可.答案：(Ⅰ)∵函数f(x)=|x ﹣m|﹣3，且f(x)≥0的解集为(﹣∞，﹣2]∪[4，+∞). 即|x ﹣m|﹣3≥0的解集为(﹣∞，﹣2]∪[4，+∞).∴m+3=4，m ﹣3=﹣2，解得m=1.(Ⅱ)∵∃x ∈R ，使得f(x)≥t+|2﹣x|成立，即|x ﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|，∴∃x ∈R ，|x ﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3，令g(t)=|x ﹣1|﹣|x ﹣2|=11231212x x x x -≤⎧⎪-≤⎨⎪⎩，，＜，＞， ∴∃x ∈R ，|x ﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立，∴t+3≤g(x)max =1，∴t ≤﹣2.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2020年安徽淮北高三一模数学试卷(理科)

2020年安徽淮北高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知结合，，则（）．A. B. C. D.2.已知复数，为虚数单位，则的实部为（）．A. B. C. D.3.已知锐角满足，则（）．A. B. C. D.4.国庆周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲，乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是（）．甲乙A.甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B.甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C.乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D.乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐5.已知圆，直线，则“”是“上恰有两个不同的点到的距离为”的（）．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（）．A.B.C.D.7.已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则双曲线的离心率为（）．A.B.C.D.8.已知，，，则（）．A.B.C.D.9.关于函数，下列说法正确的是（）．A.函数以为周期且在处取得最大值B.函数以为周期且在区间单调递增C.函数是偶函数且在区间单调递减D.将的图像向右平移个单位得到10.函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递减区间为（）．A.B.C.D.11.淮北市第一次模拟考试理科共考语文，数学，英语，物理，化学，生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文，数学，物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（同一半天如果有两科考试不计顺序）（）．A.B.C.D.12.已知等差数列满足，则的最大值为（）．A.B. C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在边长为的正中，为中点，则．14.从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且．设为抛物线的焦点，则的面积为．15.设函数，则满足的取值范围是．16.已知直线与球有且，从直线出发的两个半平面、截球所得两个截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的表面积等于．只.有.一.个.公.共.点.三、解答题（本大题共6小题，共70分）（1）（2）17.已知的面积为，且．求的值．若角，，成等差数列，，求的面积．（1）（2）18.在直角梯形中（如图），，，，，为线段中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体（如图）．图图求证：平面．求与平面所成角的正弦值．19.（1）（2）已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是和的等差中项．求和的通项公式．令，的前项和记为，若对一切成立，求实数的最大值．（1）（2）20.有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽，籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用，，表示石榴甜度与海拔、日照时长，温差的相关程度，并对它们进行量化：表示一般，表示良，表示优，再用综合指标的值评定石榴的等级，若则为一级；若则为二级；若则为三级．近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了个石榴种植园，得到如下结果：种植园编号种植园编号若有石榴种植园个，估计等级为一级的石榴种植园的数量．在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取个，表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量的分布列及数学期望．（1）（2）21.已知椭圆过点，离心率为．求的方程．如图，若菱形内接于椭圆，求菱形面积的最小值．（1）22.已知函数，，是的导函数．若，求在处的切线方程．【答案】解析:∵集合，，∴．故选．解析:复数，∵，∴的实部为．故选．解析:∵锐角满足，，∴（2）（3）若在上单调递增，求的取值范围．求证：当时，在区间内存在唯一极大值点．A1.D2.B3.．．所以．故选．解析:由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：，，，，，，，，，乙：，，，，，，，，，由已知易得：，，，故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选．解析:圆，直线，由上恰有不同的两点到的距离为，则且，∴则“”是“上恰有不同的两点到的距离为”的必要不充分条件．D 4.甲乙甲乙C 5.故选．解析:∵函数在上是奇函数，∴，∴，又∵为减函数，所以，所以定义域为，且递减．故选．解析:如图所示：根据题意可得，，因为周长的最小值为，即，所以，根据双曲线定义可得：，故有，当且仅当点位于与之间是三点共线时取等，此时有，即，解得，所以离心率为．故选．A 6.B 7.解析:已知，，，所以有，，，故根据函数的单调性可知，，又，，即，又，所以，综上所述．故选．解析:已知，故，所以的周期．令，，解得：，．当时，可得的增区间为，故选．解析:设，，∴，，∴，∵，∴，A 8.B 9.B 10.∴，若令，只需要即可，解得，又，∴，即为函数的单调减区间．故选．解析:先安排语文、数学、英语三科的考试时间，因为该三科中任意两科不能排在同一个半天，所以该三科的排法共有种，再安排物理、化学、生物三科的考试时间，因为每个半天必考一科或两科，所以这三种的排法共有种，所以此次考试时间不同的安排方案的种类共有：．故选．解析:已知数列为等差数列，则令，，故，令，则，即，又因为，即，整理得．将该不等式看作关于的一元二次不等式，故该不等式一定有解，所以有，解得，C 11.C 12.故，即，所以，最大值为．故选．13.解析:大致画出图形如图所示，根据几何知识可知：，，∴，故答案为：．14.解析:已知抛物线方程为，为准线与轴的交点，如图：所以，，又因为，所以有，即，故，所以，，，，．．故答案为：．解析:当时，,此时单调递减，∴，∴当时，或或，∴或或，∴的取值范围为．故答案为：．解析:过与作直线的垂面，画出截面图形，如图所示，为直线与球的切点，设球的半径为，作，，四边形15.16.（1）（2）（1）则，，设，，所以，，即，整理得，代入，可得，所以，则球的表面积等于．解析:设中、、的对边分别为、、，∵及，∴，∴，.．∵，，∴从而有．∵，∴由正弦定理得．所以．解析:由题设可知，，，（1）．（2）．17.（1）证明见解析．（2）．18.（2）∴，∴，又∵平面平面，平面平面，∴平面．方法一：取的中点连接，由题设可知为等腰三角形，所以面，∵且，而，∴到面的距离，所以．方法二：取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面，连接，因为、分别为和的中点，所以，由（）可知，故以、、所在直线为轴、轴、轴建间直角坐标系，如图所示：则，，，，∴，，，∴面的一个法向量，∴．（1），，．19.（1）（2）（1）（2）解析:时，，当时，也符合上式，所以，又和，得，或，∵，∴．∴，．∵，∴．而随着的增大而增大，所以，故有最大值为．解析:计算个石榴种植园的综合指标，可得下表编号综合指标由上表可知等级为一级的有个，所以等级为一等的频率为，所以个石榴种植园中一级种植园约有个．若有石榴种植园个，估计等级为一级的石榴种植园的数量．由题意可以取、、，其中，，，∴的分布列为（2）．（1）个．（2）．20.（1）（2）（1）故．解析:由题意得，又，解得，．所以的方程为．①当与轴或轴重合时，可求菱形的面积为；②当为时，为，由得，所以由弦长公式得，同理可得．所以菱形的面积为，∵，∴，当且仅当时取等号．∵，∴菱形面积的最小值为．解析:∵，∴，（1）．（2）．21.（1）．（2）．（3）证明见解析．22.（2）（3）又，∴在处的切线方程为．∵，∴，令，，则，∵，，∴，∴在上单调递减，∴，∴．∵，∴令，，∴，显得在上单调递减，而，得，取，则，故存在，使，即在上单调递增，在上单调递减，也即为的极大值点，所以当时，在区间内存在唯一极大值点．。

2019-2020学年淮北一中高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)

2019-2020学年淮北一中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x+1<2}, B={x|x2<9}，则A∩B=()A. (1,3)B. (−∞,l)C. (−3,3)D. (−3,1)2.已知角α的终边经过点P(−8m,−6sin30∘)，且cosα=−45，则m的值为()A. −12B. 12C. −√32D. √323.已知平面向量a⃗=(k,3),b⃗ =(1,4)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数k为()A. −12B. 12C. 43D. 344.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sinA︰sinB︰sinC=6︰5︰4，则sinB=()A. √74B. 34C. 5√716D. 9165.函数f(x)=xsin2x+cosx的大致图象有可能是()A. B.C. D.6.在等差数列{a n}中，已知a3+a6=12，那么它的前8项和等于()A. 12B. 24C. 36D. 487.《莱因德纸草书》(Rℎind papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的13等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为()A. 35B. 32C. 30D. 278. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=1，且a 1，a 2，a 5成等比数列，那么数列{a n }的前10项和S 10等于( )A. 90B. 100C. 10或90D. 10或1009. 已知函数f(x)={(3−a)x −3,(x ≤7)a x−6,(x >7)，若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N +)且对任意的n ∈N ∗都有a n+1>a n ，那么实数a 的取值范围是( )A. [94,3)B. (94,3)C. (2,3)D. (1,3)10. 在△ABC 中，a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边，如果a,b,c 成等差数列，∠B =30∘，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A. 1+√32B. 2+√32C. 1+√3D. 2+√311. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项的和a 1=1，S20172017−S20152015=1，则数列{1S n}的前2017项和为( ) A. 20171009B. 20172018C. 12017D. 1201812. 已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则a b 1+a b 2+...+a b 10=( )A. 1033B. 2057C. 1034D. 2058二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若2a +2−a =43√3，则alog 34=________． 14. 函数f(x)={x 2−1,x ≤0,x −2+lnx,x >0的零点个数为____.15. 若等比数列{a n }(n ∈N ∗)满足a 1+a 3=30，a 2+a 4=10，则a 1⋅a 2⋅...⋅a n 的最大值为___________．16. 为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选点C ，使得塔底A 恰好在点C 的正西方，此时测得塔顶B 点仰角为45°，再由点C 沿北偏东30°方向走30米到达D 点，在D 点测得塔顶B 点仰角为30°，则塔AB 高______ 米．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|x <−3或x >2}，B ={x|−4≤x −2<2}．(1)求A ∩B ，(∁R A)∪(∁R B)；(2)若集合M ={x|2k −1≤x ≤2k +1}是集合A 的真子集，求实数k 的取值范围．18. 已知向量m =(2acos x,sin x)，n =(cos x,bcos x)，函数f(x)=m ·n −√32，函数f(x)在y 轴上的截距为√32，与y 轴最近的最高点的坐标是(π12,1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y =sin x 的图象，求φ的最小值．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A+B)a+b=sinA−sinBa−c，b =3．(Ⅰ)求角B ；(Ⅱ)若cosA =√63，求△ABC 的面积．20.已知等差数列{a n}中，a2=5，前5项和S5=45．(Ⅰ)求{a n}的通项公式．(Ⅱ)若b n=(−1)n a n，求数列{b n}前2n项和T2n．21.在四边形ABCD中，AD//BC，AB=√3，∠A=120°，BD=3．(1)求AD的长；(2)若∠BCD=105°，求四边形ABCD的面积．22.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−1，数列{b n}满足b1=1，(1+log2a n)b n+1=n(b n+2)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集及其运算，同时考查了不等式的求解，属于基础题．解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．解：因为A={x|x+1<2}={x|x<1}，B={x|x2<9}={x|−3<x<3}，所以A∩B=(−3,1)．故选D ．2.答案：B解析：【试题解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．解：由题意可得x=−8m，y=−6sin30°=−3，r=|OP|=√64m2+9，cosα=xr =√64m2+9=−45，解得m=12，故选：B．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k的值．解：∵平面向量a⃗=(k,3)，b⃗ =(1,4)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗·b⃗ =k+12=0，解得k=−12，故选A．4.答案：C解析：由已知利用正弦定理可得a：b：c=6：5：4，不妨取a=6，b=5，c=4，利用余弦定理可求cos B，结合范围B∈(0,π).可求sin B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中应用，考查了转化思想，属于基础题．∵sin A：sin B：sin C=6：5：4，∴a：b：c=6：5：4，不妨取a=6，b=5，c=4，则cos B=36+16−252×6×4=916，又B∈(0,π)．则sin B=√1−cos2B=5√716．故选C．5.答案：A解析：本题考查函数图像，考查正弦、余弦函数的图象与性质，属于中档题．分析函数奇偶性排除D，分析正余弦函数图象的交点与零点个数排除B，C．解：因为f(x)=xsin2x+cosx，所以f(−x)=(−x)sin(−2x)+cos(−x)=xsin2x+cosx=f(x)，故函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，排除D，再由f(x)=x2sinxcos+cosx=cosx(2xsinx+1)=0可得cosx=0，此时x=π2或x=3π2，再由2xsinx+1=0可得sinx=−12x，作出函数y=sinx和y=−12x在(0,2π)内的图像，可得函数有两个不同的交点，故f(x)在(0,2π)内有四个零点，排除B、C；故选A．6.答案：D解析：分析：由题意和等差数列的性质可得a1+a8=a3+a6=12，代入等差数列的求和公式可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．解：∵在等差数列{a n}中a3+a6=12，∴a1+a8=a3+a6=12，∴前8项和S8=8(a1+a8)2=8×122=48故选：D7.答案：C解析：解：由题意可得递增的等差数列{a n}共5项，设公差为d，由题意可得总和S=a1+a2+a3+a4+a5=100，又13(a3+a4+a5)=(a1+a2)，∴a1+a2=2a1+d=25，且a3+a4+a5=3a1+9d=75，联立解得a1=10，d=5，∴最多的一份为a5=a1+4d=30故选：C由题意可得首项和公差的方程组，解方程组再由通项公式可得．本题考查等差数列的通项公式，属基础题．8.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，以及等比中项的性质，属于基础题．设{a n }的公差为d ，且d ≠0，由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d 的值，由等差数列的前n 项和公式求出{a n }的前10项和S 10．解：设等差数列{a n }的公差为d ，且d ≠0， ∵a 1=1且a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22=a 1a 5，即(1+d)2=1×(1+4d)，解得d =2或d =0(舍去)， ∴{a n }的前10项和S 10=10×1+10×92×2=100．故选B ．9.答案：C解析：本题考查了函数的单调性，数列的函数性，结合不等式求解，难度不大，容易出错，根据函数的单调性，结合数列的特殊性，得出{3−a >0a >1a 2>(3−a)×7−3，求解即可即2<a <3.解：已知函数f(x)={(3−a)x −3,x ≤7a x−6,x >7f(8)=a 8−6=a 2，∵若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N +)，且对任意的n ∈N ∗都有a n+1>a n ， ∴数列{a n }是递增数列，∴{3−a >0a >1a 2>(3−a)×7−3即2<a<3，故选C.10.答案：C解析：本题主要考查余弦定理和正弦定理，属于中档题．利用三角形的面积公式可得ac=6，再由a,b,c成等差数列，得a+c=2b，由余弦定理可得b2=a2+ c2−2accosB=(a+c)2−2ac−2accosB即可得到答案．解：利用三角形的面积公式可得12acsinB=32，又因为∠B=30∘，所以ac=6，再由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−2ac−2accosB，又a,b,c成等差数列，所以a+c=2b，ac=6，所以b2=4b2−12−6√3，解得b2=4+2√3=(1+√3)2，所以b=1+√3．故选C．11.答案：A解析：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式以及前n项和公式，用裂项法进行求和，属于中档题．利用等差数列的性质，等差数列的通项公式以及前n项和公式，求得数列用裂项法进行求和{a n}的通项公式、前n项公式，可得数列{1Sn}的通项公式，进而用裂项法求得它的前2017项和．解：S n为等差数列{a n}的前n项的和a1=1，设公差为d，∵S20172017−S20152015=1=2017a1+2017⋅20162d2017−2015a1+2015⋅20142d2015=a1+1008d−(a1+1007d)=d，∴a n=a1+(n−1)d=n，S n=n⋅1+n(n−1)2⋅1=n(n+1)2，∴1S n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则数列{1Sn }的前2017项和为2[1−12+12−13+13−14+⋯+12017−12018)=2(1−12018)=20171009,故选A．12.答案：A解析：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，属于中档题．由已知分别写出等差数列和等比数列的通项公式，利用分组结合法求和．解：由已知得a n =n +1，b n =2n−1，所以a b n =2n−1+1，因此a b 1+a b 2+...+a b 10=(20+1)+(21+1)+...+(29+1)=(20+21+...+29)+10=1−2101−2+10 =1033．故选A ．13.答案：±1解析：本题主要考查了指数对数的运算，属于基础题．解：若2a +2−a =43√3，故2a =√3或2a =√3，所以4a =3或4a =13，所以或，故alog 34=1或alog 34=−1．故答案为±1．14.答案：2解析：本题主要考查求函数的零点的个数，属于基础题．解：令f(x)=0，得①{x ≤0,x 2−1=0,解得x =−1，②{x >0,x −2+lnx =0,在同一个直角坐标系中画出y =2−x ，x >0和y =ln x ，x >0的图像，如图所示：函数y =2−x ，x >0和y =ln x ，x >0的图像在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以f(x)的零点个数为2．故答案为2．15.答案：729解析：本题考查等比数列的性质和通项公式，属中档题．利用通项公式将式子化简，得公比q ，进而得a 1=27，然后代值计算，由二次函数的性质可得当n =3或n =4时，取最大值．解：因为a 1+a 3=30，a 2+a 4=10，所以公比q =a 2+a 4a 1+a 3=13，所以a 1+a 1×19=30，解得a 1=27，a 1a 2a 3…a n =27n (13)1+2+⋯+(n−1) =33n ⋅3−n(n−1)2=33n−n(n−1)2=3−n 2+7n 2，所以当n =3或n =4时，取最大值729．故答案为729．16.答案：30解析：解：设AB =ℎ，则AC =AB =ℎ，AD =√3AB =√3ℎ，在△ACD 中，AC sin∠ADC =AD sin∠ACD ，即ℎsin∠ADC =√3ℎsin120∘，得sin∠ADC =12，所以∠ADC=30°，所以∠DAC=180°−120°−∠ADC=30°=∠ADC，所以AC=CD=30，所以AB=AC=ℎ=30米．故答案为：30．设AB=ℎ，则AC=AB=ℎ，AD=√3AB=√3ℎ，在△ACD中，利用正弦定理求出∠ADC=30°，然后求解h即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力．17.答案：解：(1)∵B={x|−4≤x−2<2}={x|−2≤x<4}，且A={x|x<−3或x>2}，∴A∩B={x|2<x<4}，即(∁R A)∪(∁R B)={x|−3⩽x⩽2}∪{x|x<−2或x⩾4}={x|x⩽2或x⩾4}．(2)若M=⌀，则2k−1>2k+1，不存在这样的实数k；若M≠⌀，则2k+1<−3或2k−1>2，解得k<−2或k>32.则实数k的取值范围是{k|k<−2或k>32}．解析：【试题解析】本题考查描述法的定义，以及交集、并集和补集的运算，真子集的定义，属基础题．(1)可求出集合B，然后进行交集、并集和补集的运算即可；(2)根据M⫋A，即可得出2k−1>2，或2k+1<−3，解出k的范围即可．18.答案：解：(1)f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−√32=2acos2x+bsinxcosx−√32，由f(0)=2a−√32=√32，得a=√32，故f(x)=√3cos2x+bsinxcosx−√32=√32cos2x+b2sin2x，由f(x)≤√34+b24=1，得b=1或b=−1，当b=1时，f(x)=sin(2x+π3)，经检验(π12,1)为最高点；当b=−1时，f(x)=sin(2x+2π3)，经检验(π12,1)不是最高点，故舍去．故函数的解析式为f(x)=sin(2x+π3)；(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin(2x+2φ+π3)的图象；横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数y=sin(x+2φ+π3)的图象，∴2φ+π3=2kπ(k∈Z)，φ=−π6+kπ(k∈Z)，因为φ>0，所以φ的最小值为5π6．解析：本题考查向量的数量积公式，正弦函数的最值，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)利用两个向量的数量积公式，正弦函数的最值，结合已知条件求得a、b的值，可得函数的解析式；(2)根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得φ的最小值．19.答案：解：(Ⅰ)因为A+B+C=π，所以A+B=π−C，所以sin(A+B)=sinC，由正弦定理得：ca+b =a−ba−c，整理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12.又B∈(0,π)，所以B=π3．(Ⅱ)因为cosA=√63，且A∈(0,π)，所以sinA=√1−cos2A=√33，由正弦定理可得：√33=√32，解得a=2.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×12+√63×√32=√3+3√26.所以△ABC的面积S=12 absinC=12×2×3×√3+3√26=√3+3√22．解析：本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由三角形内角和定理和诱导公式，正弦定理化简已知等式得a2+c2−b2=ac，由余弦定理求出cos B的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值；(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可得a的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．20.答案：解：(Ⅰ)等差数列{a n}的公差设为d，a2=5，前5项和S5=45，可得a1+d=5，5a1+10d=45，解得a1=1，d=4，则a n=1+4(n−1)=4n−3；(Ⅱ)b n=(−1)n a n=(−1)n(4n−3)，可得前2n项和T2n=(−1+5)+(−9+13)+⋯+[−4(2n−1)+3+8n−3]=4+4+⋯+4=4n．解析：(Ⅰ)等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得b n=(−1)n a n=(−1)n(4n−3)，运用并项求和，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的并项求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．21.答案：解：(1)∵在四边形ABCD中，AD//BC，AB=√3，∠A=120°，BD=3．∴由余弦定理得：cos120°=22×√3×AD，解得AD=√3(舍去AD=−2√3)，∴AD的长为√3．(2)∵AD//BC，AB=√3，∠A=120°，BD=3，AD=√3，∠BCD=105°，∴∠DBC=30°，∠BDC=45°，∴BCsin45∘=DCsin30∘=3sin105∘，解得BC=3√3−3，DC=3√6−3√22，如图，过A作AE⊥BD，交BD于E，过C作CF⊥BD，交BD于F，则AE=12AB=√32，CF=12BC=3√3−32，∴四边形ABCD的面积：S=S△ABD+S△BDC=12×BD×(AE+CF)=12×3×(√32+3√3−32)=12√3−94．解析：(1)由余弦定理得能求出AD的长．(2)由正弦定理得BCsin45∘=DCsin30∘=3sin105∘，从而BC=3√3−3，DC=3√6−3√22，过A作AE⊥BD，交BD于E，过C作CF⊥BD，交BD于F，则AE=12AB=√32，CF=12BC=3√3−32，四边形ABCD的面积：S=S△ABD+S△BDC=12×BD×(AE+CF)，由此能求出结果．本题考查三角形的边长的求法，考查四边形的面积的求法，考查余弦定理、正弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22.答案：解：(1)当n=1时，a1=S1=1．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−2n−1+1=2n−1，当n=1时也适合，故a n=2n−1，所以1+log2a n=n，故nb n+1=n(b n+2)，则b n+1−b n=2，所以b n=1+2(n−1)=2n−1．(2)a n b n=(2n−1)⋅2n−1．T n=1+3⋅2+5⋅22+⋯+(2n−1)⋅2n−1，①2T n=2+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n，②由①−②得：−T n=1+2(2+22+⋯+2n−1)−(2n−1)⋅2n=1+2(2n−2)−(2n−1)⋅2n，则T n=(2n−3)⋅2n+3．解析：本题考查了数列的求和、“错位相减”法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)分n=1和n≥2两种情况，根据数列的通项公式的定义求得a n=2n−1，然后代入已知条件推知{b n}的通项公式；(2)利用错位相减法求得T n．。

淮北一中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案

数是
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
2.已知全集U 1, 2,3, 4,5 ，集合 A 1,3, 4 ，集合 B 2, 4 ，则 CU A B ( )
A. 2, 4,5
B. 1,3, 4
C. 1, 2, 4
D. 2,3, 4,5
3.下列命题中，真命题是（） A.x R, x2 0
B.x R,2x x2 C.a b 0 的充要条件是 a 1
17.（10 分）已知全集U R, 集合 A x 3 x 2, B x1 x 6,C x a 1 x 2a 1.
（1）求 A CU B;
（2）若 C A B, 求实数 a 的取值范围.
18.（12 分）（1）已知 x 5 , 求代数式 4x 2 1 的最大值.
4
4x 5
10.对于任意的实数 x, 关于 x 的不等式 a 2x2 2a 2x 4 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
（） A.a 2
B.a 2
11.对于实数 a,b, c, 有下列结论：
C. 2 a 2
D. 2 a 2
（1）若 a b, 则 ac bc;
（2）若 ac2 bc2 , 则 a b;
B. 6
C. 3
D. 2
第一次月考第 2 页数学试题
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.若 a 0,b 0 且 a b ab 3 0 ，则 ab 的最大值为
.
14.已知 x, y, z 为非零实数，代数式 x y z xyz 的值所组成的集合是 M , M 中元素个数 x y z xyz
21.（12 分）已知集合 A x x2 3x 2 0 , B x x2 ax a 1 0 ,C x x2 bx 2 0 ，问是

2020年安徽省淮北市名校联考中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年安徽省淮北市名校联考中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如果一个数的立方也是这个数的平方，那么这个数一定是()A. 1或−1B. 0或1C. 1D. 02.下列运算正确的是()A. a2⋅a4=a8B. a6÷a3=a2C. (ab)2=a2b2D. (a4)2=a63.如图，三视图所对应的几何体是()A. B.C. D.4.百合花的花粉的直径约0.000000087米，这里0.000000087用科学记数法表示为()A. 8.7×10−7B. 8.7×10−8C. 8.7×10−9D. 0.87×10−85.化简(xx−1−2x+2x2−1)÷x−2x2−x的结果是()A. xB. 1x C. x+1x−1D. x−1x+16.下列因式分解正确的个数为()(1)5y3+20y2=5y(y2+4y)；(2)a2b−2ab2+ab=ab(a−2b)；(3)−a2+3ab−2ac=−a(a+3b−2c)；(4)−2x2−12xy2+8xy3=−2x(x+6y2−4y3).A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知数据x1，x2，…，x n的平均数是2，方差是3，则4x1−2，4x2−2，…，4x n−2的平均数和方差分别为()A. 2，3B. 6，12C. 6，48D. 2，128.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数表达式是()A. y=a(1+x)2B. y=a(1−x)2C. y=(1−x)2+aD. y=x2+a9.如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，将矩形ABCD沿EF折叠，使A、D分别落在A′和D′处，若∠1=50°，则∠2的度数是()A. 65°B. 60°C. 50°D. 40°10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点C出发，沿折线CA→AB以3cm/s的速度匀速运动，动点Q从C出发沿CB以1cm/s的速度匀速运动，若动点P、Q同时从点C出发任意一点到达B点时两点都停止运动，则这一过程中，△PCQ的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的关系大致图象是()A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.计算√3×√6−√8的结果是．12.已知代数式x+3y的值是2，则代数式2x+6y+1值是_______________．13.如图，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，若∠D=30°，OA=2，则CD=______．14.如图，一次函数y=−23x+43的图象与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点A，与x轴交于点B，△AOB的面积为2，则k的值等于．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.解不等式组：{3x+1≤43−12x<4，并将解集表示在数轴上．16.解方程：(x+2)(x+3)=2x+1617.观察下列关于自然数的等式：①42−9×12=7②72−9×22=13③102−9×32=19……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第五个等式：162−9×__=__；(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示)，并验证其正确性．18.在网格图中，作出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的△A′B′C′．19.如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口100海里处．甲船从A出发，沿AP方向以10海里/小时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿北偏东30°方向，以20海里/小时的速度驶离港口．现两船同时出发，出发后几小时乙船在甲船的正北方向？(结果精确到0.1小时)(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)20.如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AN是过点A的任一直线，BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E.求证：BD−CE=DE．21.分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示).欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．22.已知抛物线y=ax2与直线y=3x−11都经过点P(1,b)．(1)求a、b的值;(2)指出该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)当x在什么范围内时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大?23.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED//AC(∠ADE<90°)，连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q．(1)求AO的长；(2)求PQ的长；(3)设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM−MQ|的值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：一个数的立方也是这个数的平方，那么这个数一定是0或1．故选B．根据乘方的意义可知一个数的立方也是这个数的平方，那么这个数一定是0或1．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；−1的奇数次幂是−1，−1的偶数次幂是1．2.答案：C解析：解：A、原式=a6，不符合题意；B、原式=a3，不符合题意；C、原式=a2b2，符合题意；D、原式=a8，不符合题意，故选：C．根据整式的运算法则各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.答案：D解析：本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题．由三视图可得此几何体为一个大长方体和一个小正方体．解：∵主视图和左视图是一个长方形和正方形，∴此几何体为一个大长方体和一个小正方体，∵俯视图是一个正方形中有一个小正方形，∴此几何体为，故选：D．4.答案：B解析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000000087用科学记数法表示为8.7×10−8．故选：B．5.答案：A解析：解：原式=x(x+1)−2(x+1)(x+1)(x−1)⋅x(x−1)x−2=(x+1)(x−2)(x+1)(x−1)⋅x(x−1)x−2=x故选A据分式的混合运算的顺序和法则进行计算，最后约分即可．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.答案：A解析：本题考查的是多项式的因式分解，解题的关键是找出多项式的公因式，本题的易错点是提取负数后，余下因式的各项都要改变符号．(1)5y3+20y2=5y2(y+4)，故此项错误；(2)a2b−2ab2+ab=ab(a−2b+1)，故此项错误；(3)−a2+3ab−2ac=−a(a−3b+2c)，故此项错误；(4)−2x2−12xy2+8xy3=−2x(x+6y2−4y3)，故此项正确．故选A．7.答案：C解析：本题考查了方差和平均数，灵活利用两个公式，进行准确计算是解答的关键．根据平均数和方差公式直接计算即可求得．解：∵x −=1n (x 1+x 2+x 3+⋯+x n )=2，∴4x 1−2，4x 2−2，…，4x n −2的平均数=4×2−2=6，S 2=1n [(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2+⋯+(x n −2)2]=3， 4x 1−2，4x 2−2，…，4x n −2的方差=3×42=48．故选：C ．8.答案：A解析：本题主要考查增长率问题，根据实际问题列二次函数关系式．根据题意列出式子即可．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月投放单车a(1+x)2辆，则y =a(1+x)2．故选A ．9.答案：A解析：解：由折叠的性质得，∠AEF =∠A′EF ，∵∠1=50°，∴∠AEF =∠A′EF =180°−∠12=65°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB//CD ，∴∠2=∠AEF =65°，故选：A ．由折叠的性质得到∠AEF =∠A′EF =65°，根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了翻折变换−折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10.答案：B解析：解：AB=5，BC=3，则AC=4，AC+AB=9，当点P在AC段时，S=12×PC×CQ=12×3t×t=32t2，为开口向上的抛物线，当点P在AB段时，过点P作PH⊥BC于点H，S=12×CQ×PH=12t×(9−3t)sinB=25(−3t2+9t)，为开口向下的抛物线，故选：B．当点P在AC段时，S=12×PC×CQ=12×3t×t=32t2，当点P在AB段时，S=12×CQ×PH=1 2t×(9−3t)sinB=25(−3t2+9t)，即可求解．本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、解直角三角形，本题的关键是，确定点P在不同时间段对应的函数表达式，进而解答．11.答案：√2解析：本题考查二次根式的混合运算，原式第一项利用二次根式的乘法法则化简，将两项化为最简二次公式后，合并同类二次根式即可得到结果．解：原式=√18−√8=3√2−2√2=√2．故答案为：√2．12.答案：5解析：【试题解析】本题考查利用整体代入法求解代数式的值.将2x+6y+1变形为2(x+3y)+1，把x+3y的值代入即可求解．解：∵2x+6y+1=2(x+3y)+1，又x+3y=2，∴2x+6y+1=2(x+3y)+1，=2×2+1，=5．故答案为5．13.答案：2√3解析：解：连接CO，∵DC与⊙O相切于点C，∴∠OCD=90°，∵∠D=30°，OA=CO=2，∴DO=4，∴CD=√42−22=2√3．故答案为：2√3．直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而勾股定理得出DC的长．此题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确得出DO的长是解题关键．14.答案：−2解析：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由一次函数的解析式易求点B的坐标，则OB 的长可求出，再由△AOB的面积为2，可求出△AOB边OB上的高，即点A纵坐标，进而可求出点A 的横坐标，根据反比例函数可求出k的值；解：∵一次函数y=−23x+43的图象与x轴交于点B，令y=0，则x=2，∴点B的坐标为(2,0)，∵△AOB的面积为2，∴△AOB边OB上的高为2，∴点A纵坐标为2，∵一次函数y=−23x+43的图象与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点A，∴点A的横坐标为−1，∴k=2×(−1)=−2，故答案为：−2．15.答案：解：解不等式3x+1≤4，得：x≤1，解不等式3−12x<4，得：x>−2，所以不等式组的解集为−2<x≤1，将解集表示在数轴上如下：解析：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．16.答案：解：(x+2)(x+3)=2x+16，x2+5x+6=2x+16，x2+3x−10=0，(x−2)(x+5)=0，解得x1=2，x2=−5．解析：先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解．考查了因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．17.答案：(1)52，31(2)解：由(1)可得第n个等式为(3n+1)2−9×n2=6n+1，验证如下：∵左边=9n2+6n+1−9n2=6n+1，∴左边=右边，∴等式成立．解析：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．(1)由①②③三个等式可得，被减数是从4开始依次增加3的数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的9倍，计算的结果是从1开始连续的自然数的6倍多1，由此规律得出第四个等式即可；(2)由(1)中三个等式即可得到第n个等式，然后计算等式左边，可得左边=右边，进行证明即可．解：(1)①∵42−9×12=7，②72 −9×22=13，③102−9×32=19，……，∴第五个等式为：162−9×52=31，故答案为52，31(2)(3n+1)2−9n2=6n+1∵左边=(3n+1)2−9n2=9n2+6n+1−9n2=6n+1右边=6n+1∴左边=右边∴(3n+1)2−9n2=6n+118.答案：解：如图，△A′B′C′即为所求．解析：根据图形旋转的性质画出△A′B′C′即可．本题考查的是作图及旋转变换，熟知图形旋转性质是解答此题的关键．19.答案：解：设出发后x小时乙船在甲船的正北方向．此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处．连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E.则点E在点P的正东方向．在Rt△CEP中，∠CPE=45°，∴PE=PC⋅cos45°，在Rt△PED中，∠EPD=60°，∴PE=PD⋅cos60°，∴PC⋅cos45°=PD⋅cos60°，∴(100−10x)⋅cos45°=20x⋅cos60°．解这个方程，得x≈4.1，答：出发后约4.1小时乙船在甲船的正北方向．解析：根据题意画出图形，过点P作PE⊥CD，根据余弦的定义分别表示出PE，列出方程，解方程即可．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、灵活运用锐角三角函数的概念是解题的关键．20.答案：证明：∵CE⊥AN，BD⊥AN，∴∠AEC=∠BDA=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中{∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD=CE，BD=AE，∴BD−CE=AE−AD=DE．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质有关知识，先根据垂直的定义得到∠AEC=∠BDA=90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD−CE=AE−AD=DE．21.答案：解：根据题意画图如下：(1)共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是612=12；(2)由(1)得乐乐胜的概率为1−12=12，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．解析：本题考查用列举法求概率(树状图法)，游戏公平性．(1)列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为奇数的情况占总情况的多少即可求得欢欢胜的概率；(2)由(1)进而求得乐乐胜的概率，比较两个概率即可．22.答案：解：(1)∵直线y=3x−11经过P(1,b)．∴b=3−11=−8，即点P(1,−8)，∵抛物线y=ax2经过点(1,−8)，∴a=−8；(2)∵a=−8，∴抛物线为y=−8x2，∴抛物线的顶点为(0,0)，对称轴是y轴；(3)∵a=−8<0，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∴x<0时，二次函数y=ax2中y随x的增大而增大．解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．(1)把(1,b)代入y=3x−11求得b=−8，再代入y=ax2即可求得a；(2)根据解析式y=−8x2即可求得顶点坐标和对称轴；(3)根据二次函数y=ax2的性质求得即可．23.答案：解：(1)如图1中，∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACO，∴ABAC =ACAO，∵AB=√AC2+BC2=√52+122=13，∴OA=AC2AB =2513．(2)如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，则PF//ED，FQ//BC，PF⊥FQ，且PF=12ED=1，FQ=12BC=6，在Rt△PFQ中，PQ=√PF2+FQ2=√12+62=√37．(3)如图3中，取AD中点G，连接GQ，∴GQ=52；∵GQ//AC，ED//AC，PF//ED，∴PF//GQ，∴△PMF∽△QMG，∴PMQM =PFQG=25，∵PM+QM=√37，∴PM=2√377，MQ=5√377，∴|PM−QM|=3√377．解析：本题考查三角形相似综合题、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形以及相似三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)由△ABC∽△ACO，得ABAC =ACAO，由此即可求出OA．(2)如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF即可解决问题．(3)如图3中，取AD中点G，连接GQ，由PF//GQ，推出△PMF∽△QMG，推出PMQM =PFQG=25，由PM+QM=√37，可以求出PM，QM，即可解决问题．。

2020届安徽省淮北市高三第一次模拟数学(理)试题(含答案解析)

2020届安徽省淮北市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，()(){}|120,B x x x x Z =+-<∈，则A B =I （） A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0,1,2,3D ．{}1,0,1,2,3- 【答案】A【解析】先求出集合B ，即可得到A B I .【详解】因集合()(){}{}{}|120,|12,0,1B x x x x Z x x x Z =+-<∈=-<<∈=，所以{}1A B ⋂=.故选：A.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，属于基础题．2．已知复数122i ω=+，i 为虚数单位，则2ω的实部为（）A ．1B ．12C ．D ．12- 【答案】D【解析】根据完全平方和公式和复数的乘方运算法则进行运算化简复数2ω的表示，再根据复数的实部定义求解即可.【详解】因为22221111)()2()22222222(i i ω+==-=+⨯⨯++，所以2ω的实部为12-. 故选：D【点睛】本题考查了复数的乘方运算，考查了复数的实部定义，考查了数学运算能力.3．已知锐角α满足sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2α=（）A ．B ．-C ．D【答案】B【解析】根据正弦的诱导公式化简等式，再利用同角的三角函数关系式，求出tan α的值，最后利用二倍角的正切公式求值即可.【详解】 33sin cos 2παα⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，因为α是锐角，所以有 226sin 2tan sin 1cos tan 2tan 222cos 1tan αααααααα=-=⇒==⇒==--. 故选：B【点睛】本题考查了正弦诱导公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的正切公式. 4．国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（）A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐【答案】D【解析】根据茎叶图所反映出数据的分布情况进行判断即可.【详解】通过茎叶图数据可知：甲品种的平均高度为：1192021232529373332312710x +++++++++==；乙品种的平均高度为：2101410262730444646473010x +++++++++==，所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但是乙品种的10株高度在分散，没有甲品种10株的高度集中，都集中在25左右，故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐.故选：D【点睛】本题考查了通过茎叶图比较平均数和方差的大小，属于基础题.5．已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <≤”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据直线与圆的位置关系，结合充分性和必要性的定义进行求解即可.【详解】因为C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”，所以有13r <<.因此由“13r <≤”不一定能推出 “C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”，但是由“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”一定能推出13r <≤成立，故“13r <≤”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的必要不充分条件.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了直线与圆的位置关系的应用.6．若函数()(1)(0x x f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像.【详解】∵函数()(1)x x f x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2，经检验k =2满足题意，又函数为减函数，所以01a <<，所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减，故选A .【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF △周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（） A ．2B ．43C ．32D ．52【答案】B 【解析】根据双曲线的定义，利用两点间线段最短，结合已知直接求解即可.【详解】设双曲线的左焦点坐标为1(4,0)F ，因此有15QF QF ==由双曲线的定义可知： 1122PF PF a PF PF a -=⇒=+，所以PQF △周长为125PQ PF FQ PF a PQ ++=+++，当P 在线段1F Q 上时， 1PF PQ +有最小值，最小值为5，因此有255163a a ++=⇒=，所以离心率为： 43e =. 故选：B【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力.8．已知12a =，52logb =7log 3c =，则（） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】A【解析】运用对数的运算性质化简,a b ，最后利用对数的单调性、做差比较法、放缩法进行比较大小即可.【详解】513log 32a ==，552log log 2b ==，因为5log y x =是定义域内的单调递增函数，32>，所以有a b >.57lg 3lg 3lg 3(lg 7lg 5)log 3log 30lg 5lg 7lg 5lg 7a c a c --=-=-=>⇒>.因为55512log log 2log 2b ==<=，771log 3log 2c =>=，所以c b >，因此有a c b >>.故选：A【点睛】本题考查了对数式的比较，考查了对数的运算，考查了对数函数的单调性，考查了放缩法.9．函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到ln ()ln ()y g x f x =⋅，然后两边同时求导得()()ln ()()()y f x g x f x g x y f x '''=+，于是()()[()]()ln ()()()g x f x y f x g x f x g x f x '''⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为（）A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞【答案】C【解析】根据题中所给的方法进行求导，然后求出单调递减区间即可.【详解】 1''2'1ln ln )[1111ln(1)(1)ln(1)(ln(1)]11(1)x x y x x x y x x y x y y +-+=++⇒+⇒⋅=+=+=+⇒，于是有：12'1[1ln(1)](1)x y x x -+=-+⋅+，当'0y <时，有1ln(1)01x x e -+<⇒>-. 故选：C【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了数学阅读能力，考查了导数的运算，考查了数学运算能力.10．淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（）（同一半天如果有两科考试不计顺序）A ．648B ．1728C ．864D ．324【答案】C【解析】根据语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，和每个半天考一科或两科，可以这样考虑，再从剩下的三科中选出一科，和这三科进行全排列，而后再安排最后剩下的二科即可.【详解】根据题意可以这样按步进行：第一步，从剩下的三科中选一科和语文、数学、物理进行全排列的不同种数有：143472C A ⋅=，第二步，考虑最后剩下的两科的方案，根据题意可知：剩下的两科中第一科有4个选择的方式，而最后一科有3种选择方式，共有4312⨯=，因此一共有7212864⨯=种方案.故选：C【点睛】本题考查了排列应用，考查了分步计算原理的应用，考查了数学运算能力.11．已知等差数列{}n a 满足225910a a +≤，则12345a a a a a ++++的最大值为（）A ．B ．20C ．25D ．100【答案】C 【解析】根据225910a a +≤的形式，可以利用三角代换的方法，令59,([0,2))a a αααπ=∈，利用等差数列的性质求出公差，用等差数列下标的性质化简12345a a a a a ++++，最后利用辅助角求出最大值即可.【详解】因为225910a a +≤，所以令59,([0,2))a a αααπ=∈，因此公差cos )d αα=-，123453555(2)a a a a a a a d ++++==-，因此有55(2)cos )]25cos()2a d ααααθ-=--=+，其中 1tan 3θ=，因为25cos()25αθ+≤，所以12345a a a a a ++++的最大值为25. 故选：C【点睛】本题考查了等差数列的下标性质，考查了等差数列的通项公式，考查了三角代换，考查了辅助角公式.二、多选题12．关于函数22()cos sin 1f x x x =-+，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值 B ．函数()f x 以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D ．将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+【答案】AB【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质和绝对值的性质逐一判断即可.【详解】22()cos sin 1cos 21f x x x x =-+=+.A ：()cos2()1cos21()f x x x f x ππ+=++=+=，所以函数()f x 的周期为π. 当()2k x k Z π=∈时，()cos 21cos 1222k k f k πππ=+=+=，所以函数()f x 在()2k x k Z π=∈处取得最大值，故本选项是正确的； B ：()cos 2()1cos 21()22f x x x f x ππ+=++=+=，所以函数()f x 的周期为2π.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos21cos21f x x x =+=-+，故函数是单调递增函数，因此本选项是正确的；C ：()cos[2()]1cos2+1=()f x x x f x -=-+=，所以函数是偶函数，由上分析，函数在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减是不正确的，故本选项是错误的； D ：将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos[2(1)]|1cos(22)1g x x x =-+=-+，故本选项是错误,故选：AB【点睛】本题考查了余弦型函数的性质，考查了二倍角的余弦公式，考查了绝对值的性质，考查了余弦的诱导公式.三、填空题13．在边长为2的正ABC V 中，D 为BC 中点，则AB AD ⋅=u u u r u u u r ______.【答案】3【解析】根据正三角形的性质可以求出DA 的长以及DAB ∠的值，最后利用数量积的定义直接求解即可.【详解】因为D 为BC 中点，ABC V 是正三角形，所以DA 是三角形的高线、角平分线、中线，所以1,30BD BAD ︒=∠=，在直角三角形BAD 中，DA ==所以有 cos 3AB AD AB AD BAD ⋅=⋅⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r .故答案为：3【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义，考查了正三角形的性质，考查了数学运算能力. 14．从抛物线24y x =图象上一点A 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，且||5AB =，设F 为抛物线的焦点，则ABF V 的面积为_______.【答案】10【解析】设出点A 的坐标，利用抛物线的定义结合已知可以求出点A 的坐标，最后求出面积即可.【详解】设点A 的坐标00(,)x y ，焦点的坐标为(1,0)，00||5154AB x x =⇒+=⇒=，所以04y =，ABF V 的面积为154102⨯⨯=. 故答案为：10【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力属于基础题.15．设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+≤=⎨>⎩，则满足()23(2)f x f x -≤-的x 取值范围是______.【答案】(,[1,)-∞⋃+∞【解析】先判断函数的单调性和值域，再分类讨论求出不等式的解集.【详解】当0x ≤时，1()2019()2019x x f x e e-=+=+，因此函数是单调递减函数，因此有01()(0)()20192020f x f e≥=+=. 当()23(2)f x f x -≤-时，则有222030(1)32x x x x -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩或220(2)30x x -≤⎧⎨->⎩或220(3)30x x -≥⎧⎨-≥⎩ 解（1）得：1x ≤≤2）得：x >3）得：x ≤综上所述：()23(2)f x f x -≤-的x取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞.故答案为：(,[1,)-∞⋃+∞【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法，考查了数学运算能力.16．已知直线m 与球O 有且只有一个公共点．．．．．．．，从直线m 出发的两个半平面αβ、截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于______. 【答案】1123π 【解析】设直线m 与球O 的公共点为P ，过P 与O 作直线直线m 的垂面如图所示，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球半径的平方，最后利用球的表面积公式求解即可.【详解】设直线m 与球O 的公共点为P ，过P 与O 作直线直线m 的垂面如图所示，设球的半径为r ，,OE QP OF PM ⊥⊥，垂足为,E F ，则有1,2EP PF ==，设2,3OPE OPE απα∠=∴∠=-，所以有cos 1sin 33cos 22cos()3r r αααπα⋅=⇒=⋅-，而22sin cos 1αα+=，所以21cos 28α=，所以2283r =，因此球O 的表面积等于：211243r ππ=. 故答案为：1123π 【点睛】本题考查了二面角的有关知识，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力.四、解答题17．已知ABC V 的面积为S ，且AB AC S ⋅=u u u r u u u r. （1）求22sin cos 5222A A A -的值；（2）若角,,A B C 成等差数列，||4CB CA -=u u u r u u r 求ABC V 的面积S . 【答案】（1）5-（2）32348【解析】（1）根据三角形面积公式、平面向量数量积定义，可以得到tan A 的值，再根据同角的三角函数关系求出sin ,cos A A 的值，最后运用二倍角的余弦公式和正弦公式计算求值即可；（2）根据等差中项的定义，结合三角形内角和定理可以求出B 的值，结合（1），利用两角和的正弦公式可以求出sin C 的值，根据平面向量减法的运算法则和正弦定理可以求出b ，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】解：（1）设ABC V 中、、A B C 的对边分别为a b c 、、， ∵AB AC S ⋅=u u u r u u u r及1sin 2S bc A =∴22sin tan 22sin cos 1cos A A A A A=⇒=+=Q ，∴25sin A =，5cos A =. 22sin cos 5sin 2cos 25sin cos 522A AA A A A --=--=- （2）∵2B AC =+，A B C π++=， ∴3B π=，从而有2515sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B +=+=+=∵||4CB CA c -==u u u r u u r∴由正弦定理sin sin c bC B=得815125b =- 所以1sin 323482S bc A ==- 【点睛】本题考查了三角形面积公式、正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.18．在直角梯形ABCD （如图1），90ABC ︒∠=，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点.将ABC V 沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD -（如图2）.（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】（1）通过计算结合勾股定理的逆定理可以证明CD AC ⊥，再根据面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）法一、取AC 的中点O 连接OB ，根据B ACM A BCM V V --=，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；法二、取AC 的中点O 连接OB ，由题设可知ABC V 为等腰直角三角形，所以OB ⊥面ACM ，连接OM ，因为M O 、分别为AB 和AC 的中点，所以//OM CD ，由（1）可知OM AC ⊥，故以OM OC OB 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.运用向量法求解即可. 【详解】解：（1）由题设可知42AC =，42CD =，8AD = ∴222AD CD AC =+∴CD AC ⊥又∵平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC I 平面ACD AC = ∴CD ⊥面ABC . （2）法一、等体积法取AC 的中点O 连接OB ，由题设可知ABC V 为等腰直角三角形，所以OB ⊥面ACM ∵B ACM A BCM V V --=且116233B ACM ACM V S BO -=⋅=而43BCM S ∆=∴A 到面BCM 的距离463h =，所以6sin h AB θ==.法二、向量法取AC 的中点O 连接OB ，由题设可知ABC V 为等腰直角三角形，所以OB ⊥面ACM ，连接OM ，因为M O 、分别为AB 和AC 的中点，所以//OM CD ，由（1）可知OM AC ⊥，故以OM OC OB 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.则(0,A -，B ，(0,C ，M∴(0,CB =-u u u r CM =-u u u u r (0,BA =--u u u r∴面BCM 的一个法向量(1,1,1)n =r∴||sin 3||||BA n BA n θ⋅==u u u r r u u u r r【点睛】本题考查了利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，考查了点到面距离的求法. 19．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m …对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值.【答案】（1）()*2n a n n N=∈，12n nb-=（*n N ∈）；（2）83【解析】（1）利用当2n ≥时1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式，结合等差中项的定义，利用已知34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项，求出4b 的值，进而求出等比数列的公比，最后求出等比数列的通项公式；（2）利用裂项相消法和等比数列前n 项和求出n T 的表达式，最后数列的单调性求出实数m 的最大值. 【详解】解:（1）1n =时，112a S ==，当2n ≥时12n n n a S S n -=-=12a =也符合上式，所以()*2n a n n N =∈，又34528b b b ++=和()43522b b b +=+，得48b =，2q =或12q =.∵1q >∴2q =. ∴12n nb -=，*n N ∈（2）∵1122111112214122121n n n n n c b a n n n --⎛⎫=+=+=+- ⎪---+⎝⎭∴12111111111(1)2)212233521211(12121422n n n n T n n n n -+--=+-+-++-==----+++L而n T 随着n 的增大而增大，所以18223n T T ≥= 故有m 最大值为83.【点睛】本题考查了已知数列n S 求通项公式，考查了等差中项的定义，考查了等比数列通项公式和前n 项和和裂项相消法，考查了数学运算能力.20．有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a b c 、、表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ…则为一级；若23λ剟则为二级；若01λ剟则为三级.f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）50个；（2）分布列见解析；47【解析】（1）计算12个石榴种植园的综合指标，可得数表，然后计算求值即可；（2）由题意ξ可以取0、1、2，求出相应的概率，列出分布列、计算数学期望即可. 【详解】解：（1）计算12个石榴种植园的综合指标，可得下表由上表可知等级为一级的有5个，所以等级为一等的频率为512，所以120个石榴种植园中一级种植园约有50个；（2）由题意ξ可以取0、1、2，其中02252710(0)21C C p C ξ===，11252710(1)21C C p C ξ===，2025271(2)21C C p C ξ=== ∴ξ的分布列为故1010140122121217()E ξ=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列，考查了计算数学期望，考查了数学运算能力.21．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2.（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）221332x y +=；（2）4 【解析】（1）把点的坐标代入椭圆方程中，再根据离心率，建立方程组，求解方程组即可；（2）当OA 与x 轴或y 轴重合时，利用菱形面积计算求解即可；当直线OA 存在斜率且不为零时，设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，最后利用菱形的面积公式求出表达式，结合基本不等式进行求解即可，最后求出菱形面积最小值. 【详解】解：（1）由题意得2211122a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又222a b c =+解得23a =，232b =. 所以Γ的方程为221332x y += （2）①当OA 与x 轴或y 轴重合时，可求菱形ABCD 的面积为1236322⨯= ②当OA 为(0)y kx k =≠时，BD 为1=-y x k ，由222133x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得()221230kx+-=，所以由弦长公式得2222121||1231212k AC kk k+=+=++同理可得||BD=所以菱形ABCD的面积为1||2S AC BD ==‖0)k==≠∵22441018kk++≥∴4S≥，当且仅当1k=±时取等号.∵4<ABCD菱形面积的最小值为4. （说明：本题也可三角换元法或求导法求最小值）【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查了利用椭圆弦长公式求菱形面积最小值问题，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.22．已知函数()sin ln(1)f x x a x=-+，a R∈，()f x'是()f x的导函数.（1）若2a=，求()f x在0x=处的切线方程；（2）若()f x在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可上单调递增，求a的取值范围；（3）求证：当2012aπ⎛⎫<<+⎪⎝⎭时()f x'在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在唯一极大值点.【答案】（1）0y x+=；（2）0a≤；（3）证明见解析【解析】（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；（2）求函数进行求导，让导函数大于或等于零，进行常变量分离，构造新函数，然后利用导数求出新构造函数单调性，最后求出a的取值范围；（3）对()f x'再求导，求出该函数的单调性，进而证明函数有唯一极大值点即可. 【详解】解：（1）∵2()cos1f x xx'=-+，(0)1f'∴=-，又(0)0f=∴()f x在0x=处的切线方程为0y x+=；（2）∵()cos 01af x x x '=-≥+∴(1)cos a x x ≤+ 令()(1)cos h x x x =+，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos (1)sin h x x x x '=-+∵cos 2x ≤，(1)sin 1242x x π⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭，∴()0h x '<， ∴()h x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()02h x h π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，0a ≤（3）∵()cos 1af x x x '=-+ ∴令()cos 1ag x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ∴2()sin (1)ag x x x '=-++，显得()g x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而2012a π⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭ 得210212a g ππ'⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，取01x =-，则()0002sin 4sin 3011a g x x x '=-+=-≥>⎛⎫+- ⎪⎝⎭故存在1,2m π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使()0g m '=即()g x 在(1,)x m ∈-上单调递增，在,2x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减也即m 为()g x 的极大值点所以当2012a π⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭时，()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在唯一极大值点. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了数学运算能力.。

【全国百强校】安徽省淮北市第一中学人教版高中数学必修一测试试题

综上所述，g（a）=．
故答案为：．
化为分段函数，根据二次函数的性质，讨论求出函数的最大值．
本题考查二次函数的性质，涉及函数的单调性和最值的问题，属中档题．
17.【答案】解：（1）∵x+x-1=3．
∴x2+x-2=（x+x-1）2-2=32-2=7．
===．
（2）原式=+=2+2=4
【解析】（1）由x+x-1=3．可得x2+x-2=（x+x-1）2-2.==．
当x＞0时，它们分别是x，-x，x，x，x；
当x＜0时，它们分别是x，-x，-x，-x，x，故元素最多有2个．
故选：A．
先利用根式的性质化简，，再分类讨论即可知集合中最多有2个元素．
本题主要考查根式的性质以及集合的性质，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：0＜0.83＜1，30.8＞30=1，log30.8＜log31=0；
【解答】
解：作出函数f（x）=的图象如图，
不妨设x1＜x2＜x3，
则，是方程的两个不等实根，
则x1∈（-∞，-1），x2+x3=4，x2x3=a（0＜a＜1），
∴==，
令g（a）=-a+（0＜a＜1），函数在（0，1）上为减函数，
则g（a）＞3．
∴的取值范围是（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．
16.【答案】
2019-2020学年淮北一中必修一数学测试卷
副标题
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合A={1，9，m}，B={m2，1}，若A∩B=B，则满足条件的实数m的值是（）